Sobolev空間の基本事項

本稿は、超関数の定義と基本操作、緩増加超関数とFourier変換、合成積とFourier変換の続編であり、超関数の枠組みでEuclid空間の開集合上の $L^2$ 空間におけるSobolev空間の基本事項について述べる。特に滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合上のSobolev空間について、その拡張作用素、トレース作用素、及び、Sobolev埋め込み定理、Rellich-Kondrachovの定理について述べる。 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

超関数とFourier変換、Sobolev空間

• 超関数の定義と基本操作
• 緩増加超関数とFourier変換
• 合成積とFourier変換
• Sobolev空間の基本事項

30. Sobolev空間 $H^m(\Omega)$

定義30.1（Sobolev空間 $H^m(\Omega)$）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。任意の $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $L^2(\Omega)$ の線形部分空間 $$ H^m(\Omega)\colon=\{[f]\in L^2(\Omega):\lvert\alpha\rvert\leq m\text{ を満たす任意の }\alpha\in \mathbb{Z}_+^N\text{ に対し }\partial^{\alpha}[f]\in L^2(\Omega)\} $$ を定義する。ただし $\partial^{\alpha}[f]$ は超関数としての弱微分（定義6.2）である。そして $L^2(\Omega)$ の内積 $(\cdot \mid \cdot)_2$ に対し、 $$ ([f]\mid [g])_{2,m}\colon=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}(\partial^{\alpha}[f]\mid \partial^{\alpha}[g])_2\quad(\forall [f],[g]\in H^m(\Omega)) $$ として $H^m(\Omega)$ の内積を定義する。この内積 $(\cdot\mid \cdot)_{2,m}$ による内積空間 $H^m(\Omega)$ を $\Omega$ 上の $m$ 階Sobolev空間と言う。次の命題30.2で見るようにSobolev空間 $H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ のノルムは、 $$ \lVert [f]\rVert_{2,m}\colon=\sqrt{([f]\mid [f])_{2,m}}=\sqrt{\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2^2}\quad(\forall [f]\in H^m(\Omega)) $$ と表す。

命題30.2（Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ の完備性）

開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ と $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $\Omega$ 上の $m$ 階Sobolev空間 $H^m(\Omega)$ を考える。このとき、

• $(1)$　任意の $[f]\in H^m(\Omega)$ と $\lvert\beta\rvert\leq m$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ \lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_2\leq \lVert [f]\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2\quad(\forall [f]\in H^m(\Omega))\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

• $(2)$　$H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。

Proof.

• $(1)$　直和Hilbert空間（測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定義26.3）$\bigoplus_{\lvert\alpha\rvert\leq m}L^2(\Omega)$ の内積を $(\cdot\mid\cdot)_{\oplus}$、ノルムを $\lVert\cdot\rVert_{\oplus}$ と表す。 このとき任意の $[f],[g]\in H^m(\Omega)$ に対し、

$$ ([f]\mid [g])_{2,m}=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}(\partial^{\alpha}[f]\mid \partial^{\alpha}[g])_2=( (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\mid (\partial^{\alpha}[g])_{\lvert\alpha\rvert\leq m})_{\oplus} $$ であるから、 $$ H^m(\Omega)\ni [f]\mapsto (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\in \bigoplus_{\lvert\alpha\rvert\leq m}L^2(\Omega) $$ は内積を保存するのでノルムを保存する。よって、 $$ \lVert [f]\rVert_{2,m}=\lVert (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\rVert_{\oplus} \leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_{\oplus} =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f]\rVert_2 $$ であり、$\lvert\beta\rvert\leq m$ なる任意の $\beta\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_{2}=\lVert \partial^{\beta}[f]\rVert_{\oplus} \leq \lVert (\partial^{\alpha}[f])_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\rVert_{\oplus} =\lVert [f]\rVert_{2,m} $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

• $(2)$　$([f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ を $H^m(\Omega)$ のCauchy列とする。$(1)$ より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}[f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ のCauchy列であるから、$[f^{(\alpha)}]\in L^2(\Omega)$ で、

$$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert [\partial^{\alpha}f_i]-[f^{(\alpha)}]\rVert_2=0\quad\quad(**) $$ なるものが定まる。 $$ [f]:=[f^{(0)}]\in L^2(\Omega) $$ とおく。$(**)$ と命題5.5より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}[f_i]=[f^{(\alpha)}]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 })\quad\quad(***) $$ が成り立つ。特に、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}[f_i]=[f]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 }) $$ であるから、弱微分の連続性（命題6.3）より任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}[f_i]=\partial^{\alpha}[f]\quad(D'(\Omega)\text{ の位相 })\quad\quad(****) $$ が成り立つ。よって $(***)$, $(****)$ より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}[f]=[f^{(\alpha)}]\in L^2(\Omega) $$ であるから、$[f]\in H^m(\Omega)$ である。そして $(**)$ と $(1)$ より、 $$ \lVert [f_i]-[f]\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}[f_i]-\partial^{\alpha}[f]\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ であるから $H^m(\Omega)$ のCauchy列 $([f_i])_{i\in\mathbb{N}}$ は $[f]\in H^m(\Omega)$ に収束する。ゆえに $H^m(\Omega)$ はHilbert空間である。

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31. Sobolev空間の変数変換

命題31.2（Sobolev空間の変数変換）

$\Omega,\Omega'\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、$\Phi\colon\Omega\rightarrow\Omega'$ を $C^\infty$ 級同相写像で $\Phi,\Phi^{-1}$ の $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $u\in H^m(\Omega')$ に対し $u\circ\Phi\in H^m(\Omega)$ が成り立つ。ただし $u\circ\Phi$ は超関数としての変数変換（定義8.1）である。そして、 $$ H^m(\Omega')\ni u\mapsto u\circ\Phi\in H^m(\Omega) $$ は有界線形作用素である。

Proof.

超関数の変数変換に関するチェインルール（命題8.3）より、 $$ \partial_j(u\circ\Phi)=\sum_{i=1}^{N}\partial_j\Phi_i(( \partial_iu)\circ\Phi)\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。チェインルールとLiebnizルール（命題7.2）を繰り返し用いることにより $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\Phi$ の $1$ 階以上の偏導関数のみの和と積で表される有界な $\varphi_{\beta}\in C^\infty(\Omega)$ $(\beta\in \mathbb{Z}_+^N\colon\lvert\beta\rvert\leq \lvert\alpha\rvert)$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}(u\circ\Phi)=\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\varphi_{\beta}((\partial^{\beta}u)\circ\Phi) $$ と表されることが分かる。$\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert$ なる各 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し変数変換公式（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の補題40.3）より、 $$ \begin{aligned} \lVert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi\rVert_2^2&=\int_{\Omega}\lvert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi(x)\rvert^2dx=\int_{\Omega'}\lvert\partial^{\beta}u(x)\rvert^2\lvert {\rm det}{\Phi^{-1}}'(x)\rvert dx\\ &\leq \lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}\lVert \partial^{\beta}u\rVert_2^2 \end{aligned} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} \lVert\partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2 &\leq \sum_{\lvert \beta\rvert\leq \lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert(\partial^{\beta}u)\circ\Phi\rVert_2 \leq \sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}^{\frac{1}{2}}\lVert \partial^{\beta}u\rVert_2\\ &\leq \left(\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\lVert\varphi_{\beta}\rVert_{\infty}\lVert {\rm det}{\Phi^{-1}}'\rVert_{\infty}^{\frac{1}{2}}\right)\lVert u\rVert_{2,m} \end{aligned} $$ である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $u$ によらない定数 $c_{\alpha}\in [0,\infty)$ が存在し、 $$ \lVert\partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2\leq c_{\alpha}\lVert u\rVert_{2,m} $$ が成り立つので $u\circ\Phi\in H^m(\Omega)$ であり、 $$ \lVert u\circ\Phi\rVert_{2,m}\leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}(u\circ\Phi)\rVert_2 \leq \left(\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}c_{\alpha}\right)\lVert u\rVert_{2,m} $$ であるから、 $$ H^m(\Omega')\ni u\mapsto u\circ\Phi\in H^m(\Omega) $$ は有界線形作用素である。

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32. Sobolev空間 $H^m_0(\Omega)$

定義32.1（Sobolev空間 $H^m_0(\Omega)$）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$m\in \mathbb{Z}_+$ とする。明らかに $D(\Omega)\subset H^m(\Omega)$ である。そこで $D(\Omega)$ の $H^m(\Omega)$ における閉包を、 $$ H^m_0(\Omega)\colon=\overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}\subset H^m(\Omega) $$ と表す。

定理32.2（$H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$）

任意の $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。

Proof.

Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）により $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ 0\leq \omega(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq1) $$ を満たすものを取り、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ として定義する。このとき、 $$ 0\leq \omega_n(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*) $$ である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon>0}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とする。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ を取り、 $$ u_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*u)\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ とおく。このとき $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対しLeibnizルール（命題7.2）より、 $$ \partial^{\alpha}u_n-\partial^{\alpha}u=\left(\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u)-\partial^{\alpha}u\right)+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**) $$ である。$(**)$ の右辺の第一項の $L^2$ ノルムは、$(*)$ とLebesgue優収束定理、命題29.4より、 $$ \begin{aligned} &\lVert\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u)-\partial^{\alpha}u\rVert_2 \leq \lVert \omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u)\rVert_2+\lVert (\omega_n-1)\partial^{\alpha}u\rVert_2\\ &\leq\lVert \psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u\rVert_2+\left(\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\omega_n(x)-1)\partial^{\alpha}u(x)\rvert^2dx\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$ となる。また、 $$ \partial^{\beta}\omega_n(x)=n^{-\lvert\beta\rvert}(\partial^{\beta}\omega)(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ より、 $$ \lVert \partial^{\beta}\omega_n\rVert_{\infty}\leq n^{-\lvert \beta\rvert}\lVert \partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty} $$ であり、Youngの不等式（命題29.3）より、 $$ \lVert \psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2 $$ であるから、$(**)$ の右辺の第二項の $L^2$ ノルムは、 $$ \left\lVert\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*\partial^{\alpha-\beta}u)\right\rVert_2 \leq \sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}n^{-\lvert \beta\rvert}\lVert\partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty}\lVert\partial^{\alpha-\beta}u\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ となる。よって、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\partial^{\alpha}u_n-\partial^{\alpha}u\rVert_2=0 $$ が成り立つ。これが $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対して成り立つので、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert u_n-u\rVert_{2,m}=0 $$ が成り立つ。ゆえに $u\in H^m_0(\mathbb{R}^N)$ であるから $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。

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命題32.3（$H^m_0(\Omega)$ の $0$ 拡張）

$\Omega,\widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を $\Omega\subset \widetilde{\Omega}$ を満たす開集合とし、$u\in H^m_0(\Omega)$ とする。このとき $u$ の $\widetilde{\Omega}$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{u}$(($\widetilde{\Omega}\backslash \Omega$ 上で $0$ として $\widetilde{\Omega}$ 上に拡張したもの。))は $H^m_0(\widetilde{\Omega})$ に属し、 $$ \partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\quad(\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m),\quad\lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}=\lVert u\rVert_{2,m} $$ が成り立つ。

Proof.

$D(\Omega)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-u\rVert_{2,m}=0$ を満たすものを取る。このとき $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $\varphi\in D(\widetilde{\Omega})$ に対し、 $$ \begin{aligned} \partial^{\alpha}\widetilde{u}(\varphi)&=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\widetilde{u}(\partial^{\alpha}\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx= \lim_{i\rightarrow\infty}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}u_i(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\\ &=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\partial^{\alpha}u_i(x)\varphi(x)dx =\int_{\Omega}\partial^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\widetilde{\Omega}}\widetilde{\partial^{\alpha}u}(x)\varphi(x)dx =\widetilde{\partial^{\alpha}u}(\varphi) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega}) $$ であり、 $$ \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2 =\lVert \widetilde{\partial^{\alpha}u}-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2 =\lVert \partial^{\alpha}u-\partial^{\alpha}u_i\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ である。よって $\widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、$\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_i\rVert_{2,m}=0$ であるので $\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ である。また、 $$ \lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \widetilde{\partial^{\alpha}u}\rVert_2^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2=\lVert u\rVert_{2,m}^2 $$ である。

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33. Sobolev空間の元の台を保存する $0$ 拡張

補題33.1

$S\subset \Omega\subset \widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ とし、$\Omega,\widetilde{\Omega}$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合で、$\mathbb{R}^N$ の距離に関して、 $$ d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0 $$ が成り立つとする（定義2.1を参照）。このとき全ての偏導関数が有界な非負値関数 $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ h(x)=1\quad(\forall x\in S),\quad d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0 $$ を満たすものが存在する。

Proof.

$$ r\colon=d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0,\quad r_1:=\frac{r}{3}>0 $$ とおき、 $$ E\colon=\{x\in \mathbb{R}^N: d(x,S)<r_1\} $$ とおく。（命題2.2より $E$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合である。）そして $(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とし、$h:=\psi_{r_1}*[\chi_E]\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ とおく。このとき、 $$ h(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)\chi_E(x-y)dy\geq0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから $h$ は非負値であり、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lvert\partial^{\alpha}h(x)\rvert&=\lvert(\partial^{\alpha}\psi_{r_1})*[\chi_E](x)\rvert \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\lvert\partial^{\alpha}\psi_{r_1}(y)\rvert\chi_E(x-y)dy\\ &\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \partial^{\alpha}\psi_{r_1}\rVert_1<\infty\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから $h$ の全ての偏導関数は有界である。また任意の $x\in S$ と $\lvert y\rvert<r_1$ なる任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ d(x-y,\text{ }S)\leq \lvert x-y-x\rvert=\lvert y\rvert<r_1 $$ であるから $x-y\in E$ である。よって、 $$ h(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)E(x-y)dy =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<r_1}\psi_{r_1}(y)dy=1\quad(\forall x\in S) $$ である。後は $d(\text{supp}(h),\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0$ が成り立つことを示せばよい。命題23.5より、 $$ \text{supp}(h)=\text{supp}(\psi_{r_1}*[\chi_E])\subset \overline{E+\text{supp}(\psi_{r_1})}=\overline{E+B(0,r_1)} $$ であるから、 $$ d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega) \geq d(E+B(0,r_1),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=\inf\{\lvert x+y-z\rvert:x\in E,y\in B(0,r_1),z\in \widetilde{\Omega}\backslash\Omega\}\quad\quad(*) $$ である（命題2.2を参照）。今、任意の $x\in E$、$y\in B(0,r_1)$、$z\in \widetilde{\Omega}\backslash \Omega$ を取る。$x\in E$ より $\lvert x-s\rvert<r_1$ なる $s\in S$ が取れる。三角不等式より、 $$ \lvert s-z\rvert\geq d(S,\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=r,\quad \lvert x+y-s\rvert\leq \lvert x-s\rvert+\lvert y\rvert<2r_1 $$ であるから、 $$ \lvert x+y-z\rvert\geq \lvert s-z\rvert-\lvert x+y-s\rvert>r-2r_1=r_1 $$ である。よって $(*)$ より、 $$ d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega) \geq \inf\{\lvert x+y-z\rvert:x\in E,y\in B(0,r_1),z\in \widetilde{\Omega}\backslash\Omega\}\geq r_1>0 $$ が成り立つ。

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注意33.2

補題33.1おける $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ について、$d(\text{supp}(h),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0$ より、 $$ \text{supp}(h)\subset \mathbb{R}^N\backslash(\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)=(\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})\cup \Omega $$ であるから $h$ を $\widetilde{\Omega}$ に制限したものを $h_0\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ とすると、 $$ \text{supp}(h_0)\subset \text{supp}(h)\cap \widetilde{\Omega}\subset \Omega $$ である。

定理33.3（Sobolev空間の元の台を保存する $0$ 拡張）

$\Omega,\widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$\Omega\subset \widetilde{\Omega}$ とし、$u\in H^m(\Omega)$ とする、そして $u$ の台 $\text{supp}(u)$（定義9.2）が、 $$ d(\text{supp}(u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0 $$ を満たすとする。このとき、$\partial^{\alpha}u\in L^2(\Omega)$ $(\lvert\alpha\rvert\leq m)$ の $\widetilde{\Omega}$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega})$ とすると、 $$ \widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega}),\quad \partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u},\quad \text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u) \quad(\forall \lvert\alpha\rvert\leq m),\quad \lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}=\lVert u\rVert_{2,m} $$ が成り立つ。またもし $\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ ならば $u\in H^m_0(\Omega)$ が成り立つ。

Proof.

$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)$ である（命題9.3の$(1)$ ）から、 $$ d(\text{supp}(\partial^{\alpha}u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega) \geq d(\text{supp}(u),\text{ }\widetilde{\Omega}\backslash \Omega)>0 $$ である。よって $\text{supp}(\partial^{\alpha}u)$ は $\widetilde{\Omega}$ において閉であるので、 $$ \text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。これより、 $$ \text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\subset \text{supp}(u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(**) $$ である。また、 $$ \text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})\subset \text{supp}(\widetilde{u})=\text{supp}(u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(***) $$ である（命題9.3の $(1)$ ）。補題33.1と注意33.2より全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ で、 $$ h(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(u)),\quad \text{supp}(h)\subset \Omega\quad\quad(****) $$ を満たすものが取れる。$(****)$ の左の式と $(**), (***)$ より、 $$ \widetilde{\partial^{\alpha}u}=h(\widetilde{\partial^{\alpha}u}),\quad\partial^{\alpha}\widetilde{u}=h\partial^{\alpha}\widetilde{u}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m) $$ であり、$(****)$ の右の式より、 $$ h\varphi\in D(\Omega)\quad(\forall \varphi\in D(\widetilde{\Omega})) $$ である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $\varphi\in D(\widetilde{\Omega})$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\widetilde{\partial^{\alpha}u}(\varphi)=h(\widetilde{\partial^{\alpha}u})(\varphi) =\widetilde{\partial^{\alpha}u}(h\varphi)=\partial^{\alpha}u(h\varphi) =(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}(h\varphi))\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\widetilde{u}(\partial^{\alpha}(h\varphi)) =\partial^{\alpha}\widetilde{u}(h\varphi) =h(\partial^{\alpha}\widetilde{u})(\varphi) =\partial^{\alpha}\widetilde{u}(\varphi) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \partial^{\alpha}\widetilde{u}=\widetilde{\partial^{\alpha}u}\in L^2(\widetilde{\Omega})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m) $$ である。これより $\widetilde{u}\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、 $$ \lVert \widetilde{u}\rVert_{2,m}^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2^2 =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\widetilde{\partial^{\alpha}u}\rVert_2^2 =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert\partial^{\alpha}u\rVert_2^2 =\lVert u\rVert_{2,m}^2 $$ である。また $(*)$ より、 $$ \text{supp}(\partial^{\alpha}\widetilde{u})=\text{supp}(\widetilde{\partial^{\alpha}u})=\text{supp}(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \lvert\alpha\rvert\leq m) $$ である。
後半を示す。$\widetilde{u}\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ ならば $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_i\rVert_{2,m}=0$ なるものが取れる。全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\widetilde{\Omega})$ で $(****)$ を満たすものを取ると、$h\widetilde{u}=\widetilde{u}$ であり、$(hu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $D(\Omega)$ の列である。$h$ の全ての偏導関数は有界なのでLiebnizルール（命題7.2）より $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lVert \partial^{\alpha}(h\widetilde{u})-\partial^{\alpha}(hu_i)\rVert_2 \leq\sum_{\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\lVert\partial^{\beta}h\rVert_{\infty}\lVert \partial^{\alpha-\beta}(\widetilde{u}-u_i)\rVert_2\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ が成り立つ。よって $H^m(\widetilde{\Omega})$ において $h\widetilde{u}=\lim_{i\rightarrow\infty}hu_i$ であるから、その $\Omega$ 上への制限を考えれば、 $$ u=\widetilde{u}|_{\Omega}=(h\widetilde{u})|_{\Omega}=\lim_{i\rightarrow\infty}hu_i\in \overline{D(\Omega)}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}=H^m_0(\Omega) $$ となる。

□

注意33.4（境界との距離）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$E\subset \Omega$とする。このとき $\Omega$ の境界 $\partial\Omega=\overline{\Omega}\backslash \Omega$ に対し、 $$ d(E,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \Omega)=d(E,\text{ }\partial\Omega) $$ である。実際、$\partial\Omega\subset \mathbb{R}^N\backslash \Omega$ より $\leq$ は自明である。任意の $x\in E$ と $y\in \mathbb{R}^N\backslash \Omega$ に対し、 $$ s\colon=\sup\{t\in [0,1]:x+t(y-x)\in\Omega\} $$ とおけば $\Omega$ が開集合であることから $x+s(y-x)\notin \Omega$ であり、$x+s(y-x)$ に収束する $\Omega$ の点列 $(x+t_n(y-x))_{n\in\mathbb{N}}$ が取れるから $x+s(y-x)\in\overline{\Omega}$、よって $x+s(y-x)\in \partial\Omega$ である。ゆえに、 $$ \lvert x-y\rvert\geq s\lvert x-y\rvert=\lvert x-(x+s(y-x))\rvert\geq d(E,\text{ }\partial\Omega) $$ であるから $d(E,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(E,\partial\Omega)$ である。

系33.5（台と境界の距離が正ならば $H_0$ に属する）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\in H^m(\Omega)$ とし、 $$ d(\text{supp}(u),\text{ }\partial\Omega)=d(\text{supp}(u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0 $$ とする。このとき $u\in H^m_0(\Omega)$ が成り立つ。

Proof.

定理33.3の前半より $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{u}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ に属し、定理32.2より $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$ であるから、定理33.3の後半より $u\in H^m_0(\Omega)$ である。

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系33.6

$\Omega\subset \widetilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とし、 $$ d(\Omega,\text{ } \partial\widetilde{\Omega})=d(\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})>0 $$ が成り立つとする。このとき任意の $u\in H^m(\widetilde{\Omega})$ に対し $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}=0 $$ を満たすものが存在する。ただし $u|_{\Omega},u_i|_{\Omega}$ は $u,u_i$ の $\Omega$ 上への制限である。

Proof.

補題33.1より全ての偏導関数が有界な $h\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ h(x)=1\quad(\forall x\in \Omega),\quad d(\text{supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\widetilde{\Omega})>0 $$ を満たすものが取れる。$h$ の全ての偏導関数は有界であるからLeibnizルール（命題7.2）より $hu\in H^m(\widetilde{\Omega})$ であり、$hu$ の台は $\text{supp}(hu)\subset \text{supp}(h)$ を満たす（命題9.3の $(2)$ ）ので、 $$ d(\text{supp}(hu),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})\geq d(\text{supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \widetilde{\Omega})>0 $$ である。よって系33.5より $hu\in H^m_0(\widetilde{\Omega})$ であるから $D(\widetilde{\Omega})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert hu-u_i\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。$h(x)=1$ $(\forall x\in \Omega)$ より $(hu)|_{\Omega}=u|_{\Omega}$ であるから、 $$ \lVert u|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m} =\lVert (hu)|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}\leq \lVert hu-u_i\rVert_{2,m}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ である。

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34. 半空間 $\mathbb{R}^N_+$ 上のSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素

定義34.1（半空間）

$\mathbb{R}^N_+\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\infty)$、$\mathbb{R}^N_-\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times(-\infty,0)$ と定義する。これらを半空間と呼ぶ。

命題34.2（半空間上の拡張作用素の補題）

$$ H^m(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}=\overline{\{u|_{\mathbb{R}^N_+}:u\in D(\mathbb{R}^N)\}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}} $$ が成り立つ（ただし $u|_{\mathbb{R}^N_+}$ は $u$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への制限である)。すなわち任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。

Proof.

任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ を取る。任意の $t\in (0,\infty)$ に対し $\mathbb{R}^N_{+,-t}\colon=\mathbb{R}^{N-1}\times(-t,\infty)$ とおき、 $$ \Phi_t\colon\mathbb{R}^N_{+,-t}\ni x\mapsto x+te_N\in \mathbb{R}^N_+ $$ とおく。このとき命題31.2より $u\circ\Phi_t\in H^m(\mathbb{R}^N_{+,-t})$ である。そして、 $$ d(\mathbb{R}^N_+,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash \mathbb{R}^N_{+,-t})=t>0 $$ であるから、系33.6より、 $$ (u\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\in \overline{D(\mathbb{R}^N_{+,-t})|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}} \subset \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}\subset H^m(\mathbb{R}^N_+)\quad(\forall t\in (0,\infty)) $$ である。これより $u\in \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\lVert \cdot\rVert_{2,m}}$ が成り立つことを示すには、 $$ \lim_{t\rightarrow+0}\lVert u-(u\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,m}=0 $$ が成り立つことを示せばよい。そのためには $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $u_{\alpha}:=\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ とおき、 $$ \lim_{t\rightarrow+0}\lVert u_{\alpha}-(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_2=0\quad\quad(*) $$ が成り立つことを示せばよい。（超関数の変数変換に関するチェインルール（命題8.3）より $\partial^{\alpha}(u\circ\Phi_t)=(\partial^{\alpha}u)\circ\Phi_t=u_{\alpha}\circ\Phi_t$ であることに注意。）$u_{\alpha},(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{u_{\alpha}},\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ とおくと、 $$ \begin{aligned} &\lVert u_{\alpha}-(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_2 =\lVert \widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2\\ &\leq \lVert \widetilde{u_{\alpha}}-T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}\rVert_2+\lVert T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2\quad(\forall t\in(0,\infty))\quad\quad(**) \end{aligned} $$ である。$(**)$ の右辺の第一項については命題28.2より、 $$ \lim_{t\rightarrow+0}\lVert \widetilde{u_{\alpha}}-T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}\rVert_2=0 $$ であり、$(**)$ の右辺の第二項についてはLebesgue測度の平行移動不変性とLebesgue優収束定理より、 $$ \begin{aligned} &\lVert T_{-te_N}\widetilde{u_{\alpha}}-\widetilde{(u_{\alpha}\circ\Phi_t)|_{\mathbb{R}^N_+}}\rVert_2^2 =\int_{\mathbb{R}^{N-1}\times(-t,0)}\lvert u_{\alpha}(x+te_N)\rvert^2dx\\ &=\int_{\mathbb{R}^{N-1}\times (0,t)}\lvert u_{\alpha}(x)\rvert^2dx\rightarrow0\quad(t\rightarrow+0) \end{aligned} $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

□

命題34.3（$H^m_0(\mathbb{R}^N_+)$ の $0$ 拡張による特徴付け）

$u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{u}\in L^2(\mathbb{R}^N)$とおく。このとき次は互いに同値である。

• $(1)$　$u\in H^m_0(\mathbb{R}^N)$.
• $(2)$　$\widetilde{u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$.

Proof.

$(1)\Rightarrow(2)$ は命題32.3による。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$が成り立つとする。Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）により $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ 0\leq \omega(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq1) $$ を満たすものを取り、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ として定義する。このとき、 $$ 0\leq \omega_n(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*) $$ である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とする。そして $\widetilde{u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ u_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ と定義する。すると命題23.5より、 $$ \begin{aligned} \text{supp}(u_n)&\subset \text{supp}(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\subset \text{supp}(\psi_{\frac{1}{2n}})+\text{supp}(T_{\frac{1}{n}e_N}\widetilde{u})\\ &\subset \overline{\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq(2n)^{-1}\}+\mathbb{R}^{N-1}\times [n^{-1},\infty)}\\ &\subset \mathbb{R}^{N-1}\times [(2n)^{-1},\infty)\subset \mathbb{R}^N_+ \end{aligned} $$ であるから $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $D(\mathbb{R}^N_+)$ の列である。ゆえに $(1)$ が成り立つことを示すには $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_n\rVert_{2,m}=0$ が成り立つことを示せばよい。$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取る。Leibnizルール（命題7.2）より、 $$ \partial^{\alpha}u_n=\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})+ \sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} \partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}) $$ であるから、 $$ \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_n\rVert_2 \leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} \lVert\partial^{\beta}\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u})\rVert_2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**) $$ である。 $$ \partial^{\beta}\omega_n(x)=n^{-\lvert\beta\rvert}\partial^{\beta}\omega(n^{-1}x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ より、 $$ \lVert \partial^{\beta}\omega_n\rVert_{\infty}=n^{-\lvert\beta\rvert}\lVert \partial^{\beta}\omega\rVert_{\infty}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ であり、Youngの不等式（命題29.3）より、 $$ \lVert \psi_{\frac{1}{2n}}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2 \leq \lVert T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2 =\lVert \partial^{\alpha-\beta}\widetilde{u}\rVert_2\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ であるから、$(**)$ の右辺の第二項は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。$(**)$ の右辺の第一項を考える。$(*)$ の左の式とYoungの不等式（命題29.3）より、 $$ \begin{aligned} &\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}}*\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert \omega_n(\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\\ &+\lVert \omega_n(\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u})\rVert_2\\ &\leq \lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2+\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2\quad\quad(***) \end{aligned} $$ であり、$(*)$ とLebesgue優収束定理より、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\omega_n\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0, $$ Friedrichsの軟化子の性質（命題29.4）より、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert\partial^{\alpha}\widetilde{u}-\psi_{\frac{1}{2n}e_N}*\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0, $$ $L^2(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性（命題28.2）より、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-T_{\frac{1}{n}e_N}\partial^{\alpha}\widetilde{u}\rVert_2=0 $$ であるから、$(***)$ の右辺は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。よって $(**)$ の右辺の第一項は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束する。ゆえに $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}\widetilde{u}-\partial^{\alpha}u_n\rVert_2=0 $$ が成り立つので $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert \widetilde{u}-u_n\rVert_{2,m}=0$ が成り立つ。

□

補題34.4（Vandelmondeの行列式）

任意の $x_1,\ldots,x_N\in \mathbb{C}$ に対し、 $$ V_N(x_1,\ldots,x_N)\colon=\begin{pmatrix}x_1^0&x_2^0&\ldots&x_N^0\\x_1^1&x_2^1&\ldots&x_N^1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{N-1}&x_2^{N-1}&\ldots&x_N^{N-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{C}) $$ とおく。このとき、 $$ {\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)=\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_j-x_i) $$ が成り立つ。

Proof.

$N$ に関する帰納法で示す。$N=2$ の場合は、 $$ {\rm det}\begin{pmatrix}1&1\\x_1&x_2\end{pmatrix}=x_2-x_1 $$ であるから成り立つ。ある $N-1\geq2$ に対して成り立つと仮定して $N$ の場合も成り立つことを示す。$x_1,\ldots,x_{N-1}\in \mathbb{C}$ のうち互いに等しいものがあれば ${\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)$ は互いに等しい列を持つ行列の行列式であるので $0$ であるから $(*)$ は成り立つ。互いに異なる $x_1,\ldots,x_{N-1}\in \mathbb{C}$ を取り、 $$ p(x)\colon={\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_{N-1},x)\in \mathbb{C}\quad(\forall x\in \mathbb{C}) $$ とおく。このとき $p(x)$ は $x$ の $N-1$ 次の多項式であり、$x^{N-1}$ の係数は、 $$ {\rm det}V_{N-1}(x_1,\ldots,x_{N-1})=\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\neq0 $$ である。そして $p(x_1)=\ldots=p(x_{N-1})=0$ であるから、 $$ p(x)=\left(\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\right)(x-x_1)\ldots(x-x_{N-1}) $$ である。よって任意の $x_N\in\mathbb{C}$ に対し、 $$ \begin{aligned} {\rm det}V_N(x_1,\ldots,x_N)&=p(x_N)=\left(\prod_{1\leq i<j\leq N-1}(x_j-x_i)\right)(x_N-x_1)\ldots(x_N-x_{N-1})\\ &=\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_j-x_i) \end{aligned} $$ であるから $N$ の場合も成り立つ。

□

定理34.5（半空間上のSobolev空間の拡張作用素の構成）

$m\in \mathbb{N}$ に対し補題34.4より、 $$ \sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{j-1}=1\quad(j=1,\ldots,m)\quad\quad(*) $$ として $a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{R}$ が定まる。これに対し、 $$ \Phi_k\colon\mathbb{R}^N_-\ni (x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\mapsto (x_1,\ldots,x_{N-1},-kx_N)\in \mathbb{R}^N_+\quad(k=1,\ldots,m) $$ とおき、 $$ u^{(k)}\colon=u\circ\Phi_k\in H^m(\mathbb{R}^N_-)\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N_+), k=1,\ldots,m) $$ とおく。（Sobolev空間の変数変換（命題31.2）より $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $u\circ\Phi_k\in H^m(\mathbb{R}^N_-)$である。） そして任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し、 $$ Eu\colon=\widetilde{u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{u^{(k)}}\in L^2(\mathbb{R}^N) $$ とおく。（ただし $v\in L^2(\mathbb{R}^N_{\pm})$ に対し $\widetilde{v}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を $v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張とする。）このとき任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \partial^{\alpha}Eu=\widetilde{\partial^{\alpha}u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{\partial^{\alpha}u^{(k)}}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(**) $$ が成り立つ。そして、 $$ E:H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N) $$ は有界線形作用素である。

Proof.

$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ E_{\alpha}: H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto \widetilde{\partial^{\alpha}u}+\sum_{k=1}^{m}a_k\widetilde{\partial^{\alpha}u^{(k)}}\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(**) $$ とおく。Sobolev空間の変数変換（命題31.2）より、 $$ H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto u^{(k)}\in H^m(\mathbb{R}^N_-)\quad(k=1,\ldots,m) $$ はそれぞれ有界線形作用素であるので $(**)$ は有界線形作用素である。今、 $$ \partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\quad(***) $$ （$D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ は $D(\mathbb{R}^N)$ の元を $\mathbb{R}^N_+$ 上に制限したもの全体）が成り立つことを帰納法によって示す。そこである $n\in \{0,1\ldots,m-1\}$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq n)\quad\quad(****) $$ が成り立つと仮定する。（$n=0$の場合は自明に成り立つ。）$\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り、 $$ \beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N $$ とおく。任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ を取る。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し帰納法の仮定 $(****)$ と部分積分より、 $$ \begin{aligned} &\partial^{\beta}Eu(\varphi)=\partial_j\partial^{\alpha}Eu(\varphi)=\partial_jE_{\alpha}u(\varphi) =-E_{\alpha}(\partial_j\varphi)\\ &=-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial^{\alpha}u(x)\partial_j\varphi(x)dx-\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial^{\alpha}u^{(k)}(x)\partial_j\varphi(x)dx\\ &=E_{\beta}u(\varphi)-\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(\partial^{\alpha}u\varphi)(x)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial_j(\partial^{\alpha}u^{(k)}\varphi)(x)dx\right)\quad\quad(*****) \end{aligned} $$ であるから、$j\in \{1,\ldots,N-1\}$ の場合はFubiniの定理と微積分学の基本定理より $(*****)$ の右辺の第二項は $0$ である。$j=N$の場合、$(*****)$ の右辺の第二項は、Fubiniの定理と微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_N(\partial^{\alpha}u\varphi)(x)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^N_-}\partial_N(\partial^{\alpha}u^{(k)}\varphi)(x)dx\\ &=-\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k\int_{\mathbb{R}^{N-1}} \partial^{\alpha}u^{(k)}(x,0)\varphi(x,0)dx\\ &=-\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx+\sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{\alpha_N}\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx\\ &=\left(-1+\sum_{k=1}^{m}a_k(-k)^{\alpha_N}\right)\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial^{\alpha}u(x,0)\varphi(x,0)dx \end{aligned} $$ であるから、$(*)$ より $0$ である。よって、 $$ \partial^{\beta}Eu(\varphi)=E_{\beta}u(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ が成り立つ。ゆえに、 $$ \partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+},\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+:\lvert\alpha\rvert\leq n+1) $$ が成り立つので、帰納法より $(***)$ が成り立つ。今、任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ を取る。命題34.2より $D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,m}=0$ なるものが取れる。$\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(**)$ が有界線形作用素であることと命題5.5より、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}E_{\alpha}u_i=E_{\alpha}u\quad(D'(\mathbb{R}^N)\text{ の位相}) $$ であり、命題6.3より、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}Eu_i=\partial^{\alpha}Eu\quad(D'(\mathbb{R}^N)\text{ の位相}) $$ である。よって $(***)$ より、 $$ E_{\alpha}u=\lim_{i\rightarrow\infty}E_{\alpha}u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}\partial^{\alpha}Eu_i=\partial^{\alpha}Eu $$ である。これで任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であることと $(**)$ が成り立つことが示された。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto \partial^{\alpha}Eu=E_{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N) $$ は有界線形作用素であるので、 $$ E:H^m(\mathbb{R}^N_+)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N) $$ は有界線形作用素である。

□

定義34.6（半空間上のSobolev空間の拡張作用素）

定理34.5における有界線形作用素 $E\colon H^m(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ を $H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素と言う。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N_+)$ に対し $Eu|_{\mathbb{R}^N_+}=u$ であることに注意。

35. 滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^m(\Omega)$ の拡張作用素

定理35.1（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合上のSobolev空間の拡張作用素の存在）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）、$m\in\mathbb{Z}_+$ とする。このとき有界線形作用素 $$ E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N) $$ で、 $$ Eu|_{\Omega}=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega)) $$ を満たすものが存在する。（これを $H^m(\Omega)$ の拡張作用素と言う。）

Proof.

滑らかな境界を持つ開集合の定義（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_k,\Phi_k))_{k=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。

• $(1)$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k$.
• $(2)$　各$k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、

$$ \Phi_k(U_k)=(-1,1)^N,\quad\Phi_k(U_k\cap\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times (0,1),\quad \Phi_k(U_k\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}. $$

• $(3)$　各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_k,\Phi_k^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$(1)$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、 $$ \partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k $$ を満たすものが取れる。このとき命題2.2の $(4)$ より、 $$ d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0\quad\quad(*) $$ であり、$1$の分割（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系15.6）より $h_k\in D(U_k)$ $(k=1,\ldots,\ell )$ で、 $$ \sum_{k=1}^{\ell}h_k(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**) $$ を満たすものが取れる。今、 $$ h_0\colon=1-\sum_{k=1}^{\ell}h_k\in C^\infty(\mathbb{R}^N) $$ とおく。このとき $h_0$ は全ての偏導関数が有界なのでLeibnizルール（命題7.2）より任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $h_0u\in H^m(\Omega)$ であり、注意33.4と $(*), (**)$ より、 $$ d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega) =d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\text{supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0 $$ である。よって系33.5より $h_0u\in H^m_0(\Omega)$ であるから、命題32.3より $h_0u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{h_0u}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ に属する。これより有界線形作用素 $$ E_0:H^m(\Omega)\ni u\mapsto \widetilde{h_0u}\in H^m(\mathbb{R}^N\quad\quad(***) $$ が定義できる。任意の $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。$\text{supp}(h_k)\subset U_k$ はコンパクトであるので $\epsilon\in (0,1)$ で、 $$ \Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset (-\epsilon,\epsilon)^N $$ を満たすものが取れる。$\Phi_k$ の $U_k\cap\Omega$ 上への制限を $\Psi_k$ とおくと、$(2),(3)$ とSobolev空間の変数変換（命題31.2）より、任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し、 $$ (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^m( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)),\quad \text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset (-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon) $$ であり、 $$ d(\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}),\text{ }\mathbb{R}^N_+\backslash (-1,1)^{N-1}\times(0,1))\geq1-\epsilon>0 $$ である。よって定理33.3より $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^m( (-1,1)^{N-1}\times (0,1))$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}$ は、 $$ \begin{aligned} &\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\rVert_{2,m}=\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,m},\\ &\text{supp}(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})=\text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset (-\epsilon,\epsilon)^{N-1}\times (0,\epsilon)\quad\quad(****) \end{aligned} $$ を満たす。今、$H^m(\mathbb{R}^N_+)$ の拡張作用素（定義34.6）を、 $$ F\colon H^m(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N) $$ とすると、$(****)$ と $F$ の構成の仕方（定理34.5を参照）より、 $$ \text{supp}(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})) \subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times [0,\epsilon]\cup\bigcup_{j=1}^{m}[-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times[-j^{-1}\epsilon,\epsilon]\subset [-\epsilon,\epsilon]^N $$ であるから、系33.5より、 $$ (F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))|_{(-1,1)^N}\in H^m_0((-1,1)^N) $$ である。よって $(3)$ とSobolev空間の変数変換（命題31.2）より、 $$ (F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\circ\Phi_k\in H^m_0(U_k)\quad\quad(*****) $$ である。$(*****)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $E_ku$と すると命題32.3より $E_ku\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \lVert E_ku\rVert_{2,m}=\lVert (F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\circ\Phi_k\rVert_{2,m} $$ である。よって $(****)$ より $\Phi_k,\Psi_k,h_k$ のみによる定数 $C_1,C_2,C_3\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lVert E^ku\rVert_{2,m}&\leq C_1\lVert F\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\rVert_{2,m} \leq C_1\lVert F\rVert\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,m}\\ &\leq C_1\lVert F\rVert C_2\lVert h_ku\rVert_{2,m}\leq C_1\lVert F\rVert C_2C_3\lVert u\rVert_{2,m} \end{aligned} $$ となる。これより、 $$ E_k:H^m(\Omega)\ni u\mapsto E_ku\in H^m(\mathbb{R}^N) $$ は有界線形作用素である。 任意の $u\in H^m(\Omega)$、任意の $x\in \Omega$ を取る。$x\in U_k$ ならば、 $$ E_ku(x)=(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))(\Phi_k(x)) =(F(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))(\Psi_k(x)) =h_k(x)u(x) $$ であり、$x\notin U_k$ ならば $E_ku(x)=0=h_k(x)u(x)$ であるから、 $$ E_ku|_{\Omega}=h_ku\quad(\forall u\in H^m(\Omega))\quad\quad(******) $$ である。そこで有界線形作用素 $$ E\colon=E_0+\sum_{k=1}^{\ell}E_k:H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N) $$ を考えると、$(***), (******)$ より、 $$ Eu|_{\Omega}=E_0u|_{\Omega}+\sum_{k=1}^{\ell}E_ku|_{\Omega} =h_0u+\sum_{k=1}^{\ell}h_ku=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega)) $$ であるから、$E$ は求める有界線形作用素である。

□

系35.2（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ に対し $H^m(\Omega)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}$）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とする。このとき、 $$ H^m(\Omega)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}=\overline{\{u|_{\Omega}:u\in D(\mathbb{R}^N)\}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}} $$ が成り立つ。

Proof.

$E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ を拡張作用素（定理35.1）とする。任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、 $H^m(\mathbb{R}^N)=H^m_0(\mathbb{R}^N)$（定理32.2）であるから、$D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert Eu-u_i\rVert_{2,m}=0 $$ を満たすものが取れる。$\Omega$ 上への制限を考えれば、 $$ \lVert u-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m}=\lVert Eu|_{\Omega}-u_i|_{\Omega}\rVert_{2,m} \leq \lVert Eu-u_i\rVert_{2,m}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ であるから $u\in \overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}}^{\lVert\cdot\rVert_{2,m}}$ である。

□

36. 半空間 $\mathbb{R}^N_+$ 上のSobolev空間 $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素

補題36.1

有界線形作用素 $$ \Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ で、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \Gamma f=f(\cdot,0)\quad\quad(*) $$ を満たすものが唯一つ存在する. ただし $N=1$ の場合は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})=\mathbb{C}$、$f(\cdot,0)=f(0)$ とみなす。

Proof.

一意性は $H^1(\mathbb{R}^N)$ における $D(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ の稠密性（定理32.2）による。存在を示す。 $$ \Gamma_0\colon(D(\mathbb{R}^N),\lVert \cdot\rVert_{2,1})\ni f\mapsto f(\cdot,0)\in L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ なる線形作用素を考え、これが有界線形作用素であることを示す。$h\in D(\mathbb{R})$ で $h(0)=1$、$h(1)=0$ なるものを取り、 $$ C^colon={\rm max}(\lVert h\rVert_2,\lVert h'\rVert_2) $$ とおく。このとき任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、任意の $x\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、 $$ \begin{aligned} \lvert \Gamma_0f(x)\rvert&=\lvert f(x,0)\rvert=\lvert h(1)f(x,1)-h(0)f(x,0)\rvert =\left\lvert\int_{0}^{1}(h'(t)f(x,t)+h(t)\partial_Nf(x,t))dt\right\rvert\\ &\leq\int_{0}^{1}\lvert h'(t)f(x,t)\rvert dt+\int_{0}^{1}\lvert h(t)\partial_Nf(x,t)\rvert dt\\ &\leq \lVert h'\rVert_2\left(\int_{0}^{1}\lvert f(x,t)\rvert^2 dt\right)^{\frac{1}{2}}+\lVert h\rVert_2\left(\int_{0}^{1}\lvert \partial_Nf(x,t)\rvert^2 dt\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq C\left(\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert f(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nf(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}\right) \end{aligned} $$ であるから、Minkowskiの不等式とTonelliの定理より、 $$ \begin{aligned} \lVert \Gamma_0f\rVert_2&=\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\lvert f(x,0)\rvert^2dx\right)^{\frac{1}{2}} \leq C\left(\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\int_{\mathbb{R}}\lvert f(x,t)\rvert^2dtdx\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nf(x,t)\rvert^2dt\right)^{\frac{1}{2}}\right)\\ &=C(\lVert f\rVert_2+\lVert \partial_Nf\rVert_{2})\leq 2C\lVert f\rVert_{2,1} \end{aligned} $$ である。よって $(**)$ は有界線形作用素である。$H^1(\mathbb{R}^N)$ において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である（定理32.2）から、位相線形空間1：ノルムと内積の命題3.6より $(**)$ は有界線形作用素 $$ \Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ に一意拡張できる。後はこの $\Gamma$ が任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ に対し $(*)$ を満たすことを示せばよい。Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ 0\leq \omega(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq 1) $$ を満たすものを取り、各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \omega_n(x)\colon=\omega(n^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ とおく。このとき、 $$ 0\leq \omega_{n}(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n) $$ である。$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in(0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とする。今、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ を取り、 $$ f_n\colon=\omega_n(\psi_{\frac{1}{n}}*f)\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ とおく。このとき命題26.2の $(1)$ より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ にコンパクト一様収束するので、特に $(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(\cdot,0)$ に各点収束する。また定理32.2の証明より、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert f-f_n\rVert_{2,1}=0 $$ であり、$\Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ は有界線形作用素であるので $(\Gamma f_n)_{n\in\mathbb{N}}=(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ において $\Gamma f$ に収束する。よって $(f_n(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(f_{k(n)}(\cdot,0))_{n\in\mathbb{N}}$と、$\Gamma f\in L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ のある代表元 $g:\mathbb{R}^{N-1}\rightarrow \mathbb{C}$ が存在し、 $$ g(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x,0)\quad(\text{a.e. }x\in \mathbb{R}^{N-1}) $$ が成り立つ。 ゆえに、 $$ f(x,0)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x,0)=g(x)\quad(\text{a.e. }x\in \mathbb{R}^{N-1}) $$ であるから $\Gamma f=[g]=f(\cdot,0)$ である。

□

定理36.2（$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素の一意存在）

有界線形作用素 $$ \Gamma\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ で、任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ に対し、 $$ \Gamma f=f(\cdot,0) $$ を満たすものが唯一つ存在する。（これを $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素と言う。）ただし $N=1$ の場合は $L^2(\mathbb{R}^{N-1})=\mathbb{C}$、$f(\cdot,0)=f(0)$ とみなす。

Proof.

一意性は $H^1(\mathbb{R}^N_+)$ における $D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}\subset H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ が稠密であること（命題34.2）よる。存在を示す。$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ 上の拡張作用素（定義34.6） $$ E\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^N) $$ と、補題36.1における有界線形作用素 $$ \Gamma_0:H^1(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}),\quad \Gamma_0f=f(\cdot,0)\quad(\forall f\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)) $$ を考える。そしてこれらの合成によって有界線形作用素 $$ \Gamma\colon=\Gamma_0E\colon H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ を定義する。任意の $f\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ を取り、$\Gamma f$ が $(*)$ を満たすことを示せばよい。$E$ の定義（定理34.5を参照）より $Ef\in H^1(\mathbb{R}^N)$ の代表元 $\widetilde{f}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ として、 $$ \widetilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{cl}f(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)&(x_N\geq0)\\ f(x_1,\ldots,x_{N-1},-x_N)&(x_N<0)\end{array}\right. $$ を満たすものが取れ、$f\in C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ であるから $\widetilde{f}\in C(\mathbb{R}^N)$ である。よって $Ef=\widetilde{f}\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap C(\mathbb{R}^N)$ であるので、 $$ \Gamma f=\Gamma_0Ef=\Gamma_0\widetilde{f}=\widetilde{f}(\cdot,0)=f(\cdot,0) $$ である。これで存在が示せた。

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命題36.3（$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素の基本性質）

$\Gamma:H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1})$ をトレース作用素とし、$u\in H^1(\mathbb{R}^N_+)$ とする。また $\widetilde{u}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張とする。このとき次は互いに同値である。

• $(1)$　$u\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$.
• $(2)$　$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$.
• $(3)$　$\Gamma u=0$.

Proof.

$(1)\Leftrightarrow(2)$ は命題34.3による。$(1)\Rightarrow(3)$ を示す。$(1)$ が成り立つならば $D(\mathbb{R}^N_+)\subset H^1(\mathbb{R}^N_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0 $$ を満たすものが取れる。よって、 $$ \Gamma u=\lim_{i\rightarrow\infty}\Gamma u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}u_i(\cdot,0)=0 $$ であるから $(3)$ が成り立つ。
$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。命題34.2より $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i|_{\mathbb{R}^N_+}\rVert_{2,1}=0\quad\quad(*) $$ を満たすものが取れる。任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し部分積分より、 $$ \begin{aligned} \partial_j\widetilde{u}(\varphi)&=-\widetilde{u}(\partial_j\varphi)=-\int_{\mathbb{R}^N_+}u(x)\partial_j\varphi(x)dx =-\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N_+}u_i(x)\partial_j\varphi(x)dx\\ &=\lim_{i\rightarrow\infty}\left(-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\right)\quad\quad(**) \end{aligned} $$ である。$(**)$ の右辺の第一項について考える。$j\in \{1,\ldots,N-1\}$ の場合、Fubiniの定理と微積分学の基本定理より、 $$-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx=0\quad(\forall i\in \mathbb{N}) $$ であり、$j=N$の場合、$(*)$ より $\lim_{i\rightarrow\infty}\Gamma u_i=\Gamma u=0$ であることと、Fubiniの定理、微積分学の基本定理、Hölderの不等式より、 $$-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_N(u_i\varphi)(x)dx =\int_{\mathbb{R}^{N-1}}u_i(x,0)\varphi(x,0)dx=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}(\Gamma u_i)(x)\varphi(x,0)dx\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ である。また $(**)$ の右辺の第二項については $(*)$ より、 $$ \int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\rightarrow\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx\quad(i\rightarrow\infty) $$ であるから $(**)$ の右辺は、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\left(-\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_j(u_i\varphi)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju_i(x)\varphi(x)dx\right)=\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx $$ となる。ゆえに、 $$ \partial_j\widetilde{u}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_ju(x)\varphi(x)dx =\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{\partial_ju}(x)\varphi(x)dx =\widetilde{\partial_ju}(\varphi) $$ であるから、 $$ \partial_j\widetilde{u}=\widetilde{\partial_ju}\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。これより $\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ であるので $(2)$ が成り立つ。

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37. 滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$のトレース作用素

定理37.1（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$ のトレース作用素）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）とする。このとき有界線形作用素 $$ \gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega) $$ で、 $$ \gamma u=u|_{\partial\Omega}\quad(\forall u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})) $$ を満たすものが唯一つ存在する。（これを $H^1(\Omega)$ のトレース作用素と言う。）ただし $L^2(\partial\Omega)$ はコンパクト超曲面 $\partial\Omega$ の面積測度（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定義16.8）に関する $L^2$ 空間である。

Proof.

一意性は系35.2より $H^1(\Omega)$ において $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ が稠密であることによる。存在を示す。滑らかな境界を持つ開集合の定義（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_k,\Phi_k))_{k=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。

• $(1)$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k$.
• $(2)$　各$k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、

$$ \Phi_k(U_k)=(-1,1)^N,\quad\Phi_k(U_k\cap\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times (0,1),\quad \Phi_k(U_k\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}. $$

• $(3)$　各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_k,\Phi_k^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。

$(1)$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、 $$ \partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{k=1}^{\ell}U_k $$ を満たすものが取れる（測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の命題27.4などを参照）。このとき命題2.2の $(4)$ より、 $$ d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0 $$ であり、$1$ の分割（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分]]の系15.6）より $h_k\in D(U_k)$ $(k=1,\ldots,\ell)$ で、 $$ \sum_{k=1}^{\ell}h_k(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(*) $$ を満たすものが取れる。任意の $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。$\text{supp}(h_k)\subset U_k$ はコンパクトであるので $\epsilon\in (0,1)$ で、 $$ \Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset [-\epsilon,\epsilon]^N $$ を満たすものが取れる。$\Phi_k$ の $U_k\cap \Omega$ 上への制限を $\Psi_k$ とおく。そして $(2)$ により、 $$ \Phi_k(x)=(\Theta_k(x),0)\quad(\forall x\in U_k\cap \partial\Omega) $$ として $\partial\Omega$ の局所座標 $(U_k\cap\partial\Omega,\Theta_k)$ を定義する。$(2),(3)$ とSobolev空間の変数変換（命題31.2）より任意の $u\in H^1(\Omega)$ に対し、 $$ (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)),\quad \text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times (0,\epsilon] $$ であり（右の式に関しては命題9.3を参照）、 $$ d(\text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}),\text{ }\mathbb{R}^N_+\backslash ( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)))\geq 1-\epsilon>0\quad\quad(**) $$ であるから、定理33.3より $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1( (-1,1)^{N-1}\times (0,1))$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}$ は、 $$ \begin{aligned} &\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^1(\mathbb{R}^N_+),\quad \lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\rVert_{2,1}=\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\rVert_{2,1},\\ &\text{supp}(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})=\text{supp}((h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times (0,\epsilon]\quad\quad(***) \end{aligned} $$ を満たす。今、$H^1(\mathbb{R}^N_+)$ のトレース作用素（定理36.2）を、 $$ \Gamma:H^1(\mathbb{R}^N_+)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{N-1}) $$ とする。$(***)$ より、 $$ \Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\in L^2(\mathbb{R}^{N-1}),\quad \text{supp}\left(\Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\right)\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\quad\quad(****) $$ である。$(3)$ より $\partial\Omega$ の局所座標 $(U_k\cap\partial\Omega,\Theta_k)$ に対する計量行列の行列式（ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の定義12.2）は有界であるから面積測度の定義（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定義16.8）より、 $$ \Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)\circ\Theta_k\in L^2(U_k\cap\partial\Omega)\quad\quad(*****) $$ である。そこで $(*****)$ の $\partial\Omega$ 上への $0$ 拡張を $\gamma_ku\in L^2(\partial\Omega)$ とおく。このとき面積測度の定義と $(***)$ とSobolev空間の変数変換（命題31.2）より $\Theta_k,\Psi_k,h_k$ のみによる定数 $C_1,C_2,C_3\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $u\in H^1(\Omega)$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lVert \gamma_ku\rVert_2&=\left\lVert \Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})\circ\Theta_k\right\rVert_2\leq C_1\left\lVert \Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})\right\rVert_2\\ &C_1\lVert \Gamma\rVert\left\lVert \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right\rVert_{2,1} =C_1\lVert \Gamma\rVert\left\lVert (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\right\rVert_{2,1}\\ &\leq C_1\lVert \Gamma\rVert C_2\lVert h_ku\rVert_{2,1} \leq C_1\lVert \Gamma\rVert C_2C_3\lVert u\rVert_{2,1} \end{aligned} $$ となる。これより、 $$ \gamma_k\colon H^1(\Omega)\ni u\mapsto\gamma_ku\in L^2(\partial\Omega) $$ は有界線形作用素である。任意の $u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ に対し $(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in C((-1,1)^{N-1}\times[0,1) )$ であり、 $$ \text{supp}( (h_ku)\circ\Psi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^{N-1}\times [0,\epsilon] $$ であるから $\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in C(\overline{\mathbb{R}^N_+})$ である。よって任意の $x\in\partial\Omega$ に対し、$x\in U_k$ ならば、 $$ \begin{aligned} (\gamma_ku)(x)&=\Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Theta_k(x))=(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Theta_k(x),0)\\ &=(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})(\Psi_k(x)) =h_k(x)u(x) \end{aligned} $$ であり、$x\notin U_x$ ならば $(\gamma_ku)(x)=0=h_k(x)u(x)$ である。ゆえに、 $$ \gamma_ku=(h_ku)|_{\partial\Omega}\quad(\forall u\in H^k(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}))\quad\quad(******) $$ である。そこで有界線形作用素 $$ \gamma\colon=\sum_{k=1}^{\ell}\gamma_k:H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega) $$ を定義すれば、$(**)$, $(******)$ より任意の $u\in H^1(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ に対し、 $$ \gamma u=\sum_{k=1}^{\ell}\gamma_ku=\sum_{k=1}^{\ell}(h_ku)|_{\partial\Omega}=u|_{\partial\Omega} $$ である。これで存在が示せた。

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定理37.2（滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合 $\Omega$ 上のSobolev空間 $H^1(\Omega)$ のトレース作用素の基本性質）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（定理37.1）とする。このとき $u\in H^1(\Omega)$ に対し次は互いに同値である。

• $(1)$　$u\in H^1_0(\Omega)$.
• $(2)$　$\gamma u=0$.
• $(3)$　$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$.（ただし $\widetilde{u}$ は $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張である。）

Proof.

定理37.1の証明で用いた記号を踏襲する。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$u\in H^1_0(\Omega)$ ならば、$D(\Omega)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0$ なるものが取れる。$u_i|_{\partial\Omega}=0$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ より、 $$ \gamma u=\lim_{i\rightarrow\infty}\gamma u_i=\lim_{i\rightarrow\infty}u_i|_{\partial\Omega}=0 $$ である。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$\gamma u=0$ とする。系35.2より $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u-u_i\rVert_{2,1}=0$ を満たすものが取れる。各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、 $$ \gamma_ku=\lim_{i\rightarrow\infty}\gamma_ku_i=\lim_{i\rightarrow\infty}(h_ku_i)|_{\partial\Omega}=h_k|_{\partial\Omega}\gamma u=0 $$ であるから定理37.1の $(*****)$ が $0$ であるので、 $$ \Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}})|_{(-1,1)^{N-1}}=0 $$ であり、定理37.1の $(****)$ より $\text{supp}(\Gamma(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}))\subset (-1,1)^{N-1}$ であるので、 $$ \Gamma\left(\widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\right)=0 $$ である。よって命題36.3より、 $$ \widetilde{(h_ku)\circ\Psi_k^{-1}}\in H^1(\mathbb{R}^N_+)\quad\quad(*) $$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。$(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in L^2((-1,1)^N)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張であり、それが $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属するので、 $$ (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1((-1,1)^N) $$ である。そして、 $$ \text{supp}( (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1})\subset [-\epsilon,\epsilon]^N\quad\quad(**) $$ であるから、系33.5より、 $$ (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1_0((-1,1)^N) $$ である。よってSobolev空間の変数変換（命題31.2）より、 $$ (h_k\widetilde{u})|_{U_k}\in H^1_0(U_k) $$ であるから、命題32.3より $h_k\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ である。ここで、 $$ h_0\colon=1-\sum_{k=1}^{\ell}h_k $$ に対し、定理37.1の $(*)$ より、 $$ d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega) =d(\text{supp}(h_0u),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\text{supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0 $$ であるから系33.5より $h_0u\in H^m_0(\Omega)$ であり、命題32.3より $\widetilde{h_0u}\in H^m(\mathbb{R}^N)$ である。これより、 $$ \widetilde{u}=h_0\widetilde{u}+\sum_{k=1}^{\ell}h_k\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N) $$ であるから $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$\widetilde{u}\in H^1(\mathbb{R}^N)$ とする。このとき各 $k\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、 $$ (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1((-1,1)^N),\quad \text{supp}( (h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1})\subset \Phi_k(\text{supp}(h_k))\subset [-\epsilon,\epsilon]^N $$ であるから系33.5より $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}\in H^1_0((-1,1)^N)$、したがって命題32.3より $(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。$(h_k\widetilde{u})\circ\Phi_k^{-1}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張と等しいから $(*)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張は $H^1(\mathbb{R}^N)$ に属する。よって命題36.3より $(*)$ は $H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ に属するので、定理33.3より、 $$ (h_ku)\circ\Psi_k^{-1}\in H^1_0( (-1,1)^{N-1}\times (0,1)), $$ したがってSobolev空間の変数変換（命題31.2）より、 $$ (h_ku)|_{U_k\cap \Omega}\in H^1_0(U_k\cap \Omega) $$ である。命題32.3より $(h_ku)|_{U_k\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張 $h_ku$ は $H^1_0(\Omega)$ に属し、$h_0u\in H^1_0(\Omega)$ であるから、 $$ u=h_0u+\sum_{k=1}^{\ell}h_ku\in H^1_0(\Omega) $$ である。よって $(3)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。

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38. Sobolevの埋め込み定理

命題38.1（Fourier変換によるSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム）

${\cal F}$ をFourier変換とし $m\in \mathbb{Z}_+$とする。このとき任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (1+\lvert\text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\Leftrightarrow\quad u\in H^m(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。そして $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム $p_m\colon H^m(\mathbb{R}^N)\rightarrow [0,\infty)$ を、 $$ p_m(u)\colon=\lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N)) $$ として定義すると、ある定数 $C_m\in (0,\infty)$ が存在し、$H^m(\mathbb{R}^N)$ の通常のノルム $\lVert \cdot\rVert_{2,m}$ に対し、 $$ \lVert u\rVert_{2,m}\leq p_m(u)\leq C_m\lVert u\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N)) $$ が成り立つ。

Proof.

ある $C_{\alpha}\in \mathbb{N}$ $(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)$ に対し、 $$ (1+\lvert\text{id}\rvert^2)^{m}=(1+\text{id}_1^2+\ldots +\text{id}_N^2)^m=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}(\text{id}^{\alpha})^2 $$ と表せる。よって命題18.3より任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (1+\lvert\text{id}\rvert^2)^m\lvert\mathcal{F}u\rvert^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lvert \text{id}^{\alpha}\mathcal{F}u\rvert^2 =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lvert \mathcal{F}\partial^{\alpha}u\rvert^2\quad\quad(**) $$ であるから、 $$ \begin{align*} &(1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}{\cal F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad \Leftrightarrow\quad {\cal F}\partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\\ &\Leftrightarrow\quad \partial^{\alpha}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)\quad\Leftrightarrow\quad u\in H^m(\mathbb{R}^N) \end{align*} $$ である。ただし$2$番目の$\Leftrightarrow$でPlancherelの定理（定理19.1）を用いた。よって $(*)$ が成り立つ。また$(**)$とPlancherelの定理（定理19.1）より、 $$ p_m(u)^2=\lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2^2 =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \mathcal{F}\partial^{\alpha}u\rVert_2^2 =\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2 $$ であり、$C_{\alpha}\geq1$ $(\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m)$ より任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ p_m(u)^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2 \geq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2 =\lVert u\rVert_{2,m}^2 $$ である。また、 $$ C:=\sqrt{\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}} $$ とおけば、任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ p_m(u)^2=\sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_2^2 \leq \sum_{\lvert\alpha\rvert\leq m}C_{\alpha}\lVert u\rVert_{2,m}^2 \leq C^2\lVert u\rVert_{2,m}^2 $$ であるから、 $$ \lVert u\rVert_{2,m}\leq p_m(u)\leq C\lVert u\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\mathbb{R}^N)) $$ である。

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命題38.2（Banach空間 $BC^k(\Omega)$）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$k\in \mathbb{Z}_+$ とする。$\Omega$ 上の複素数値 $C^k$ 級関数で $k$ 階までの全ての偏導関数が有界であるもの全体のなす線形空間 $BC^k(\Omega)$ に対し、 $$ \lVert f\rVert_{\infty,k}\colon=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}f\rVert_{\infty}\quad(\forall f\in BC^k(\Omega)) $$ なるノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}:BC^k(\Omega)\rightarrow [0,\infty)$ を定義する。このときノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}$ により $BC^k(\Omega)$ はBanach空間である。

Proof.

$(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $(BC^k(\Omega),\lVert \cdot\rVert_{\infty,k})$ のCauchy列とすると、$\lvert\alpha\rvert\leq k$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \lVert \partial^{\alpha}f_i-\partial^{\alpha} f_j\rVert_{\infty}\leq \lVert f_i-f_j\rVert_{\infty,k}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}) $$ であるから $(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_b(\Omega)$（$\Omega$ 上の複素数値有界連続関数全体）のCauchy列である。よって $\lvert\alpha\rvert\leq k$ を満たす任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $f^{(\alpha)}\in C_b(\Omega)$ で、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert \partial^{\alpha}f_i-f^{(\alpha)}\rVert_{\infty}=0\quad\quad(*) $$ なるものが定まる。今、$f\colon=f^{(0)}\in C_b(\Omega)$ とおく。 $$ f\in C^k(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq k)\quad\quad(**) $$ が成り立つことを帰納法によって示す。そこである $m\in \{0,1,\ldots,k-1\}$ に対し、 $$ f\in C^m(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m) $$ が成り立つと仮定する。$\lvert\alpha\rvert=m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し、 $$ \beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N $$ とおく。任意の $x\in \Omega$ と $\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert<\delta\}\subset \Omega$ なる任意の $\delta\in (0,\infty)$ を取る。$0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し微積分学の基本定理より、 $$ \frac{\partial^{\alpha}f_i(x+he_j)-\partial^{\alpha}f_i(x)}{h} =\int_{\Omega}\partial^{\beta}f_i(x+\theta he_j)d\theta \quad(\forall i\in \mathbb{N}) $$ であり、$(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ は $f^{(\alpha)}=\partial^{\alpha}f$ に一様収束し、$(\partial^{\beta}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f^{(\beta)}$ に一様収束するので、$i\rightarrow\infty$ とすれば、 $$ \frac{\partial^{\alpha}f(x+he_j)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}=\int_{\Omega}f^{(\beta)}(x+\theta he_j)d\theta $$ を得る。そして $f^{(\beta)}$ は有界連続関数であるので $h\rightarrow0$ とすれば、Lebesgue優収束定理より、 $$ \partial_j\partial^{\alpha}f(x)=f^{(\beta)}(x) $$ となる。よって $\lvert\alpha\rvert=m$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f\in C^1(\Omega)$ であり、 $$ \partial_j\partial^{\alpha}f=f^{(\alpha+e_j)}\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つので、 $$ f\in C^{m+1}(\Omega),\quad \partial^{\alpha}f=f^{(\alpha)}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq m+1) $$ が成り立つ。よって帰納法より $(**)$ が成り立つ。これより $f\in BC^k(\Omega)$ であり、$(*)$ より、 $$ \lVert f-f_i\rVert_{\infty,k}=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}f-\partial^{\alpha}f_i\rVert_{\infty}\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ であるから $BC^k(\Omega)$ はノルム $\lVert \cdot\rVert_{\infty,k}$ によりBanach空間である。

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定理38.3（Sobolevの埋め込み定理1）

$m,k\in \mathbb{Z}_+$ が $m>k+\frac{N}{2}$ を満たすとする。このとき $H^m(\mathbb{R}^N)\subset BC^k(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。そして、 $$ H^m(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto u\in BC^k(\mathbb{R}^N) $$ は有界線形作用素である。ただし $BC^k(\mathbb{R}^N)$ は命題38.2におけるBanach空間である。

Proof.

命題38.1における $H^m(\mathbb{R}^N)$ のノルム $$ p_m\colon H^m(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto \lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\mathcal{F}u\rVert_2\in [0,\infty) $$ を考える。$\lvert\alpha\rvert\leq k$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し命題18.3とHölderの不等式より、 $$ \begin{aligned} (2\pi)^{\frac{N}{2}}\lvert\partial^{\alpha}u(x)\rvert&= (2\pi)^{\frac{N}{2}}\lvert(\text{id}^{\alpha}u^{\wedge})^{\vee}(x)\rvert \leq\int_{\mathbb{R}^N}\lvert y^{\alpha}u^{\wedge}(y)\rvert dy =\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y^{\alpha}\rvert}{(1+\lvert y\rvert^2)^{\frac{m}{2}}}(1+\lvert y\rvert^2)^{\frac{m}{2}}\lvert u^{\wedge}(y)\rvert dy\\ &\leq \left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y^{\alpha}\rvert^2}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^{m}\lvert u^{\wedge}(y)\rvert^2dy\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq \left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y\rvert^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy\right)^{\frac{1}{2}}p_m(u) \quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ となる。ここで単位球面 $S_{N-1}\subset \mathbb{R}^N$ の面積測度を $\mu(S_{N-1})$ とおくと極座標変換（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4）より、 $$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^N}\frac{\lvert y\rvert^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+\lvert y\rvert^2)^m}dy &\leq \mu(S_{N-1})\int_{[0,\infty)}r^{N-1}\frac{r^{2\lvert\alpha\rvert}}{(1+r^2)^m}dr \leq\mu(S_{N-1})\left(1+\int_{[1,\infty)}r^{N-1}\frac{r^{2k}}{(1+r^2)^m}dr\right)\\ &\leq\mu(S_{N-1})\left(1+\int_{[1,\infty)}r^{N+2k-2m-1}dr\right) \leq \mu(S_{N-1})\left(1+\frac{1}{2(m-(k+\frac{N}{2}))}\right)\quad\quad(**) \end{aligned} $$ であるから、 $$ C\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\left(\mu(S_{N-1})\left(1+\frac{1}{2(m-(k+\frac{N}{2}))}\right)\right)^{\frac{1}{2}} $$ とおけば $(*)$, $(**)$ より、 $$ \lVert\partial^{\alpha}u\rVert_{\infty}\leq Cp_m(u) $$ となる。$C$ は $m,k,N$ のみによる定数であるから、 $$ \lVert u\rVert_{\infty,k}=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq k}{\rm max}\lVert \partial^{\alpha}u\rVert_{\infty}\leq Cp_m(u)\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(***) $$ が成り立つ。任意の $u\in H^m(\mathbb{R}^N)$ に対し定理32.2より $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-u\rVert_{2,m}=0$ を満たすものが取れる。命題38.1より $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はノルム $p_m$ に関してCauchy列であり、$(***)$ より、 $$ \lVert u_i-u_j\rVert_{\infty,k}\leq Cp_m(u_i-u_j)\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}) $$ であるから $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $BC^k(\mathbb{R}^N)$ のCauchy列である。よってある $v\in BC^k(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i-v\rVert_{\infty,k}=0\quad\quad(****) $$ となる。ここで $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $u$ に $L^2$ ノルムで収束するので $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列は $u$ のある代表元にa.e. で各点収束し、$(****)$ より $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $v$ に一様収束する。よって $u=v\in BC^k(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \lVert u\rVert_{\infty,k}=\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert u_i\rVert_{\infty,k} \leq \lim_{i\rightarrow\infty}Cp_m(u_i)=Cp_m(u) $$ である。これより $H^m(\Omega)\subset BC^k(\Omega)$ であり、$H^m(\Omega)\ni u\mapsto u\in BC^k(\Omega)$ は有界線形作用素である。

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定理38.4（Sobolevの埋め込み定理2）

$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）とし、$m,k\in\mathbb{Z}_+$ が $m>k+\frac{N}{2}$ を満たすとする。このとき $H^m(\Omega)\subset BC^k(\Omega)$ が成り立つ。そして、 $$ H^m(\Omega)\ni u\mapsto u\in BC^k(\Omega) $$ は有界線形作用素である。ただし$BC^k(\Omega)$ は命題38.2におけるBanach空間である。

Proof.

定理35.1より有界線形作用素 $$ E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N) $$ で $Eu|_{\Omega}=u$ $(\forall u\in H^m(\Omega))$ を満たすものが取れる。定理38.3より定数 $C\in [0,\infty)$ が存在し、 $$ Eu\in BC^k(\mathbb{R}^N),\quad \lVert Eu\rVert_{\infty,k}\leq C\lVert Eu\rVert_{2,m}\quad(\forall u\in H^m(\Omega)) $$ が成り立つ。よって任意の $u\in H^m(\Omega)$ に対し $u=Eu|_{\Omega}\in BC^k(\Omega)$ であり、 $$ \lVert u\rVert_{\infty,k}\leq \lVert Eu\rVert_{\infty,k}\leq C\lVert Eu\rVert_{2,m} \leq C\lVert E\rVert\lVert u\rVert_{2,m} $$ であるので $H^m(\Omega)\ni u\mapsto u\in BC^k(\Omega)$ は有界線形作用素である。

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39. Rellich-Kondrachovの定理

補題39.1（Ascoli-Arzelàの定理）

コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れたBanach空間 $C(X)$ を考える。そして $C(X)$ の部分集合 $\mathcal{F}\subset C(X)$ が次を満たすとする。

• $(1)$　$\mathcal{F}$ は有界、すなわち $\sup_{f\in \mathcal{F}}\lVert f\rVert<\infty$.
• $(2)$　任意の $x\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $x$ の開近傍 $U_x$ が存在し、

$$ \sup_{f\in \mathcal{F}}\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall y\in U_x) $$ が成り立つ。

このとき $\overline{\mathcal{F}}\subset C(X)$ は（点列）コンパクトである。

Proof.

距離空間の位相の基本的性質の定理6.5より $\overline{\mathcal{F}}$ が全有界であることを示せばよく、そのためには $\mathcal{F}$ が全有界であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り固定する。このとき $(2)$ より $x$ の開近傍 $U_x$ で、 $$ \sup_{f\in \mathcal{F}}\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq\frac{\epsilon}{3}\quad\quad(*) $$ を満たすものが取れる。$X$ のコンパクト性より有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ で、 $$ X=\bigcup_{j=1}^{n}U_{x_j}\quad\quad(**) $$ なるものが取れる。今、 $$ \Phi\colon\mathcal{F}\ni f\mapsto (f(x_1),\ldots,f(x_n))\in \mathbb{C}^n $$ とおくと、$(1)$ より $\Phi(\mathcal{F})\subset \mathbb{C}^n$ は有界であり、$\mathbb{C}^n$ の有界閉集合はコンパクトであるから $\Phi(\mathcal{F})$ は全有界である。よって有限個の $f_1,\ldots,f_n\in \mathcal{F}$ が取れて、 $$ \Phi(\mathcal{F})\subset \bigcup_{k=1}^{m}B(\Phi(f_k),\text{ }\frac{\epsilon}{3})\quad\quad(***) $$ が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{F}$ に対し $(***)$ より、 $$ \lvert \Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert<\frac{\epsilon}{3}\quad\quad(****) $$ を満たす $k\in \{1,\ldots,m\}$ が取れる。そして任意の $x\in X$ に対し $(**)$ より $x\in U_{x_j}$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ が取れ、$(*)$ より、 $$ \begin{aligned} \lvert f(x)-f_k(x)\rvert&\leq \lvert f(x)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f_k(x_j)\rvert+\lvert f_k(x_j)-f_k(x)\rvert\leq\frac{2}{3}\epsilon+\lvert \Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert \end{aligned} $$ である。よって $(****)$ より、 $$ \lVert f-f_k\rVert=\sup_{x\in X}\lvert f(x)-f_k(x)\rvert\leq\frac{2}{3}\epsilon+\lvert\Phi(f)-\Phi(f_k)\rvert<\epsilon $$ であるので、 $$ \mathcal{F}\subset \bigcup_{k=1}^{m}B(f_k,\epsilon) $$ が成り立つ。よって $\mathcal{F}$ は全有界である。

□

補題39.2

$\mathbb{R}^N$ 上の複素数値連続関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が次の条件を満たすとする。

• $(1)$　任意のコンパクト集合 $K$ に対し $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sup_{x\in K}\lvert f_n(x)\rvert<\infty$.
• $(2)$　任意の $x\in \mathbb{R}^N$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $x$ の開近傍 $U_x$ が存在し、

$$ \sup_{n\in\mathbb{N}}\lvert f_n(y)-f_n(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall y\in U_x). $$

このとき $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列はコンパクト一様収束（定義3.2）する。

Proof.

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対しコンパクト集合 $K_n\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n\}$ を定義する。$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の $K_1$ 上への制限を考えてAscoli-Arzelàの定理（補題39.1）を適用すれば、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で $K_1$ 上で一様収束するものが取れる。$(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の $K_2$ 上への制限を考えてAscoli-Arzelàの定理を適用すれば、$(f_{k_1(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(f_{k_2(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で $K_2$ 上で一様収束するものが取れる。以下同様の操作を繰り返し、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列の列 $$ (f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}\quad(m=1,2,3\ldots) $$ で次の条件を満たすものができる。

• $(1)$　任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K_m$ 上で一様収束する。
• $(2)$　任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し $(f_{k_{m+1}(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列である。

$(2)$ より、 $$ k_n(n)<k_{n+1}(n)<k_{n+1}(n+1)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ であるから $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列である。任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $K\subset K_m$ なる $m\in\mathbb{N}$が取れ、$(1)$ より $(f_{k_m(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で一様収束する。$(2)$ より $(f_{k_n(n)})_{n\geq m}$ は $(f_{k_m(n)})_{n\geq m}$ の部分列であるから $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で一様収束する。ゆえに $(f_{k_n(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}^N$ 上でコンパクト一様収束する。

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定理39.3（Rellich-Kondrachovの定理1）

$n,m\in \mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とし、$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ をSobolev空間 $H^m(\mathbb{R}^N)$ の列とする。そしてある $M\in (0,\infty)$ とコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し次が成り立つと仮定する。

• $(1)$　$\sup_{i\in\mathbb{N}}\lVert u_i\rVert_{2,m}\leq M$.
• $(2)$　任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(u_i)\subset K$.

このとき $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列は $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束する。

Proof.

Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in K)$ を満たすものが取れる。$(2)$ より $u_i=hu_i$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ であるから、定理24.3より、 $$ u_i^{\wedge}=h^{\wedge}*u_i^{\wedge}\in C^\infty(\mathbb{R}^N)\quad(\forall i\in \mathbb{N}) $$ であり、 $$ \partial_ju_i^{\wedge}=\partial_j(h^{\wedge}*u_i^{\wedge}) =h^{\wedge}*\partial_ju_i^{\wedge}\quad(\forall i\in\mathbb{N}, j\in \{1,\ldots,N\}) $$ である。よってHölderの不等式、Plancherelの定理（定理19.1）と $(1)$ より、 $$ \begin{aligned} \lvert u_i^{\wedge}(x)\rvert&=\lvert (h^{\wedge}*u_i^{\wedge})(x)\rvert \leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert h^{\wedge}(y)\rvert\lvert u_i^{\wedge}(x-y)\rvert dy\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i^{\wedge}\rVert_2\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2\lVert u_i\rVert_2 \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2M\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N,\forall i\in \mathbb{N})\quad\quad(*) \end{aligned} $$ であり、 $$ \begin{aligned} \lvert \partial_ju_i^{\wedge}(x)\rvert&=\lvert (\partial_jh^{\wedge}*u_i^{\wedge})(x)\rvert \leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert \partial_jh^{\wedge}(y)\rvert\lvert u_i^{\wedge}(x-y)\rvert dy\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \partial_jh^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i^{\wedge}\rVert_2\\ &\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert (\text{id}_jh)^{\wedge}\rVert_2\lVert u_i\rVert_2 \leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N,\forall i\in \mathbb{N},\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(**) \end{aligned} $$ である。$(*)$ より、 $$ \sup_{i\in\mathbb{N}}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert u_i^{\wedge}(x)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert h\rVert_2M\quad\quad(***) $$ であり、$(**)$ と微積分学の基本定理より、任意の $i\in\mathbb{N}$ と任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lvert u_i^{\wedge}(x)-u_i^{\wedge}(y)\rvert &=\left\lvert \sum_{j=1}^{N}\left(\int_{0}^{1}\partial_ju_i^{\wedge}(x+\theta(y-x))d\theta\right)(y_j-x_j)\right\rvert\\ &\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\sum_{j=1}^{N}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\lvert y-x\rvert \end{aligned} $$ であるから、 $$ \sup_{i\in\mathbb{N}}\lvert u_i^{\wedge}(x)-u_i^{\wedge}(y)\rvert \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\sum_{j=1}^{N}\lVert \text{id}_jh\rVert_2M\lvert y-x\rvert\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(****) $$ である。よって $(***)$, $(****)$ と補題39.2より、$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ の部分列 $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ で $(\widehat{u_{k(i)}})_{i\in\mathbb{N}}$ がコンパクト一様収束するようなものが取れる。$(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ が $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束することを示せばよい。そのためには $H^n(\mathbb{R}^N)$ の完備性と命題38.1より $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ が $H^n(\mathbb{R}^N)$ のノルム $$ p_n:H^n(\mathbb{R}^N)\ni v\mapsto \lVert (1+\lvert \text{id}\rvert^2)^{\frac{n}{2}}v^{\wedge}\rVert_2\in [0,\infty) $$ に関してCauchy列であることを示せばよい。任意の $R\in (0,\infty)$ に対し閉球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ のLebesgue測度を $L(R)$ とおく。このとき $m>n$ であることから任意の $i,j\in \mathbb{N}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2=\int_{\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx\\ &=\int_{\lvert x\rvert\leq R}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx+\int_{R<\lvert x\rvert}\frac{(1+\lvert x\rvert^2)^m}{(1+\lvert x\rvert^2)^{m-n}}\lvert \widehat{u_{k(i)}}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2dx\\ &\leq L(R)(1+R^2)^n\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2+\frac{1}{(1+R^2)^{m-n}}p_m(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2\quad\quad(*****) \end{aligned} $$ となる。$(1)$ と命題38.1より $\sup_{i\in\mathbb{N}}p_m(u_i)\leq M'$ なる $M'\in (0,\infty)$ が取れる。よって $(*****)$ より任意の $R\in (0,\infty)$ と任意の $i,j\in \mathbb{N}$ に対し、 $$ p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})^2\leq L(R)(1+R^2)^n\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2+\frac{4M'^2}{(1+R^2)^{m-n}}\quad\quad(******) $$ となる。今、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。このとき十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、 $$ \frac{4M'^2}{(1+R_0^2)^{m-n}}<\frac{\epsilon^2}{2} $$ となる。そして $(u_{k(i)}^{\wedge})_{i\in\mathbb{N}}$ はコンパクト集合 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R_0\}$ 上で一様収束するので、十分大きい $i_0\in\mathbb{N}$ を取れば、 $$ L(R_0)(1+R_0^2)^n\sup_{\lvert x\rvert\leq R_0}\lvert u_{k(i)}^{\wedge}(x)-u_{k(j)}^{\wedge}(x)\rvert^2<\frac{\epsilon^2}{2}\quad(\forall i,j\geq i_0) $$ となる。よって $(******)$ より、 $$ p_n(u_{k(i)}-u_{k(j)})<\epsilon\quad(\forall i,j\geq i_0) $$ であるから $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\mathbb{R}^N)$ のCauchy列である。

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定理39.4（Rellich-Kondrachovの定理2）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合（ベクトル解析5：多様体の向きの定義21.3）とし、$n,m\in\mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とする。このときSobolev空間 $H^m(\Omega)$ の任意の有界列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はSobolev空間 $H^n(\Omega)$ において収束する部分列を持つ。

Proof.

定理35.1より有界線形作用素 $E\colon H^m(\Omega)\rightarrow H^m(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ Eu|_{\Omega}=u\quad(\forall u\in H^m(\Omega)) $$ を満たすものが取れる。$(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ の有界列なので $E$ の有界性より $(Eu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ の有界列である。$\overline{\Omega}\subset \mathbb{R}^N$ はコンパクトであるのでUrysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in \overline{\Omega})$ を満たすものが取れる。$h$ の全ての偏導関数は有界なのでLeibnizルール（命題7.2）より $hEu_i\in H^m(\mathbb{R}^N)$ $(\forall i\in \mathbb{N})$ であり、$(hEu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^m(\mathbb{R}^N)$ の有界列である。そして、 $$ \text{supp}(hEu_i)\subset \text{supp}(h)\quad(\forall i\in \mathbb{N}) $$ であり $\text{supp}(h)$ はコンパクトであるので、定理39.3より $(hEu_i)_{i\in\mathbb{N}}$ のある部分列 $(hEu_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\mathbb{R}^N)$ において収束する。ここで、 $$ (hEu_i)|_{\Omega}=h|_{\Omega}u_i=u_i\quad(\forall i\in \mathbb{N}) $$ であるから $(u_{k(i)})_{i\in\mathbb{N}}$ は $H^n(\Omega)$ において収束する。

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命題39.5（Rellich-Kondrachovの定理3）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を有界開集合とし、$n,m\in\mathbb{Z}_+$ を $n<m$ とする。このときSobolev空間 $H^m_0(\Omega)$ の任意の有界列 $(u_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はSobolev空間 $H^n(\Omega)$ において収束する部分列を持つ。

Proof.

任意の $u\in H^m_0(\Omega)$ に対し $u$ の $\mathbb{R}^N$ 上の $0$ 拡張を $Eu$ とすると、命題32.3より $Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ であり、$E\colon H^m_0(\Omega)\ni u\mapsto Eu\in H^m(\mathbb{R}^N)$ は有界線形作用素である。後は定理39.4の証明と全く同様である。

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参考文献

• 新井 仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」
• 宮島 静雄　「ソボレフ空間の基礎と応用」