合成積とFourier変換

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本稿は、超関数の定義と基本操作、緩増加超関数とFourier変換の続編であり、超関数の枠組みで合成積に関する基本的一般論を述べる。 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

超関数とFourier変換、Sobolev空間

21. Fréchet空間値連続関数のRiemann積分

定義21.1（分割）

閉直方体 $I=\prod_{j=1}^{N}[a_j,b_j]$ の各辺 $[a_j,b_j]$ に、 $$ a_{j}=t_{j,0}<t_{j,1}<\ldots<t_{j,n(j)}=b_j $$ なる有限個の点が与えられているとする。このとき、 $$ \Delta\colon=\prod_{j=1}^{N}\{t_{j,0},t_{j,1},\ldots,t_{j,n(j)}\} $$ を $I$ の分割と言い、 $$ K(\Delta)\colon=\left\{\prod_{j=1}^{N}[t_{j,k_j-1},t_{j,k_j}]:j=1,\ldots,N, k_j=1,\ldots,n(j)\right\} $$ の各要素を $\Delta$ によって定まる $I$ の小閉直方体と言う。またこれらの小閉直方体の辺の長さの最大値 $$ d(\Delta)\colon =\underset{\substack{j=1,\ldots,N,\\k_j=1,\ldots,n(j)}}{\rm max}(t_{j,k_j}-t_{j,k_j-1}) $$ を分割 $\Delta$ の幅と言う。さらに各$J = \prod_{j=1}^{N}[t_{j,k_j-1},t_{j,k_j}] \in K(\Delta)$ に対し $$ v(J)\colon= \prod_{j=1}^{N} (t_{j,k_j} - t_{j,k_j-1}) \in \mathbb{R} $$ と定義する。

定義21.2（分割全体のなす有向集合）

閉直方体 $I$ の分割全体を $\mathcal{D}(I)$ と表す。$\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し、 $$ \Delta_1\leq \Delta_2\quad\iff \quad \Delta_1\subset \Delta_2 $$ として $\mathcal{D}(I)$ における順序 $\leq$ を定義する。$\Delta_1\leq\Delta_2$ のとき $\Delta_2$ を $\Delta_1$ の細分と言う。任意の $\Delta_1,\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$ に対し $\Delta_3=\Delta_1\cup\Delta_2\in \mathcal{D}(I)$、$\Delta_1,\Delta_2\leq\Delta_3$ であるから $\mathcal{D}(I)$ はこの順序 $\leq$ によって有向集合である。

定義21.3（Riemann和）

$I$ を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上の線形空間、$f\colon I\rightarrow F$ とする。任意の $J\in K(\Delta)$ に対し代表点 $\xi_J\in J$ を取り $\xi\colon=(\xi_J)_{J\in K(\Delta)}$ とおく。 $$ s(f,\Delta,\xi_{\Delta})\colon=\sum_{J\in K(\Delta)}f(\xi_J)v(J) $$ を $\Delta$ とその代表点 $\xi_{\Delta}=(\xi_J)_{J\in K(\Delta)}$ によって定まる $f$ のRiemann和と言う。

補題21.4

$(X,d)$ をコンパクト距離空間、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のセミノルム空間、$f\colon X\rightarrow F$ を連続関数、$p\colon F\rightarrow [0,\infty)$ を連続なセミノルムとする。このとき任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、任意の $x,y \in X$ に対して、 $$ d(x,y)<\delta\quad\Rightarrow\quad p(f(x)-f(y))<\epsilon $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $x\in X$ に対し $X\ni y\mapsto p(f(y)-f(x))\in [0,\infty)$ は連続であるから $\delta_x\in (0,\infty)$ が存在し、任意の $y \in X$ に対して、 $$ d(y,x)<\delta_x\quad\Rightarrow\quad p(f(y)-f(x))<\frac{\epsilon}{2} $$ となる。$X$ はコンパクトなので有限個の $x_1,\ldots,x_n\in X$ が取れて、 $$ X=\bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j}) $$ となる。 $$ \delta\colon={\rm min}(2^{-1}\delta_{x_1},\ldots,2^{-1}\delta_{x_n}) $$ とおき $d(x,y)<\delta$ なる任意の $x,y\in X$ を取る。$x\in B(x_j,2^{-1}\delta_{x_j})$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、 $$ d(y,x_j)\leq d(y,x)+d(x,x_j)<\delta_{x_j} $$ であるから、 $$ p(f(y)-f(x))\leq p(f(y)-f(x_j))+p(f(x_j)-f(x))<\epsilon $$ である。

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命題21.5

$I$を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のFréchet空間、$f\colon I\rightarrow F$ を連続関数とする。このときRiemann和からなる $F$ のネット $(s(f,\Delta,\xi_{\Delta}))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず唯一つの点 $s(f)\in F$ に収束する。また、 $$ \lim_{d(\Delta)\rightarrow0}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f) $$ が成り立つ。

Proof.

$\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ をFréchet空間 $F$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理の定義15.2）とする。 セミノルム位相の基本性質（位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の命題8.6の$(3)$）より $0\in F$ の任意の近傍 $V$ に対し $n\in\mathbb{N}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し $\bigcap_{j=1}^{n}(p_j<\epsilon)\subset V$ となる。そして補題21.4より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $d(\Delta),d(\Delta')<\delta$ なる任意の $\Delta,\Delta'\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta}, \eta_{\Delta'}$ に対し、 $$ s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta',\eta_{\Delta'})\in \bigcap_{j=1}^{n}(p_j<\epsilon)\subset V $$ となる。よって $\lim_{n\rightarrow\infty}d(\Delta_n)=0$ なる $\mathcal{D}(I)$ の列 $(\Delta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取り、各 $n\in \mathbb{N}$ に対し代表点 $\xi_{\Delta_n}$ を取りRiemann和の列 $(s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n}))_{n\in\mathbb{N}}$ を作ると、これはCauchy列であるから収束する。そこでその収束点を $s(f)$ とおく。 今、改めて $0\in F$ の任意の近傍 $V$ を取る。$F$ の加法 $F\times F\ni (x,y)\mapsto x+y\in F$ の $(0,0)$ における連続性より $0\in F $の近傍 $W$ で $W+W\subset V$ なるものが取れる。$W$ に対し十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $d(\Delta),d(\Delta')<\delta$ なる任意の分割 $\Delta,\Delta'\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta},\eta_{\Delta'}$ に対し、 $$ s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta',\eta_{\Delta'})\in W $$ となる。また十分大きい $n\in \mathbb{N}$ を取れば、 $$ d(\Delta_n)<\delta,\quad s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})-s(f)\in W $$ となる。よって $d(\Delta)<\delta$ なる任意の分割 $\Delta\in \mathcal{D}(I)$ と任意の代表点 $\xi_{\Delta}$ に対し、 $$ s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f)=s(f,\Delta,\xi_{\Delta})-s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})+s(f,\Delta_n,\xi_{\Delta_n})-s(f)\in W+W\subset V $$ となる。これよりRiemann和のネット $(s(f,\Delta,\xi_{\Delta}))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず、 $$ \lim_{d(\Delta)\rightarrow0}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f),\quad \lim_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=s(f) $$ を満たす。

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定義21.6（Fréchet空間値Riemann積分）

$I$ を閉直方体、$F$ を $\mathbb{C}$ 上のFréchet空間、$f\colon I\rightarrow F$ を連続関数とする。命題21.5よりRiemann和からなる $F$ のネット $(s(f,\Delta,\xi))_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ は代表点 $(\xi_{\Delta})_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}$ の取り方によらず唯一つの点に収束する。それを、 $$ \int_{I}f(x)dx=\lim_{\Delta\in \mathcal{D}(I)}s(f,\Delta,\xi_{\Delta}) $$ と表し、$f$ のRiemann積分と言う。

注意21.7

Fréchet空間値連続関数のRiemann積分は、Fréchet空間が $\mathbb{C}$ の場合は、測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の命題36.7より、Lebesgue測度による積分である。（全く同様にFréchet空間がBanach空間の場合は、Lebesgue測度によるBochner積分（測度と積分9：Bochner積分の定義44.1）であることが分かる。）

22. Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$、$\mathcal{S}_N$ 上の平行移動と微分の連続性

命題22.1（Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の平行移動と微分の連続性）

任意の $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対しFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$（定義3.3）の位相に関して、

  • $(1)$　$\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_{y}f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ は連続である。ただし $T_yf$ は $f$ の $y$ による平行移動、すなわち $T_yf(x)=f(x-y)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)$ である。
  • $(2)$

$$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{-he_j}f-f}{h}=\partial_jf\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つ。

Proof.

  • $(1)$　任意の $x,y\in\mathbb{R}^N$ に対し $T_{x+y}f=T_xT_yf$ であるから $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の連続性を示すには $y=0$ における連続性を示せば十分である。そのためには任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、

$$ \lim_{y\rightarrow0}\sup_{x\in K}\lvert \partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0\quad\quad(*) $$ が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)=\partial^{\alpha}f(x-y)-\partial^{\alpha}f(x)\\ &=\sum_{j=1}^{N}(-y_j)\left(\int_{0}^{1}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\right)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} &\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert \leq \sup_{x\in K}\sum_{j=1}^{N}\lvert y_j\rvert \left\lvert \int_{0}^{1}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\right\rvert \\ &\leq\sum_{j=1}^{N}\lvert y_j\rvert\sup_{x\in K+\overline{B(0,1)}}\lvert\partial_j\partial^{\alpha}f(x)\rvert\quad(\forall y\in \overline{B(0,1)}) \end{aligned} $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

  • $(2)$　任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、

$$ \lim_{h\rightarrow0}\sup_{x\in K}\left\lvert \frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert=0\quad\quad(**) $$ が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x) =\int_{0}^{1}(\partial^{\alpha}\partial_jf(x+the_j)-\partial^{\alpha}\partial_jf(x))dt\\ &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N,\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} &\sup_{x\in K}\left\lvert \frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert\leq \sup_{x\in K}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\lvert th\rvert\lvert\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)\rvert dsdt\\ &\leq\lvert h\rvert\sup_{x\in K+\overline{B(0,1)}}\lvert\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x)\rvert\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert\leq1) \end{aligned} $$ である。よって $(**)$ が成り立つ。

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命題22.2（$\mathcal{S}_N$ 上の平行移動と微分の連続性）

任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $\mathcal{S}_N$（定義10.1）の位相に関して、

  • $(1)$ $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_{y}f\in \mathcal{S}_N$ は連続である。
  • $(2)$

$$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{-he_j}f-f}{h}=\partial_jf\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つ。

Proof.

  • $(1)$　任意の$x,y\in\mathbb{R}^N$ に対し $T_{x+y}f=T_xT_yf$ であるから $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in \mathcal{S}_N$ の連続性を示すには $y=0$ における連続性を示せば十分である。そのためには任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ \lim_{y\rightarrow0}\sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0 $$ が成り立つことを示せばよい。微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\partial^{\alpha}T_yf(x)-\partial^{\alpha}f(x)=\partial^{\alpha}f(x-y)-\partial^{\alpha}f(x)\\ &=\sum_{j=1}^{N}\int_{0}^{1}(-y_j)\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であり、多重二項定理より、 $$ x^{\beta}=(x-\theta y+\theta y)^{\beta}=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}(x-\theta y)^{\beta-\gamma}(\theta y)^{\gamma} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} &x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x) =\sum_{j=1}^{N}\int_{0}^{1}x^{\beta}(-y_j)\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta\\ &=\sum_{j=1}^{N}\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\int_{0}^{1}(-y_j)(\theta y)^{\gamma}(x-\theta y)^{\beta-\gamma}\partial_j\partial^{\alpha}f(x-\theta y)d\theta \end{aligned} $$ である。よって任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} \sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}T_yf(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert \leq\sum_{j=1}^{N}\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert y\rvert^{\lvert \gamma\rvert+1}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta-\gamma}\partial_j\partial^{\alpha}f(x)\rvert \end{aligned} $$ であるから $(*)$ が成り立つ。

  • $(2)$　任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ \lim_{h\rightarrow0}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\left\lvert \frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert=0\quad\quad(**) $$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\frac{\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}-\partial^{\alpha}\partial_jf(x) =\int_{0}^{1}(\partial^{\alpha}\partial_jf(x+the_j)-\partial^{\alpha}\partial_jf(x))dt\\ &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt \end{aligned} $$ であり、多重二項定理より、 $$ x^{\beta}=(x+sthe_j-sthe_j)^{\beta}=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}(x+sthe_j)^{\beta-\gamma}(-sthe_j)^{\gamma} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} &\frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\\ &=\sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}th(-sthe_j)^{\gamma}(x+sthe_j)^{\beta-\gamma}\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x+sthe_j)dsdt \end{aligned} $$ である。よって任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\left\lvert \frac{x^{\beta}\partial^{\alpha}T_{-he_j}f(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)}{h}-x^{\beta}\partial^{\alpha}\partial_jf(x)\right\rvert\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert h\rvert^{1+\lvert\gamma\rvert}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta-\gamma}\partial^{\alpha}\partial_j^2f(x)\rvert \end{aligned} $$ であるから $(**)$ が成り立つ。

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23. テスト関数と超関数の合成積

定義23.1（テスト関数と超関数の合成積）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$（resp. $\mathcal {S}_N$、$\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）と任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$（resp. $\mathcal{S}_N'$, $\mathcal{E}_N'$）に対し $f*u:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を、 $$ f* u(x)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ と定義する(($f_{-1}$, $T_xf$ はそれぞれ $f$ の反転と平行移動、すなわち $f_{-1}(x)=f(-x)$, $T_xf(y)=f(y-x)$ $(\forall x,y\in\mathbb{R}^N)$ である。よって $T_xf_{-1}(y)=f_{-1}(y-x)=f(x-y)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R}^N)$ である。))。 これをテスト関数 $f$ と超関数 $u$ の合成積と言う。次の命題23.3と命題23.4より $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N) $$ が成り立つ。

注意23.2

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} (f*[g])(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}[g](T_xf_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}g(y)f(x-y)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}g(x-y)f(y)dy\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。ただし三番目の等号はLebesgue測度の平行移動不変性による。

命題23.3（テスト関数と超関数の合成積は滑らかな関数）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $x\in\mathbb{R}^N$ を取り、コンパクト集合 $$ K\colon=\overline{B(x,1)}-\text{supp}(f) $$ を定義する。このとき$\lvert y\rvert\leq1$ なる任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \text{supp}(T_yT_xf_{-1})=x+y-\text{supp}(f)\subset K $$ である。よって、Fréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ の位相はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相であること（定義3.7を参照）と命題22.1より、Fréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ において、 $$ \lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}T_yT_xf_{-1}=T_xf_{-1}, $$ $$ \lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h} =-\partial_jT_{x}f_{-1}=T_x(\partial_jf)_{-1}\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つ。超関数の定義（定義4.1）より $u$ をFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上に制限したものは連続なので、 $$ \lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}(f*u)(x+y)=\lim_{\substack{\lvert y\rvert\leq1,\\y\rightarrow0}}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{y}T_xf_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})=(f*u)(x), $$ $$ \begin{aligned} \lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}&\frac{(f*u)(x+he_j)-(f*u)(x)}{h} =\lim_{\substack{0<\lvert h\rvert\leq1,\\h\rightarrow0}}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u\left(\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}\right)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial_jf)_{-1})=((\partial_jf)*u)(x)\quad(j=1,\ldots,N) \end{aligned} $$ が成り立つ。よって $f*u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であり、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について第 $j$ 座標に関して偏微分可能で、 $$ \partial_j(f*u)=(\partial_jf)*u\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。この結果と帰納法により $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u $$ が成り立つことが分かる。また任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} ((\partial^{\alpha}f)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1}) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(T_x\partial^{\alpha}f_{-1})\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\partial^{\alpha}u(T_xf_{-1}) =(f*(\partial^{\alpha}u))(x) \end{aligned} $$ であるから $(\partial^{\alpha}f)*u=f*\partial^{\alpha}u$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

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命題23.4（テスト関数と超関数の合成積は滑らかな関数）

任意の $f\in \mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）と任意の $u\in \mathcal{S}_N'$（resp. $\mathcal{E}_N'$）に対し $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u=f*(\partial^{\alpha}u)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

命題22.2の $(1)$（resp. 命題22.1の $(1)$ ）よりFréchet空間 $\mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ ）において、 $$ \mathbb{R}^N\ni x\mapsto T_xf_{-1}\in \mathcal{S}_N\quad\text{resp}. \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)) $$ は連続であるので、 $$ f*u\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})\in \mathbb{C} $$ は連続である。また命題22.2の $(2)$（命題22.1の $(2)$ ）より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対しFréchet空間 $\mathcal{S}_N$（resp. $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$）において、 $$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}=-\partial_jT_xf_{-1}=T_x(\partial_jf)_{-1}\quad(j=1,\ldots,N) $$ であるので、 $$ \begin{aligned} \lim_{h\rightarrow0}&\frac{(f*u)(x+he_j)-(f*u)(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}u\left(\frac{T_{he_j}T_xf_{-1}-T_xf_{-1}}{h}\right)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial_jf)_{-1})=((\partial_jf)*u)(x)\quad(j=1,\ldots,N) \end{aligned} $$ である。よって $f*u\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であり、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について第 $j$ 座標に関して偏微分可能で、 $$ \partial_j(f*u)=(\partial_jf)*u\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。この結果と帰納法により $f*u\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}(f*u)=(\partial^{\alpha}f)*u $$ が成り立つことが分かる。また任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$、任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} ((\partial^{\alpha}f)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1}) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u(T_x\partial^{\alpha}f_{-1})\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\partial^{\alpha}u(T_xf_{-1}) =(f*(\partial^{\alpha}u))(x) \end{aligned} $$ であるから $(\partial^{\alpha}f)*u=f*\partial^{\alpha}u$ である。よって定義23.1の $(*)$ が成り立つ。

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命題23.5（合成積の台）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \text{supp}(f*u)\subset \overline{\text{supp}(f)+\text{supp}(u)} $$ が成り立つ。

Proof.

$(f*u)(x)\neq0$ ならば $u(T_xf_{-1})\neq0$ なので、 $$ (x-\text{supp}(f))\cap\text{supp}(u)=\text{supp}(T_xf_{-1})\cap \text{supp}(u)\neq\emptyset $$ である。よってある $y\in \text{supp}(f)$ と $z\in \text{supp}(u)$ に対し $x-y=z$ であるので、 $$ x=y+z\in \text{supp}(f)+\text{supp}(u) $$ である。ゆえに、 $$ \text{supp}(f*u)=\overline{\{x\in\mathbb{R}^N:(f*u)(x)\neq0\}}\subset \overline{\text{supp}(f)+\text{supp}(u)} $$ である。

□

系23.6（$D(\mathbb{R}^N)*\mathcal{E}_N'\subset D(\mathbb{R}^N)$）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、$u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u\in D(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。

Proof.

$\text{supp}(f)$、$\text{supp}(u)$ はコンパクトであるから $\text{supp}(f)+\text{supp}(u)$ はコンパクトである。よって命題23.5より $\text{supp}(f*u)$ はコンパクトである。ゆえに $f*u\in D(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。

□

命題23.7（合成積の結合法則）

任意の $f,g\in D(\mathbb{R}^N)$ と任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (f*g)*u=f*(g*u) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、 $$ ( (f*g)*u)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f*g)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_{-1}*g_{-1}) )\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ である(($(f*g)_{-1}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(f*g)(-x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(-x-y)dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)g_{-1}(x-y)dy=(f_{-1}*g_{-1})(x)$である。))。$\text{supp}(f_{-1})=-\text{supp}(f)\subset I$ を満たす閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$（$N$ 個の有界閉区間の直積）を取る。コンパクト集合 $K:=I-\text{supp}(g)$ に対し、Fréchet空間$D_K(\mathbb{R}^N)$ の位相はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相の相対位相であるから、命題22.1より、 $$ I\ni y\mapsto f_{-1}(y)T_yg_{-1}\in D_K(\mathbb{R}^N) $$ はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。よってRiemann積分（定義21.6） $$ \int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\in D_K(\mathbb{R}^N) $$ が定義できる。Diracのデルタ超関数（定義20.5） $\delta_x\in \mathcal{E}'_N$ $(\forall x\in\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\delta_x\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\right) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)\delta_x(T_yg_{-1})dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)g_{-1}(x-y)dy=(f_{-1}*g_{-1})(x) \end{aligned} $$ であるから、 $$ f_{-1}*g_{-1}=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\quad\quad(**) $$ である。また超関数の定義（定義4.1）より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、 $$ D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto u(T_x\varphi)\in \mathbb{C} $$ は連続線形汎関数であるから $(*)$, $(**)$ より、 $$ \begin{aligned} ( (f*g)*u)(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_{-1}*g_{-1}))=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u\left(T_x\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}f_{-1}(y)T_yg_{-1}dy\right)\right)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y) \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{x+y}g_{-1})dy =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f_{-1}(y)(g*u)(x+y)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)(g*u)(x-y)dy=(f*(g*u))(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。よって $(f*g)*u=f*(g*u)$ が成り立つ。

□

命題23.8（超関数としての合成積）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (f*u)(\varphi)=u(\varphi*f_{-1})\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ を取り $\text{supp}(\varphi)\subset I$ なる有閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$ を取る。そしてコンパクト集合 $K\colon=I-\text{supp}(f)$ を定義する。このとき命題22.1より、 $$ I\ni x\mapsto \varphi(x)T_xf_{-1}\in D_K(\mathbb{R}^N) $$ はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数であるから、Riemann積分（定義21.6） $$ \int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\in D_K(\mathbb{R}^N) $$ が定義できる。 Diracのデルタ超関数（定義20.5） $\delta_y\in \mathcal{E}'_N$ $(\forall y\in\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\delta_y\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_y(T_xf_{-1})dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)f_{-1}(y-x)dx =(\varphi*f_{-1})(y)\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx=\varphi*f_{-1} $$ である。そして超関数の定義（定義4.1）より $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続線形汎関数であるから、 $$ (f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}u(T_xf_{-1})\varphi(x)dx =u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right)=u(\varphi*f_{-1}) $$ である。

□

24. $\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'$ のFourier変換

命題24.1（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'\subset \mathcal{T}_N$）

任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $f*u$ は緩増加関数空間 $\mathcal{T}_N$（定義11.3）に属する。

Proof.

命題17.2より $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $n\in\mathbb{N}$ と $C\in [0,\infty)$ が存在し、 $$ \lvert u(\varphi)\rvert\leq Cp_n(\varphi)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N) $$ が成り立つ。ただし、 $$ p_n(\varphi)=\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^n\lvert\partial^{\beta}\varphi(y)\rvert\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N) $$ である。 $$ 1+\lvert x+y\rvert^2\leq 2(1+\lvert x\rvert^2)(1+\lvert y\rvert^2)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ 1+\lvert y\rvert^2\leq 2(1+\lvert x\rvert^2)(1+\lvert x-y\rvert^2)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N) $$ である。よって任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lvert\partial^{\alpha}(f*u)(x)\rvert&=\lvert ((\partial^{\alpha}f)*u)(x)\rvert =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lvert u(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})\rvert \leq\frac{C}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}p_n(T_x(\partial^{\alpha}f)_{-1})\\ &=\frac{C}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert y\rvert^2)^n\lvert \partial^{\beta}\partial^{\alpha}f(x-y)\rvert\\ &\leq\frac{2^nC}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\underset{\lvert\beta\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x-y\rvert^2)^n\lvert\partial^{\beta}\partial^{\alpha}f(x-y)\rvert(1+\lvert x\rvert^2)^n\\ &\leq \frac{2^nC}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}p_n(\partial^{\alpha}f)(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから $\partial^{\alpha}(f*u)$ は多項式的に増加する関数である。ゆえに $f*u\in \mathcal{T}_N$ である。

□

命題24.2（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N\subset \mathcal{S}_N$）

任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し $f*g\in \mathcal{S}_N$ が成り立つ。そして、 $$ (f*g)^{\wedge}=f^{\wedge}g^{\wedge},\quad (f*g)^{\vee}=f^{\vee}g^{\vee}, $$ $$ (fg)^{\wedge}=f^{\wedge}*g^{\wedge},\quad (fg)^{\vee}=f^{\vee}* g^{\vee} $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ を取る。$f*g\in \mathcal{S}_N$ であることを示すには任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)$ が有界であることを示せばよい。多重二項定理より、 $$ \begin{aligned} x^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)(x)&=x^{\beta}( (\partial^{\alpha}f)*g)(x) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(x-y+y)^{\beta}\partial^{\alpha}f(y)g(x-y)dy\\ &=\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix} \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(y^{\gamma}\partial^{\alpha}f(y))( (x-y)^{\beta-\gamma}g(x-y))dy\\ &=\sum_{\gamma\leq \beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}( (\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f)*(\text{id}^{\beta-\gamma}g) )(x)\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であり、$\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f, \text{id}^{\beta-\gamma}g\in \mathcal{S}_N$ は有界かつ可積分であるから、 $$ \begin{aligned} &\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}(f*g)(x)\rvert\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\lvert ( (\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f)*(\text{id}^{\beta-\gamma}g) )(x)\rvert\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\beta}\begin{pmatrix}\beta\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert \text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}f\rVert_1\lVert \text{id}^{\beta-\gamma}g\rVert_{\infty}<\infty\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。よって $f*g\in \mathcal{S}_N$ である。Fubiniの定理とLebesgue測度の平行移動不変性より、 $$ \begin{aligned} &(f*g)^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(f*g)(x)e^{-ik\cdot x}dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}g(x-y)e^{-ik\cdot (x-y)}dy\right)dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}\left(\int_{\mathbb{R}^N}g(x-y)e^{-ik\cdot(x-y)}dx\right)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)e^{-ik\cdot y}\left(\int_{\mathbb{R}^N}g(x)e^{-ik\cdot x}dx\right)dy\\ &=f^{\wedge}(k)g^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。全く同様にして、 $$ (f*g)^{\vee}(k)=f^{\vee}(k)g^{\vee}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つことも分かる。定理16.2より、 $$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\wedge}\in \mathcal{S}_N,\quad \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\vee}\in \mathcal{S}_N $$ は互いに逆写像であるから上の結果より任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し、 $$ (fg)^{\wedge}=(f^{\wedge\vee}g^{\wedge\vee})^{\wedge}= f^{\wedge}*g^{\wedge},\quad (fg)^{\vee}=(f^{\vee\wedge}g^{\vee\wedge})^{\vee}= f^{\vee}*g^{\vee} $$ である。

□

定理24.3（$\mathcal{S}_N*\mathcal{S}_N'$ のFourier変換）

任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と任意の $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $f*u$ のFourier（逆）変換について、 $$ (f*u)^{\wedge}=f^{\wedge}u^{\wedge},\quad (f*u)^{\vee}=f^{\vee}u^{\vee},\quad\quad(*) $$ が成り立つ（命題24.1と命題17.5の $(5)$ より $f*u\in \mathcal{T}_N\subset \mathcal{S}_N'$ であることに注意）。 また、 $$ (fu)^{\wedge}=f^{\wedge}*u^{\wedge},\quad (fu)^{\vee}=f^{\vee}*u^{\vee}\quad\quad(**) $$ が成り立つ。

Proof.

定理16.2より、 $$ \mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\wedge}\in \mathcal{S}_N, $$ $$ \mathcal{S}_N\ni\varphi\mapsto \varphi^{\vee}\in \mathcal{S}_N $$ はそれぞれ同相写像であり、互いに逆写像である。そして命題17.1より $\mathcal{S}_N$ において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である。よって $(*)$ を示すには、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (f*u)^{\wedge}(\varphi^{\vee})=(f^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi^{\vee}),\quad (f*u)^{\vee}(\varphi^{\wedge})=(f^{\vee}u^{\vee})(\varphi^{\wedge}) $$ が成り立つことを示せばよい。$\text{supp}(\varphi)$ はコンパクトなので $\text{supp}(\varphi)\subset I$ なる $\mathbb{R}^N$ の閉直方体 $I$（有界閉区間 $N$ 個の直積）が取れる。命題22.2より、 $$ I\ni x\mapsto \varphi(x)T_xf_{-1}\in \mathcal{S}_N $$ はFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 値連続関数であるから、Riemann積分（定義21.6） $$ \int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\in \mathcal{S}_N $$ が定義できる。Diracのデルタ超関数（定義20.5）$\delta_y\in \mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N'$ $(\forall y\in\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\delta_y\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_y(T_xf_{-1})dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)f_{-1}(y-x)dx =(\varphi*f_{-1})(y)\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx=\varphi*f_{-1} $$ である。よって命題24.2より、 $$ \begin{aligned} &(f*u)^{\wedge}(\varphi^{\vee})=(f*u)(\varphi^{\vee\wedge})=(f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(T_xf_{-1})dx\\ &=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right) =u(\varphi*f_{-1})=u^{\wedge}(\varphi^{\vee}f^{\wedge})=(f^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi^{\vee}), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &(f*u)^{\vee}(\varphi^{\wedge})=(f*u)(\varphi^{\wedge\vee})=(f*u)(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(T_xf_{-1})dx\\ &=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)T_xf_{-1}dx\right) =u(\varphi*f_{-1})=u^{\vee}(\varphi^{\wedge}f^{\vee})=(f^{\vee}u^{\vee})(\varphi^{\wedge}) \end{aligned} $$ である。これより $(*)$ が成り立つ。 また $(*)$ より、 $$ (fu)^{\wedge}=(f^{\wedge\vee}u^{\wedge\vee})^{\wedge}=f^{\wedge}*u^{\wedge},\quad (fu)^{\vee}=((f^{\vee\wedge}u^{\vee\wedge})^{\vee}=f^{\vee}*u^{\vee} $$ であるから $(**)$ が成り立つ。

□

25. $\mathcal{E}_N'$ のFourier変換

補題25.1

任意の $k\in\mathbb{R}^N$ に対し $e_k\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{ik\cdot x}\in\mathbb{C}$ とおくと、 $$ \mathbb{R}^N\ni k\mapsto e_k\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 値の連続関数である。

Proof.

$\mathbb{R}^N$ の列 $(k_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $k\in \mathbb{R}^N$ に収束するとする。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\sup_{x\in K}\lvert\partial^{\alpha}e_{k_n}(x)-\partial^{\alpha}e_k(x)\rvert =\sup_{x\in K}\lvert k_n^{\alpha}e_{k_n}(x)-k^{\alpha}e_k(x)\rvert\\ &\leq\lvert k_n^{\alpha}-k^{\alpha}\rvert+\lvert k^{\alpha}\rvert\sup_{x\in K}\lvert 1-e^{i(k-k_n)\cdot x}\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$ であるから、$(\partial^{\alpha}e_{k_n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}e_k$ に $K$ 上で一様収束する。よってFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ において $(e_{k_n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $e_k\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に収束するので $(*)$ は連続である。

□

定理25.2（$\mathcal{E}_N'$ のFourier変換）

任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u^{\wedge}\in \mathcal{T}_N$ であり、 $$ u^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{-k}),\quad u^{\vee}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_k)\quad(\forall k\in\mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。ただし $e_k\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{ik\cdot x}\in\mathbb{C}$ である。

Proof.

命題20.2よりある $h\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し $u=hu$ である。よって定理24.3と命題24.1より、 $$ \begin{aligned} &u^{\wedge}=(hu)^{\wedge}=h^{\wedge}*u^{\wedge}\in \mathcal{T}_N,\\ &u^{\vee}=(hu)^{\vee}=h^{\vee}*u^{\vee}\in \mathcal{T}_N \end{aligned} $$ である。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ を取り $\text{supp}(\varphi)\subset I$ を満たす閉直方体 $I\subset \mathbb{R}^N$ を取る。補題25.1より、 $$ I\ni x\mapsto \varphi(x)e_{-x}\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N) $$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。よってRiemann積分（定義21.6） $$ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N) $$ が定義できる。Diracのデルタ超関数 $\delta_k\in \mathcal{E}_N'$ $(\forall k\in \mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\delta_k\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\right) =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)\delta_k(e_{-x})dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx=\varphi^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx=\varphi^{\vee} $$ である。よって、 $$ u^{\wedge}(\varphi)=u(\varphi^{\wedge})=u\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{I}\varphi(x)e_{-x}dx\right)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)u(e_{-x})dx $$ である。これが任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対して成り立つので、 $$ u^{\wedge}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{-x})\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。全く同様にして、 $$ u^{\vee}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(e_{x})\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ が成り立つことも分かる。

□

系25.3（Diracのデルタ超関数のFourier変換）

任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\{x\}$ を台とするDiracのデルタ超関数 $\delta_x\in \mathcal{E}_N'$ のFourier変換は、 $$ \delta_x^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}e^{-ik\cdot x}\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) $$ である。


系25.4（$\mathcal{S}_N*\mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N$）

任意の $f\in \mathcal{S}_N$ と $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u\in \mathcal{S}_N$ が成り立つ。

Proof.

定理24.3、定理25.2、命題12.1の $(2)$ より、 $$ (f*u)^{\wedge}=f^{\wedge}u^{\wedge}\in \mathcal{S}_N\mathcal{T}_N\subset \mathcal{S}_N $$ である。よって、 $$ f*u=(f*u)^{\wedge\vee}\in \mathcal{S}_N $$ である。

□


26. Friedrichsの軟化子

定義26.1（Friedrichsの軟化子）

正の実数 $C$ に対し $\psi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ を、 $$ \psi(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}C\exp\left(\frac{1}{\lvert x\rvert^2-1}\right)&(\lvert x\rvert<1)\\0&(\lvert x\rvert\geq 1)\end{array}\right. $$ と定義すれば、ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の補題15.3より $\psi\in D(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \psi(x)\geq0\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \{x\in\mathbb{R}^N:\psi(x)>0\}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<1\}, $$ $$ \psi(x)=\psi(y)\quad(\forall x,y\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=\lvert y\rvert),\quad \psi^{\wedge}(0)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi(x)dx=1 $$ となる。ただし最後の式に関しては成り立つように $C$を調節する。この $\psi$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\psi_{\epsilon}\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \psi_{\epsilon}(x)\colon=\frac{1}{\epsilon^N}\psi(\frac{x}{\epsilon})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ と定義する。このとき、

  • $(1)$　任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し $\psi_{\epsilon}(x)\geq0$.
  • $(2)$　$\{x\in\mathbb{R}^N:\psi_{\epsilon}(x)>0\}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<\epsilon\}$.
  • $(3)$　$\lvert x\rvert=\lvert y\rvert$ を満たす任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ に対し $\psi_{\epsilon}(x)=\psi_{\epsilon}(y)$.
  • $(4)$　$\psi_{\epsilon}^{\wedge}(0)=1$.

である。逆順序による有向集合 $(0,\infty)$ で添字付けれらた $D(\mathbb{R}^N)$ のネット $(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子と言う。


命題26.2（Friedrichsの軟化子の基本性質）

$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子とする。このとき、

  • $(1)$　任意の $f\in C(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ にコンパクト一様収束（定義3.2）する。
  • $(2)$　任意の $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ にFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相（定義3.3）で収束する。
  • $(3)$　任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $(\psi_{\epsilon}*u)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $u$ に超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相（定義4.1）で収束する。
Proof.

  • $(1)$　任意のコンパクト集合 $K$ を取り $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ が $f$ に $K$ 上で一様収束することを示せばよい。Friedrichsの軟化子の定義における $(1),(2),(4)$ より任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、

$$ \begin{aligned} \lvert (\psi_{\epsilon}*f)(x)-f(x)\rvert&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)(f(x-y)-f(x))dy\right\rvert\\ &\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<\epsilon}\psi_{\epsilon}(y)\lvert f(x-y)-f(x)\rvert dy\quad\quad(*) \end{aligned} $$ である。距離空間の位相の基本的性質の定理7.3より $f$ はコンパクト集合 $K+\overline{B(0,1)}$ 上で一様連続であるから、任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し十分小さい $\epsilon_0\in (0,1)$ を取れば、 $$ \lvert f(x-y)-f(x)\rvert\leq \delta\quad(\forall x\in K,\forall y\in B(0,\epsilon_0)) $$ となる。よって $(*)$ より、 $$ \lvert\psi_{\epsilon}*f(x)-f(x)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\lvert y\rvert<\epsilon}\psi_{\epsilon}(y)\lvert f(x-y)-f(x)\rvert dy\leq\delta\quad(\forall x\in K,\forall \epsilon\in (0,\epsilon_0)) $$ が成り立つ。ゆえに$(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ に $K$ 上で一様収束する。

  • $(2)$　$(1)$より任意の $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}(\psi_{\epsilon}*f))_{\epsilon\in(0,\infty)}=(\psi_{\epsilon}*\partial^{\alpha}f)_{\epsilon\in (0,\infty)}$ は $\partial^{\alpha}f$ にコンパクト一様収束する。よってFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $(\psi_{\epsilon}*f)_{\epsilon\in(0,\infty)}$ は $f$ に収束する。
  • $(3)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ (\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)\rightarrow u(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0) $$ が成り立つことを示せばよい。命題23.8とFriedrichsの軟化子の定義における $(3)$ より、 $$ (\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)=u(\varphi*\psi_{\epsilon})=u(\psi_{\epsilon}*\varphi)\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty)) $$ である。コンパクト集合 $K=\text{supp}(\varphi)+\overline{B(0,1)}$ に対しFriedrichsの軟化子の定義における $(2)$ と命題23.5より、 $$ \text{supp}(\psi_{\epsilon}*\varphi)\subset \text{supp}(\varphi)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})\subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1)) $$ であるから、$(2)$ よりFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$（定義3.7）において $(\psi_{\epsilon}*\varphi)_{\epsilon\in (0,1)}$ は $\varphi$ に収束する。そして超関数の定義（定義4.1）より $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続であるから、 $$ (\psi_{\epsilon}*u)(\varphi)=u(\psi_{\epsilon}*\varphi)\rightarrow u(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0) $$ である。

□

27. $\mathcal{E}_N'$ と $D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積

補題27.1

次が成り立つ。

  • $(1)$　任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し、

$$ \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\ni f\mapsto f*u\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N) $$ （系25.4を参照）はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形写像である。

  • $(2)$　任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し、

$$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f*u\in \mathcal{S}_N $$ はFréchet空間 $\mathcal{S}_N$上の連続線形写像である。

Proof.

$$ f_i\rightarrow f,\quad f_i*u\rightarrow g\quad(i\rightarrow\infty) $$ が成り立つと仮定して $g=f*u$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty} T_x(f_i)_{-1}=T_xf_{-1}$ であるから、$u\in \mathcal{E}_N'$ より、 $$ g(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}(f_i*u)(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x(f_i)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_xf_{-1})=(f*u)(x) $$ である。よって $g=f*u$である。

  • $(2)$　$u\in \mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N'$ であるから、$(1)$ と全く同様にして閉グラフ定理を用いて示せる。
□

定義27.2（$\mathcal{E}_N'$ と $D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積）

任意の $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $v*u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ を、 $$ (v*u)(\varphi)\colon=u(\varphi*v_{-1})\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ と定義する。ただし $v_{-1}$ は超関数 $v$ の反転（定義16.1）である。命題23.5と補題27.1の $(1)$ より任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto \varphi*v_{-1}\in D_{K-\text{supp}(v)}(\mathbb{R}^N) $$ はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ からFréchet空間 $D_{K-\text{supp}(v)}(\mathbb{R}^N)$（定義3.7）への連続線形写像であるから、 $$ D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto (v*u)(\varphi)=u(\varphi*v_{-1})\in \mathbb{C} $$ はFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数である。よって $v*u\in D'(\mathbb{R}^N)$ である。$v*u\in D'(\mathbb{R}^N)$ を $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。命題23.8よりこれは $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義と矛盾しない。

命題27.3（$\mathcal{E}_N'*\mathcal{S}_N'\subset \mathcal{S}_N'$）

任意の $v\in \mathcal{E}_N'$ と $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $v*u\in \mathcal{S}_N'$ が成り立つ。また $(v*u)^{\wedge}=v^{\wedge}u^{\wedge}$ が成り立つ。

Proof.

$\mathcal{S}_N$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty}\varphi_i=\varphi$ ならば補題27.1より $\mathcal{S}_N$ の位相で $\lim_{i\rightarrow\infty}\varphi_i*v_{-1}=\varphi*v_{-1}$ であるから、 $$ (v*u)(\varphi_i)=u(\varphi_i*v_{-1})\rightarrow u(\varphi*v_{-1})=(v*u)(\varphi) $$ である。よって $v*u\in \mathcal{S}_N'$ である。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し定理24.3より、 $$ (v*u)^{\wedge}(\varphi)=(v*u)(\varphi^{\wedge})=u(\varphi^{\wedge}*v_{-1}) =u(\varphi^{\wedge}*v^{\wedge\wedge}) =u((\varphi v^{\wedge})^{\wedge})=u^{\wedge}(\varphi v^{\wedge}) =(v^{\wedge}u^{\wedge})(\varphi) $$ であるから $(v*u)^{\wedge}=v^{\wedge}u^{\wedge}$ が成り立つ。

□

補題27.4

$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とし、$v\in \mathcal{E}_N'$、$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ とする。このとき超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相（定義4.1）で、 $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\psi_{\epsilon}*v)*u=v*u\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し命題23.7より、 $$ ((\psi_{\epsilon}*v)*u)(\varphi)=u(\varphi*(\psi_{\epsilon}*v)_{-1}) =u(\varphi*(\psi_{\epsilon}*v_{-1}))=u((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1}) $$ であり、命題26.2の $(2)$ と補題27.1の $(1)$ よりFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で、 $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1}=\varphi*v_{-1} $$ である。ここでコンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(\varphi)-\text{supp}(v)+\overline{B(0,1)}$ に対し命題23.5より、 $$ \text{supp}( (\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})=\text{supp}(\varphi)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})-\text{supp}(v) \subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1)) $$ であるからFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$（定義3.7）の位相で $((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})_{\epsilon\in(0,1)}$ は $\varphi*v_{-1}$ に収束する。そして $u$ の $D_K(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続線形汎関数であるから、 $$ ((\psi_{\epsilon}*v)*u)(\varphi)=u((\varphi*\psi_{\epsilon})*v_{-1})\rightarrow u(\varphi*v_{-1})=(v*u)(\varphi)\quad(\epsilon\rightarrow+0) $$ である。よって超関数空間 $D'(\mathbb{R}^N)$ の位相で $(*)$ が成り立つ。

□

命題27.5（合成積の結合法則）

任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$ と $v\in \mathcal{E}_N'$、$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ (f*v)*u=f*(v*u) $$ が成り立つ。

Proof.

$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子（定義26.1）とし、 $$ v_{\epsilon}\colon=\psi_{\epsilon}*v\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty)) $$ とおく。このとき補題27.4と命題23.7より任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} (f*(v*u))(x)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(v*u)(T_xf_{-1}) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(v_{\epsilon}*u)(T_xf_{-1})\\ &=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(f*(v_{\epsilon}*u))(x) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*v_{\epsilon})*u)(x) \end{aligned} $$ であり、命題23.7と補題27.1の $(1)$ よりFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ において、 $$ f*v_{\epsilon}=(f*\psi_{\epsilon})*v\rightarrow f*v\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(*) $$ である。コンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(f)+\text{supp}(v)+\overline{B(0,1)}$ に対し命題23.5より、 $$ \text{supp}(f*v_{\epsilon})\subset \text{supp}(f)+\text{supp}(\psi_{\epsilon})+\text{supp}(v)\subset K\quad(\forall \epsilon\in (0,1)) $$ であるからFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ において $(f*v_{\epsilon})_{\epsilon\in(0,1)}$ は $f*v$ に収束する。そして任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $u$ のFréchet空間 $D_{x-K}(\mathbb{R}^N)$ 上への制限は連続であるから、 $$ D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto (\varphi*u)(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_x\varphi_{-1})\in \mathbb{C} $$ は連続である。ゆえに $(*)$ より任意の $x\in\mathbb{R}^N$ に対し、 $$ (f*(v*u))(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*v_{\epsilon})*u)(x) =((f*v)*u)(x) $$ が成り立つ。

□

命題27.6（コンパクト台超関数同士の合成積の可換性）

任意の $u,v\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u*v=v*u$ が成り立つ。

Proof.

$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ をFriedrichsの軟化子とし、 $$ u_{\epsilon}\colon=\psi_{\epsilon}*u\in D(\mathbb{R}^N)\quad(\forall u\in {\mathcal E}_N',\forall\epsilon\in (0,\infty)) $$ とおく。

  • $(1)$　任意の $f\in D(\mathbb{R}^N)$、$u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $f*u=u*f$ が成り立つことを示す。補題27.4と命題27.5より任意の $\varphi \in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ (u*f)(\varphi)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(u_{\epsilon}*f)(\varphi) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(f*u_{\epsilon})(\varphi) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}((f*\psi_{\epsilon})*u)(\varphi) =(f*u)(\varphi) $$ である。

  • $(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u*v=v*u$ が成り立つことを示す。 $(1)$ と命題26.2の$(3)$、補題27.4より任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \begin{aligned} (u*v)(\varphi)&=v(\varphi*u_{-1})=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}v_{\epsilon}(\varphi*u_{-1}) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(u*v_{\epsilon})(\varphi) =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}(v_{\epsilon}*u)(\varphi) =(v*u)(\varphi) \end{aligned} $$ である。

□

命題27.7（Diracのデルタ超関数と超関数の合成積)

任意の $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ とDiracのデルタ超関数 $\delta_y\in \mathcal{E}_N'$ $(\forall y\in \mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \delta_y*u=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $y\in \mathbb{R}^N$ を取り固定する。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \begin{aligned} \varphi*(\delta_y)_{-1}(x)&=\varphi*\delta_{-y}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\delta_{-y}(T_x\varphi_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_x\varphi_{-1}(-y)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\varphi(x+y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_{-y}\varphi(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \varphi*(\delta_y)_{-1}=T_{-y}\varphi\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ である。よって定義27.2より、 $$ \delta_y*u(\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(\varphi*(\delta_y)_{-1})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}u(T_{-y}\varphi)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ であるから、 $$ \delta_y*u=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}T_yu $$ が成り立つ。

□

28. Banach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ における平行移動の連続性

命題28.1（$C_0(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性）

任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yf\in C_0(\mathbb{R}^N) $$ は連続である。ただし $C_0(\mathbb{R}^N)$ は無限遠で消える連続関数全体に $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。

Proof.

任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し $f$ が一様連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り、コンパクト集合 $$ K\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert f(x)\rvert\geq \frac{\epsilon}{2}\} $$ を定義する。任意の $x\in K$ に対し $f$ は $x$ において連続であるから $\delta_x\in (0,\infty)$ が存在し、 $$ B(x,\delta_x)\subset f^{-1}(B(f(x),\frac{\epsilon}{2}))\quad\quad(*) $$ が成り立つ。$K$ のコンパクト性より有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて、 $$ K\subset \bigcup_{j=1}^{n}B\left(x_j,\frac{\delta_{x_j}}{2}\right)\quad\quad(**) $$ となる。 $$ \delta\colon={\rm min}\left(\frac{\delta_{x_1}}{2},\ldots,\frac{\delta_{x_n}}{2}\right)\quad\quad(***) $$ とおく。 $$ \lvert x-y\rvert<\delta\quad\quad(****) $$ なる任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ を取る。もし $x,y\notin K$ ならば $K$ の定義より、 $$ \lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)\rvert+\lvert f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $$ である。$x,y$ のうち少なくとも一方が $K$ に属する場合。$x\in K$ とする。このとき $(**)$ よりある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $x\in B(x_j,\frac{\delta_{x_j}}{2})$ であり、$(***)$, $(****)$ より $x,y\in B(x_j,\delta_{x_j})$ である。よって $(*)$ より、 $$ \lvert f(y)-f(x)\rvert\leq \lvert f(y)-f(x_j)\rvert+\lvert f(x_j)-f(x)\rvert<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $$ である。ゆえに $f$ は一様連続である。

□

命題28.2（$L^p(\mathbb{R}^N)$ における平行移動の連続性）

任意の $p\in [1,\infty)$ と $[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[f]\in L^p(\mathbb{R}^N) $$ は連続である。

Proof.

$T_{y_1+y_2}[f]=T_{y_1}T_{y_2}[f]$ $(\forall y_1,y_2\in \mathbb{R}^N)$ であるから $(*)$ の連続性を示すには $0\in \mathbb{R}^N$ における連続性を示せば十分である。まずLebesgue測度の平行移動不変性より $\lVert T_y[f]\rVert_p=\lVert [f]\rVert_p$ $(\forall y\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の命題32.1より、 $$ \lVert f-g\rVert_p<\frac{\epsilon}{3} $$ なる台がコンパクトな連続関数 $g\in C_c(\mathbb{R}^N)\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ が取れ、 $$ \begin{aligned} &\lVert T_y[f]-[f]\rVert_p\leq\lVert T_yf-T_yg\rVert_p+\lVert T_yg-g\rVert_p+\lVert g-f\rVert_p\\ &=2\lVert f-g\rVert_p+\lVert T_yg-g\rVert_p<\frac{2}{3}\epsilon+\lVert T_yg-g\rVert_p\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**) \end{aligned} $$ となる。今、コンパクト集合 $K\colon=\text{supp}(g)+\overline{B(0,1)}$ を定義すると、 $$ \text{supp}(T_yg-g)\subset \text{supp}(g)+\overline{B(0,1)}=K\quad(\forall y\in \overline{B(0,1)}) $$ であるから、任意の $y\in \overline{B(0,1)}$ に対し、 $$ \lVert T_yg-g\rVert_p=\left(\int_{\mathbb{R}^N}\lvert T_yg(x)-g(x)\rvert^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq\lVert T_yg-g\rVert \lvert K\rvert^{\frac{1}{p}} $$ となる（ただし $\lVert T_yg-g\rVert$ は $\sup$ ノルムである）。よって命題28.1より、 $$ \lVert T_yg-g\rVert_p\leq\lVert T_yg-g\rVert \lvert K\rvert^{\frac{1}{p}}\rightarrow0\quad(y\rightarrow0) $$ であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、$(**)$ より、 $$ \lVert T_y[f]-[f]\rVert_p<\epsilon\quad(\forall y\in B(0,\delta)) $$ となる。ゆえに $(*)$ は $0\in \mathbb{R}^N$ において連続である。

□

29. $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in [1,\infty))$ の合成積

定義29.1（$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積）

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ を取る。命題28.1より、 $$ \mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_yg\in C_0(\mathbb{R}^N) $$ はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。$\mathbb{R}^N$ は第二可算であるからBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ は可分である（測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の系35.6）ので、 $$ (\mathbb{R}^N,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N})\ni y\mapsto f(y)T_yg\in C_0(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 値のBochner可測関数（測度と積分9：Bochner積分の定義41.1） である。 そして、 $$ \int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_yg\rVert dy=\lVert g\rVert\int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(y)\rvert dy =\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert<\infty $$ であるから、$(*)$ はLebesgue測度に関してBochner可積分であり、Bochner積分（測度と積分9：Bochner積分の定義41.1） $$ [f]*g\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_ygdy\in C_0(\mathbb{R}^N) $$ が定義できる。これを $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \delta_x\colon C_0(\mathbb{R}^N)\ni h\mapsto h(x)\in \mathbb{C} $$ はBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ 上の有界線形汎関数であるから、 $$ \delta_x([f]*g)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)\delta_x(T_yg)dy =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy $$ である。よって $[f]*g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ は、 $$ \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\in \mathbb{C} $$ である。ゆえにこの $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義はテスト関数と超関数の合成積の定義（定義23.1）と矛盾しない。

定義29.2（$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積）

$p\in [1,\infty)$ とし、任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ を取る。命題28.2より、 $$ \mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[g]\in L^p(\mathbb{R}^N) $$ はBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 値連続関数である。$\mathbb{R}^N$ は第二可算であるからBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ は可分である（測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の系35.7）ので、 $$ (\mathbb{R}^N,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N})\ni y\mapsto f(y)T_y[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ はBanach空間 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 値のBochner可測関数（測度と積分9：Bochner積分の定義41.1） である。 そして、 $$ \int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_y[g]\rVert_p dy=\lVert [g]\rVert_p\int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(y)\rvert dy =\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert_p<\infty $$ であるから、$(*)$ はLebesgue測度に関してBochner可積分であり、Bochner積分（測度と積分9：Bochner積分の定義41.1） $$ [f]*[g]\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_y[g]dy\in L^p(\mathbb{R}^N) $$ が定義できる。これを $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積と言う。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しHölderの不等式より $$ L^p(\mathbb{R}^N)\ni [h]\mapsto [h](\varphi)=\int_{\mathbb{R}^N}h(x)\varphi(x)dx\in \mathbb{C} $$ は $L^p(\mathbb{R}^N)$ 上の有界線形汎関数であるから、 $$ \begin{aligned} ([f]*[g])(\varphi)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)(T_y[g])(\varphi)dy =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)\varphi(x)dx\right)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\right)\varphi(x)dx\quad(\text{Fubiniの定理}) \end{aligned} $$ である。よって $[f]*[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の代表元はLebesgue測度に関してa.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、 $$ \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)g(x-y)dy\in \mathbb{C} $$ に等しい。ゆえにこの $L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ の合成積の定義はテスト関数と超関数の合成積の定義（定義23.1）と矛盾しない。

命題29.3（Youngの不等式）

$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $C_0(\mathbb{R}^N)$、$L^1(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ の合成積について、

  • $(1)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $g\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \lVert [f]*g\rVert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert $$ が成り立つ。

  • $(2)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と $[g]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \lVert [f]*[g]\rVert_p\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p $$ が成り立つ。

Proof.

$$ \begin{aligned} \lVert [f]*g\rVert&=\left\lVert \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_ygdy\right\rVert \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_yg\rVert dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert g\rVert \end{aligned} $$ である。

$$ \begin{aligned} \lVert [f]*[g]\rVert_p&=\left\lVert \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(y)T_y[g]dy\right\rVert_p \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\lVert f(y)T_y[g]\rVert_p dy=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert [f]\rVert_1\lVert [g]\rVert_p \end{aligned} $$ である。

□

命題29.4（$C_0(\mathbb{R}^N)$ と $L^p(\mathbb{R}^N)$ のFriedrichsの軟化子による軟化）

$(\psi_{\epsilon})_{\epsilon\in (0,\infty)}$ を $\mathbb{R}^N$ 上のFriedrichsの軟化子（定義26.1）とする。このとき、

  • $(1)$　任意の $[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ $(p\in[1,\infty))$ に対し、

$$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}\lVert \psi_{\epsilon}*[f]-[f]\rVert_p=0 $$ が成り立つ。

  • $(2)$　任意の $f\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}\lVert \psi_{\epsilon}*f-f\rVert=0 $$ が成り立つ。

Proof.

  • $(1)$　任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しFriedrichsの軟化子の定義（定義26.1）の $(4)$ より、

$$ \psi_{\epsilon}*[f]-[f]=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)(T_y[f]-[f])dy $$ である。よって $\mathbb{R}^N\ni y\mapsto T_y[f]\in L^p(\mathbb{R}^N)$ の $0\in\mathbb{R}^N$ における連続性（命題28.2）とFriedrichsの軟化子の定義（定義26.1）の $(2),(4)$ より、 $$ \left\lVert \psi_{\epsilon}*[f]-[f]\right\rVert_p \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\psi_{\epsilon}(y)\lVert T_y[f]-[f]\rVert_pdy\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0) $$ である。

  • $(2)$　$(1)$と全く同様にして示せる。
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参考文献

  • Walter Rudin　「Functional Analysis」
  • 新井 仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」

脚注

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