測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度

この章では、局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度とRiesz-Markov-角谷の表現定理について述べる。 Radon測度は局所コンパクトHausdorff空間の位相構造と密接に関連した測度であり、Lebesgue測度に代表される局所コンパクト群上のHaar測度、Riemann多様体上のRiemann測度などを含む多くの具体的測度がRadon測度である。 Radon測度に関するBorel集合の測度は、開集合の測度により外側から近似でき（外部正則性）、コンパクト集合の測度により内側から近似できる（内部正則性）。またUrysohnの補題と結び付き、Radon測度に関して可積分な関数の積分は、台がコンパクトな連続関数の積分により近似できる。Riesz-Markov-角谷の表現定理は、積分を通し、局所コンパクトHausdorff空間上の連続関数空間の線形汎関数とRadon測度の一対一対応を与える非常に応用の効く強力な定理である。

入門テキスト「測度と積分」

• 測度と積分1：測度論の基礎用語
• 測度と積分2：測度空間上の積分
• 測度と積分3：測度論の基本定理(1)
• 測度と積分4：測度論の基本定理(2)
• 測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性
• 測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間
• 測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度
• 測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質
• 測度と積分9：Bochner積分

27. 局所コンパクトHausdorff空間の基本的性質

定義27.1（局所コンパクトHausdorff空間）

任意の点がコンパクトな近傍を持つようなHausdorff空間を局所コンパクトHausdorff空間と言う。

注意27.2

Hausdorff空間の任意のコンパクト集合は閉集合である。また一般にコンパクト集合に含まれる閉集合はコンパクト集合である。このことから局所コンパクトHausdorff空間の任意の点は閉包がコンパクトな開近傍を持つ。

補題27.3

$X$ をHausdorff空間、$K\subset X$ をコンパクト集合、$x\in X\backslash K$ とする。このとき開集合 $U,V\subset X$ で、 $$ x\in U,\quad K\subset V,\quad U\cap V=\emptyset\quad\quad(*) $$ を満たすものが存在する。

Proof.

Hausdorffの分離公理より任意の $y\in K$ に対し $x$ の開近傍 $U_y$ と $y$ の開近傍 $V_y$ で $U_y\cap V_y=\emptyset$ なるものが取れる。$K$ はコンパクトであるから有限個の $y_1,\ldots,y_n\in K$ で、$K\subset \bigcup_{j=1}^{n}V_{y_j}$ なるものが取れる。そこで、 $$ U\colon=\bigcap_{j=1}^{n}U_{y_j},\quad V:=\bigcup_{j=1}^{n}V_{y_j} $$ とおけば、これらは $(*)$ を満たす。

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命題27.4（局所コンパクトHausdorff空間における基本命題）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$K,V\subset X$ をそれぞれ $X$ のコンパクト集合と開集合とし、$K\subset V$ とする。このとき閉包がコンパクトな開集合 $U$ で、 $$ K\subset U\subset \overline{U}\subset V $$ を満たすものが存在する。

Proof.

各 $x\in K$ に対し閉包がコンパクトな開近傍 $W_x\subset X$ を取る。$K$ はコンパクトなので有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて $K\subset \bigcup_{j=1}^{n}W_{x_j}$ となる。$W\colon=\bigcup_{j=1}^{n}W_{x_j}$ とおく。 $$ \overline{W}\subset \bigcup_{j=1}^{n}\overline{W_{x_j}} $$ であり、右辺はコンパクトであるから $\overline{W}$ はコンパクトである。よってもし $\overline{W}\subset V$ であれば $U=W$ とすればよい。$\overline{W}\backslash V\neq\emptyset$ であるとする。任意の $p\in \overline{W}\backslash V$ に対し補題27.3より開集合 $U_p$ で、 $$ K\subset U_p,\quad p\notin \overline{U_p} $$ なるものが取れる。このとき、 $$ \bigcap_{p\in \overline{W}\backslash V}(\overline{W}\backslash V)\cap \overline{U_p}=\emptyset $$ であるから $\overline{W}\backslash V$ のコンパクト性より有限個の $p_1,\ldots,p_m\in \overline{W}\backslash V$ で、 $$ \bigcap_{k=1}^{m}(\overline{W}\backslash V)\cap\overline{U_{p_k}}=\emptyset $$ なるものが取れる。そこで開集合 $$ U\colon=\bigcap_{k=1}^{m}W\cap U_{p_k} $$ を定義すれば、 $$ K\subset U\subset \overline{U}\subset \bigcap_{k=1}^{m}\overline{W}\cap \overline{U_{p_k}}\subset V $$ であり、$\overline{W}$ のコンパクト性より $\overline{U}$ はコンパクトである。

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定義27.5（関数の台）

$X$ を位相空間とする。関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、 $$ \text{supp}(f)\colon=\overline{\{x\in X:f(x)\neq0\}}\subset X $$ を $f$ の台と言う。

定理27.6（Urysohnの補題）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$K,V$ をそれぞれ $X$ のコンパクト集合と開集合とし $K\subset V$ とする。このとき台がコンパクトな連続関数 $f\colon X\rightarrow[0,1]$ で、 $$ f(x)=1\quad(\forall x\in K),\quad \text{supp}(f)\subset V $$ を満たすものが存在する。

Proof.

命題27.4より閉包がコンパクトな開集合 $U_0$ で、 $$ K\subset U_0\subset \overline{U_0}\subset V $$ を満たすものが取れる。再び命題27.4より閉包がコンパクトな開集合 $U_1$ で、 $$ K\subset U_1\subset \overline{U_1}\subset U_0 $$ を満たすものが取れる。今、可算集合 $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ に対し、 $$ \mathbb{N}\ni n\mapsto r_n\in \mathbb{Q}\cap [0,1] $$ を全単射で $r_1=0$、$r_2=1$ なるものとする。そしてある $n\geq2$ に対し閉包がコンパクトな開集合 $U_{r_1},\ldots,U_{r_n}$ で、 $$ r_i<r_j\quad\Leftrightarrow\quad \overline{U_{r_j}}\subset U_{r_i}\quad\quad(*) $$ を満たすものが取れているとする。 $$ r_{j_0}\colon=\text{min}\{r_j:1\leq j\leq n, \text{ }r_{n+1}<r_j\},\quad r_{i_0}\colon=\text{max}\{r_i:1\leq i\leq n,\text{ }r_i<r_{n+1}\} $$ とおくと、$r_{i_0}<r_{n+1}<r_{j_0}$ であるから、$\overline{U_{r_{j_0}}}\subset U_{r_{i_0}}$ であり、命題27.4より閉包がコンパクトな開集合 $U_{r_{n+1}}$ で、 $$ \overline{U_{r_{j_0}}}\subset U_{r_{n+1}}\subset \overline{U_{r_{n+1}}}\subset U_{r_{i_0}} $$ なるものが取れる。このとき $U_{r_1},\ldots,U_{r_{n+1}}$ は $(*)$ を満たす。よって帰納法より閉包がコンパクトな開集合からなる列 $(U_{r_n})_{n\in \mathbb{N}}$ で $(*)$ を満たすものが取れる。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n,g_n\colon X\rightarrow[0,1]$ を、 $$ f_n(x)\colon=\left\{\begin{array}{ll}r_n&(x\in U_{r_n})\\0&(x\in X\backslash U_{r_n})\end{array}\right.,\quad g_n(x)\colon=\left\{\begin{array}{ll}1&(x\in \overline{U_{r_n}})\\r_n&(x\in X\backslash \overline{U_{r_n}})\end{array}\right. $$ と定義する。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、 $$ (\alpha<f_n)=\left\{\begin{array}{ll}X&(\alpha<0)\\U_{r_n}&(0\leq\alpha<r_n)\\\emptyset&(r_n\leq\alpha)\end{array}\right.,\quad (g_n<\alpha)=\left\{\begin{array}{ll}X&(1<\alpha)\\X\backslash \overline{U_{r_n}}&(r_n<\alpha\leq1)\\\emptyset&(\alpha\leq r_n)\end{array}\right. $$ である。よって、 $$ f(x)\colon=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x),\quad g(x)\colon=\inf_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)\quad(\forall x\in X) $$ として $f,g\colon X\rightarrow[0,1]$ を定義すると、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、 $$ (\alpha<f)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(\alpha<f_n),\quad (g<\alpha)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(g_n<\alpha) $$ はいずれも開集合である。今、任意の $x\in X$ に対し $f(x)=g(x)$ が成り立つことを示す。もし $f(x)<g(x)$ ならば $f(x)<r_n<r_m<g(x)$ なる $r_n,r_m\in\mathbb{Q}\cap (0,1)$ が取れる。$f_n(x)\leq f(x)<r_n$ より $x\in X\backslash U_{r_n}$ であり、$r_m<g(x)\leq g_m(x)$ より $x\in \overline{U_{r_m}}$ である。しかし $r_n<r_m$ と $(*)$ より $\overline{U_{r_m}}\subset U_{r_n}$ であるから矛盾する。またもし $g(x)<f(x)$ ならばある $n\in \mathbb{N}$ に対し $g(x)<f_n(x)$ であり、ある $m\in\mathbb{N}$ に対し $g_m(x)<f_n(x)$ である。よって $x\in X\backslash \overline{U_{r_m}}, x\in U_{r_n}, r_m=g_m(x)<f_n(x)=r_n$ である。しかし $r_m<r_n$ と $(*)$ より $\overline{U_{r_n}}\subset U_{r_m}$ であるから矛盾する。ゆえに $f(x)=g(x)$ である。これより任意の有界開区間 $(\alpha,\beta)$ に対し、 $$ f^{-1}( (\alpha,\beta) )=(\alpha<f)\cap (g<\beta) $$ は開集合であるから $f\colon X\rightarrow[0,1]$ は連続である。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $K\subset \overline{U_{1}}\subset \overline{U_{r_n}}$ であるから、任意の $x\in K$ に対し $f(x)=g(x)=\inf_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)=1$ である。また $f(x)>0$ なる $x\in X$ に対し $f_n(x)>0$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在するので $x\in U_{r_n}\subset U_0$ である。よって、 $$ \text{supp}(f)=\overline{(f>0)}\subset \overline{U_0}\subset V $$ であり、$\overline{U_0}$ はコンパクトなので $\text{supp}(f)$ はコンパクトである。

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定理27.7（$1$ の分割）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$K\subset X$ をコンパクト集合、$V_1,\ldots,V_n$ を開集合とし、$K\subset \bigcup_{j=1}^{n}V_j$ であるとする。このとき台がコンパクトな連続関数 $f_1,\ldots,f_n\colon X\rightarrow[0,1]$ で、 $$ \text{supp}(f_j)\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n),\quad \sum_{j=1}^{n}f_j(x)=1\quad(\forall x\in K) $$ を満たすものが存在する。

Proof.

命題27.4より任意の $x\in K$ に対し閉包がコンパクトな $x$ の開近傍 $W_x$ で、ある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\overline{W_x}\subset V_j$ であるものが取れる。よって $K$ のコンパクト性よりコンパクト集合 $C_1,\ldots,C_n$ で、 $$ K\subset \bigcup_{j=1}^{n}C_j,\quad C_j\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n) $$ なるものが取れる。Urysohnの補題より台がコンパクトな連続関数 $h_1,\ldots,h_n\colon X\rightarrow [0,1]$ で、 $$ h_j|_{C_j}=1,\quad \text{supp}(h_j)\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n) $$ なるものが取れる。ここで、 $$ f_1\colon=h_1,\quad f_k\colon=h_k\prod_{j=1}^{k-1}(1-h_j)\quad(k=2,\ldots,n) $$ とおくと、$f_1,\ldots,f_n\colon X\rightarrow[0,1]$ は台がコンパクトな連続関数で、$\text{supp}(f_j)\subset \text{supp}(h_j)\subset V_j$ $(j=1,\ldots,n)$ であり、 $$ \sum_{j=1}^{k}f_j=1-\prod_{j=1}^{k}(1-h_j)\quad(k=1,\ldots,n) $$ である。$\bigcup_{j=1}^{n}C_j$ 上で $\prod_{j=1}^{n}(1-h_j)$ は $0$ であるから、 $K$ 上で $\sum_{j=1}^{n}f_j=1$ である。

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定理27.8（局所コンパクトHausdorff空間の一点コンパクト化）

$(X,\mathcal{O})$ を局所コンパクトHausdorff空間とし、$\infty\notin X$、$\widetilde{X}\colon=X\cup\{\infty\}$ とする。このとき、 $$ \mathcal{O}'\colon=\{U\subset \widetilde{X}: \infty\in U,\text{ } \widetilde{X}\backslash U\subset X\text{ はコンパクト}\}, $$ $$ \widetilde{\mathcal{O}}\colon=\mathcal{O}\cup\mathcal{O}' $$ とおくと、$\widetilde{\mathcal{O}}$ は $\widetilde{X}$ の位相であり、$\mathcal{O}$ は $\widetilde{\mathcal{O}}$ の $X$ 上の相対位相である。そして $(\widetilde{X},\widetilde{\mathcal{O}})$ はコンパクトHausdorff空間である。

Proof.

$\mathcal{O}'$ は任意の合併と有限交叉で閉じており、任意の $U\in\mathcal{O}'$ と $V\in \mathcal{O}$ に対し $U\cup V\in \mathcal{O}'$, $U\cap V\in \mathcal{O}$ である。このことから $\widetilde{\mathcal{O}}$ が $\widetilde{X}$ の位相であること、$\mathcal{O}$ が $\widetilde{\mathcal{O}}$ の相対位相であることが分かる。$\{U_j\}_{j\in J}\subset \widetilde{\mathcal{O}}$ を $\widetilde{X}$ の任意の開被覆とする。$\infty\in U_{j_0}$ なる $j_0\in J$ を取ると $U_{j_0}\in\mathcal{O}'$ であるから $\widetilde{X}\backslash U_{j_0}$ はコンパクトである。よって有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ で、 $$ \widetilde{X}\backslash U_{j_0}\subset U_{j_1}\cup\ldots\cup U_{j_n} $$ なるものが取れる。これより、 $$ \widetilde{X}=U_{j_0}\cup U_{j_1}\cup\ldots\cup U_{j_n} $$ であるから、$(\widetilde{X},\widetilde{\mathcal{O}})$ はコンパクト空間である。任意の $x\in X$ に対し $x\in U\subset K\subset X$ なる $U\in \mathcal{O}$ とコンパクト集合 $K$ が取れ、$\widetilde{X}\backslash K\in \mathcal{O}'$ であり、 $$ x\in U,\quad \infty\in \widetilde{X}\backslash K,\quad U\cap (\widetilde{X}\backslash K)=\emptyset $$ であるから、$(\widetilde{X},\widetilde{\mathcal{O}})$ はHausdorff空間である。

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28. 連続関数環 $C(X), C_b(X), C_0(X), C_c(X)$

定義28.1（$\sup$ ノルム）

空でない集合 $X$ 上の有界な複素数値関数全体は各点ごとの演算で線形空間をなし、 $$ \lVert f\rVert\colon=\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\in [0,\infty) $$ はその線形空間上のノルムである。このノルムを $\sup$ ノルムと言う。

定義28.2（$C_c(X), C_0(X), C_b(X)$）

$X$ を位相空間とする。$X$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算を入れた $\mathbb{C}$ 上の可換な単位的 $*$-環を $C(X)$ と表す。（対合演算は各点ごとの複素共役である。） $$ C_b(X)\colon=\{f\in C(X):f\text{ は有界}\} $$ は $C(X)$ の部分 $*$-環であり、$\sup$ ノルムにより $C^*$-環（位相線形空間1：ノルムと内積を参照）である。 $$ C_0(X)\colon=\{f\in C(X):\text{任意の }\epsilon\in(0,\infty)\text{ に対し }(\lvert f\rvert\geq\epsilon)\text{ はコンパクト}\} $$ は $C_b(X)$ の閉 $*$-イデアルであり、 $$ C_c(X)\colon=\{f\in C(X):\text{supp}(f)\text{ はコンパクト}\} $$ は $C(X)$ の $*$-イデアルである。$C_0(X)$ の元を無限遠で消える連続関数と言う。（命題28.4を参照。）

命題28.3（局所コンパクトHausdorff空間 $X$ に対し $C_0(X)=\overline{C_c(X)}$）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。このとき $\sup$ ノルムによる $C^*$-環 $C_0(X)$ において $C_c(X)$ は稠密である。

Proof.

任意の $f\in C_0(X)$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。$(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトであるからUrysohnの補題（定理27.6）より台がコンパクトな連続関数 $h\colon X\rightarrow[0,1]$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in (\lvert f\rvert\geq\epsilon))$ なるものが取れる。このとき $fh\in C_c(X)$ であり $\lVert f-fh\rVert\leq\epsilon$ であるから $f\in \overline{C_c(X)}$ である。

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定義28.4（$0$ 拡張）

$X\subset \widetilde{X}$ とする。$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $\widetilde{f}\colon\widetilde{X}\rightarrow\mathbb{C}$ が $f$ の $0$ 拡張であるとは $\widetilde{f}(x)=f(x)$ $(\forall x\in X)$ かつ $\widetilde{f}(x)=0$ $(\forall x\in \widetilde{X}\backslash X)$ であることを言う。

命題28.5（無限遠で消える連続関数環 $C_0(X)$ と 一点コンパクト化）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とし、その一点コンパクト化（定理27.8）を $\widetilde{X}=X\cup\{\infty\}$ とする。$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $\widetilde{f}\colon\widetilde{X}\rightarrow\mathbb{C}$ を $f$ の $0$ 拡張とする。このとき次は互いに同値である。

• $(1)$　$f\in C_0(X)$.
• $(2)$　$\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$.

Proof.

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$f\in C_0(X)$ とする。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $K\colon=(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトであるから $\widetilde{X}\backslash K$ は $\infty\in \widetilde{X}$ の開近傍である。そして、 $$ \lvert\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(\infty)\rvert=\lvert \widetilde{f}(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in \widetilde{X}\backslash K) $$ であるから $\widetilde{f}$ は $\infty\in \widetilde{X}$ において連続である。よって $\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$ である。~ $(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$ とする。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(\lvert f\rvert\geq\epsilon)=(\lvert \widetilde{f}\rvert\geq\epsilon)$ であるから $(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトである。よって $f\in C_0(X)$ である。

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29. 局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度

定義29.1（$K\prec f, f\prec V, K\prec f\prec V$）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。コンパクト集合 $K$ に対し、 $$ K\prec f\quad \iff\quad f\in C_c(X),\quad f(x)\in [0,1]\quad(\forall x\in X),\quad f(x)=1\quad(\forall x\in K) $$ と定義する。また開集合 $V\subset X$ に対し、 $$ f\prec V\quad\iff\quad f\in C_c(X),\quad f(x)\in[0,1]\quad(\forall x\in X),\quad \text{supp}(f)\subset V $$ と定義する。また $K\subset V$ なるコンパクト集合 $K$、開集合 $V$ に対し、 $$ K\prec f\prec V\quad \iff\quad K\prec f,\quad f\prec V $$ と定義する。Urysohnの補題（定理27.6）より$K\subset V$ なる任意のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し $K\prec f\prec V$ なる $f$ が取れる。

定義29.2（Borel測度）

$X$ を位相空間、$\mathcal{B}_X$ を $X$ のBorel集合族とする。可測空間 $(X,\mathcal{B}_X)$ 上の測度を $X$ 上のBorel測度と言う。

定義29.3（Radon測度）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。Borel測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ が次を満たすとき、$\mu$ を $X$ 上のRadon測度と言う。

• $(1)$ (コンパクト集合に対し有限)　任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対し $\mu(K)<\infty$.
• $(2)$ (外部正則性)　任意の $B\in \mathcal{B}_X$ にし、

$$\mu(B)=\inf\{\mu(V):V\text{ は} B\text{ を含む開集合}\}$$.

• $(3)$ (内部正則性)　$B\in \mathcal{B}_X$ が $\mu(B)<\infty$ であるか開集合ならば、

$$\mu(B)=\sup\{\mu(K):K\text{ は} B\text{ に含まれるコンパクト集合}\}$$.

命題29.4（Radon測度の基本的性質）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき次が成り立つ。

• $(1)$　任意の $f\in C_c(X)$ に対し $f$ は $\mu$ に関して可積分である。
• $(2)$　任意の開集合 $V\subset X$ に対し、

$$ \mu(V)=\sup\left\{\int_{X}f(x)d\mu(x):f\prec V\right\}. $$

• $(3)$　任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対し、

$$ \mu(K)=\inf\left\{\int_{X}f(x)d\mu(x):K\prec f\right\}. $$

Proof.

$(1)$ はRadon測度がコンパクト集合に対して有限値を与えることによる。 $K\subset V$ なる任意のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し、Urysohnの補題（定理27.6）より $K\prec f\prec V$ なる $f$ が取れる。このとき $\chi_K(x)\leq f(x)\leq \chi_V(x)$ $(\forall x\in X)$ であるから、 $$ \mu(K)\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \mu(V)\quad\quad(*) $$ である。$(*)$ と $\mu(V)$ に対する内部正則性より $(2)$ が成り立つことが分かる。また $(*)$ と $\mu(K)$ に対する外部正則性より $(3)$ が成り立つことが分かる。

□

30. Riesz-Markov-角谷の表現定理

定義30.1（$C_{\sharp,\mathbb{R}}(X), C_{\sharp,+}(X)$）

$\sharp$ を $b,0,c$ のいずれかとし、 $$ \begin{aligned} C_{\sharp,\mathbb{R}}(X)\colon&=\{f\colon X\rightarrow\mathbb{R}:f\in C_{\sharp}(X)\},\\ C_{\sharp,+}(X)\colon&=\{f\colon X\rightarrow[0,\infty):f\in C_{\sharp}(X)\} \end{aligned} $$ と定義する。

定義30.2（Radon汎関数）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。線形汎関数 $\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X)\rightarrow\mathbb{R}$ で、 $$ \Lambda f\geq0\quad(\forall f\in C_{c,+}(X)) $$ を満たすものをRadon汎関数と言う。
$f(x)\leq g(x)$ $(\forall x\in X)$ なる任意の $f,g\in C_{c,\mathbb{R}}(X)$ に対し $g-f\in C_{c,+}(X)$ であるから $\Lambda f\leq \Lambda g$ が成り立つ。これを $\Lambda$ の単調性と言う。

補題30.3（Radon汎関数による外測度）

$(X,\mathcal{O}_X)$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X)\rightarrow \mathbb{R}$ をRadon汎関数とする。 $\mu_0\colon\mathcal{O}_X\rightarrow [0,\infty]$ を、 $$ \mu_0(V)\colon=\sup\{\Lambda f:f\prec V\}\quad(\forall V\in\mathcal{O}_X) $$ と定義し、$\mu^*\colon 2^X\rightarrow [0,\infty]$ を、 $$ \mu^*(E)\colon=\inf\{\mu_0(V):V\in \mathcal{O}_X,E\subset V\} $$ と定義する。そして、 $$ \mathfrak{M}_{\rm f}\colon=\{E\in 2^X:\mu^*(E)<\infty,\mu^*(E)=\sup\{\mu^*(K):K\text{ は }E\text{ に含まれるコンパクト集合}\}\}, $$ $$ \mathfrak{M}\colon=\{E\in 2^X:\text{任意のコンパクト集合 } K\text{ に対し} E\cap K\in \mathfrak{M}_{\rm f}\} $$ と定義する。このとき、

• $(1)$　$\mu^*$ は $\mu_0$ の拡張である。また $\mu^*$ は単調、すなわち $E\subset F\subset X$ ならば $\mu^*(E)\leq \mu^*(F)$ が成り立つ。
• $(2)$　$\mu_0$ は劣 $\sigma$-加法的、すなわち $\mathcal{O}_X$ の任意の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\mu_0(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(V_n)$ が成り立つ。
• $(3)$　$\mu^*$ は劣 $\sigma$-加法的、すなわち $2^X$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。
• $(4)$　任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対し $K\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ であり、

$$ \mu^*(K)=\inf\{\Lambda f: K\prec f\}=\inf\{\Lambda f:f\in C_{c,+}(X), f|_K=1\} $$ が成り立つ。

• $(5)$　任意の $V\in \mathcal{O}_X$ に対し、

$$ \mu^*(V)=\sup\{\mu^*(K):K\text{ は }V\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$ が成り立つ。

• $(6)$　互いに交わらない有限個のコンパクト集合 $K_1,\ldots,K_n\subset X$ に対し $\mu^*(K_1\cup\ldots\cup K_n)=\sum_{j=1}^{n}\mu^*(K_j)$ が成り立つ。
• $(7)$　$\mathfrak{M}_{\rm f}$ の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。
• $(8)$　$\mathfrak{M}_{\rm f}$ の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)<\infty$ なるものに対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ が成り立つ。
• $(9)$　任意の $E\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対しコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ で $K\subset E\subset V$、$\mu^*(V\backslash K)<\epsilon$ を満たすものが取れる。
• $(10)$　任意の $A_1,A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ に対し $A_1\backslash A_2,A_1\cap A_2,A_1\cup A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ が成り立つ。
• $(11)$　$\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族であり、Borel集合族 $\mathcal{B}_X$ を含む。
• $(12)$　$\mathfrak{M}_{\rm f}=\{E\in \mathfrak{M}:\mu^*(E)<\infty\}$ が成り立つ。
• $(13)$　$\mu:\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \mu^*(B)\in [0,\infty]$ はRadon測度である。
• $(14)$　

$$ \Lambda f=\int_{X} f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$ が成り立つ。

Proof.

• $(1)$　$\mu_0,\mu^*$ がそれぞれ単調であることは定義より明らかである。また $\mu^*$ が $\mu_0$ の拡張であることは $\mu_0$ の単調性による。
• $(2)$　任意の $f\prec \bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n$ に対し $\text{supp}(f)$ のコンパクト性より $\text{supp}(f)\subset \bigcup_{n=1}^{N}V_n$ なる $N\in \mathbb{N}$ が取れる。そして $1$ の分割（定理27.7）より $h_1\prec V_1,\ldots,h_N\prec V_N$ で、

$$ \sum_{n=1}^{N}h_n(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(f)) $$ なるものが取れる。各 $n\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $f_n\colon=h_nf$ とおくと $f_n\prec V_n$ であり、$f=\sum_{n=1}^{N}f_n$ であるから、 $$ \Lambda f=\sum_{n=1}^{N}\Lambda f_n\leq \sum_{n=1}^{N}\mu_0(V_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(V_n) $$ である。よって $\mu_0(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_0(V_n)$ が成り立つ。

• $(3)$　$\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)<\infty$ とすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\mathcal{O}_X$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、

$$ E_n\subset V_n,\quad \mu_0(V_n)<\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ なるものが取れる。よって $(1),(2)$より、 $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)\leq \mu_0\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n\right)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(V_n) \leq \sum_{n\in \mathbb{N}}(\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n})=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon $$ であるから $\epsilon$ の任意性より $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。

• $(4)$　$f\in C_{c,+}(X)$ で $f|_K=1$ なるものを取る。任意の $\alpha\in (0,1)$ に対し $K\subset (\alpha<f)$ である。任意の $g\prec (\alpha<f)$ に対し $\alpha g(x)\leq f(x)$ $(\forall x\in X)$ であるから $\Lambda$ の単調性より $\alpha\Lambda g\leq \Lambda f$ である。よって $g\prec (\alpha<f)$ の任意性より、

$$ \alpha\mu^*(K)\leq \alpha\mu_0( (\alpha<f) )\leq\Lambda f $$ であり、$\alpha\in(0,1)$ の任意性より $\mu^*(K)\leq \Lambda f$ である。これより、 $$ \mu^*(K)\leq \inf\{\Lambda f:f\in C_{c,+}(X),f|_K=1\}\leq \inf\{\Lambda f:K\prec f\} $$ が成り立つ。$K\subset V$ なる任意の開集合 $V$ に対しUrysohnの補題（定理27.6）より $K\prec f\prec V$ なる $f$ が取れるから $\inf\{\Lambda f:K\prec f\}\leq \mu_0(V)$ である。よって $V$ の任意性より、 $$ \inf\{\Lambda f:K\prec f\}\leq \mu^*(K) $$ が成り立つ。$\mu^*(K)<\infty$ であることから $K\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。

• $(5)$　任意の $f\prec V$ を取る。$\text{supp}(f)\prec g$ なる任意の $g$ に対し $f(x)\leq g(x)$ $(\forall x\in X)$ より $\Lambda f\leq \Lambda g$ であるから $(4)$ より、

$$ \Lambda f\leq \mu^*(\text{supp}(f))\leq \sup\{\mu^*(K):K\text{ は }V\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$ である。よって $f\prec V$ の任意性より、 $$ \mu_0(V)\leq \sup\{\mu^*(K):K\text{ は }V\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$ が成り立つ。逆の不等式は $(1)$ による。

• $(6)$　$n=2$ の場合を示せば十分である。$K_1\cup K_2\prec f$ なる任意の $f$ を取り、Urysohnの補題により $K_1\prec h\prec X\backslash K_2$ なる $h$ を取る。$f_1\colon=fh$、$f_2\colon=f(1-h)$ とおけば $K_1\prec f_1$、$K_2\prec f_2$ であり、$f=f_1+f_2$ であるから、$(4)$ より、

$$ \mu^*(K_1)+\mu^*(K_2)\leq \Lambda f_1+\Lambda f_2=\Lambda f $$ である。よって $f$ の任意性と $(4)$ より $\mu^*(K_1)+\mu^*(K_2)\leq \mu^*(K_1\cup K_2)$ が成り立つ。逆の不等式は $\mu^*$ の劣加法性による。

• $(7)$　$\mu^*$ の劣 $\sigma$-加法性より $\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n)$ を示せばよい。$\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)<\infty$ とする。このとき任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対しコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、

$$ K_n\subset E_n,\quad \mu^*(E_n)\leq \mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ なるものが取れる。$(6)$ と $\mu^*$ の単調性より任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し、 $$ \sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n)<\sum_{n=1}^{N}(\mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2^n})\leq \mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{N}K_n\right)+\epsilon\leq\mu^*\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)+\epsilon $$ であるから、 $$ \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)+\epsilon $$ である。よって $\epsilon\in (0,\infty)$ の任意性より $\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)$ が成り立つ。

• $(8)$　任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(7)$ より、

$$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)-\frac{\epsilon}{2}<\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n) $$ なる $N\in \mathbb{N}$ が取れる。コンパクト集合 $K_1,\ldots,K_N$ で、 $$ K_n\subset E_n,\quad \mu^*(E_n)\leq \mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2N}\quad(n=1,\ldots,N) $$ なるものを取れば、$K\colon=\bigcup_{n=1}^{N}K_n$ は $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n$ に含まれるコンパクト集合であり、 $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)-\frac{\epsilon}{2}< \sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n)<\sum_{n=1}^{N}(\mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2N})=\mu^*(K)+\frac{\epsilon}{2} $$ より、 $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)\leq\mu^*(K)+\epsilon $$ である。よって $\epsilon$ の任意性より $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。

• $(9)$　コンパクト集合 $K\subset E$ と開集合 $V\supset E$ で、

$$ \mu^*(E)-\frac{\epsilon}{2}<\mu^*(K),\quad \mu^*(V)<\mu^*(E)+\frac{\epsilon}{2} $$ なるものを取ると、$(4),(5),(7)$ より、 $$ \mu^*(V\backslash K)=\mu^*(V)-\mu^*(K)<\epsilon $$ である。

• $(10)$　まず $A_1\backslash A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ を示す。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(9)$ より $K_j\subset A_j\subset V_j$, $\mu^*(V_j\backslash K_j)<\frac{\epsilon}{2}$ $(j=1,2)$ なるコンパクト集合 $K_1,K_2$ と開集合 $V_1,V_2$ が取れる。$K_1\backslash V_2$ は $A_1\backslash A_2$ に含まれるコンパクト集合であり、

$$ A_1\backslash A_2\subset (A_1\backslash K_1)\cup (K_1\backslash V_2)\cup(V_2\backslash A_2)\subset (V_1\backslash K_1)\cup (K_1\backslash V_2)\cup (V_2\backslash K_2) $$ と $\mu^*$ の劣加法性より、 $$ \mu^*(A_1\backslash A_2)\leq \mu^*(V_1\backslash K_1)+\mu^*(K_1\backslash V_2)+\mu^*(V_2\backslash K_2)<\mu^*(K_1\backslash V_2)+\epsilon $$ である。よって $\epsilon$ の任意性より $A_1\backslash A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。これより任意の $A_1,A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ に対し $A_1\cap A_2=A_1\backslash (A_1\backslash A_2)\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ であり、$(8)$ より $A_1\cup A_2=(A_1\backslash A_2)\cup A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。

• $(11)$　任意の $E,F\in \mathfrak{M}$ と任意のコンパクト集合 $K$ に対し、

$$ (X\backslash E)\cap K=K\backslash (E\cap K),\quad (E\cup F)\cap K=(E\cap K)\cup (F\cap K) $$ であるから $(4),(10)$ より $X\backslash E, E\cup F\in \mathfrak{M}$ である。よって $\mathfrak{M}$ は有限加法族である。また $(4),(8)$ より $\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$ である。これより $\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。$(4)$ より $\mathfrak{M}$ は任意の閉集合を含むので $\mathcal{B}_X\subset \mathfrak{M}$ である。

• $(12)$　$(4),(10)$ より $\mathfrak{M}_{\rm f}\subset \mathfrak{M}$ である。$\mu^*(E)<\infty$ を満たす任意の $E\in \mathfrak{M}$ を取り $E\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ が成り立つことを示せばよい。まず $\mu^*(E)<\infty$ より $E$ を含む開集合 $V$ で $\mu^*(V)<\infty$ なるものが取れる。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(5)$ より、

$$ K_1\subset V,\quad \mu^*(V)<\mu^*(K_1)+\frac{\epsilon}{2} $$ なるコンパクト集合 $K_1$ が取れ、$(7)$ より、 $$ \mu^*(V\backslash K_1)=\mu^*(V)-\mu^*(K_1)<\frac{\epsilon}{2} $$ である。$E\cap K_1\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ であるから、 $$ K_2\subset E\cap K_1,\quad \mu^*(E\cap K_1)<\mu^*(K_2)+\frac{\epsilon}{2} $$ なるコンパクト集合 $K_2$ が取れる。$\mu^*$ の劣加法性と単調性より、 $$ \mu^*(E)\leq \mu^*(E\cap K_1)+\mu^*(V\backslash K_1)<\mu^*(K_2)+\epsilon $$ であるから、$\epsilon$ の任意性より $E\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。

• $(13)$　$(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathfrak{M}$ の非交叉列とし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つことを示す。もし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)=\infty$ ならば $\mu^*$ の劣 $\sigma$-加法性より成り立つ。またもし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)<\infty$ ならば $(12),(7)$ より成り立つ。よって $\mathfrak{M}\ni E\mapsto \mu^*(E)\in [0,\infty]$ は測度である。$\mathfrak{M}$ は $\mathcal{B}_X$ を含むから $\mu\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \mu^*(B)\in [0,\infty]$ はBorel測度である。$(1),(5),(12)$ より $\mu$ はRadon測度である。
• $(14)$　任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)$ に対し、

$$ \Lambda f\leq \int_{X}f(x)d\mu(x) $$ が成り立つことを示せば十分である。（$f$ の代わりに $-f$ を考えれば逆の不等式が得られる。）任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り固定する。$\lvert f(x)\rvert<M<\infty$ $(\forall x\in X)$ なる $M$ を取り、 $$ \frac{2M}{N}<\epsilon $$ なる $N\in \mathbb{N}$ を取る。そして、 $$ y_k\colon=-M+k\frac{2M}{N}\quad(k=0,1,\ldots,N) $$ とおき、 $$ B_k\colon=\text{supp}(f)\cap (y_{k-1}\leq f<y_k)\in \mathcal{B}_X\quad(k=1,\ldots,n) $$ とおく。このとき、 $$ \text{supp}(f)=\bigcup_{k=1}^{N}B_k,\quad B_i\cap B_j=\emptyset\quad(i\neq j) $$ である。各 $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、$B_k\subset U_k$、$\mu(U_k)<\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N}$ なる $U_k\in \mathcal{O}_X$ を取り、 $$ V_k:=U_k\cap (f<y_k+\epsilon)\in \mathcal{O}_X\quad(k=1,\ldots,N) $$ とおけば、 $$ B_k\subset V_k,\quad \mu(V_k)<\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N}\quad(k=1,\ldots,N) $$ である。$\text{supp}(f)=\bigcup_{k=1}^{N}B_k\subset \bigcup_{k=1}^{N}V_k$ であるから $1$ の分割（定理26.8）より、 $$ h_k\prec V_k\quad(k=1,\ldots,N),\quad \sum_{k=1}^{N}h_k(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(f)) $$ なる $h_1,\ldots,h_N$ が取れる。このとき $(4)$ より、 $$ \mu(\text{supp}(f))\leq \Lambda\sum_{k=1}^{N}h_k=\sum_{k=1}^{N}\Lambda h_k $$ であり、$\text{supp}(h_k)\subset V_k\subset (f<y_k+\epsilon)$ より、 $$ f(x)=\sum_{k=1}^{N}f(x)h_k(x)\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon) h_k(x)\quad(\forall x\in X) $$ であるから、 $$ \Lambda f\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon)\Lambda h_k $$ である。また、 $$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\sum_{k=1}^{N}\int_{B_k}f(x)d\mu(x)\geq \sum_{k=1}^{N}y_{k-1}\mu(B_k)\geq \sum_{k=1}^{N}(y_k-\epsilon)\mu(B_k) $$ である。よって、 $$ \begin{aligned} \Lambda f&\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon)\Lambda h_k =\sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)\Lambda h_k-M\sum_{k=1}^{N}\Lambda h_k\\ &\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)\mu(V_k)-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k-\epsilon)(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})+(2\epsilon+M)\sum_{k=1}^{N}(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)+\epsilon M+(2\epsilon+M)(\mu(\text{supp}(f))+\epsilon)-M\mu(\text{supp}(f))\\ &=\int_{X}f(x)d\mu(x)+2\epsilon(\epsilon+M+\mu(\text{supp}(f))) \end{aligned} $$ であるから、$\epsilon$ の任意性より $\Lambda f\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)$ を得る。

□

定理30.4（Riesz-Markov-角谷の表現定理）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X)\rightarrow\mathbb{R}$ をRadon汎関数とする。このとき、 $$ \Lambda f=\int_{X}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$ を満たすRadon測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ が唯一つ存在する。

Proof.

一意性は命題29.4の $(2)$ とRadon測度の外部正則性による。存在は補題30.3による。

□

31. 第二可算局所コンパクトHausdorff空間上のBorel測度はコンパクト集合に対して有限ならば自動的にRadon測度

定義31.1（$\sigma$-コンパクト性）

位相空間が可算個のコンパクト集合の合併で表されるとき $\sigma$-コンパクトであると言う。

注意31.2（第二可算局所コンパクトHausdorff空間は $\sigma$-コンパクト）

第二可算な局所コンパクトHausdorff空間 $X$ は $\sigma$-コンパクトである。実際、各 $x\in X$ に対し閉包がコンパクトな開近傍 $U_x$ が取れ、$X$ の第二可算性より $X$ はLindelöfであるから $\{U_x\}_{x\in X}$ の可算部分族 $\{U_{x_n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ が存在し $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{x_n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\overline{U_{x_n}}$ となる。よって $X$ は $\sigma$-コンパクトである。

命題31.3（$\sigma$-コンパクトな局所コンパクトHausdorff空間におけるRadon測度の位相正則性）

$X$ を $\sigma$-コンパクトな局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき、

• $(1)$　任意の $B\in \mathcal{B}_X$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $X$ の閉集合 $F$ と開集合 $V$ で、

$$ F\subset B\subset V,\quad \mu(V\backslash F)<\epsilon $$ を満たすものが存在する。

• $(2)$　任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し、

$$ \mu(B)=\sup\{\mu(K):K\text{ は }B\text{ に含まれるコンパクト集合}\}\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

• $(1)$　$X$ は $\sigma$-コンパクトであるからあるコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ により $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ と表される。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $B_n\colon=B\cap K_n$ とおく。外部正則性より、

$$ B_n\subset V_n,\quad \mu(V_n)<\mu(B_n)+\frac{\epsilon}{2^{n+1}} $$ を満たす開集合 $V_n$ が取れる。$\mu(B_n)\leq\mu(K_n)<\infty$ より、 $$ \mu(V_n\backslash B_n)<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ である。 開集合 $V\colon=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n$ を定義すれば $B\subset V$ であり、$V\backslash B\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n\backslash B_n$ より、 $$ \mu(V\backslash B)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(V_n\backslash B_n)<\frac{\epsilon}{2} $$ となる。$B$ の代わりに $X\backslash B$ を考えれば閉集合 $F$ で、$F\subset B$、$\mu(B\backslash F)<\frac{\epsilon}{2}$ なるものが取れることが分かる。 $V\backslash F\subset (V\backslash B)\cup (B\backslash F)$ であるから、 $$ \mu(V\backslash F)\leq \mu(V\backslash B)+\mu(B\backslash F)<\epsilon $$ である。

• $(2)$　$\mu(B)=\infty$ の場合を示せばよい。このとき $(1)$ より閉集合 $F$ で、$F\subset B$、$\mu(F)=\infty$ なるものが取れる。$X$ は $\sigma$-コンパクトであるからコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ なるものが取れる。測度の単調収束性（命題6.3の$(5)$）より、

$$ \mu(B)=\infty=\mu(F)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu(F\cap K_n) $$ であり、各 $F\cap K_n$ はコンパクト集合であるから $(*)$ が成り立つ。

□

注意31.4

$X$ を位相空間とする。任意の $f,g\in C_{c,\mathbb{R}}(X)$ に対し、 $$ \text{max}(f,g)=\frac{1}{2}(f+g)+\frac{1}{2}\lvert f-g\rvert\in C_{c,\mathbb{R}}(X) $$ である。

定理31.5（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上のBorel測度はコンパクト集合に対して有限ならば自動的にRadon測度）

$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間とする。もしBorel測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ がコンパクト集合に対して有限（任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対し $\mu(K)<\infty$ ）ならば、$\mu$ はRadon測度である。

Proof.

$\mu$ はコンパクト集合に対して有限なのでRadon汎関数 $$ \Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X) \ni f\mapsto \int_{X}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{R} $$ が定義でき、Riesz-Markov-角谷の表現定理よりRadon測度 $\lambda\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ で、 $$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)d\lambda(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$ を満たすものが一意的に定まる。任意の開集合 $V\subset X$ に対し注意31.2よりコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $V=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ なるものが取れる。Urysohnの補題（定理27.6）により $K_n\prec g_n\prec V$ なる $g_n$ を取り、 $$ f_n\colon=\text{max}(g_1,\ldots,g_n)\in C_{c,+}(X)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ とおけば、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は各点単調増加列で $\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n=\chi_V$ である。よって単調収束定理より、 $$ \mu(V)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\lambda(x)=\lambda(V) $$ である。これより $\mu$ と $\lambda$ は任意の開集合に対して一致する。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し 命題31.3の $(1)$ より閉集合 $F$ と開集合 $V$ で、 $$ F\subset B\subset V,\quad \lambda(V\backslash F)=\mu(V\backslash F)<\epsilon $$ を満たすものが取れる。 $$ \begin{aligned} \mu(B)&\leq \mu(V)=\lambda(V)=\lambda(F)+\lambda(V\backslash F)\leq \lambda(B)+\epsilon,\\ \lambda(B)&\leq \lambda(V)=\mu(V)=\mu(F)+\mu(V\backslash F)\leq \mu(B)+\epsilon \end{aligned} $$ であるから $\epsilon$ の任意性より $\mu(B)=\lambda(B)$ を得る。

□

32. Radon測度に関する $L^p$ 関数の $C_c(X)$ の列による近似性

命題32.1

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき任意の $p\in [1,\infty)$ と任意の $f\in \mathcal{L}^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ に対し $C_c(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{\mu,p}=0 $$ を満たすものが取れる。

Proof.

命題22.1より $f$ は $\mathcal{L}^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ に属するBorel単関数の列で近似できるから、$\mu(B)<\infty$ なる $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $f=\chi_B$ であるとして示せば十分である。さらに外部正則性より $B$ を含む開集合の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \chi_B-\chi_{V_n}\rVert_{\mu,p}=\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \chi_{V_n\backslash B}\rVert_{\mu,p}=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(V_n\backslash B)^{\frac{1}{p}}=0 $$ なるものが取れるので、$\mu(V)<\infty$ なる開集合 $V$ に対し $f=\chi_V$ であるとして示せば十分である。命題29.4の $(2)$ より $f_n\prec V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ なる $C_{c,+}(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\mu(V)-\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=0 $$ となるものが取れる。よって、 $$ \begin{aligned} \lVert \chi_V-f_n\rVert_{\mu,p}^p&=\int_{X}\lvert\chi_V(x)-f_n(x)\rvert^pd\mu(x) \leq \int_{X}(\chi_V(x)-f_n(x))d\mu(x)\\ &=\mu(V)-\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$ である。

□

33. 複素数値Radon測度の空間 $M(X)$

定義33.1（複素数値Radon測度の空間）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。複素数値Borel測度 $\nu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ の全変動 $\lvert\nu\rvert\colon\mathcal{B}_X\rightarrow [0,\infty)$（定義19.1）がRadon測度であるとき、$\nu$ を $X$ 上の複素数値Radon測度と言う。$X$ 上の複素数値Radon測度全体を $M(X)$ と表す。次の命題33.4で見るように $M(X)$ は各Borel集合ごとの演算と $\lVert \nu\rVert\colon=\lvert\nu\rvert(X)$ $(\forall \nu\in M(X))$ によりノルム空間をなす。（このノルムを全変動ノルムと言う。）さらに次の節で見るように $M(X)$ はBanach空間である。

注意33.2（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上の任意の複素数値Borel測度はRadon測度）

第二可算局所コンパクトHausdorff空間上の任意の複素数値Borel測度は、定理31.5よりRadon測度である。

注意33.3（局所コンパクトHausdorff空間上の有限Borel測度がRadon測度であるための必要十分条件）

局所コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の有限Borel測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty)$ がRadon測度であるための必要十分条件は任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\mu(B)$ が内部正則であること、すなわち、 $$ \mu(B)=\sup\{\mu(K):K\text{ は }B\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$ が成り立つことである。実際このとき、任意の$B\in \mathcal{B}_X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、$X\backslash B$ の内部正則性より、 $$ \mu(X\backslash B)<\mu(K)+\epsilon $$ なるコンパクト集合 $K\subset X\backslash B$ が取れる。$V=X\backslash K$ とおけば $V$ は $B$ を含む開集合であり、 $$ \mu(B)+\epsilon>\mu(X)-\mu(K)=\mu(V) $$ である。よって、 $$ \mu(B)+\epsilon\geq \inf\{\mu(V):V\text{ は }B\text{ を含む開集合}\}\geq \mu(B) $$ であるから、$\epsilon\in (0,\infty)$ の任意性より、 $$ \mu(B)=\inf\{\mu(V):V\text{ は }B\text{ を含む開集合}\} $$ である。

命題33.4（$M(X)$ がノルム空間であること）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。

• $(1)$　$M(X)$ は各Borel集合ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなし、$\lVert \nu\rVert=\lvert \nu\rvert(X)$ $(\forall \nu\in M(X))$ は $M(X)$ 上のノルムである。
• $(2)$　任意のRadon測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ と任意の $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ に対し、

$$ \mu_f\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{C} $$ は $M(X)$ に属する。そして $\lVert \mu_f\rVert=\lVert f\rVert_{\mu,1}$ である。

• $(3)$　任意の $\nu\in M(X)$ と任意の $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\lvert\nu\rvert)$ に対し、

$$ \nu_f\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\nu(x)\in \mathbb{C} $$ は $M(X)$ に属する。そして $\lVert \nu_f\rVert=\lVert f\rVert_{\lVert \nu\rVert,1}$ である。

Proof.

• $(1)$　任意の $\nu_1,\nu_2\in M(X)$ に対し $\nu_1+\nu_2$ が複素数値Radon測度であることを示せば十分である。（それ以外は全変動の定義19.1より自明である。）任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\lvert\nu_j\rvert(B)$ の内部正則性より $B$ に含まれるコンパクト集合の列 $(K_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \nu_j\rvert(B\backslash K_{n})=0\quad(j=1,2) $$ なるものが取れる。全変動の定義より、 $$ \lvert \nu_1+\nu_2\rvert(B\backslash K_n)\leq \lvert \nu_1\rvert(B\backslash K_n)+\lvert \nu_2\rvert(B\backslash K_n)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ であるから $\lvert\nu_1+\nu_2\rvert(B)$ は内部正則である。よって注意33.3より $\nu_1+\nu_2$ は複素数値Radon測度である。

• $(2)$　命題19.3より $\lvert\mu_f\rvert=\mu_{\lvert f\rvert}$ であるから $\lVert \mu_f\rVert=\lVert f\rVert_{\mu,1}$ である。後は注意33.3より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ が内部正則であることを示せばよい。$\mu(B)<\infty$ の場合、$\mu(B)$ の内部正則性より $B$ に含まれるコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\mu(B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(K_n)=\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n)$ なるものが取れる。よって $\mu(B\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_n)=\mu(B)-\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_n)=0$ であるから、

$$ \chi_B(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\chi_{K_n}(x)\quad(\mu\text{-a.e.}x\in X) $$ である. よって単調収束定理より $\mu_{\lvert f\rvert}(B)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(K_n)$ であるので、$\mu(B)<\infty$ の場合は $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ は内部正則である。
$\mu(B)=\infty$ の場合を考える。命題32.1より $C_c(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{\mu,1}=0$ なるものが取れる。$A\colon=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\text{supp}(f_n)$ に対し、 $$ \mu_{\lvert f\rvert}(X\backslash A)=\lVert (f-f_n)\chi_{X\backslash A}\rVert_{\mu,1}\leq \lVert f-f_n\rVert_{\mu,1}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ であるから、 $$ K_n\colon=\bigcup_{k=1}^{n}\text{supp}(f_k)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ としてコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、 $$ \mu_{\lvert f\rvert}(B)=\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap A)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap K_n) $$ である。$\mu(B\cap K_n)\leq \mu(K_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから上段の結果より、 $$ \mu_{\lvert f\rvert}(B)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap K_n) \leq\sup\{\mu_{\lvert f\rvert}(K): K\text{ は }B\text{ に含まれるコンパクト集合}\}\leq\mu_{\lvert f\rvert}(B) $$ である。よって $\mu(B)=\infty$ の場合も $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ は内部正則である。

• $(3)$　$\nu$ の $\lvert\nu\rvert$ に関するRadon-Nikodym微分を $h\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\lvert\nu\rvert)$ とすると、$\nu_f=\lvert \nu\rvert_{fh}$ である（定義19.5を参照）から $(2)$ より $\nu_f\in M(X)$ である。

□

34. $C_0(X)^*=M(X)$

定理34.1（Riesz-Markov-角谷の表現定理2）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間とし、任意の $\nu\in M(X)$ に対し $\varphi_{\nu}\in C_0(X)^*$ を、 $$ \varphi_{\nu}\colon C_0(X)\ni f\mapsto \int_{X}f(x)d\nu(x)\in \mathbb{C} $$ として定義する。このとき、 $$ M(X)\ni \nu\mapsto \varphi_{\nu}\in C_0(X)^*\quad\quad(*) $$ はノルムを保存する線形同型写像である。特に $M(X)$ はBanach空間である。

Proof.

$(*)$ が線形写像であることは有界Borel関数がBorel単関数の列で一様近似できること（命題22.2）による。また任意の $\nu\in M(X)$ に対し、 $$ \lvert\varphi_{\nu}(f)\rvert=\left\lvert\int_{X}f(x)d\nu(x)\right\rvert \leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)\leq \lVert f\rVert\lvert \nu\rVert\quad(\forall f\in C_0(X)) $$ であるから $(*)$ はノルム減少な有界線形写像である。$(*)$ が単射であることを示す。$\varphi_{\nu}=0$ とする。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\chi_B\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\lvert\nu\rvert)$ であり、$\lvert\nu\rvert$ はRadon測度であるから命題32.1より $C_c(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert\chi_B(x)-f_n(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=0 $$ なるものが取れる。$\varphi_{\nu}(f_n)=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ より、 $$ \lvert\nu(B)\rvert=\lvert\nu(B)-\varphi_{\nu}(f_n)\rvert=\left\vert\int_{X}(\chi_B(x)-f_n(x))d\nu(x)\right\rvert\leq \int_{X}\lvert\chi_B(x)-f_n(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ であるから $\nu(B)=0$ である。よって $\nu=0$ なので $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射であることとノルムを保存することを示す。任意の $\varphi\in C_0(X)^*$ を取り固定する。これに対し $\Lambda_+\colon C_{c,+}(X)\rightarrow [0,\infty)$ を任意の $f\in C_{c,+}(X)$ に対し、 $$ \Lambda_+f\colon=\sup\{\lvert\varphi(h)\rvert:h\in C_c(X),\text{ }0\leq \lvert h(x)\rvert\leq f(x)\text{ }(\forall x\in X)\} $$ として定義する。このとき明らかに、 $$ \Lambda_+(\alpha f)=\alpha\Lambda_+f\quad(\forall \alpha\in [0,\infty),\forall f\in C_{c,+}(X)),\quad\quad(**) $$ $$ \Lambda_+f+\Lambda_+g\leq\Lambda_+(f+g)\quad(\forall f,g\in C_{c,+}(X))\quad\quad(***) $$ が成り立つ。$(***)$ の逆の不等式が成り立つことを示す。$\lvert h(x)\rvert\leq f_1(x)+f_2(x)$ $(\forall x\in X)$ なる任意の $h\in C_{c}(X)$ を取る。 $$ h_j(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f_j(x)}{f_1(x)+f_2(x)}h(x)&(x\in (f_1+f_2>0))\\0&(x\in (f_1+f_2=0))\end{array}\right. $$ とおけば $h_1,h_2\in C_{c}(X)$ であり(($h_j$ は $(f_1+f_2>0)$ 上で連続である。また $\lvert h_j(x)\rvert\leq \lvert h(x)\rvert$ $(\forall x\in X)$ であるから任意の $x_0\in (f_1+f_2=0)$ と任意の $x\in X$ に対し $\lvert h_j(x)-h_{j}(x_0)\rvert=\lvert h_j(x)\rvert\leq \lvert h(x)\rvert=\lvert h(x)-h(x_0)\rvert$ なので $h_j$ は $(f_1+f_2=0)$ の各点で連続である。))、 $$ h(x)=h_1(x)+h_2(x),\quad\lvert h_j(x)\rvert\leq f_j(x)\quad(\forall x\in X,j=1,2) $$ であるから、 $$ \lvert\varphi(h)\rvert\leq\lvert\varphi(h_1)\rvert+\lvert\varphi(h_2)\rvert\leq\Lambda f_1+\Lambda f_2 $$ である。よって $(***)$ の逆の不等式が成り立つ。 これより、 $$ \Lambda_+(f_1+f_2)=\Lambda_+f_1+\Lambda_+f_2\quad(\forall f_1,f_2\in C_{c,+}(X))\quad\quad(****) $$ である。今、$\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X)\rightarrow\mathbb{R}$ を、 $$ \Lambda f\colon=\Lambda_+(f_+)-\Lambda_+(f_-)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$ として定義する。（$f_{\pm}=\text{max}(\pm f,0)=\pm \frac{1}{2}f+\frac{1}{2}\lvert f\rvert\in C_{c,+}(X)$ に注意。) このとき $(**),(****)$ より $\Lambda$ はRadon汎関数である。よって定理30.4よりRadon測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ で、 $$ \Lambda f=\int_{X}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$ を満たすものが定まる。命題29.4の $(2)$ より、 $$ \mu(X)=\sup\{\Lambda f: f\in C_{c,+}(X),f(x)\leq 1\text{ }(\forall x\in X)\}\leq \lVert\varphi\rVert $$ であるから $\mu$ は有限測度である。そして任意の $f\in C_{c}(X)$ に対し、 $$ \lvert\varphi(f)\rvert\leq\Lambda_+(\lvert f\rvert)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\lVert f\rVert_{\mu,1} $$ であり、$\mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\ni f\mapsto \lVert f\rVert_{\mu,1}\in[0,\infty)$ はセミノルムであるから、Hahn-Banachの拡張定理（位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理11.3）より線形汎関数 $\psi\colon\mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\rightarrow \mathbb{C}$ で、 $$ \psi(f)=\varphi(f)\quad(\forall f\in C_c(X)),\quad\lvert\psi(f)\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,1}\quad(\forall f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)) $$ なるものが存在する。このとき、 $$ L^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\ni [f]\mapsto \psi(f)\in \mathbb{C} $$ は $(L^1(X,\mathcal{B}_X,\mu))^*$ のノルムが $1$ 以下の有界線形汎関数である（$\lvert \psi(f)\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,1}$ よりwell-definedである）から、定理23.4より $g\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ で、 $$ \lVert g\rVert_{\mu,\infty}\leq1,\quad \psi(f)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)) $$ なるものが取れる。$\mu$ は有限測度であるから $g\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ であり、命題33.4の $(2)$ より、 $$ \nu\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C} $$ は $M(X)$ の元で、 $$ \lVert\nu\rVert=\lVert g\rVert_{\mu,1}\leq \lVert g\rVert_{\mu,\infty}\mu(X)\leq\mu(X) $$ である。そして、 $$ \varphi(f)=\psi(f)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)d\nu(x)=\varphi_{\nu}(f)\quad(\forall f\in C_{c}(X)) $$ である。（三番目の等号が成り立つことについては命題19.6を参照。） 命題28.3より $C_c(X)$ は $C_0(X)$ で稠密であるので $\varphi=\varphi_{\nu}$ が成り立ち、 $$ \lVert \nu\rVert\leq\lVert\varphi\rVert=\lVert\varphi_{\nu}\rVert\leq\lVert\nu\rVert $$ である。これで $(*)$ の全射性とノルム保存性が示せた。

□

35. 局所コンパクトHausdorff空間におけるStone-Weierstrassの定理

定義35.1（$\mathcal{A}$ -反対称集合）

$X$ をコンパクトHausdorff空間、$\mathcal{A}\subset C(X)$ とする。$K\subset X$ が$\mathcal{A}$ -反対称集合であるとは $K$ 上で常に実数値であるような $\mathcal{A}$ の任意の元が $K$ 上で定数であることを言う。任意の $x\in X$ に対し $\{x\}$ は $\mathcal{A}$ -反対称集合であり、$x$ を含む $\mathcal{A}$-反対称集合全体を $\{K_j\}_{j\in J}$ とすると $\bigcup_{j\in J}K_j$ は（集合の包含関係による順序に関して）極大な $\mathcal{A}$ -反対称集合である。（このことから任意の $\mathcal{A}$ -反対称集合 $K$ に対し $K$ を含む極大な$\mathcal{A}$ -反対称集合が存在することが分かる。）

定義35.2（Radon測度の台）

$(X,\mathcal{O}_X)$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$をRadon測度とする。 $$ \mathcal{U}\colon=\{U\in \mathcal{O}_X:\mu(U)=0\},\quad U_{\rm m}\colon=\bigcup_{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}_X $$ とおく。このとき $K\subset U_{\rm m}$ なる任意のコンパクト集合 $K$ に対し $K$ は $\mathcal{U}$ の有限個の元で被覆できるから測度の有限劣加法性より $\mu(K)=0$ である。よって内部正則性より $\mu(U_{\rm m})=0$ であるから、$U_{\rm m}$ は $\mathcal{U}$ の（集合の包含関係による順序に関する）最大元である。閉集合 $$ \text{supp}(\mu)\colon=X\backslash U_{\rm m} $$ を $\mu$ の台と言う。

補題35.3（Bishopの定理）

$X$ をコンパクトHausdorff空間とし、$\mathcal{A}\subset C(X)$ を $1\in C(X)$ を含む閉部分多元環とする。そして極大な $\mathcal{A}$ -反対称集合全体を $\mathcal{K}$ とおく。このとき、 $$ \{f\in C(X): \forall K\in \mathcal{K},\text{ }\exists g\in \mathcal{A}\text{ s.t. } f|_K=g|_K\}=\mathcal{A}\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

$(*)$ の左辺の元 $f_0$ で $f_0\notin \mathcal{A}$ であるものが存在すると仮定して矛盾を導く。 $$ \mathcal{A}^{\perp}\colon=\{\varphi\in C(X)^*:\text{ }\varphi(f)=0\text{ }(\forall f\in \mathcal{A})\} $$ とおくと、$\mathcal{A}^{\perp}\subset C(X)^*$ は弱 $*$-位相で閉な部分空間である（弱 $*$-位相で閉であることについてはネットによる閉包の点の特徴付け（ネットによる位相空間論の命題2.4と弱 *-位相による収束の特徴付け（定義（位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相）より分かる）。そしてAlaogluの定理（位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の定理10.3）より、 $$ C(X)^*_1=\{\varphi\in C(X)^*:\lVert\varphi\rVert\leq 1\} $$ は弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合であるから、 $$ \mathcal{A}^{\perp}_1\colon=\mathcal{A}^{\perp}\cap C(X)^*_1 $$ も弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合である。よってKrein-Milmanの端点定理（位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理14.3）より、 $$ \mathcal{A}^{\perp}_1=\overline{\text{conv}(\text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1))}^{\text{弱 $*$-位相}}\quad\quad(**) $$ が成り立つ。$f_0\notin \mathcal{A}$ より $f_0$ を代表元とする商Banach空間 $C(X)/\mathcal{A}$ の元 $[f_0]$ は $0$ ではない。よってHahn-Banachの拡張定理（位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理11.5）よりノルムが $1$ 以下の $\Phi\in (C(X)/\mathcal{A})^*$ で $\Phi([f_0])\neq0$ なるものが取れる。そこで $\varphi\in C(X)^*$ を $\varphi(f)=\Phi([f])$ $(\forall f\in C(X))$ として定義すれば $\varphi\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ で $\varphi(f_0)\neq0$ である。よって $(**)$ より $\varphi_0\in \text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1)$ で $\varphi_0(f_0)\neq0$ なるものが取れる。この $\varphi_0$ を固定する。$\varphi_0$ は $\mathcal{A}^{\perp}_1$ の端点であるから $\lVert \varphi_0\rVert=1$ である。実際、もし $0<\lVert\varphi_0\rVert<1$ ならば $\frac{1}{\lVert\varphi_0\rVert}\varphi_0, 0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ であり、$\varphi_0=\lVert\varphi_0\rVert \frac{1}{\lVert\varphi_0\rVert}\varphi_0+(1-\lVert\varphi_0\rVert)0$ であるから、$\varphi_0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ が端点であることより $\varphi_0=0$ となり矛盾する。今、Riesz-Markov-角谷の表現定理2（定理34.1）により $\varphi_0$ に対応する $\nu\in M(X)$ を取り、全変動 $\lvert\nu\rvert$ の台（定義35.2）を $K$ とおく。 $$ 1=\lVert\varphi_0\rVert=\lVert \nu\rVert=\lvert\nu\rvert(X)=\lvert \nu\rvert(K) $$ である。$K$ が $\mathcal{A}$ -反対称集合であることを示す。$K$ 上で常に実数値を取る $f\in \mathcal{A}$ を取り $f$ が $K$ 上で定数であることを示す。$K$ はコンパクトであり $1\in \mathcal{A}$ であるから、 $$ 0<f(x)<1\quad(\forall x\in K) $$ であると仮定して示せば十分である。命題33.4の $(3)$ より $\nu_f,\nu_{1-f}\in M(X)$ であり、 $$ \begin{aligned} &\lVert \nu_f\rVert=\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=\int_{K}f(x)d\lvert\nu\rvert(x)>0,\\ &\lVert \nu_{1-f}\rVert=\int_{X}\lvert 1-f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=\int_{K}(1-f(x))d\lvert \nu\rvert(x)>0,\\ &\lVert \nu_f\rVert+\lVert \nu_{1-f}\rVert=\int_{K}(f(x)+1-f(x))d\lvert\nu\rvert(x)=\lvert\nu\rvert(K)=1 \end{aligned} $$ である。そこで $t\colon=\lVert \nu_f\rVert\in (0,1)$ とおき、 $$ \nu_1:=\frac{1}{t}\nu_f,\quad \nu_2:=\frac{1}{1-t}\nu_{1-f}\in M(X) $$ とおく。Riesz-Markov-角谷の表現定理2（定理34.1）により $\nu_1,\nu_2\in M(X)$ に対応するノルムが $1$ の $C(X)^*$ の元を $\varphi_1,\varphi_2$ とする。任意の $g\in \mathcal{A}$ に対し $fg, (1-f)g\in \mathcal{A}$ であることと命題19.6より、 $$ \begin{aligned} &\varphi_1(g)=\frac{1}{t}\int_{X}g(x)d\nu_f(x)=\frac{1}{t}\int_{X}f(x)g(x)d\nu(x)=\frac{1}{t}\varphi_0(fg)=0,\\ &\varphi_2(g)=\frac{1}{1-t}\int_{X}g(x)d\nu_{1-f}(x)=\frac{1}{1-t}\int_{X}(1-f(x))g(x)d\nu(x)=\frac{1}{1-t}\varphi_0((1-f)g)=0 \end{aligned} $$ であるから $\varphi_1,\varphi_2\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ である。そして $t\nu_1+(1-t)\nu_2=\nu$ より、 $$ t\varphi_1+(1-t)\varphi_2=\varphi_0 $$ であるから $\varphi_0\in \text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1)$ より $\varphi_0=\varphi_1$、したがって $\nu=\frac{1}{t} \nu_f$ である。よって $\nu_{t-f}=0$ より、 $$ 0=\lVert \nu_{t-f}\rVert=\int_{X}\lvert t-f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x) $$ であるから、 $$ \lvert\nu\rvert( (\lvert t-f\rvert>0) )=0 $$ が成り立つ。$(\lvert t-f\rvert>0)$ は開集合であり $K$ は $\lvert\nu\rvert$ の台であるので、 $$ K\subset (\lvert t-f\rvert=0) $$ を得る。ゆえに $K$ 上で $f=t$ であるから、$K$ は $\mathcal{A}$ -反対称集合である。$K$ を含む $\mathcal{K}$ の元が取れる（定義35.1を参照）ので、$f_0$ が $(*)$ の左辺に属することから $f_0|_K=g|_K$ なる $g\in \mathcal{A}$ が取れる。よって、 $$ \varphi_0(f_0)=\int_{X}f_0(x)d\nu(x)=\int_{K}f_0(x)d\nu(x)=\int_{K}g(x)d\nu(x)=\int_{X}g(x)d\nu(x)=\varphi_0(g) $$ となる。しかし $\varphi_0(f_0)\neq0$ であり、$\varphi_0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$、$g\in \mathcal{A}$ より $\varphi_0(g)=0$ であるから矛盾する。

□

定理35.4（コンパクトHausdorff空間におけるStone-Weierstrassの定理）

$X$ をコンパクトHausdorff空間、$\mathcal{A}\subset C(X)$ を $1\in C(X)$ を含む部分 $*$-環とする。そして $\mathcal{A}$ は $X$ を分離する、すなわち $x\neq y$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $f(x)\neq f(y)$ なる $f\in \mathcal{A}$ が存在すると仮定する。このとき $\mathcal{A}$ は $C(X)$ において稠密である。

Proof.

$\overline{\mathcal{A}}$ は $1\in C(X)$ を含む閉部分 $*$-環である。任意の $\overline{A}$-反対称集合 $K$ は一点集合であることを示す。任意の $x,y\in K$ を取る。$\overline{A}$ は共役で閉じているから、任意の $f\in \overline{\mathcal{A}}$ に対し、 $$ \text{Re}(f)=\frac{1}{2}(f+\overline{f}),\quad \text{Im}(f)=\frac{1}{2i}(f-\overline{f})\in\overline{\mathcal{A}} $$ であり、$\text{Re}(f), \text{Im}(f)$ は実数値なので $K$ 上で定数である。よって$f(x)=f(y)$ である。これより任意の $f\in \overline{\mathcal{A}}$ に対し $f(x)=f(y)$ なので仮定より $x=y$ である。よって $\overline{\mathcal{A}}$ -反対称集合は一点集合のみである。任意の $f\in C(X)$ と任意の $x\in X$ に対し、$f$ と $f(x)1\in \overline{\mathcal{A}}$ は $\{x\}$ 上で一致する。よってBishopの定理より $f\in \overline{\mathcal{A}}$ である。よって$\mathcal{A}$ は $C(X)$ において稠密である。

□

定理35.5（局所コンパクトHausdorff空間におけるStone-Weierstrassの定理）

$X$ を局所コンパクトHausdorff空間、$\mathcal{A}\subset C_0(X)$ を部分 *-環とし、次が成り立つと仮定する。

• $(1)$　任意の $x\in X$ に対し $f(x)\neq0$ なる $f\in \mathcal{A}$ が存在する。
• $(2)$　$\mathcal{A}$ は $X$ を分離する、すなわち $x\neq y$ なる任意の $x,y\in X$ に対し $f(x)\neq f(y)$ なる $f\in \mathcal{A}$ が存在する。

このとき $\mathcal{A}$ は $C_0(X)$ において稠密である。

証明

$\widetilde{X}=X\cup \{\infty\}$ を $X$ の一点コンパクト化とし、$f\in C_0(X)$ の $\widetilde{X}$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$（命題28.5を参照）とする。 $$ \widetilde{\mathcal{A}}\oplus\mathbb{C}1:=\{\widetilde{f}+\alpha:f\in \mathcal{A}, \alpha\in \mathbb{C}\}\subset C(\widetilde{X}) $$ は $1\in C(\widetilde{X})$ を含む $C(\widetilde{X})$ の部分 $*$-環であり、定理35.4の仮定を満たす。よって $\widetilde{\mathcal{A}}\oplus\mathbb{C}1$ は $C(\widetilde{X})$ において稠密である。ゆえに任意の $f\in C_0(X)$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $g\in \mathcal{A}$ と $\alpha\in \mathbb{C}$ で、 $$ \lVert \widetilde{f}-(\widetilde{g}+\alpha)\rVert\leq\epsilon $$ を満たすものが取れる。$\lvert \alpha\rvert=\lvert \widetilde{f}(\infty)-(\widetilde{g}(\infty)+\alpha)\rvert\leq\epsilon$ であり、 $$ \lvert f(x)-g(x)\rvert-\lvert\alpha\rvert\leq\lvert \widetilde{f}(x)-(\widetilde{g}(x)+\alpha)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall x\in X) $$ であるから $\lVert f-g\rVert\leq2\epsilon$ である。これより $f\in \overline{\mathcal{A}}$ であるので $\mathcal{A}$ は $C_0(X)$ において稠密である。

□

系35.6（第二可算局所コンパクトHausdorff空間 $X$ に対し $C_0(X)$ は可分）

$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間とする。このとき $C_0(X)$ は可分である。

Proof.

命題27.4より $X$ の位相の可算基底として閉包がコンパクトな開集合からなるもの $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。任意の $(n,m)\in \mathbb{N}^2$ に対し、Urysohnの補題（定理27.6）により、 $$ \overline{U_n}\cap \overline{U_m}=\emptyset\quad\Rightarrow\quad \overline{U_n}\prec f_{n,m}\prec X\backslash \overline{U_m}, $$ $$ \overline{U_n}\cap \overline{U_m}\neq\emptyset\quad\Rightarrow \quad \overline{U_n}\prec f_{n,m} $$ なる $f_{n,m}\in C_{c,+}(X)$ を取る。可算集合 $$ \mathcal{A}_{00}\colon=\{f_{n,m}:(n,m)\in \mathbb{N}^2\},\quad \mathcal{A}_{0}\colon=\{g_1\ldots g_n:n\in \mathbb{N}, g_1,\ldots,g_n\in \mathcal{A}_{00}\} $$ に対し $\mathcal{A}_{0}$ の線形包 $\mathcal{A}=\text{span}(\mathcal{A}_0)$ は $C_0(X)$ の部分 *-環であり、Stone-Weierstrassの定理（定理35.5）の条件 $(1),(2)$ を満たす。 よって $\mathcal{A}$ は $C_0(X)$ において稠密である。$\mathcal{A}_0=\{h_n\}_{n\in \mathbb{N}}$とおく。 $\mathcal{A}$ において可算集合 $$ \bigcup_{N\in\mathbb{N}}\left\{\sum_{n=1}^{N}r_nh_n: r_1,\ldots,r_N\in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\right\} $$ は稠密であるので、$C_0(X)$ は可分である。

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系35.7（第二可算局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度に関する $L^p$ 空間（$p\in[1,\infty)$）は可分）

$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をコンパクト集合に対して有限なBorel測度（したがって定理31.5よりRadon測度）とする。このとき任意の $p\in[1,\infty)$ に対し $L^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ は可分である。

Proof.

閉包がコンパクトな開集合の単調増加列 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}U_n$ なるものを取る。各 $n\in \mathbb{N}$ について系35.6より $C(\overline{U_n})$ の稠密な可算部分集合 $\{h_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}$ が取れる。任意の $[f]\in L^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し命題32.1 より $g\in C_c(X)$ で $\lVert f-g\rVert_p<\frac{\epsilon}{2}$ なるものが取れる。$\text{supp}(g)\subset U_n$ なる $n\in \mathbb{N}$ を取り、$\lVert g-\widetilde{h_{n,m}}\rVert<\frac{\epsilon}{2\mu(U_n)^{\frac{1}{p}}}$ なる $m\in\mathbb{N}$ を取る。ただし $\widetilde{h_{n,m}}$ は $h_{n,m}\in C(\overline{U_n})$ の $X$ 上への $0$ 拡張である。このとき、 $$ \lVert g-\widetilde{h_{n,m}}\rVert_{\mu,p}=\left(\int_{X}\lvert g(x)-\widetilde{h_{n,m}}(x)\rvert^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\leq\lVert g-h\rVert\mu(U_n)^{\frac{1[p}}}\leq \frac{\epsilon}{2} $$ であるから $\lVert f-\widetilde{h_{n,m}}\rVert_{\mu,p}\leq \lVert f-g\rVert+\lVert g-\widetilde{h_{n,m}}\rVert\leq \epsilon$ である。これより $L^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ において可算集合 $\{\widetilde{h_{n,m}}\}_{n,m\in\mathbb{N}}$ は稠密であるので $L^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ は可分である。

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次に読む

• 測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質

関連項目

• 局所コンパクト群のユニタリ表現
• ベクトル解析
• 関数解析の基礎