位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相

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この章では、セミノルム位相と汎弱位相について述べる。ネットによる収束の議論を用いるので、ネットによる位相空間論を参照されたい。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。

入門テキスト「位相線形空間」

8. セミノルム位相

定義8.1（位相線形空間）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ がHausdorff空間でもあり、加法とスカラー倍

  • $X\times X\ni (x,y)\mapsto x+y\in X$,
  • $\mathbb{F}\times X\ni (\alpha,x)\mapsto \alpha x\in X$

が共に直積位相に関して連続であるとき、$X$ を位相線形空間と言う。

ノルム空間は位相線形空間である。

定義8.2（セミノルム）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。 $p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ が $X$ 上のセミノルムであるとは、

  • $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
  • $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $p(\alpha x)=\lvert\alpha\rvert p(x)$.

が成り立つことを言う。

定義8.3（セミノルムの分離族（separating family of seminorms））

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上のセミノルムの集合 $\mathcal{P}$ が $X$ を分離するとは、 $$ \{x\in X:\forall p\in \mathcal{P}, p(x)=0\}=\{0\} $$ が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上のセミノルムの集合を $X$ 上のセミノルムの分離族と呼ぶこととする。

定義8.4（セミノルムの分離族が誘導するセミノルム位相、セミノルム空間）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対し、 $$ p_a:X\ni x\mapsto p(x-a)\in [0,\infty) $$ と定義する。このとき $(p_a\colon X\rightarrow[0,\infty))_{(p,a)\in \mathcal{P}\times X}$ が $X$ 上に誘導する始位相を $\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相と言う。（始位相に関してはネットによる位相空間論を参照。）次の命題8.6より $X$ はセミノルム位相により位相線形空間である。セミノルム位相による位相線形空間をセミノルム空間と言う。

定義8.5（絶対凸（absolutely convex））

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。凸集合 $C\subset X$ が絶対凸であるとは、任意の $x\in C$ と $\lvert\alpha\rvert\leq 1$ を満たす任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $\alpha x\in C$ が成り立つことを言う。

命題8.6（セミノルム位相の基本性質）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。$\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相について次が成り立つ。

  • $(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、

$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}). $$

  • $(2)$　$X$ は位相線形空間である。
  • $(3)$　任意の有限個の $p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、

$$ V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}p_k^{-1}([0,\epsilon))\quad\quad(*) $$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、 $$ \{V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P},\epsilon\in (0,\infty)\}\quad\quad(**) $$ は $0\in X$ の基本近傍系である。

Proof.

$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X) $$ である。そして任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対しセミノルムの定義より、 $$ \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\leq p(x_{\lambda}-x),\quad p_x(x_{\lambda})-p_x(x)=p(x_{\lambda}-x)\quad(\forall \lambda\in\Lambda) $$ であるから、 $$ \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}) $$ である。よって成り立つ。

  • $(2)$　加法とスカラー倍の連続性は、$(1)$ と、連続性のネットによる特徴付け（ネットによる位相空間論の定理3）により分かる。$\mathcal{P}$ はセミノルムの分離族であるから、$x\neq y$ なる $x,y\in X$ に対し、$p_a(x)\neq p_a(y)$ なる $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ が取れる。$p_a(x),p_a(y)$ を分離する $[0,\infty)$ の開集合 $U,V$ を取れば、$p_a^{-1}(U), p_a^{-1}(V)$ は $x,y$ を分離する $X$ の開集合である。よって $X$ はHausdorff空間である。
  • $(3)$　$(1)$ より任意の $p\in\mathcal{P}$ に対し $p:X\rightarrow[0,\infty)$ は連続なので、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $p^{-1}([0,\epsilon))$ は $0\in X$ の開近傍である。またこれは明らかに絶対凸である。よって $(*)$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍である。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し始位相の定義より有限個の $(p_1,a_1),\ldots,(p_n,a_n)\in \mathcal{P}\times X$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が取れて、

$$ \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V $$ となる。ここで、 $$ \lvert p_{k,a_k}(x)-p_{k,a_k}(0)\rvert\leq p_k(x)\quad(\forall x\in X,k=1,\ldots,n) $$ であるから、 $$ p_k^{-1}([0,\epsilon))\subset p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\quad(k=1,\ldots,n) $$ である。よって、 $$ V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon)\subset \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V $$ であるから $(**)$ は $0\in X$ の基本近傍系である。

□

例8.7（ノルム空間はセミノルム空間）

$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $(X,\lVert \cdot\rVert)$ は、$1$ つのセミノルムからなるセミノルムの分離族 $\{\lVert \cdot\rVert\}$ から誘導されるセミノルム位相によるセミノルム空間である。

9. 汎弱位相

定義9.1（線形汎関数の分離族）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上の線形汎関数からなる集合 $\mathcal{F}$ が $X$ を分離するとは、 $$ \{x\in X: \forall \varphi\in \mathcal{F},\varphi(x)=0\}=\{0\} $$ が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上の線形汎関数からなる集合を $X$ 上の線形汎関数の分離族と呼ぶこととする。

定義9.2（線形汎関数の分離族が誘導する汎弱位相）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。任意の $\varphi\in \mathcal{F}$ に対しセミノルム $\lvert\varphi(\cdot)\rvert\colon X\ni x\mapsto \lvert\varphi(x)\rvert\in [0,\infty)$ を定義する。このとき、 $$ \mathcal{P}:=\{\lvert\varphi(\cdot)\rvert:\varphi\in \mathcal{F}\} $$ は $X$ 上のセミノルムの分離族である。$\mathcal{P}$ が誘導する $X$ 上のセミノルム位相を $\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相と言う。（次の命題9.3の $(1)$ で見るように $\mathcal{F}$ から誘導される $X$ の汎弱位相は、$\mathcal{F}$ から誘導される始位相（ネットによる位相空間論の7を参照）と同じである。）

命題9.3（汎弱位相の基本性質）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。$\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相について次が成り立つ。

  • $(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、

$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow \quad\varphi(x_{\lambda})\rightarrow\varphi(x)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{F}). $$

  • $(2)$　$X$ は位相線形空間である。
  • $(3)$　任意の有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、

$$ V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\} $$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、 $$ \{V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F},\epsilon\in (0,\infty)\} $$ は $0\in X$ の基本近傍系である。

Proof.

命題8.6による。

□

補題9.4

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ を $X$ 上の線形汎関数とし、 $$ \bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)\quad\quad(*) $$ が成り立つとする。このとき $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。

Proof.

$$ \Phi\colon X\ni x\mapsto (\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\in \mathbb{F}^n $$ なる線形作用素を考えると、$(*)$ より線形汎関数 $$ \Phi(X)\ni \Phi(x)\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}\quad\quad(**) $$ が定義できる。[1]そこで、 $$ \mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M $$ なる部分空間 $M\subset \mathbb{F}^n$ を取り、$(**)$ を $\mathbb{F}^n$ 上の線形汎関数 $$ \psi:\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M\ni \Phi(x)+m\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F} $$ に拡張する。$\mathbb{F}^n$ の標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ に対し、 $$ \varphi(x)=\psi(\Phi(x))=\psi\left(\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(x)e_k\right) =\sum_{k=1}^{n}\psi(e_k)\varphi_k(x)\quad(\forall x\in X) $$ であるから $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合である。

□

命題9.5（汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。このとき $\mathcal{F}$ が誘導する汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $\text{span}(\mathcal{F})$ である。ただし $\text{span}(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の元の線形結合全体である。

Proof.

$\text{span}(\mathcal{F})$ の元が汎弱位相に関して連続であることは命題9.3の $(1)$ による。（ネットによる位相空間論のネットによる連続性の特徴付けを参照。）$\varphi$ を汎弱位相に関して連続な線形汎関数とする。 このとき $\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}$ は $0\in X$ の開近傍であるから、命題9.3の $(3)$ より有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ で、 $$ \bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\} $$ なるものが取れる。任意の $x\in X$ と任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し、 $$ \frac{\epsilon x}{\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta}\in \bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\} $$ であるから、 $$ \lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}(\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta) $$ である。よって $\delta\in (0,\infty)$ の任意性より、 $$ \lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\quad(\forall x\in X) $$ が成り立つ。これより、 $$ \bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi) $$ であるから補題9.4より $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。 よって $\varphi\in \text{span}(\mathcal{F})$ である。

□

10. ノルム空間の双対空間の弱 $*$-位相、Alaogluの定理

定義10.1（弱 $*$-位相）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。任意の $x\in X$ に対し $X^*$ 上の線形汎関数 $$ \iota(x)\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F} $$ を定義する。このとき $\iota(X)=\{\iota(x):x\in X\}$ は $X^*$ を分離する。$\iota(X)$ が誘導する$X^*$ 上の汎弱位相を弱 $*$-位相と言う。

注意10.2（弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け）

命題9.3より $X^*$ のネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\varphi\in X^*$ に対し、 $$ \text{弱 $*$-位相に関して }\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi\quad\Leftrightarrow\quad\text{任意の }x\in X\text{ に対して }\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x) $$ である。また命題9.5より弱 $*$-位相に関して連続な $X^*$ 上の線形汎関数全体は $\iota(X)$ に一致する。

定理10.3（Alaogluの定理）

$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X$ の双対空間 $X^*$ の単位ノルム閉球 $(X^*)_1:=\{\varphi\in X^*:\lVert \varphi\rVert\leq 1\}$ は弱 $*$-位相でコンパクトである。

Proof.

ネットによる位相空間論のコンパクト性の特徴付けより $(X^*)_1$ の任意の普遍ネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱 $*$-位相で収束することを示せばよい。任意の $x\in X$ に対し $(\varphi_{\lambda}(x))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{F}$ のコンパクト集合 $\{t\in \mathbb{F}:\lvert t\rvert\leq \lVert x\rVert\}$ の普遍ネットであるから収束する。よって $\varphi\colon X\rightarrow \mathbb{F}$ で、 $$ \varphi(x)=\lim_{\lambda\in\Lambda}\varphi_{\lambda}(x)\quad(\forall x\in X) $$ なるものが定まる。 このとき $\varphi\in (X^*)_1$ であり、 弱 $*$-位相で $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$ である。

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関連項目

  1. ↑ $g\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \Phi(x)\in \Phi(X)$ は線形同型写像であり、$(*)$ より ${\rm Ker}(\Phi)=\bigcap_{k=1}^{n}{\rm Ker}(\varphi_j)\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから、$h\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}$ はwell-definedである。$(**)$ は $h\circ g^{-1}\colon \Phi(X)\rightarrow \mathbb{F}$ である。
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