距離空間の位相の基本的性質
本稿においては、距離空間の位相の基本的な性質について論じる。
1. 距離空間の定義
定義1.1 （距離空間の定義）
$X$ を空でない集合とする。$d\colon X\times X\rightarrow [0,\infty) \subset \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離と言う。
- $(1)$ 任意の$x,y\in X$ に対し $d(x,y)=d(y,x)$.
- $(2)$ $d(x,y)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=y$.
- $(3)$ 任意の$x,y,z\in X$ に対し $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
$(3)$ の不等式を三角不等式と言う。距離が定義された集合のことを距離空間と言う。距離空間 $X$ に距離 $d$ が定義されていることを明示的に表す場合は距離空間 $(X,d)$ と表現する。$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$と任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、 $$B(x,r)=\{y\in X: d(y,x)<r\}$$ を中心 $x$、半径 $r$ の開球と言い、 $$\overline{B}(x,r)=\{y\in X: d(y,x)\leq r\}$$ を中心 $x$、半径 $r$ の閉球と言う。 $$\mathcal{O}_{(X,d)}=\{U\subset X:\forall x\in X, \exists r\in (0,\infty) \text{ s.t. } B(x,r)\subset U\}$$ は距離空間 $(X,d)$ の位相である。これを距離 $d$ が誘導する位相と言う。距離空間 $(X,d)$ は、特に断らない限り、この $d$ が誘導する位相 $\mathcal{O}_{(X,d)}$ が備わった位相空間とみなす。
注意1.2 （開球は開集合、閉球は閉集合）
距離空間 $(X,d)$ の開球 $B(x,r)$ は開集合であり、閉球 $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。実際、任意の $y\in B(x,r) $、任意の $z\in B(y, r-d(y,x))$ に対し、三角不等式より、 $$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r$$ であるから、 $$B(y,r-d(y,x))\subset B(x,r)$$ である。よって $B(x,r)$ は開集合である。また、任意の $y\in X\backslash\overline{B}(x,r)$、任意の $z\in B(y, d(y,x)-r)$ に対し三角不等式より、 $$d(z,x)\geq d(y,x)-d(z,y)>r$$ であるから、 $$B(y, d(y,x)-r)\subset X\backslash \overline{B}(x,r)$$ である。よって $\overline{B}(x,r)$ は閉集合である。
注意1.3 （部分集合に制限された距離が誘導する位相は相対位相）
$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。 $$d_A\colon A\times A\ni (x,y)\mapsto d(x,y)\in[0,\infty)$$ は $A$ 上の距離であり、任意の $x\in A$、任意の $r\in (0,\infty)$ に対し、$d_A$ に関する中心 $x$、半径 $r$ の開球は、 $$\{y\in A:d_A(y,x)<r\}=B(x,r)\cap A$$ である。よって $d_A$ が誘導する $A$ の位相は $(X,d)$ の位相の相対位相である。
2. 距離空間の Hausdorff 性と第一可算性
命題2.1（距離空間は Hausdorff 空間）
距離空間はHausdorff 空間である。
Proof.
$(X,d)$ を距離空間とする。$x,y\in X$ が $x\neq y$ ならば $d(x,y)>0$ であり、 $$r=\frac{1}{2}d(x,y)\in (0,\infty)$$ とおけば、三角不等式より $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ である。よって $X$ は Hausdorff 空間である。
□命題2.2（距離空間は第一可算空間）
距離空間は第一可算空間である。
Proof.
$(X,d)$ を距離空間とする。任意の $x\in X$ に対しArchimedes の原理より、 $$\left\{B\left(x,\text{ } \frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}$$ は $x$ の基本近傍系であり、これは可算である。よって $X$ は第一可算空間である。
□注意2.3（距離空間と点列）
距離空間は第一可算空間であるから、閉包の点や連続性、コンパクト性などは点列を用いて表現できる。これに関してはネットによる位相空間論の 6. 位相空間の可算性と点列を参照されたい。
注意2.4（距離空間は完全正規空間）
距離空間は完全正規空間である。
Proof.
互いに交わりを持たない二つの閉集合 $A,B\subseteq X$ に対し、$f(x)\colon =d(A,x)/(d(A,x)+d(x,B))$ を考えればよい。
□3. 距離空間において可分であることと第二可算であることは同値
命題3
距離空間 $(X,d)$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $X$ は可分である。
- $(2)$ $X$ は 第二可算空間である。
Proof.
$(2)\Rightarrow(1)$ は一般に第二可算空間が可分であることによる。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。 $(X,d)$ を可分な距離空間とし、$A\subset X$ を稠密な可算部分集合とする。$(X,d)$ の開集合からなる可算族 $$\mathcal{B}=\left\{B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right): a\in A, n\in \mathbb{N}\right\}$$ が$(X,d)$ の位相の基底であることを示せばよい。任意の開集合 $U\subset X$ と任意の $x\in U$ を取り、 $$B(x,\epsilon)\subset U$$ なる $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。 Archimedes の原理より $$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon}{2}$$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。$x\in X=\overline{A}$ なので、 $$a\in B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A$$ が取れる。任意の $y\in B(a,\frac{1}{n})$ に対し三角不等式より、 $$d(y,x)\leq d(y,a)+d(a,x)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\epsilon$$ であるから、 $$x\in B\left(a,\text{ }\frac{1}{n}\right)\subset B(x,\epsilon)\subset U$$ である。よって $\mathcal{B}$ は$(X,d)$ の位相の基底である。
□4. 距離空間の全有界性
定義4.1 （距離空間の全有界性）
距離空間 $X$ が全有界であるとは、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が存在し、 $$X=B(x_1,\epsilon)\cup\ldots\cup B(x_n,\epsilon)$$ が成り立つことを言う。
命題4.2 （全有界な距離空間は可分）
全有界な距離空間は可分である。
Proof.
$X$ を全有界な距離空間とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、有限個の $x_{n,1},\ldots,x_{n,m(n)}\in X$ が取れて、 $$X=B\left(x_{n,1},\text{ }\frac{1}{n}\right)\cup\ldots \cup B\left(x_{n,m(n)},\text{ }\frac{1}{n}\right)$$ となる。可算集合 $$A=\{x_{n,k}: n\in\mathbb{N}, k\in \{1,\ldots, m(n)\}\}$$ が $X$ において稠密であることを示せばよい。任意の $x\in X$、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x\in B(x_{n,k},\frac{1}{n})$ なる $k\in\{1,\ldots,m(n)\}$ が取れる。$x_{n,k}\in B(x,\frac{1}{n})\cap A$ であるから、 $$B\left(x,\text{ }\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$ が成り立ち、$\{B(x,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ の基本近傍系であるから $x\in\overline{A}$ である。よって $A$ は $X$ において稠密である。
□5. Cauchy 列と距離空間の完備性
定義5.1 （Cauchy 列）
$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy 列であるとは、 $$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n,m\geq n_0, d(x_n,x_m)<\epsilon$$ が成り立つことを言う。
距離空間の収束列は明らかに Cauchy 列である。
定義5.2 （距離空間の完備性）
距離空間が完備であるとは、任意の Cauchy 列が収束列であることを言う。
6. 距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値
補題6.1 （点列コンパクトな距離空間の全有界性）
点列コンパクトな距離空間は全有界である。
Proof.
距離空間 $X$ が全有界ではないとする。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、 $$x_{n+1}\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}B(x_k,\epsilon)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$ を満たすものが帰納的に構成できる。これに対し、 $$d(x_n,x_m)\geq\epsilon\quad(n\neq m)$$ であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持たない。よって $X$ は点列コンパクトではない。
□補題6.2 （点列コンパクトな距離空間の完備性）
点列コンパクトな距離空間は完備である。
Proof.
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間とし、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を Cauchy 列とする。$X$ は点列コンパクトなので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、任意の $n,m\geq n_0$ に対し、 $$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon}{2},\quad d(x_{k(n)},x)<\frac{\epsilon}{2}$$ が成り立つ。よって任意の $n\geq n_0$ に対し、 $$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k(n)})+d(x_{k(n)},x)<\epsilon$$ が成り立つので、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。ゆえに $(X,d)$ は完備である。
□補題6.3 （コンパクトな距離空間は点列コンパクト）
コンパクトな距離空間は点列コンパクトである。
Proof.
命題2.2より距離空間は第一可算空間であり、一般にコンパクトな第一可算空間は点列コンパクトである。（例えばネットによる位相空間論の命題6.3を参照。）
□定義6.4 （距離空間の部分集合の直径）
$(X,d)$ を距離空間とする。$A\subset X$ に対し $\sup\{d(x,y): x,y\in A\}$ を $A$ の直径と呼ぶ。
定理6.5 （距離空間においてコンパクト、点列コンパクト、全有界かつ完備は同値）
$(X,d)$ を距離空間とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $X$ はコンパクトである。
- $(2)$ $X$ は点列コンパクトである。
- $(3)$ $X$ は全有界かつ完備である。
Proof.
$(1)\Rightarrow(2)$ は補題6.3、$(2)\Rightarrow(3)$ は補題6.1、補題6.2による。 $(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(X,d)$ が全有界かつ完備であるとし、$X$ がコンパクトではないと仮定して矛盾を導く。このとき $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ でそのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが存在する。$X$ は全有界であるので直径が $1$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せる。それらの閉集合の中のいずれか（$X_1$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。$X_1$ は全有界なので、直径が $\frac{1}{2}$ 以下の有限個の閉集合の合併で表せて、それらの閉集合の中のいずれか（$X_2$とする）は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。同様のことを繰り返し、$X$ の部分集合の列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものを構成する。
- (a) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $\{U_j\}_{j\in J}$ のいかなる有限部分族によっても被覆できない。
- (b) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ は $X$ の閉集合である。
- (c) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_{n+1}\subset X_n$.
- (d) 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $X_n$ の直径は $\frac{1}{n}$ 以下。
各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in X_n$ を取り $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を構成すると、(c), (d) と Archimedes の原理より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は Cauchy 列である。よって $X$ の完備性より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$、 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$m\geq n$、$d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in\mathbb{N}$ が取れ、(c) より $x_m\in B(x,\epsilon)\cap X_n$ である。よって、 $$B(x,\epsilon)\cap X_n\neq\emptyset\quad(\forall n\in \mathbb{N}, \forall \epsilon\in (0,\infty))$$ であるから、(b)より、 $$x\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{X_n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X_n$$ である。$x\in U_j$ なる $j\in J$ を取り、$\overline{B}(x,\frac{1}{n})\subset U_j$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取れば、$x\in X_n$ であることと (d) より $X_n\subset U_j$ となる。これは(a)に矛盾する。ゆえに $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
□7. 一様連続性
注意7.1 （距離空間から距離空間への写像の連続性の$\epsilon-\delta$ 論法による特徴付け）
距離空間の任意の点 $x$ に対し $\{B(x,\epsilon)\}_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $x$ の基本近傍系である。よって距離空間 $(X,d_X)$ から距離空間 $(Y,d_Y)$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が $x_0\in X$ において連続であることは、次のように特徴付けられる。
「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x,x_0)<\delta$ を満たす全ての $x\in X$ に対し $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ が成り立つ。」
定義7.2 （一様連続性）
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が一様連続であるとは、
「任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、$d_X(x_1,x_2)<\delta$ を満たす全ての $x_1,x_2\in X$ に対して $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ が成り立つ」
ことを言う。
一様連続ならば明らかに連続である。
定理7.3 （コンパクト距離空間から距離空間への連続写像は一様連続）
$(X,d_X)$ をコンパクト距離空間、 $(Y,d_Y)$ を距離空間とし、$f\colon X\rightarrow Y$ を連続写像とする。このとき $f$ は一様連続である。
Proof.
任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$f$ は連続なので、各 $x\in X$ に対し、 $\delta_x\in (0,\infty)$ で、 $$d_Y(f(x'),f(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall x'\in B(x,\delta_x))$$ を満たすものが取れる。 $$X=\bigcup_{x\in X} B(x,2^{-1}\delta_x)$$ であり、$X$ はコンパクトであるので、有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、 $$X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$$ となる。 $$\delta=\text{ min }(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n})$$ とおき、$d_X(x',x)<\delta$ を満たす任意の $x,x'\in X$ を取る。 $x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、 $$d_X(x',x_j)\leq d_X(x',x)+d_X(x,x_j)<\delta+\delta_{x_j}<\delta_{x_j}$$ であるから、 $$d_Y(f(x),f(x'))\leq d_Y(f(x),f(x_j))+d_Y(f(x_j),f(x'))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ である。よって $f$ は一様連続である。
□8. 一様収束
定義8.1（一様収束）
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとは、次が成り立つことを言う。 $$\forall \epsilon\in (0,\infty), \exists \lambda_0\in\Lambda \text{ s.t. } \forall \lambda\geq\lambda_0, \forall x\in X, d(f_{\lambda}(x),f(x))<\epsilon$$.
注意8.2
ネットについて知らなければネットを列に置き換えてよい。ネットについてはネットによる位相空間論を参照。
命題8.3（連続写像の一様収束極限は連続）
$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の連続写像からなるネット $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束するとする。このとき $f$ は連続である。
Proof.
任意の $x_0\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$を取り固定する。$(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $f$ に一様収束するので、$\lambda_0\in \Lambda$ で、 $$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda}(x))<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in X)$$ を満たすものが取れる。$f_{\lambda_0}\colon X\rightarrow Y$ は連続なので $x_0\in X$ の近傍 $U$ で、 $$d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))<\frac{\epsilon}{3}\quad (\forall x\in U)$$ を満たすものが取れる。よって任意の $x\in U$ に対し、 $$d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_{\lambda_0}(x))+d(f_{\lambda_0}(x),f_{\lambda_0}(x_0))+d(f_{\lambda_0}(x_0),f(x_0))<\epsilon$$ であるから $f$ は連続である。
□定義8.4（一様 Cauchy 条件）
$X$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとは、 $$\forall \epsilon\in (0,\infty),\exists n_0\in\mathbb{N}\text{ s.t. } \forall n,m\geq n_0, \forall x\in X, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$ が成り立つことを言う。
命題8.5（一様 Cauchy 条件と一様収束）
$X$ を集合、$(Y,d)$ を完備距離空間とし、$X\rightarrow Y$ の写像からなる列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が一様 Cauchy 条件を満たすとする。このとき $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $f\colon X\rightarrow Y$ に一様収束する。
Proof.
一様 Cauchy 条件より 任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、 $$d(f_n(x),f_m(x))<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall n,m\geq n_0, \forall x\in X)$$ が成り立つ。各 $x\in X$ に対し $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ は完備距離空間 $(Y,d)$ の Cauchy 列であるので、 $$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\quad (\forall x\in X)$$ として $f\colon X\rightarrow Y$ が定義できる。各 $x\in X$ に対し、$n_x\geq n_0$ なる $n_x\in \mathbb{N}$ で、 $$d(f_{n_x}(x),f(x))<\frac{\epsilon}{2}$$ を満たすものを取れば、任意の $n\geq n_0$、任意の $x\in X$ に対し、 $$d(f_n(x),f(x))\leq d(f_n(x),f_{n_x}(x))+d(f_{n_x}(x),f(x))<\epsilon$$ であるので、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。
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