測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性
この章では、$L^p$ 空間の完備性と双対性について述べる。$L^p$ 空間は解析学における様々な関数空間の土台となる最も基本的な関数空間の一つである。初等的な解析学において実数の完備性が極めて重要であるのと同様に、$L^p$空間が完備である（Banach空間やHilbert空間である）ことは、関数空間上での無限次元解析学を実現する上で極めて重要である。
- 測度と積分1：測度論の基礎用語
- 測度と積分2：測度空間上の積分
- 測度と積分3：測度論の基本定理(1)
- 測度と積分4：測度論の基本定理(2)
- 測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性
- 測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間
- 測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度
- 測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質
- 測度と積分9：Bochner積分
20. Hölderの不等式、Minkowskiの不等式
定義20.1（共役指数）
$p,q\in [1,\infty]$ が互いに共役な指数であるとは、 $$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $$ が成り立つことを言う。ただし $\{p,q\}=\{1,\infty\}$ の場合も含む。
補題20.2
任意の $t\in [0,1]$ と $x,y\in (0,\infty)$ に対し、 $$ x^{1-t}y^t\leq (1-t)x+ty $$ が成り立つ。
Proof.
対数関数は上に凸であるから、 $$ (1-t)\log(x)+t\log(y)\leq \log((1-t)x+ty) $$ である。よって指数関数の単調性より、 $$ x^{1-t}y^t=\exp\left((1-t)\log(x)+t\log(y)\right)\leq (1-t)x+ty. $$
□定理20.3（Hölderの不等式）
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$p,q\in (1,\infty)$ を互いに共役な指数、$f,g\colon X\rightarrow [0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、 $$ \int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\leq \left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{X}g(x)^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\quad\quad(*) $$ が成り立つ。（ただし $\infty^p=\infty$、$0^p=0$ とする。）
Proof.
$\int_{X}f(x)^pd\mu(x)=0$ ならば命題9.4より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=0$ であるから $(*)$ の両辺共に $0$ である。$\int_{X}g(x)^qd\mu(x)=0$ の場合も同様である。よって、 $$ \int_{X}f(x)^pd\mu(x),\quad \int_{X}g(x)^qd\mu(x)\in (0,\infty) $$ と仮定して示せば十分である。非負値可測関数 $F,G\colon X\rightarrow[0,\infty]$ を、 $$ F(x)\colon=\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{p}}f(x),\quad G(x)\colon=\left(\int_{X}g(x)^qd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{q}}g(x)\quad(\forall x\in X) $$ として定義すると、 $$ \int_{X}F(x)^pd\mu(x)=1,\quad \int_{X}G(x)^qd\mu(x)=1 $$ であり、補題20.2より、 $$ F(x)G(x)=(F(x)^p)^{\frac{1}{p}}(G(x)^q)^{\frac{1}{q}}\leq \frac{1}{p}F(x)^p+\frac{1}{q}G(x)^q\quad(\forall x\in X) $$ であるから、両辺を積分すれば、 $$ \int_{X}F(x)G(x)d\mu(x)\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $$ となる。この両辺に $(\int_{X}f(x)^pd\mu(x))^{\frac{1}{p}}(\int_{X}g(x)^qd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$を掛ければ $(*)$ を得る。
□定理20.4（Minkowskiの不等式）
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$p\in (1,\infty)$、$f,g\colon X\rightarrow[0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、 $$ \left(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{X}g(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\quad\quad(*) $$ が成り立つ。
Proof.
$$ \int_{X}f(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad\int_{X}g(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad 0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\quad\quad(**) $$ と仮定して示せば十分である。$(0,\infty)\ni x\mapsto x^p\in (0,\infty)$は、 $2$ 階の導関数が $p(p-1)x^{p-2}\geq0$ $(\forall x\in (0,\infty))$ であるから、下に凸である。よって、 $$ \frac{1}{2^p}(f(x)+g(x))^p\leq \frac{1}{2}f(x)^p+\frac{1}{2}g(x)^p\quad(\forall x\in X) $$ である。この両辺を積分すれば $(**)$ より、 $$ 0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)<\infty $$ を得る。 $$ (f(x)+g(x))^p=f(x)(f(x)+g(x))^{p-1}+g(x)(f(x)+g(x))^{p-1}\quad(\forall x\in X) $$ の両辺を積分し、$p$ の共役指数 $q$ に対し $(p-1)q=p$ であることに注意してHölderの不等式を用いると、 $$ \int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x) \leq \left(\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{X}g(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}} $$ を得る。この両辺を 正実数 $(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$ で割れば $(*)$ を得る。
□21. $L^p$空間の定義、$L^p$空間の完備性
定義21.1（a.e.で等しい可測関数を同一視したもの全体）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。$(X,\mathfrak{M})$ 上の複素数値可測関数全体 ${\cal L}(X,\mathfrak{M})$ における二項関係 $\sim$ を次のように定義する。 $$ f\sim g\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=g(x)\quad(\mu\text{-a.e. }x\in X) . $$ このとき $\sim$ は同値関係である。そこでこの同値関係による商集合を、 $$ L(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})/\sim $$ と表し、商写像を、 $$ \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto [f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu) $$ と表す。$\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ は各点ごとの和、複素数倍、積、複素共役で閉じている。これに対し任意の $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、 $$ [f]+[g]\colon=[f+g],\quad \alpha[f]\colon=[\alpha f],\quad [f][g]\colon=[fg],\quad \overline{[f]}\colon=[\overline{f}] $$ として $L(X,\mathfrak{M},\mu)$ における和、複素数倍、積、複素共役を定義する。これはwell-definedである。特に和と複素数倍で $L(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなす。
定義21.2（$L^p$空間 ($p\in[1,\infty)$)
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p\in [1,\infty)$ とする。任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、 $$ \lVert f\rVert_{\mu,p}:=\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\in [0,\infty] $$ とおく。これを $f$ の $\mu$ に関する $L^p$ノルムと言う。 $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ が $[f]=[g]$（つまり $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=g(x)$） ならば、$\lVert f\rVert_{\mu,p}=\lVert g\rVert_{\mu,p}$ であるから、任意の $[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f]$ の $L^p$ ノルムを、 $$ \lVert [f]\rVert_{\mu,p}\colon=\lVert f\rVert_{\mu,p} $$ と定義する。そして、 $$ \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):\lVert f\rVert_{\mu,p}<\infty\}, $$ $$ L^p(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu):\lVert [f]\rVert_{\mu,p}<\infty\} $$ とおく。Minkowskiの不等式より $\mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ と $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間であり、$\mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ ノルムはセミノルム、$L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ ノルムはノルムである。$L^p$ ノルムによる $\mathbb{C}$ 上のノルム空間 $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^p$ 空間と言う。次の定理21.4で見るように $L^p$ 空間はBanach空間である。
定義21.3（$L^\infty$ 空間）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、 $$ \lVert f\rVert_{\mu,\infty}:=\inf\{\alpha\in[0,\infty):\mu( (\alpha<\lvert f\rvert) )=0\}\quad\quad(*) $$ とおく。（ただし右辺の集合が空集合ならば右辺は $\infty$ とする。）これを $f$ の $\mu$ に関する $L^\infty$ノルムと言う。 $[f],[g]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ が $[f]=[g]$（つまり $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=g(x)$） ならば、$\lVert f\rVert_{\mu,\infty}=\lVert g\rVert_{\mu,p}$ であるから、任意の $[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f]$ の $L^\infty$ ノルムを、 $$ \lVert [f]\rVert_{\mu,\infty}\colon=\lVert f\rVert_{\mu,\infty} $$ と定義する。そして、 $$ \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\colon=\{f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}):\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\infty\}, $$ $$ L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu):=\{[f]\in L(X,\mathfrak{M},\mu):\lVert [f]\rVert_{\mu,\infty}<\infty\} $$ とおく。 任意の $f\in \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ に対し、 $$ \left(\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f\rvert\right)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\left(\lVert f\rVert_{\mu,\infty}+\frac{1}{n}<\lvert f\rvert\right) $$ であり、$(*)$ より $\mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}+\frac{1}{n}<\lvert f\rvert) )=0$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから測度の $\sigma$-劣加法性より、 $$ \mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f\rvert) )=0\quad\quad(**) $$ である。これより $\mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ と $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上の線形空間であり、$\mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ ノルムはセミノルム、$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ ノルムはノルムである。$L^\infty$ ノルムによる $\mathbb{C}$ 上のノルム空間 $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の $L^\infty$ 空間と言う。次の定理21.4で見るように $L^\infty$ 空間はBanach空間である。
定理21.4（$L^p$ 空間（$p\in[1,\infty]$）はBanach空間）
任意の測度空間 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $p\in [1,\infty]$ に対し、$L^p$ 空間 $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach空間である。
Proof.
$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ を $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ のCauchy列とし、これが収束することを示す。
- $(1)$ $p\in[1,\infty)$ の場合。$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので部分列 $([f_{k(n)}])_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ \lVert f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\rVert_{\mu,p}<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ なるものが取れる。これに対し、 $$ g_N(x)\colon=\sum_{n=1}^{N}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall N\in \mathbb{N}) $$ とおくと、Minkowskiの不等式より、 $$ \lVert g_N\rVert_{\mu,p}\leq\sum_{n=1}^{N}\lVert f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\rVert_{\mu,p}\leq1\quad(\forall N\in \mathbb{N}) $$ である。よって、 $$ g(x)\colon=\sup_{N\in \mathbb{N}}g_N(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X) $$ とおくと、単調収束定理より、 $$ \int_{X}g(x)^pd\mu(x)=\sup_{N\in \mathbb{N}}\int_{X}g_N(x)^pd\mu(x) =\sup_{N\in\mathbb{N}}\lVert g_N\rVert_{\mu,p}^p\leq 1<\infty $$ であるから、命題9.4より、$\mu$-零集合 $N$ が存在し、 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert<\infty\quad(\forall x\in X\backslash N) $$ が成り立つ。これより任意の $x\in X\backslash N$ に対し、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)=f_{k(1)}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}(f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x))\in\mathbb{C} $$ が存在する。そこで、 $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$ として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。今、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、 $$ \lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$ なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ に対し、 $$ \lvert f(x)-f_m(x)\rvert^p=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^p\quad(\forall x\in X\backslash N) $$ であるから、$N$ が $\mu$-零集合であることとFatouの補題より、 $$ \begin{aligned} \lVert f-f_m\rVert_{\mu,p}^p&\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\\ &\leq \sup_{n\geq n_0}\int_{X}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x) =\sup_{n\geq n_0}\lVert f_{k(n)}-f_m\rVert_{\mu,p}^p\leq\epsilon^p \end{aligned} $$ である。よって $f=(f-f_m)+f_m\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、 $$ \lVert f-f_m\rVert_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$ であるから、$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。
- $(2)$ $p=\infty$ の場合。
$$ N:=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}(\lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,\infty}<\lvert f_n-f_m\rvert) $$ は $\mu$-零集合の可算合併なので $\mu$-零集合である。 $$ \lvert f_n(x)-f_m(x)\rvert\leq \lVert f_n-f_m\rVert_{\mu,\infty}\quad(\forall x\in X\backslash N,\forall n,m\in\mathbb{N}) $$ より $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で一様Cauchy条件を満たすので一様収束する。((距離空間の位相の基本的性質を参照。))そこで、 $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$ として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、 $$ X\backslash N\subset (\lvert f-f_n\rvert\leq \epsilon)\quad(\forall n\geq n_0) $$ が成り立つ。よって、 $$ \mu( (\epsilon< \lvert f-f_n\rvert) )\leq \mu(N)=0\quad(\forall n\geq n_0) $$ であるから、$f=(f-f_n)+f_n\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、 $$ \lVert f-f_n\rVert_{\mu,\infty}\leq\epsilon\quad(\forall n\geq n_0) $$ である。よって $([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。
□22. $L^p$関数の可測単関数列による近似
命題22.1（$L^p$関数の可測単関数近似）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。任意の $p\in [1,\infty]$、任意の $f\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ \lvert s_n(x)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}),\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0 $$ を満たすものが取れる。
Proof.
$f$ を実部と虚部 $f_1,f_2:X\rightarrow\mathbb{R}$ に分け、さらにそれらを非負部分と非正部分 $f_{j,\pm}:X\rightarrow[0,\infty)$ に分ける。定理5.5より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ f_{j,\pm}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_{j,\pm,n}(x)\quad(\forall x\in X) $$ を満たすものが取れる。 $$ s_n\colon=(s_{1,+,n}-s_{1,-,n})+i(s_{2,+,n}-s_{2,-,n})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ として可測単関数列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)$ $(\forall x\in X)$ であり、$s_{j,\pm,n}(x)\leq f_{j,\pm}(x)$ より、 $$ \lvert s_{j,+,n}(x)-s_{j,-,n}(x)\rvert\leq \lvert f_{j,+}(x)-f_{j,-}(x)\rvert=\lvert f_j(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}) $$ であるから、 $$ \lvert s_n(x)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}) $$ である。よって $p\in[1,\infty)$ の場合、Lebesgue優収束定理より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0$ が成り立つ。$p=\infty$ の場合、$(\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f_{j,\pm}$ は有界であるから、定理5.5の証明より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、$(\lvert f\rvert\leq\lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するものが取れる。このとき $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $(\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、 $$ (\lvert f\rvert\leq \lVert f\rVert_{\mu,\infty})\subset (\lvert f-s_n\rvert\leq\epsilon)\quad(\forall n\geq n_0) $$ が成り立つ。よって、 $$ \mu( (\epsilon<\lvert f-s_n\rvert) )\leq \mu( (\lVert f\rVert_{\mu,\infty}\leq \lvert f\rvert) )=0\quad(\forall n\geq n_0) $$ であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}=0$ が成り立つ。
□命題22.2（有界可測関数の可測単関数列による一様近似）
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を有界可測関数とする。このとき $f$ に一様収束する可測単関数の列が取れる。
Proof.
命題22.1の $p=\infty$ の場合と全く同様にして（より簡単に）示せる。
□23. $L^2$ 内積、$L^p$-$L^q$ 双対性
命題23.1
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p,q\in [1,\infty]$ を互いに共役指数とする。このとき、任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[f][g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、 $$ \lVert [f][g]\rVert_{\mu,1}\leq \lVert [f]\rVert_{\mu,p}\lVert [g]\rVert_{\mu,q} $$ が成り立つ。
Proof.
$p,q\in (1,\infty)$ の場合はHölderの不等式により、$p=1,q=\infty$ の場合は $\mu$ -a.e. $x\in X$ で $\lvert g(x)\rvert\leq \lVert [g]\rVert_{\mu,\infty}$ であることによる。
□定義23.2（$L^2$ 内積、Hilbert空間としての $L^2$ 空間）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。$2,2$ は互いに共役指数であるから、任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、 $$ ([f]\mid [g])_{\mu,2}\colon=\int_{X}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C} $$ として、内積 $$ (\cdot\mid\cdot)_{\mu,2}\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\times L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni ([f],[g]) \mapsto ([f]\mid [g])_{\mu,2}\in \mathbb{C} $$ が定義できる。この内積を $L^2$ 内積と言う。$L^2$ 内積が誘導するノルムは $L^2$ ノルムであるから、$L^2$ 空間はHilbert空間である。$L^2$ 空間は断ることなくこの $L^2$ 内積が備わったHilbert空間とみなす。
定義23.3（$L^p$-$L^q$ ペアリング）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間、$p,q\in [1,\infty]$ を互いに共役指数とする。このとき命題23.1より任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$、$[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、 $$ ([f],[g])_{\mu,p,q}\colon=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C} $$ として有界双線形汎関数 $$ (\cdot,\cdot)_{\mu,p,q}\colon L^p(X,\mathfrak{M},\mu)\times L^q(X,\mathfrak{M},\mu)\ni ([f],[g])\mapsto ([f],[g])_{\mu,p,q}\in \mathbb{C} $$ が定義できる。
定理23.4（$L^p$-$L^q$ 双対性）
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間、$p\in [1,\infty)$ とし、$q$ を $p$ の共役指数とする。このとき、 $$ L^q(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [g]\mapsto (\cdot,[g])_{\mu,p,q}\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*\quad\quad(*) $$ はノルムを保存する線形同型写像である。
Proof.
$(*)$ がノルムが $1$ 以下の有界線形写像であることは命題23.1より明らかである。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n,\quad \mu(A_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ なるものが取れる。
- $(1)$ 単射性の証明
$(\cdot,[g])_{\mu,p,q}=0$ として $[g]=0$ が成り立つことを示せばよい。そのためには任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つことを示せばよいが、任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\mu(A_n)<\infty$ より $\chi_{E\cap A_n}\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるので、 $$ \int_{E}g(x)\chi_{A_n}(x)d\mu(x)=([\chi_{E\cap A_n}],[g])_{\mu,p,q}=0\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$ である。よって命題10.5より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つ。
- $(2)$ $\mu(X)<\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明
任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ を取る。$\mu(X)<\infty$ より任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\chi_E\in {\cal L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\nu(E)\colon=\Phi([\chi_E])\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
として $\nu\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。$\Phi$ の線形性より $\nu$ は有限加法的である。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る. $A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n$ とおき, $\mathbb{N}$ の任意の有限集合 $F$ に対し$A_F=\bigcup_{n\in F}E_n$ とおくと,
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \nu(A)-\sum_{n\in F}\nu(E_n)\right\rvert
&=\left\lvert \nu(A)-\nu(A_F)\right\rvert
=\left\lvert \Phi(\chi_{A\backslash A_F})\right\rvert
\leq \lVert \Phi\rVert \mu(A\backslash A_F)^{\frac{1}{p}}\\
&= \lVert \Phi\rVert (\mu(A)-\mu(A_F))^{\frac{1}{p}}\rightarrow 0\quad(F\rightarrow \mathbb{N})
\end{aligned}
$$
であるから $\nu$ は複素数値測度である。$\lvert\nu(E)\rvert\leq \lVert \Phi\rVert\mu(E)^{\frac{1}{p}}$ $(\forall E\in \mathfrak{M})$ であるから $\nu$ は $\mu$ に関して絶対連続である。そこで $\nu$ の $\mu$ に関するRadon-Nikodym微分を $g\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ とすると、
$$
\Phi([\chi_E])=\nu(E)=\int_{E}g(x)d\mu(x)=([\chi_E],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、任意の可測単関数 $s\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\Phi([s])=([s],[g])_{\mu,\infty,1}
$$
が成り立つ。任意の $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し命題22.1より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}=0$ なるものが取れる。$\mu(X)<\infty$ より $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
$$
\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}\leq \mu(X)^{\frac{1}{p}}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,\infty}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、
$$
\Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=([f],[g])_{\mu,\infty,1}
$$
である。ゆえに、
$$
\Phi([f])=([f],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall [f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。今、
$$
[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu),\quad \lVert [g]\rVert_{\mu,q}\leq \lVert \Phi\rVert\quad\quad(***)
$$
が成り立つことを示す。$p=1,q=\infty$ の場合、
$$
\left\lvert\int_{E}g(x)d\mu(x)\right\rvert=\lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\lVert\Phi\rVert\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、命題19.3より、
$$
\int_{E}\lvert g(x)\rvert d\mu(x)\leq \lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\lVert\Phi\rVert\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\int_{E}(\lvert g(x)\rvert-\lVert \Phi\rVert)d\mu(x)\leq0\quad(\forall E\in \mathfrak{M})
$$
であるから、
$$
\int_{(\lVert \Phi\rVert<\lvert g\rvert)}(\lvert g(x)\rvert-\lVert \Phi\rVert)d\mu(x)=0
$$
である。ゆえに命題9.4より、
$$
\mu( (\lVert\Phi\rVert<\lvert g\rvert) )=0
$$
であるから、$p=1,q=\infty$ の場合、$(***)$ が成り立つ。$p,q\in (1,\infty)$ の場合を考える。
$$
\omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\lvert g(x)\rvert}{g(x)}&(x\in (\lvert g\rvert>0))\\1&(x\in (\lvert g\rvert=0))\end{array}\right.
$$
として可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義すると、
$$
\omega(x)g(x)=\lvert g(x)\rvert,\quad \lvert \omega(x)\rvert=1\quad(\forall x\in X)
$$
である。$E_n\colon=(\lvert g\rvert\leq n)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおき、
$$
f_n\colon=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q-1}\omega\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおくと、
$$
f_ng=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q},\quad \lvert f_n\rvert^p=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^q\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
である（$pq-p=q$に注意）。よって $(**)$ より、
$$
\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)=\int_{X}f_n(x)g(x)d\mu(x)
=\Phi([f_n])\leq\lVert\Phi\rVert\left(\int_{E}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
であるから、
$$
\left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \lVert \Phi\rVert\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。$(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$ であるから単調収束定理より、
$$
\left(\int_{X}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}
=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \lVert \Phi\rVert
$$
である。よって $(***)$ が成り立つ。
任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し命題22.1より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-s_n\rVert_{\mu,p}=0$ なるものが取れるので、$(**)$ と $[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ であることから、
$$
\Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,p,q}=([f],[g])_{\mu,p,q}
$$
である。よって $\Phi=(\cdot,[g])_{\mu,p,q}$ である。
$$
\lVert [g]\rVert_{\mu,q}\leq \lVert\Phi\rVert\leq \lVert [g]\rVert_{\mu,q}
$$
であるから、全射性とノルム保存性が示された。
- $(3)$ $\mu(X)=\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明
$$ \omega(x)\colon=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n(\mu(A_n)+1)}\chi_{A_n}(x)\in(0,1)\quad(\forall x\in X) $$ とおき、有限測度 $$ \mu_{\omega}\colon\mathfrak{M}\ni E\mapsto \int_{E}\omega(x)d\mu(x)\in [0,1] $$ を定義する。命題19.6の $(1)$ より任意の $r\in [1,\infty]$ に対し、 $$ L^r(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})\ni [f]\mapsto [f\omega^{\frac{1}{r}}]\in L^r(X,\mathfrak{M},\mu) $$ はノルムを保存する線形同型写像である。よって任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ に対し、$\Psi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega}))^*$ を、 $$ \Psi([f])=\Phi([f\omega^{\frac{1}{p}}])\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})) $$ と定義すれば $\lVert \Psi\rVert=\lVert\Phi\rVert$ である。$(2)$ の結果より $[g\omega^{-\frac{1}{q}}]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})$ で、 $$ \Psi([f])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-\frac{1}{q}}d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})), $$ $$ \lVert g\omega^{-\frac{1}{q}}\rVert_{\mu_{\omega},q}=\lVert\Psi\rVert $$ なるものが取れる。命題19.6の $(1)$ より、 $$ \begin{aligned} \Phi([f])&=\Psi([f\omega^{-\frac{1}{p}}])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})}d\mu_{\omega}(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)) \end{aligned} $$ であり、 $$ \lVert [g]\rVert_{\mu,q}=\lVert [g\omega^{-\frac{1}{q}}]\rVert_{\mu_{\omega},q} =\lVert \Psi\rVert=\lVert \Phi\rVert $$ である。これで全射性とノルム保存性が示された。
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