緩増加超関数とFourier変換

本稿は、超関数の定義と基本操作の続編であり、超関数の枠組みでEuclid空間におけるFourier変換に関する基本的一般論を述べる。 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}$ とする。

超関数とFourier変換、Sobolev空間

• 超関数の定義と基本操作
• 緩増加超関数とFourier変換
• 合成積とFourier変換
• Sobolev空間の基本事項

10. Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$（急減少関数空間）

定義10.1（急減少関数空間 $\mathcal{S}_N$）

各点ごとの演算による $\mathbb{C}$ 上の線形空間 $$ \mathcal{S}_N\colon=\left\{f\in C^\infty(\mathbb{R}^N):\forall \alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N,\text{ }\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert<\infty\right\} $$ を考え、$\mathcal{S}_N$ 上のノルムの列 $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を、 $$ p_n:\mathcal{S}_N\ni f\mapsto \underset{\lvert\alpha\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert\partial^{\alpha}f(x)\rvert\in [0,\infty) $$ と定義する。$\mathcal{S}_N$ にセミノルムの分離族 $\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ が誘導するセミノルム位相を入れ、セミノルム空間とみなす（位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の8を参照）。 次の命題10.2で見るように $\mathcal{S}_N$ はFréchet空間（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理を参照）であり、$\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f\in \mathcal{S}_N$ に収束することは任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束することと同値である。このFréchet空間を $\mathbb{R}^N$ 上の急減少関数空間と言う。

命題10.2（$\mathcal{S}_N$ はFréchet空間）

定義10.1におけるセミノルム空間 $\mathcal{S}_N$ について次が成り立つ。

• $(1)$　$\mathcal{S}_N\subset C_0(\mathbb{R}^N)$. ただし$C_0(\mathbb{R}^N)$ は無限遠で消える連続関数全体である（測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の定義28.2を参照）。
• $(2)$　$\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f\in \mathcal{S}_N$ に収束することは任意の多重指数 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束することと同値である。
• $(3)$　$\mathcal{S}_N$はFréchet空間である。

Proof.

• $(1)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し、

$$ M\colon=\sup_{x\in \mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)\lvert f(x)\rvert<\infty $$ とおくと、 $$ \lvert f(x)\rvert\leq \frac{M}{1+\lvert x\rvert^2}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert f(x)\rvert=0$ である。よって $f$ は無限遠で消える連続関数である。

• $(2)$　任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束するならば、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、

$$ p_n(f_i-f)=\underset{\lvert\alpha\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ である。よってセミノルム空間 $\mathcal{S}_N$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f$ に収束する（位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の命題8.6の $(1)$を参照）。
逆にセミノルム空間 $\mathcal{S}_N$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ が $f$ に収束するとすると、任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ と $\lvert\alpha\rvert,\lvert\beta\rvert\leq n$ なる任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lvert x^{\beta}\rvert&=\lvert x_1\rvert^{\beta_1}\ldots\lvert x_N\rvert^{\beta_N} \leq \lvert x\rvert^{\beta_1+\ldots+\beta_N}=\lvert x\rvert^{\lvert \beta\rvert}\\ &\leq(1+\lvert x\rvert^2)^{\lvert \beta\rvert}\leq(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} \sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}f_i(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert &\leq\sup_{x\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert\\ &=p_n(f_i-f)\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) \end{aligned} $$ である。よって $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束する。

• $(3)$　$(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を $\mathcal{S}_N$ のCauchy列（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理の定義15.1）とする。任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\lvert\alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\leq n$ なる $n\in \mathbb{N}$ を取れば $(*)$ より、

$$ \sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}f_i(x)-x^{\beta}\partial^{\alpha}f_j(x)\rvert \leq \sup_{x\in\mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert\partial^{\alpha}f_i(x)-\partial^{\alpha}f_j(x)\rvert\leq p_n(f_i-f_j)\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}) $$ であるから $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\sup$ ノルムによるBanach空間 $C_0(\mathbb{R}^N)$ におけるCauchy列である。よって $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ はある $f_{\alpha,\beta}\in C_0(\mathbb{R}^N)$ に一様収束する。任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ x^{\beta}f_{\alpha,0}(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}x^{\beta}\partial^{\alpha}f_i(x) =f_{\alpha,\beta}(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ f_{\alpha,\beta}=\text{id}^{\beta}f_{\alpha,0}\quad(\forall \alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(**) $$ である。 $$ f\colon=f_{0,0}\in C_0(\mathbb{R}^N) $$ とおく。今、$f\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であることと、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f=f_{\alpha,0}$ が成り立つことを帰納法で示す。そこである $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、 $$ f\in C^n(\mathbb{R}^N),\quad \partial^{\alpha}f=f_{\alpha,0}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq n) $$ が成り立つと仮定する。$\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、 $$ \beta\colon=\alpha+e_j=\alpha+(0,\ldots,0,\overset{j\text{ 番目}}{1},0,\ldots,0)\in \mathbb{Z}_+^N $$ とおく。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ と任意の $h\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ に対し微積分学の基本定理より、 $$ \frac{\partial^{\alpha}f_i(x+he_j)-\partial^{\alpha}f_i(x)}{h}=\int_{0}^{1}\partial^{\beta}f_i(x+\theta he_j)d\theta\quad\quad(***) $$ である。$(\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}f$ に、$(\partial^{\beta}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f_{\beta,0}$ にそれぞれ一様収束するので、$(***)$ で $i\rightarrow\infty$ とすれば、 $$ \frac{\partial^{\alpha}f(x+he_j)-\partial^{\alpha}f(x)}{h}=\int_{0}^{1}f_{\beta,0}(x+\theta he_j)d\theta\quad\quad(****) $$ となる。$f_{\beta,0}$ は有界かつ連続なので $(****)$ で $h\rightarrow0$ とすればLebesgue優収束定理より、 $$ \partial_{j}\partial^{\alpha}f(x)=f_{\beta}(x) $$ となる。よって $\lvert\alpha\rvert=n$ なる任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f\in C^1(\mathbb{R}^N)$ であり、 $$ \partial_j\partial^{\alpha}f=f_{\alpha+e_j,0}\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つので、 $$ f\in C^{n+1}(\mathbb{R}^N),\quad \partial^{\alpha}f=f_{\alpha,0}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert\alpha\rvert\leq n+1) $$ である。よって帰納法より $f\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}f=f_{\alpha,0}$ である。$(**)$ より、 $$ \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f=\text{id}^{\beta}f_{\alpha,0}=f_{\alpha,\beta}\in C_0(\mathbb{R}^N)\quad(\forall \alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N) $$ であるから $f\in \mathcal{S}_N$ であり、任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f=f_{\alpha,\beta}$ に一様収束するので $(2)$ より $\mathcal{S}_N$ の位相で $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f$ に収束する。ゆえに $\mathcal{S}_N$ はFréchet空間である。

□

11. 多項式空間 $\mathcal{P}_N$、多項式的に増加する関数、緩増加関数空間 $\mathcal{T}_N$

定義11.1（多項式空間$\mathcal{P}_N$）

$$ \text{id}^{\alpha}\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}\ldots x_N^{\alpha_N}\in \mathbb{R}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N) $$ なる関数の線形結合全体を、 $$ \mathcal{P}_N\colon=\text{span}\{\text{id}^{\alpha}:\alpha\in \mathbb{Z}_+^N\} $$ と表す。$\mathcal{P}_N$ を $\mathbb{R}^N$ 上の多項式空間、$\mathcal{P}_N$ の元を $\mathbb{R}^N$ 上の多項式と言う。

定義11.2（多項式的に増加する関数）

$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ が多項式的に増加する関数であるとは、ある $C\in [0,\infty)$ と $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、 $$ \lvert f(x)\rvert\leq C(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つことを言う。

定義11.3（緩増加関数空間 $\mathcal{T}_N$）

$$ \mathcal{T}_N\colon=\{f\in C^\infty(\mathbb{R}^N): \text{任意の } \alpha\in \mathbb{Z}_+^N\text{ に対し }\partial^{\alpha}f\text{ は多項式的に増加する関数 }\} $$ を $\mathbb{R}^N$ 上の緩増加関数空間と言い、$\mathcal{T}_N$ の元を $\mathbb{R}^N$ 上の緩増加関数と言う。

12. $\mathcal{S}_N$ 上の基本的な連続線形写像

命題12.1

次が成り立つ。

• $(1)$　$\mathcal{S}_N, \mathcal{P}_N\subset \mathcal{T}_N$.
• $(2)$　$\mathcal{S_N} \mathcal{T}_N=\{fg:f\in\mathcal{S}_N,g\in \mathcal{T}_N\}\subset \mathcal{S}_N$.
• $(3)$　$\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $C^1$ 級写像で $1$ 階の偏導関数が有界であるものとすると、任意の多項式的に増加する関数 $f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f\circ\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ も多項式的に増加する関数である。
• $(4)$　$\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 級写像で $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとすると、任意の $f\in \mathcal{T}_N$ に対し $f\circ\Phi\in \mathcal{T}_N$ である。
• $(5)$　$\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 級同相写像で $\Phi,\Phi^{-1}$ の $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとすると、任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $f\circ\Phi\in \mathcal{S}_N$ である。

Proof.

• $(1)$　$\mathcal{S}_N$ の元の任意の偏導関数は有界なので $\mathcal{S}_N\subset \mathcal{T}_N$である。$\mathcal{P}_N$ の元の任意の偏導関数は $\mathcal{P}_N$ の元であり、$\mathcal{P}_N$ の元は、

$$ \begin{aligned} \lvert x^{\alpha}\rvert&=\lvert x_1\rvert^{\alpha_1}\ldots\lvert x_N\rvert^{\alpha_N} \leq \lvert x\rvert^{\alpha_1+\ldots+\alpha_N}=\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert}\\ &\leq(1+\lvert x\rvert^2)^{\lvert \alpha\rvert}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N,\forall x\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ より多項式的に増加する関数なので、$\mathcal{P}_N\subset \mathcal{T}_N$ である。

• $(2)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$、$g\in \mathcal{T}_N$ と任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ を取る。Leibnizルール（命題1.3）より、

$$ \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(fg)=\sum_{\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}(\text{id}^{\beta}\partial^{\gamma}g)(\partial^{\alpha-\gamma}f) $$ である。各 $\gamma\leq \alpha$ に対し $\text{id}^{\beta}\partial^{\gamma}g$ は多項式的に増加する関数であるので $(\text{id}^{\beta}\partial^{\gamma}g)(\partial^{\alpha-\gamma}f)$ は有界である。よって $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(fg)$ は有界であるから $fg\in \mathcal{S}_N$ である。

• $(3)$　$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を多項式的に増加する関数とすると、ある $C\in [0,\infty)$ と $n\in \mathbb{N}$ に対し、

$$ \lvert f(x)\rvert\leq C(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ \lvert f(\Phi(x))\rvert\leq C(1+\lvert\Phi(x)\rvert^2)^n\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ である。よって $f\circ\Phi$ が多項式的に増加する関数であることを示すには $\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert\Phi(x)\rvert\in [0,\infty)$ が多項式的に増加する関数であることを示せばよいが、$\Phi$ の一階の偏導関数は有界であることと微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} \lvert\Phi(x)\rvert-\lvert\Phi(0)\rvert\leq \lvert\Phi(x)-\Phi(0)\rvert \leq\sum_{i=1}^{N}\lvert\Phi_i(x)-\Phi_i(0)\rvert \leq\sum_{i,j=1}^{N}\lVert\partial_j\Phi_i\rVert \lvert x\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ であるから $\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert\Phi(x)\rvert\in [0,\infty)$ は多項式的に増加する関数である。

• $(4)$　任意の $f\in \mathcal{T}_N$ を取る。$f\circ\Phi\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対しチェインルールより、

$$ \partial^{\alpha}(f\circ\Phi)=\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\varphi_{\beta}((\partial^{\beta}f)\circ\Phi)\quad\quad(*) $$ と表せる。ここで $\varphi_{\beta}$ は $\Phi=(\Phi_1,\ldots,\Phi_N)$ の成分の $1$ 階以上の偏導関数の積と和によって表される有界な $C^\infty$ 級関数である。$f\in \mathcal{T}_N$より各 $\partial^{\beta}f$ は多項式的に増加する関数なので $(3)$ より $(\partial^{\beta}f)\circ\Phi$ も多項式的に増加する関数である。よって $\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)$ は多項式的に増加する関数であるから $f\circ\Phi\in\mathcal{T}_N$ である。

• $(5)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$、任意の $\alpha,\gamma\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)$ が有界であることを示せばよい。$\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)$ は $(*)$ のように表される。 そして $\text{id}^{\gamma}\in \mathcal{T}_N$ なので $(4)$ より $g\colon=\text{id}^{\gamma}\circ\Phi^{-1}$ とおくと $g \in \mathcal{T}_N$ である。よって、

$$ \text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)=(g\circ\Phi)\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\varphi_{\beta}((\partial^{\beta}f)\circ\Phi) =\sum_{\lvert\beta\rvert\leq\lvert\alpha\rvert}\varphi_{\beta}((g\partial^{\beta}f)\circ\Phi) $$ と表せる。ただし $\varphi_{\beta}$ は $\Phi=(\Phi_1,\ldots,\Phi_N)$ の成分の $1$ 階以上の偏導関数の積と和によって表される有界な $C^\infty$ 級関数である。$(2)$ より各 $\beta\leq\alpha$ に対し $g\partial^{\beta}f\in \mathcal{S}_N$ であるから $(g\partial^{\beta}f)\circ\Phi$ は有界である。よって $\text{id}^{\gamma}\partial^{\alpha}(f\circ\Phi)$ は有界である。

□

命題12.2（$\mathcal{S}_N$ 上の基本的な連続線形写像）

Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$ に対し、次が成り立つ。

• $(1)$　任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto \partial^{\alpha}f\in \mathcal{S}_N $$ は連続線形写像である。

• $(2)$　任意の $g\in \mathcal{T}_N$ に対し、

$$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto fg\in \mathcal{S}_N $$ （命題12.1の$(2)$を参照）は連続線形写像である、

• $(3)$　$\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 級同相写像で $\Phi,\Phi^{-1}$ の $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとすると、

$$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f\circ\Phi\in \mathcal{S}_N $$ （命題12.1の$(5)$を参照）は連続線形写像である。

• $(4)$　任意の $p\in [1,\infty]$ に対し $\mathcal{S}_N\subset L^p(\mathbb{R}^N)$ であり、

$$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto [f]\in L^p(\mathbb{R}^N) $$ は連続線形写像である。

Proof.

• $(1)$　連続性の点列による特徴付け（ネットによる位相空間論の命題6.5）より $(*)$ が $\mathcal{S}_N$ の収束列を収束列に写すことを示せばよい。しかしこれは命題10.2の$(2)$より自明である。
• $(2)$　$\mathcal{S}_N$ はFréchet空間であるから $(**)$ が連続であることを示すには、閉グラフ定理（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理の定理19.3）より、 $\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ と $f,h,\in \mathcal{S}_N$ に対し、

$$ f_i\rightarrow f,\quad f_ig\rightarrow h\quad(i\rightarrow\infty) $$ が成り立つと仮定して $h=fg$ が成り立つことを示せばよい。命題10.2の$(2)$より特に、 $$ f(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(x),\quad h(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(x)g(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ h(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(x)g(x)=f(x)g(x)\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ である。よって $h=fg$ であるから $(**)$ は連続である。

• $(3)$　$\mathcal{S}_N$ はFréchet空間であるから $(***)$ が連続であることを示すには、閉グラフ定理（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理の定理19.3）より、$\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ と $f,h\in \mathcal{S}_N$ に対し、

$$ f_i\rightarrow f,\quad f_i\circ\Phi\rightarrow h\quad(i\rightarrow\infty) $$ が成り立つと仮定して $h=f\circ\Phi$ が成り立つことを示せばよい。命題10.2の $(2)$ より特に、 $$ f(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(x),\quad h(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(\Phi(x))\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ h(x)=\lim_{i\rightarrow\infty}f_i(\Phi(x))=f(\Phi(x))\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ である。よって $h=f\circ\Phi$ であるから $(**)$ は連続である。

• $(4)$　定義10.1における $\mathcal{S}_N$ 上のノルムの列 $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を考える。任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $f$ は有界なので $[f]\in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、

$$ \lVert f\rVert_{\infty}=\sup_{x\in\mathbb{R}^N}\lvert f(x)\rvert\leq p_n(f)\quad(\forall f\in \mathcal{S}_N,\forall n\in\mathbb{N}) $$ であるから $p=\infty$ の場合は $(****)$ は連続である。$p\in [1,\infty)$ とする。$2np>N$ なる $n\in\mathbb{N}$ を取る。 $$ (1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert f(x)\rvert\leq p_n(f)\quad(\forall f\in \mathcal{S}_N,\forall x\in\mathbb{R}^N) $$ であるから、極座標変換（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4）より、 $$ \int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(x)\rvert^pdx\leq\int_{\mathbb{R}^N}\frac{p_n(f)^p}{(1+\lvert x\rvert^2)^{np}}dx =\left(\mu(S_{N-1})\int_{[0,\infty)}\frac{r^{N-1}}{(1+r^2)^{np}}dr\right)p_n(f)^p\quad(\forall f\in \mathcal{S}_N)\quad\quad(*****) $$ が成り立つ。ただし $\mu(S_{N-1})$ は $S_{N-1}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert=1\}$ の面積測度（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定義16.8）である。ここで $2np>N$ より、 $$ \int_{[0,\infty)}\frac{r^{N-1}}{(1+r^2)^{np}}dr\leq 1+\int_{[1,\infty)}r^{N-2np-1}dr=1+\frac{1}{2np-N}<\infty $$ であるから、 $$ C:=\left(\mu(S_{N-1})\int_{[0,\infty)}\frac{r^{N-1}}{(1+r^2)^{np}}dr\right)^{\frac{1}{p}}<\infty $$ とおけば $(*****)$ より、 $$ \lVert f\rVert_p\leq Cp_n(f)\quad(\forall f\in \mathcal{S}_N) $$ となる。よって $p\in [1,\infty)$ の場合も $\mathcal{S}_N\subset L^p(\mathbb{R}^N)$ であり、 $(****)$ は連続である。

□

13. $L^1(\mathbb{R}^N)$ のFourier変換

定義13.1（$L^1(\mathbb{R}^N)$ のFourier変換）

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]^{\wedge}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を、 $$ [f]^{\wedge}(k)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot x}dx\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) $$ と定義する。$[f]^{\wedge}$ を $[f]$ のFourier変換と言う。$[f]^{\wedge}$ は $f^{\wedge}$ とも表す。

注意13.2（$L^1(\mathbb{R}^N)$ の元のFourier変換は有界連続関数）

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対しLebesgue優収束定理より $[f]^{\wedge}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数である。また、 $$ \sup_{k\in\mathbb{R}^N}\lvert [f]^{\wedge}(k)\rvert \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert f\rVert_1 $$ であるから $[f]^{\wedge}$ は有界である。

補題13.3

任意の $f\in \mathcal{S}_N\subset L^1(\mathbb{R}^N)$、任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、

• $(1)$　$\text{id}_jf^{\wedge}=-i(\partial_jf)^{\wedge}$ が成り立つ。
• $(2)$　$f^{\wedge}$ は偏導関数 $\partial_jf^{\wedge}$ を持ち、$\partial_jf^{\wedge}=-i(\text{id}_jf)^{\wedge}$が成り立つ。

Proof.

• $(1)$　任意の $k\in \mathbb{R}^N$ を取る。$e_{-k}\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{-ik\cdot x}\in \mathbb{C}$ とおくと、

$$ \begin{aligned} (2\pi)^{\frac{N}{2}}(\partial_jf)^{\wedge}(k)&=\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jf(x)e_{-k}(x)dx =\int_{\mathbb{R}^N}\partial_j(fe_{-k})(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\partial_je_{-k}(x)dx\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}\partial_j(fe_{-k})(x)dx+ik_j(2\pi)^{\frac{N}{2}}f^{\wedge}(k)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ である。$e_{-k}$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数であるので $fe_{-k}\in \mathcal{S}_N$ である。よって命題10.2の $(1)$ より $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}f(x)e_{-k}(x)=0$ であるのでFubiniの定理と微積分学の基本定理より $(*)$ の右辺の第一項は $0$ である。ゆえに、 $$ (\partial_jf)^{\wedge}(k)=ik_jf^{\wedge}(k) $$ であるので $\text{id}_jf^{\wedge}=-i(\partial_jf)^{\wedge}$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の $k\in \mathbb{R}^N$、任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ に対し、

$$ \frac{f^{\wedge}(k+he_j)-f^{\wedge}(k)}{h}=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot x}\left(\frac{e^{-ihx_j}-1}{h}\right)dx $$ である。微積分学の基本定理より、 $$ \left\lvert f(x)e^{-ik\cdot x}\left(\frac{e^{-ihx_j}-1}{h}\right)\right\rvert =\lvert x_jf(x)\rvert\left\lvert\int_{0}^{1}e^{-ih\theta x_j}d\theta\right\rvert\leq\lvert x_jf(x)\rvert $$ であり、$\text{id}_jf\in \mathcal{S}_N\subset L^1(\mathbb{R}^N)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、 $$ \partial_j(f^{\wedge})(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot x}(-ix_j)dx=-i(\text{id}_jf)^{\wedge}(k) $$ となる。よって $\partial_jf^{\wedge}=-i(\text{id}_jf)^{\wedge}$ が成り立つ。

□

命題13.4（Fourier変換の基本性質）

Fourier変換について、

• $(1)$　任意の $[f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(x)g(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}f(x)g^{\wedge}(x)dx $$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、

$$ (T_y[f])^{\wedge}=e_{-y}[f]^{\wedge},\quad(e_y[f])^{\wedge}=T_y[f]^{\wedge} $$ が成り立つ。ただし $T_y[f]$ は $[f]$ の $y$ による平行移動（定義8.4）であり、$e_y(x)=e^{ix\cdot y}$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。

• $(3)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と任意の正則行列 $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ に対し、

$$ [f\circ A]^{\wedge}=\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert}[f]^{\wedge}\circ {A^{-1}}^t $$ が成り立つ。

• $(4)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $f^{\wedge}\in \mathcal{S}_N$ であり、

$$ \partial^{\alpha}f^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\text{id}^{\alpha}f)^{\wedge},\quad \text{id}^{\alpha}f^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\partial^{\alpha}f)^{\wedge}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

• $(5)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]^{\wedge}\in C_0(\mathbb{R}^N)$（無限遠で消える連続関数）である。

Proof.

• $(1)$　注意13.2より $f^{\wedge},g^{\wedge}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は有界連続関数なので $f^{\wedge}g,fg^{\wedge}\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ であり、Fubiniの定理より、

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(x)g(x)dx&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(k)g(x)e^{-ik\cdot x}dk\right)dx\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(k)g(x)e^{-ik\cdot x}dx\right)dk\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}f(k)g^{\wedge}(k)dk \end{aligned} $$ である。

• $(2)$　Lebesgue測度の平行移動不変性（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の命題37.1）より任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し $T_y[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ であり、

$$ \begin{aligned} (T_y[f])^{\wedge}(k)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x-y)e^{-ik\cdot x}dx =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot (x+y)}dx\\ &=e^{-ik\cdot y}\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot x}dx=e_{-k}(y)[f]^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。よって $(T_y[f])^{\wedge}=e_{-k}[f]^{\wedge}$ である。また、 $$ \begin{aligned} (e_y[f])^{\wedge}(k)&=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{iy\cdot x}e^{-ik\cdot x}dx =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-i(k-y)\cdot x}dx\\ &=[f]^{\wedge}(k-y)=T_y[f]^{\wedge}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。よって $(e_y[f])^{\wedge}=T_y[f]^{\wedge}$ である。

• $(3)$　変数変換公式（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の補題40.3）より、

$$ \begin{aligned} &[f\circ A]^{\wedge}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(Ax)e^{-ik\cdot x}dx =\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert (2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-ik\cdot (A^{-1}x)}dx\\ &=\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert (2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{-i({A^{-1}}^tk)\cdot x}dx =\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert}[f]^{\wedge}({A^{-1}}^tk)\quad(\forall k\in\mathbb{R}^N) \end{aligned} $$ である。よって $[f\circ A]^{\wedge}=\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert}[f]^{\wedge}\circ {A^{-1}}^t$ である。

• $(4)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $(*)$ が成り立つことは補題13.3による。任意の $f\in \mathcal{S}_N$、任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert}\text{id}^{\beta}(\text{id}^{\alpha}f)^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert+\lvert\beta\rvert}(\partial^{\beta}\text{id}^{\alpha}f)^{\wedge} $$ であり、注意13.2より右辺は有界なので $f^{\wedge}\in \mathcal{S}_N$ である。

• $(5)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対しベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系16.12の $(3)$ より $D(\mathbb{R}^N)\subset \mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{i\rightarrow\infty}\lVert f_i-f\rVert_1=0$ を満たすものが取れる。注意13.2より、

$$ \sup_{k\in \mathbb{R}^N}\lvert f_i^{\wedge}(k)-f^{\wedge}(k)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert f_i-f\rVert_1\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ である。ここで $(4)$ と命題10.2の $(1)$ より $f_i^{\wedge}\in\mathcal{S}_N\subset C_0(\mathbb{R}^N)$ $(\forall i\in\mathbb{N})$ であり、$C_0(\mathbb{R}^N)$ は $\sup$ ノルムに関して閉であるから $f^{\wedge}\in C_0(\mathbb{R}^N)$ である。

□

14. Gauss関数とFourier変換

定義14.1（Gauss関数）

$g_N\colon\mathbb{R}^N\rightarrow (0,\infty)$ を、 $$ g_N(x)\colon=\exp\left(-\frac{\lvert x\rvert^2}{2}\right)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ と定義する。$g_N$ を $\mathbb{R}^N$ 上のGauss関数と言う。次の命題14.2より $g_N\in \mathcal{S}_N$ であり $g_N$ のFourier変換は $g_N$ 自身である。

命題14.2（Gauss関数とFourier変換）

Gauss関数 $g_N\colon\mathbb{R}^N\rightarrow (0,\infty)$ は $\mathcal{S}_N$ に属し、 $$ g_N^{\wedge}=g_N\quad\quad(*) $$ が成り立つ。

Proof.

チェインルールより $g_N\in C^\infty(\mathbb{R}^N)$ であり、任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}g_N=p_{\alpha,\beta}g_N $$ なる多項式 $p_{\alpha,\beta}\in \mathcal{P}_N$ が取れる。そして任意の $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、 $$ \lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert x\rvert^{2n}\exp\left(-\frac{\lvert x\rvert^2}{2}\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t^n}{\exp(\frac{t}{2})}=0 $$ であるから、 $$ \lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}x^{\beta}\partial^{\alpha}g_N(x) =\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}p_{\alpha,\beta}(x)g_N(x)=0 $$ である。これより $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}g_N$ は無限遠で消える連続関数であるから有界なので $g_N\in \mathcal{S}_N$ である。 $$ g_N(x)=g_1(x_1)\ldots g_1(x_N)\quad(\forall x=(x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{R}^N) $$ であり、Fubiniの定理より、 $$ g_N^{\wedge}(k)=g_1^{\wedge}(k_1)\ldots g_1^{\wedge}(k_N)\quad(\forall k=(k_1,\ldots,k_N)\in\mathbb{R}^N) $$ であるから、$(*)$ が成り立つことを示すには $N=1$ として示せば十分である。$g\colon=g_1$ とおく。Fubiniの定理と極座標変換（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4）、微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} \left(\int_{\mathbb{R}}g(x)dx\right)^2&=\int_{\mathbb{R}^2}g_2(x,y)dxdy =2\pi\int_{[0,\infty)}r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)dr\\ &=-2\pi\int_{[0,\infty)}\frac{d}{dr}\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)dr=2\pi \end{aligned} $$ であるから、 $$ g^{\wedge}(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}g(x)dx=1=g(0)\quad\quad(**) $$ である。 $$ g'+\text{id} g=0\quad\quad(***) $$ であり、この両辺をFourier変換すると命題13.4の $(4)$ より、 $$ \text{id}g^{\wedge}+{g^{\wedge}}'=0\quad\quad(****) $$ を得る。よって、 $$ \mathbb{R}\ni x\mapsto \frac{g^{\wedge}(x)}{g(x)}\in \mathbb{C} $$ の導関数は $(***)$, $(****)$ より、 $$ \left(\frac{g^{\wedge}}{g}\right)'=\frac{{g^{\wedge}}'}{g}-\frac{g^{\wedge}g'}{g^2} =-\frac{\text{id}g^{\wedge}g}{g^2}+\frac{\text{id}g^{\wedge}g}{g^2}=0 $$ である。ゆえに平均値の定理と $(**)$ より、 $$ \frac{g^{\wedge}(x)}{g(x)}=\frac{g^{\wedge}(0)}{g(0)}=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}) $$ であるので $g^{\wedge}=g$ が成り立つ。

□

15. $L^1(\mathbb{R}^N)$ のFourier逆変換

命題15.1（Fourier逆変換公式）

$f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ が有界連続であり、$f^{\wedge}\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ ならば、 $$ f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(k)e^{ik\cdot x}dk\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。

Proof.

$g$ を $\mathbb{R}^N$ 上のGauss関数（定義14.1）とする。また任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ f_n(x)\colon=f\left(\frac{1}{n}x\right)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ とおく。$g^{\wedge}=g$（命題14.2）であること、$f,g$の有界連続性、Lebesgue優収束定理より、 $$ \begin{aligned} &(2\pi)^{\frac{N}{2}}f(0)=f(0)(2\pi)^{\frac{N}{2}}g^{\wedge}(0)=f(0)\int_{\mathbb{R}^N}g(x)dx=f(0)\int_{\mathbb{R}^N}g^{\wedge}(x)dx\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}f_n(x)g^{\wedge}(x)dx =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}f_n^{\wedge}(x)g(x)dx =\lim_{n\rightarrow\infty}n^N\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(nx)g(x)dx\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(x)g\left(\frac{x}{n}\right)dx =g(0)\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(k)dk \end{aligned} $$ となる。ただし5番目の等号で命題13.4の$(1)$、6番目の等号で命題13.4の$(3)$、7番目の等号で変数変換公式（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の補題40.3）を用いた。よって、 $$ f(0)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(k)dk $$ が成り立つ。任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し $T_{-x}f=f(\cdot+x)\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ も有界連続であり、$(T_{-x}f)^{\wedge}=e_{x}f^{\wedge}\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ であるから、上の結果と命題13.4の $(2)$ より、 $$ f(x)=T_{-x}f(0)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}(T_{-x}f)^{\wedge}(k)dk =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(k)e^{ik\cdot x}dk $$ となる。

□

定義15.2（Fourier逆変換）

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]^{\vee}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を、 $$ [f]^{\vee}(k)\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f(x)e^{ik\cdot x}dx\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) $$ と定義する。$[f]^{\vee}$ を $[f]$ のFourier逆変換と言う。$[f]^{\vee}$ は $f^{\vee}$ とも表す。

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対しLebesgue優収束定理より $[f]^{\vee}\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、 $$ \sup_{k\in\mathbb{R}^N}\lvert [f]^{\vee}(k)\rvert \leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert f\rVert_1 $$ であるから $[f]^{\vee}$ は有界である。

命題15.3（Fourier逆変換の基本性質）

Fourier逆変換について、

• $(1)$　任意の $[f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^N)$に対し、

$$ \int_{\mathbb{R}^N}f^{\vee}(x)g(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}f(x)g^{\vee}(x)dx $$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と任意の $y\in \mathbb{R}^N$ に対し、

$$ (T_y[f])^{\vee}=e_{y}[f]^{\vee},\quad(e_y[f])^{\vee}=T_{-y}[f]^{\vee} $$ が成り立つ。ただし$T_y[f]$ は $[f]$ の $y$ による平行移動（定義8.4）であり、$e_y(x)=e^{ix\cdot y}$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。

• $(3)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ と任意の正則行列 $A\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ に対し、

$$ [f\circ A]^{\vee}=\frac{1}{\lvert{\rm det}(A)\rvert}[f]^{\vee}\circ {A^{-1}}^t $$ が成り立つ。

• $(4)$　任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $f^{\vee}\in \mathcal{S}_N$ であり、

$$ \partial^{\alpha}f^{\vee}=i^{\lvert\alpha\rvert}(\text{id}^{\alpha}f)^{\vee},\quad \text{id}^{\alpha}f^{\vee}=i^{\lvert\alpha\rvert}(\partial^{\alpha}f)^{\vee}\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N) $$ が成り立つ。

• $(5)$　任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]^{\vee}\in C_0(\mathbb{R}^N)$（無限遠で消える連続関数）である。
• $(6)$　Gauss関数 $g\in \mathcal{S}_N$（定義14.1）に対し $g^{\vee}=g$ が成り立つ。
• $(7)$　$f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ が有界連続関数であり、$f^{\vee}\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ ならば、

$$ f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}f^{\vee}(k)e^{-ik\cdot x}dk\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)\sim (5)$ は命題13.4と全く同様にして示せる。$(6),(7)$はそれぞれ命題14.2、命題15.1と全く同様にして示せる。

□

16. Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 上の自己同型写像としてのFourier（逆）変換

定義16.1（反転）

$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ の $C^\infty$ 級同相写像 $$ \mathbb{R}^N\ni x\mapsto -x\in \mathbb{R}^N $$ による変数変換（定義8.1）を $u_{-1}\in D'(\mathbb{R}^N)$ と表す。任意の $[f]\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)\subset D'(\mathbb{R}^N)$ に対し $f_{-1}(x)\colon=f(-x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ とおけば、$[f]_{-1}=[f_{-1}]$ である。

命題13.4の $(4)$、命題15.3の $(4)$ より任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $f^{\wedge},f^{\vee}\in \mathcal{S}_N$ である。

定理16.2（Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 上の自己同型写像としてのFourier変換）

急減少関数空間 $\mathcal{S}_N$ 上のFourier変換 $$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\wedge}\in \mathcal{S}_N\quad\quad(*) $$ とFourier逆変換 $$ \mathcal{S}_N\ni f\mapsto f^{\vee}\in \mathcal{S}_N\quad\quad(**) $$ はそれぞれFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 上の線形同型同相写像であり、互いに逆写像である。また、 $$ f^{\wedge\wedge}=f^{\vee\vee}=f_{-1}\quad\quad(***) $$ である。

Proof.

$(*), (**)$ が互いに逆写像であることと$(***)$が成り立つことはFourier逆変換公式（命題15.1と命題15.3の $(7)$）による。$(*)$ が連続であることを示す。閉グラフ定理（位相線形空間4：Fréchet空間と関数解析の基本定理の定理19.3）より $\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in \mathbb{N}}$ と $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対しFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ の位相で、 $$ f_i\rightarrow f,\quad f_i^{\wedge}\rightarrow g $$ が成り立つとして $f^{\wedge}=g$ が成り立つことを示せばよい。このとき $(f_i^{\wedge})_{i\in\mathbb{N}}$ は特に $g$ に一様収束する。また命題12.2の $(4)$ より $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $f$ に $L^1$ ノルムで収束するから、 $$ \sup_{x\in \mathbb{R}^N}\lvert f_i^{\wedge}(x)-f^{\wedge}(x)\rvert\leq \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\lVert f_i-f\rVert_1\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) $$ より $(f_i^{\wedge})_{i\in\mathbb{N}}$ は $f^{\wedge}$ に一様収束する。よって $f^{\wedge}=g$ であるから $(*)$ は連続である。 $(**)$ が連続であることも全く同様にして示せる。

□

17. 緩増加超関数空間 $\mathcal{S}_N'$

命題17.1（$\mathcal{S}_N$ における $D(\mathbb{R}^N)$ の稠密性）

Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$ において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である。

Proof.

Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ 0\leq \omega(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad\omega(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq1) $$ なるものが取れる。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \omega_n(x)\colon=\omega\left(\frac{x}{n}\right)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ として定義すると、 $$ 0\leq\omega_n(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*) $$ である。今、任意の $f\in \mathcal{S}_N$ に対し $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(\omega_nf)_{n\in\mathbb{N}}$ が $\mathcal{S}_N$ の位相で $f$ に収束することを示す。そのためには任意の $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(\omega_nf))_{n\in\mathbb{N}}$ が $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束することを示せばよい（命題10.2の$(2)$を参照）。 Leibnizルール（命題1.3）より任意の $n\in \mathbb{N}$、任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}(\omega_nf)(x)-\partial^{\alpha}f(x)=(\omega_n-1)\partial^{\alpha}f(x)+\sum_{0<\gamma\leq \alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\partial^{\gamma}\omega\left(\frac{x}{n}\right)\partial^{\alpha-\gamma}f(x) $$ であるから $\sup$ ノルムに関して、 $$ \lVert \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(\omega_nf)-\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f\rVert \leq \lVert (\omega_n-1)\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f\rVert+\sum_{0<\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\lVert\partial^{\gamma}\omega\rVert\lVert \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha-\gamma}f\rVert\quad\quad(**) $$ となる。$(**)$ の右辺の第二項について $\sum$ の中の $\gamma$ が $0<\lvert\gamma\rvert$ であることから、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{0<\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\lVert\partial^{\gamma}\omega\rVert\lVert \text{id}^{\beta}\partial^{\alpha-\gamma}f\rVert=0 $$ である。また $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f\in C_0(\mathbb{R}^N)$（無限遠で消える連続関数）であるから 任意の$\epsilon\in (0,\infty)$ に対し十分大きい $n_0\in\mathbb{N}$ を取れば、 $$ \lvert x^{\beta}\partial^{\alpha}f(x)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\geq n_0) $$ となる。よって $(*)$ より $(**)$ の右辺の第一項について、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert (\omega_n-1)\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f\rVert=0 $$ である。ゆえに $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}(\omega_nf))_{n\in\mathbb{N}}$ は $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}f$ に一様収束する。

□

命題17.2

Fréchet空間 $\mathcal{S}_N$ の位相（定義10.1）を定めるノルムの列 $$ p_n\colon\mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \underset{\lvert\alpha\rvert\leq n}{\rm max}\sup_{x\in \mathbb{R}^N}(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert\partial^{\alpha}\varphi(x)\rvert\in [0,\infty)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$ を考える。このとき線形汎関数 $u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し次は互いに同値である。

• $(1)$　$u$ は $\mathcal{S}_N$ の相対位相で連続である。
• $(2)$　ある $n\in\mathbb{N}$ と $C\in [0,\infty)$ に対し、

$$ \lvert u(\varphi)\rvert\leq Cp_n(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ が成り立つ。 そして $(1),(2)$ が成り立つとき $u$ は $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形汎関数に一意拡張できる。

Proof.

$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。このとき $\{\varphi\in D(\mathbb{R}^N):\lvert u(\varphi)\rvert<1\}$ は $0\in D(\mathbb{R}^N)$ の $\mathcal{S}_N$ の相対位相に関する開近傍である。よって位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の命題8.6の $(3)$ よりある $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、 $$ \{\varphi\in D(\mathbb{R}^N):p_n(\varphi)<\epsilon\}\subset \{\varphi\in D(\mathbb{R}^N):\lvert u(\varphi)\rvert<1\} $$ が成り立つ（$p_n(\varphi)\leq p_{n+1}(\varphi)$ $(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N) )$ であることに注意）。 これは、 $$ \lvert u(\varphi)\rvert\leq \frac{1}{\epsilon}p_n(\varphi)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$ を意味するので $(2)$ が成り立つ。
命題17.1より $D(\mathbb{R}^N)$ は $\mathcal{S}_N$ において稠密であるので、$(2)$ が成り立つならば $u$ は $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形汎関数 $\widetilde{u}\colon\mathcal{S}_N\rightarrow \mathbb{C}$ で、 $$ \lvert\widetilde{u}(\varphi)\rvert\leq Cp_n(\varphi)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N) $$ を満たすものに拡張できる<ref>有界線形作用素の一意拡張（位相線形空間1：ノルムと内積の命題3.6）の証明を参照。<\ref>。 このとき $\widetilde{u}$ は $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形汎関数である。拡張の一意性は $D(\mathbb{R}^N)$ の $\mathcal{S}_N$ における稠密性による。

□

注意17.3

$K\subset \mathbb{R}^N$ をコンパクト集合とする。Fréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$（定義3.7）の収束列は $\mathcal{S}_N$ の位相で収束する。実際、$(\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ がFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ において $\varphi\in D_K(\mathbb{R}^N)$ に収束するとすると、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}\varphi$ に一様収束する。$\partial^{\alpha}\varphi_i,\partial^{\alpha}\varphi$ の台は $K$ に含まれ、任意の $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\text{id}^{\beta}$ はコンパクト集合 $K$ 上で有界であるから $(\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\text{id}^{\beta}\partial^{\alpha}\varphi$ に一様収束する。すなわち $(\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{S}_N$ の位相で $\varphi$ に収束する。よって $u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow \mathbb{C}$ が $\mathcal{S}_N$ の相対位相で連続ならば $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ である。

定義17,4（緩増加超関数空間 $\mathcal{S}_N'$）

線形汎関数 $u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ でFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ の位相で連続であるものを $\mathbb{R}^N$ 上の緩増加超関数と言う。緩増加超関数全体を $\mathcal{S}_N'$ と表し、これを緩増加超関数空間と言う。注意17.3より $\mathcal{S}_N'\subset D'(\mathbb{R}^N)$ であり、$\mathcal{S}_N'$ は $D'(\mathbb{R}^N)$ の部分空間である。また命題17.2より $\mathcal{S}_N'$ の任意の元 $u$ は $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形汎関数に一意拡張できる。そこで $u$ とその一意拡張を同一視することで $\mathcal{S}_N'$ を $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形汎関数全体とみなす。

命題17.5（$\mathcal{S}_N'$ の基本性質）

緩増加超関数空間 $\mathcal{S}_N'$ について次が成り立つ。

• $(1)$　任意の $u\in \mathcal{S}_N'$ と任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}u\in \mathcal{S}_N'$.
• $(2)$　任意の $u\in \mathcal{S}_N'$ と任意の緩増加関数 $f\in \mathcal{T}_N$ に対し、$fu\in \mathcal{S}_N'$.
• $(3)$　$\Phi\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 同相写像で $\Phi,\Phi^{-1}$ の $1$ 階以上の全ての偏導関数が有界であるものとすると、任意の $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し $u\circ \Phi\in \mathcal{S}_N'$.
• $(4)$　任意の $p\in [1,\infty]$ に対し $L^p(\mathbb{R}^N)\subset \mathcal{S}_N'$.
• $(5)$　多項式的に増加する任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $[f]\in \mathcal{S}_N'$. 特に$\mathcal{T}_N\subset \mathcal{S}_N'$.

Proof.

• $(1)$　命題12.2の $(1)$ による。
• $(2)$　命題12.2の $(2)$ による。
• $(3)$　命題12.2の $(3)$ による。
• $(4)$　命題12.2の $(4)$ とHölderの不等式による。
• $(5)$　$f\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ を多項式的に増加するBorel関数とすると、ある $C\in [0,\infty)$ と $n\in\mathbb{N}$ に対し、

$$ \lvert f(x)\rvert\leq C(1+\lvert x\rvert^2)^n\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。$\mathcal{S}_N$ の位相で $\varphi_i\rightarrow \varphi$ ならば命題12.2の $(2)$ より $\mathcal{S}_N$ の位相で、 $$ (1+\lvert x\rvert^2)^n\varphi_i\rightarrow (1+\lvert x\rvert^2)\varphi\quad(\forall i\rightarrow\infty)\quad\quad(*) $$ である。よって命題12.2の $(4)$ より $(*)$ は $L^1$ ノルムに関して成り立つ。ゆえに、 $$ \begin{aligned} &\lvert[f](\varphi_i)-[f](\varphi)\rvert\leq \int_{\mathbb{R}^N}\lvert f(x)\rvert\lvert\varphi_i(x)-\varphi(x)\rvert dx\\ &\leq \int_{\mathbb{R}^N}C(1+\lvert x\rvert^2)^n\lvert \varphi_i(x)-\varphi(x)\rvert dx\rightarrow0\quad(i\rightarrow\infty) \end{aligned} $$ である。

□

18. $\mathcal{S}_N'$ のFourier変換

定義18.1（緩増加超関数のFourier変換）

定理17.2より $\mathcal{S}_N$ 上のFourier変換 $$ \mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\wedge}\in \mathcal{S}_N $$ と $\mathcal{S}_N$ 上のFourier逆変換 $$ \mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\vee}\in \mathcal{S}_N $$ はFréchet空間 $\mathcal{S}_N$ 上の連続線形写像であるから、任意の緩増加超関数 $u\in \mathcal{S}_N'$ に対し、 $$ \begin{aligned} &u^{\wedge}\colon\mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto u(\varphi^{\wedge})\in \mathbb{C},\\ &u^{\vee}\colon\mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto u(\varphi^{\vee})\in \mathbb{C} \end{aligned} $$ はそれぞれ $\mathcal{S}_N'$ の元である。$u^{\wedge}$ を $u$ のFourier変換、$u^{\vee}$ を $u$ のFourier逆変換と言う。定理17.2より、 $$ u^{\wedge\vee}=u,\quad u^{\vee\wedge}=u,\quad u^{\wedge\wedge}=u^{\vee\vee}=u_{-1} $$ である。

注意18.2（$L^1(\mathbb{R}^N)$ のFourier変換と $\mathcal{S}_N'$ のFourier変換の無矛盾性）

任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ に対し、命題13.4の$(1)$、命題15.3の$(1)$より、 $$ \begin{aligned} &[f](\varphi^{\wedge})=\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi^{\wedge}(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}f^{\wedge}(x)\varphi(x)dx =[f]^{\wedge}(\varphi)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N),\\ &[f](\varphi^{\vee})=\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi^{\vee}(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}f^{\vee}(x)\varphi(x)dx =[f]^{\vee}(\varphi)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N) \end{aligned} $$ である。よって $[f]\in L^1(\mathbb{R}^N)$ の $\mathcal{S}_N'$ の元としてのFourier変換、Fourier逆変換は、元々の $L^1(\mathbb{R}^N)$ の元としてのFourier変換、Fourier逆変換の定義（定義13.1、定義15.2）と矛盾しない。

命題18.3（緩増加超関数のFourier変換の基本性質）

任意の$u\in \mathcal{S}_N'$、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}u^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\text{id}^{\alpha}u)^{\wedge},\quad\text{id}^{\alpha}u^{\wedge}=(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\partial^{\alpha}u)^{\wedge},\quad\quad(*) $$ $$ \partial^{\alpha}u^{\vee}=i^{\lvert\alpha\rvert}(\text{id}^{\alpha}u)^{\vee},\quad \text{id}^{\alpha}u^{\vee}=i^{\lvert\alpha\rvert}(\partial^{\alpha}u)^{\vee}\quad\quad(**) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $\varphi\in \mathcal{S}_N$ に対し命題13.4の $(4)$ より、 $$ \partial^{\alpha}u^{\wedge}(\varphi)=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u^{\wedge}(\partial^{\alpha}\varphi) =(-1)^{\lvert\alpha\rvert}u((\partial^{\alpha}\varphi)^{\wedge}) =(-i)^{\lvert\alpha\rvert}u(\text{id}^{\alpha}\varphi^{\wedge}) =(-i)^{\lvert\alpha\rvert}\text{id}^{\alpha}u(\varphi^{\wedge}) =(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\text{id}^{\alpha}u)^{\wedge}(\varphi), $$ $$ \text{id}^{\alpha}u^{\wedge}(\varphi)=u^{\wedge}(\text{id}^{\alpha}\varphi)=u( (\text{id}^{\alpha}\varphi)^{\wedge}) =i^{\lvert\alpha\rvert}u(\partial^{\alpha}\varphi^{\wedge}) =(-i)^{\lvert\alpha\rvert}\partial^{\alpha}u(\varphi^{\wedge}) =(-i)^{\lvert\alpha\rvert}(\partial^{\alpha}u)^{\wedge}(\varphi) $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。全く同様に命題15.3の $(4)$ を用いて $(**)$ が成り立つことも分かる。

□

19. $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のユニタリ作用素としてのFourier変換（Plancherelの定理）

定理19.1（Plancherelの定理）

任意の $[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)\subset \mathcal{S}_N'$ に対し $[f]^{\wedge}\in L^2(\mathbb{R}^N)$、$[f]^{\vee}\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。そして、 $$ \mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\ni [f]\mapsto [f]^{\wedge}\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のユニタリ作用素（測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定義25.3）であり、 $$ \mathcal{F}^*[f]=\mathcal{F}^{-1}[f]=[f]^{\vee}\quad(\forall [f]\in L^2(\mathbb{R}^N))\quad\quad(**) $$ が成り立つ。

Proof.

ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系16.12の $(3)$ より $L^2(\mathbb{R}^N)$ において $D(\mathbb{R}^N)$（したがって $\mathcal{S}_N$） は稠密である。そこでHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ の稠密部分空間 $\mathcal{S}_N$ 上で定義された線形作用素 $$ \mathcal{F}\colon\mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\wedge}\in L^2(\mathbb{R}^N) $$ を考える。任意の $\varphi\in \mathcal{S}_N$ に対し、 $$ \overline{\varphi^{\wedge}}(k)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi(x)e^{-ik\cdot x}}dx= \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi(x)}e^{ik\cdot x}dx=\overline{\varphi}^{\vee}(k)\quad(\forall k\in \mathbb{R}^N) $$ であり、命題13.4、命題15.2の $(1)$ とFourier変換とFourier逆変換が互いに逆写像であることから、 $$ \begin{aligned} &(\mathcal{F}\varphi\mid \mathcal{F}\psi)_2=\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi^{\wedge}}(k)\psi^{\wedge}(k)dk =\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi}^{\vee}(k)\psi^{\wedge}(k)dk =\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi}(k)\psi^{\wedge\vee}(k)dk\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}\overline{\varphi}(k)\psi(k)dk =(\varphi\mid \psi)_2\quad(\forall \varphi,\psi\in \mathcal{S}_N) \end{aligned} $$ である。よって特に、 $$ \lVert \mathcal{F}\varphi\rVert_2=\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in \mathcal{S}_N) $$ である。ゆえに $\mathcal{F}$ は $L^2(\mathbb{R}^N)=\overline{\mathcal{S}_N}^{\lVert \cdot\rVert_2}$ 上の等長線形写像に一意拡張できる（位相線形空間1：ノルムと内積の命題3.6）。その一意拡張もそのまま $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ と表す。全く対称的な議論により、 $$ \mathcal{S}_N\ni \varphi\mapsto \varphi^{\vee}\in L^2(\mathbb{R}^N) $$ が $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の等長線形写像に一意拡張できることも分かり、$\mathcal{S}_N$ 上でFourier変換とFourier逆変換が互いに逆写像であることから、その一意拡張は $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ の逆写像 $\mathcal{F}^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$である。よって $\mathcal{F}$はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のユニタリ作用素である。任意の $[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]$ の $\mathcal{S}_N'$ の元としてのFourier変換 $\widehat{[f]}\in \mathcal{S}_N'$ が $\mathcal{F}[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ と一致することを示す。$L^2(\mathbb{R}^N)$ のノルムで $[f]$ に収束する $\mathcal{S}_N$ の列 $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を取れば、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し命題13.4の $(1)$ とHölderの不等式より、 $$ \begin{aligned} [f]^{\wedge}(\varphi)&=[f](\varphi^{\wedge})= \int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi^{\wedge}(x)dx= \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}f_i(x)\varphi^{\wedge}(x)dx=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}f_i^{\wedge}(x)\varphi(x)dx\\ &=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}(\mathcal{F}f_i)(x)\varphi(x)dx =\int_{\mathbb{R}^N}\mathcal{F}[f](x)\varphi(x)dx=\mathcal{F}[f](\varphi) \end{aligned} $$ である。よって $[f]^{\wedge}=\mathcal{F}[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ である。全く同様にして任意の $[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し $[f]$ の $\mathcal{S}_N'$ の元としてのFourier逆変換 $[f]^{\vee}\in \mathcal{S}_N'$ に対し、$[f]^{\vee}={\cal F}^{-1}[f]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つことも分かる。ゆえに $(*)$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のユニタリ作用素であり、$(**)$ が成り立つ。

□

20. コンパクト台超関数空間 $\mathcal{E}_N'$

命題20.1（$\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ における $D(\mathbb{R}^N)$ の稠密性）

Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$（定義3.3）において $D(\mathbb{R}^N)$ は稠密である。

Proof.

Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $\omega\in D(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ 0\leq \omega(x)\leq 1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega(x)=1\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq 1) $$ を満たすものが取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\omega_n\in D(\mathbb{R}^N)$ を、 $$ \omega_n(x)\colon=\omega(\frac{x}{n})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ として定義すると、 $$ 0\leq \omega_n(x)\leq1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N),\quad \omega_n(x)=1\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n)\quad\quad(*) $$ である。今、任意の $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ に対し $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(\omega_nf)_{n\in\mathbb{N}}$ が $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $f$ に収束することを示す。任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $(\partial^{\alpha}(\omega_nf))_{n\in\mathbb{N}}$ が $\partial^{\alpha}f$ に $K$ 上で一様収束することを示せばよい（命題3.4の$(1)$を参照）。Leibnizルール（命題1.3）より任意の $n\in \mathbb{N}$、任意の $x\in K$ に対し、 $$ \partial^{\alpha}(\omega_nf)(x)-\partial^{\alpha}f(x) =(\omega_n(x)-1)\partial^{\alpha}f(x)+\sum_{0<\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\partial^{\gamma}\omega(\frac{x}{n})\partial^{\alpha-\gamma}f(x)\quad\quad(**) $$ である。$(*)$ より十分大きい $n_0\in\mathbb{N}$ を取れば、 $$ \omega_n(x)-1=0\quad(\forall x\in K,\forall n\geq n_0) $$ であるから、$(**)$ の右辺の第一項の $K$ 上での $\sup$ ノルムについて、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in K}\lvert (\omega_n(x)-1)\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0 $$ が成り立つ。また $\partial^{\alpha-\gamma}f$ の $K$ 上での有界性と $\lvert\gamma\rvert>0$ であることより $(**)$ の右辺の第二項の $K$ 上での $\sup$ ノルムについて、 $$ \sup_{x\in K}\left\lvert \sum_{0<\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\partial^{\gamma}\omega(\frac{x}{n})\partial^{\alpha-\gamma}f(x)\right\rvert \leq \sum_{0<\gamma\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\gamma\end{pmatrix}\frac{1}{n^{\lvert\gamma\rvert}}\lVert\partial^{\gamma}\omega\rVert_{\infty}\sup_{x\in K}\lvert \partial^{\alpha-\gamma}f(x)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ となる。よって $(**)$ より、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in K}\lvert \partial^{\alpha}(\omega_nf)(x)-\partial^{\alpha}f(x)\rvert=0 $$ が成り立つので $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(\omega_nf)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $f$ に収束する。

□

命題20.2

線形汎関数 $u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ について次は互いに同値である。

• $(1)$　$u$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相で連続である。
• $(2)$　$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ であり $\text{supp}(u)$ はコンパクトである。
• $(3)$　$u\in D'(\mathbb{R}^N)$ であり、ある $h\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し $u=hu$ となる。

そして $(1),(2),(3)$ が成り立つとき、$u$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数に一意拡張できる。

Proof.

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$が成り立つとする。各コンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対しFréchet空間 $D_K(\mathbb{R}^N)$ の位相は $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相である（定義3.7を参照）ので $D_K(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto u(\varphi)\in \mathbb{C}$ は連続である。よって $u\in D'(\mathbb{R}^N)$ である。$\text{supp}(u)$ がコンパクトではないとすると、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $\text{supp}(u)$ は $\overline{B(0,n)}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq n\}$ に含まれないので、超関数の台の定義（定義9.2）より、 $$ u(\varphi_n)=1,\quad \text{supp}(\varphi_n)\subset \mathbb{R}^N\backslash \overline{B(0,n)}=\{x\in\mathbb{R}^N:\lvert x\rvert>n\} $$ なる $\varphi_n\in D(\mathbb{R}^N)$ が取れる。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ と任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $(\partial^{\alpha}\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $K$ 上で $0$ に一様収束するので $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n=0$ である。 したがって $u$ の連続性より $\lim_{n\rightarrow\infty}u(\varphi_n)=0$であるが、これは $u(\varphi_n)=1$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ に矛盾する。よって $\text{supp}(u)$ はコンパクトである。これより $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$\text{supp}(u)\subset U$ を満たす有界開集合 $U\subset \mathbb{R}^N$ を取る。$\overline{U}$ はコンパクトであるからUrysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in \overline{U})$ を満たすものが取れる。このとき任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \text{supp}((1-h)\varphi)\subset \mathbb{R}^N\backslash U\subset \mathbb{R}^N\backslash \text{supp}(u) $$ であるから、 $$ u(\varphi)-hu(\varphi)=u((1-h)\varphi)=0 $$ である。ゆえに $u=hu$ であるから $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $(3)$が成り立つとする。Fréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n=\varphi$ であるならば $D_{\text{supp}(h)}(\mathbb{R}^N)$ において $\lim_{n\rightarrow\infty}h\varphi_n=h\varphi$であるから、 $$ hu(\varphi_n)=u(h\varphi_n)\rightarrow u(h\varphi)=hu(\varphi) $$ である。よって $u$ は $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相で連続である。
$(1),(2),(3) $が成り立つとして $u$ がFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数に一意拡張できることを示す。一意性は $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ において $D(\mathbb{R}^N)$ が稠密であること（命題20.1）による。存在を示す。$(3)$ より $h\in D(\mathbb{R}^N)$ で $u=hu$ なるものが取れる。そこで、 $$ \widetilde{u}\colon \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\ni \varphi\mapsto u(h\varphi)\in \mathbb{C} $$ とおけば $\widetilde{u}$ は $u$ の拡張であり、$(3)\Rightarrow(1)$ の証明で述べたように $\widetilde{u}$ は $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の位相で連続である。よって存在が示せた。

□

定義20.3（コンパクト台超関数空間 $\mathcal{E}_N'$）

線形汎関数 $u\colon D(\mathbb{R}^N)\rightarrow\mathbb{C}$ でFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ の相対位相で連続であるようなものを $\mathbb{R}^N$ 上のコンパクト台超関数と言う。$\mathbb{R}^N$ 上のコンパクト台超関数全体を $\mathcal{E}_N'$ と表す。命題20.2より、 $$ \mathcal{E}_N'=\{u\in D'(\mathbb{R}^N):\text{supp}(u)\text{ はコンパクト}\} $$ である。また任意の $u\in \mathcal{E}_N'$ に対し $u$ はFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数に一意拡張できる。そこで $u$ とその一意拡張を同一視することで $\mathcal{E}_N'$ を $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数全体とみなす。

注意20.4（$\mathcal{E}_N'$ は $\mathcal{S}_N'$ に含まれる）

$\mathcal{E}_N'\subset \mathcal{S}_N'$ である。実際、$u\in \mathcal{E}_N'$ とし、$D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(\varphi_i)_{i\in \mathbb{N}}$ が $\mathcal{S}_N$ の位相で $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に収束するとすると、任意の $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(\partial^{\alpha}\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\partial^{\alpha}\varphi$ に一様収束するので、特にコンパクト一様収束する。ゆえに $(\varphi_i)_{i\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{E}_N$ の位相で $\varphi$ に収束するので $\lim_{i\rightarrow\infty}u(\varphi_i)=u(\varphi)$ である。ゆえに $u$ は $\mathcal{S}_N$ の位相で連続であるので $u\in \mathcal{S}_N'$ である。

定義20.5（Diracのデルタ超関数）

任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \delta_x\colon \mathcal{E}(\mathbb{R}^N)\ni f\mapsto f(x) \in \mathbb{C} $$ は明らかにFréchet空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^N)$ 上の連続線形汎関数である。よって $\delta_x\in \mathcal{E}_N'$ である。そして任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N\backslash \{x\})$ に対し $\delta_x(\varphi)=\varphi(x)=0$ であるから $\text{supp}(\delta_x)\subset \{x\}$ であり、$\delta_x\neq0$ であるから $\text{supp}(\delta_x)=\{x\}$ である。$\delta_x$ を $\{x\}$ を台とするDiracのデルタ超関数と言う。

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• 合成積とFourier変換

参考文献

• Walter Rudin　「Functional Analysis」
• 新井 仁之　「新・フーリエ解析と関数解析学」