ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量

この章では、Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ におけるHodgeの $\star$ 作用素、Euclid空間内の多様体上の計量について述べ、ベクトル積、勾配、発散、回転、ラプラシアンなどの座標の取り方によらない表し方について述べる。またPoincaréの補題についても述べる。

ベクトル解析

• ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分
• ベクトル解析2：微分形式
• ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量
• ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分
• ベクトル解析5：多様体の向き
• ベクトル解析6：Stokesの定理

10. Euclid空間におけるHodgeの $\star$ 作用素

命題10.1（内積空間のテンソル積）

$V_1,\ldots,V_N$ をそれぞれ $\mathbb{R}$ 上の有限次元内積空間（位相線形空間1：ノルムと内積の1を参照）とする。このときテンソル積線形空間（速習「線形空間論」の8を参照） $\bigotimes_{j=1}^NV_j$ 上の内積で任意の $u_1,v_1\in V_1$, $\ldots$, $u_N,v_N\in V_N$に対し、 $$ (u_1\otimes\ldots\otimes u_N\mid v_1\otimes\ldots\otimes v_N) =(u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N) $$ を満たすものが唯一つ存在する。

Proof.

一意性は自明である。存在を示す。任意の $u_1\in V_1$, $\ldots$, $u_N\in V_N$ に対し、 $$ V_1\times\ldots\times V_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N)\in \mathbb{R} $$ は多重線形汎関数であるから、テンソル積の普遍性（速習「線形空間論」の定理8.4）より線形汎関数 $$ (u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot):\bigotimes_{j=1}^{N}V_j\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_N \mapsto (u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N)\in \mathbb{R} $$ が定義できる。そして、 $$ V_1\times\ldots\times V_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot)\in \mathbb{L}(\bigotimes_{j=1}^{N}V_j,\mathbb{R}R) $$ は多重線形写像である。よってテンソル積の普遍性より線形写像 $$ M\colon \bigotimes_{j=1}^{N}V_j\ni u_1\otimes\ldots\otimes u_N\mapsto(u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot)\in \mathbb{L}(\bigotimes_{j=1}^{N}V_j,\mathbb{R}) $$ が定義できる。そこで双線形汎関数 $(\cdot\mid\cdot):\bigotimes_{j=1}^{N}V_j\times \bigotimes_{j=1}^{N}V_j\rightarrow\mathbb{R}$ を、 $$ (S\mid T)\colon=M(S)(V)\quad(\forall S,T\in \bigotimes_{j=1}^{N}V_j) $$ として定義すると、任意の $u_1,v_1\in V_1$, $\ldots$, $u_N,v_N\in V_N$ に対し、 $$ (u_1\otimes\ldots\otimes u_N\mid v_1\otimes\ldots\otimes v_N) =(u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N) $$ である。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $e_{j,1},\ldots,e_{j,n(j)}\in V_j$ を正規直交基底とする。このとき、任意の $T\in \bigotimes_{j=1}^{N}V_j$ に対し $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{R}$ が取れて、 $$ T=\sum_{k_1=1}^{n(1)}\ldots\sum_{k_N=1}^{n(N)}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{N,k_N} $$ と表せる。 $$ (T\mid T)=\sum_{k_1=1}^{n(1)}\ldots\sum_{k_N=1}^{n(N)}\lvert\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0 $$ であり、$(T\mid T)=0$ ならば $T=0$である。 ゆえに $(\cdot\mid\cdot)$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}V_j$ の内積である。これで存在が示せた。

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定義10.2（有限次元実内積空間におけるHodgeの $\star$ 作用素）

$V$ を $N$ 次元実内積空間とする。任意の $r\in \{0,1,\ldots,N\}$ に対し内積$(\cdot\mid\cdot)_r\colon\bigotimes^rV\times\bigotimes^rV\rightarrow\mathbb{R}$ を、 $$ (u_1\otimes\ldots\otimes u_r\mid v_1\otimes\ldots\otimes v_r)_r =\frac{1}{r!}(u_1\mid v_1)\ldots(u_r\mid v_r) $$ として定義する（命題10.1を参照）。これを反対称テンソル積空間（速習「線形空間論」の定義9.1を参照） $\bigwedge^rV\subset \bigotimes^rV$ に制限した内積 $$ (\cdot\mid\cdot)_r\colon\bigwedge^rV\times \bigwedge^rV\rightarrow\mathbb{R} $$ を考える（$r=0$ の場合は $\bigwedge^rV=\mathbb{R}$ とし、内積は積とする)。このとき任意の $u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_r\in V$ に対し、 $$ \begin{aligned} (u_1\wedge\ldots\wedge u_r\mid v_1\wedge\ldots\wedge v_r)_r &=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in S_r}{\rm sgn}(\sigma)\sum_{\tau\in S_r}{\rm sgn}(\tau)(u_{\sigma(1)}\mid v_{\tau(1)})\ldots(u_{\sigma(r)}\mid v_{\tau(r)})\\ &=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in S_r}\sum_{\tau\in S_r}{\rm sgn}(\sigma\tau^{-1})(u_{\sigma\tau^{-1}(1)}\mid v_{1})\ldots(u_{\sigma\tau^{-1}(r)}\mid v_{r})\\ &=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in S_r}{\rm sgn}(\sigma){\rm det}( (u_{i}\mid v_j) )_{i,j}\\ &={\rm det}( (u_i\mid v_j) )_{i,j}\quad\quad(*) \end{aligned} $$ である。今、$V$ の正規直交基底 $e_1,\ldots,e_N$ を取り固定する。任意の $r\in \{0,1,\ldots,N\}$、任意の $T\in \bigwedge^rV$ に対し、 $$ \bigwedge^{N-r}V\ni S\mapsto (e_1\wedge\ldots\wedge e_N\mid T\wedge S)_N\in \mathbb{R} $$ は線形汎関数である。有限次元内積空間上の線形汎関数は有界（位相線形空間1：ノルムと内積の系4.4）なので、Rieszの定理（位相線形空間1：ノルムと内積の定理6.13）より$\star T\in \bigwedge^{N-r}V$ で、 $$ (\star T\mid S)_{N-r}=(e_1\wedge\ldots\wedge e_N\mid T\wedge S)_N\quad(\forall S\in \bigwedge^{N-r}V)\quad\quad(**) $$ なるものが定まる。こうして線形写像 $$ \star\colon\bigwedge^{r}V\ni T\mapsto \star T\in \bigwedge^{N-r}V\quad\quad(***) $$ が定まり、これは明らかに単射であり、 $$ \text{dim}\bigwedge^rV=\begin{pmatrix}N\\r\end{pmatrix}=\frac{N!}{r!(N-r)!}=\begin{pmatrix}N\\N-r\end{pmatrix}=\text{dim}\bigwedge^{N-r}V $$ であるから、$(***)$ は線形同型写像である。$(***)$ を$e_1\wedge \ldots\wedge e_N$ に関するHodgeの $\star$ 作用素と言う。 $e_1,\ldots,e_N$ は正規直交基底であるから $(**)$ より任意の $\sigma\in S_N$ に対し、 $$ \star(e_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge e_{\sigma(r)}) ={\rm sgn}(\sigma)e_{\sigma(r+1)}\wedge\ldots\wedge e_{\sigma(N)}\quad\quad(****) $$ である。これより任意の $T\in \bigwedge^rV$ に対し、 $$ \star \star T=(-1)^{r(N-r)}T\quad\quad(*****) $$ であり、任意の $S,T\in \bigwedge^rV$ に対し、 $$ (\star S\mid \star T)_{N-r}=(e_1\wedge\ldots\wedge e_N\mid S\wedge \star T)_N =(-1)^{r(N-r)}(e_1\wedge\ldots\wedge e_N\mid\star T\wedge S)_N =(T\mid S)_r\quad\quad(******) $$ である。

定義10.3（$\mathbb{R}^N$ におけるHodgeの $\star$ 作用素）

$\mathbb{R}^N$ の標準基底 $(e_1,\ldots,e_N)$ に対し $e_1\wedge \ldots\wedge e_N\in \bigwedge^N\mathbb{R}^N$ に関するHodgeの $\star$ 作用素を $\mathbb{R}^N$ におけるHodgeの $\star$ 作用素と呼ぶ。

定義10.4（${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素）

任意の$u\in \mathbb{R}^N$ に対し $j(u)\in {\mathbb{R}^N}^*$ を、 $$ j(u)v\colon=u\cdot v\quad(\forall v\in \mathbb{R}^N) $$ とおき、線形同型写像 $j\colon\mathbb{R}^N\rightarrow {\mathbb{R}^N}^*$ を定義する。そして、 $$ j(u)\cdot j(v)\colon=u\cdot v\quad(\forall u,v\in \mathbb{R}^N) $$ として ${\mathbb{R}^N}^*$ における内積 ${\mathbb{R}^N}^*\times {\mathbb{R}^N}^*\ni (j(u),j(v))\mapsto j(u)\cdot j(v)\in\mathbb{R}$ を定義する。 $\mathbb{R}^N$ の標準基底 $(e_1,\ldots,e_N)$ に対し $(j(e_1),\ldots,j(e_N))$ は ${\mathbb{R}^N}^*$ の正規直交基底である。$j(e_1)\wedge\ldots\wedge j(e_N)\in \bigwedge^N{\mathbb{R}^N}^*$ に関するHodgeの $\star$ 作用素を ${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素と呼ぶ。

11. ベクトル積

定義11.1（ベクトル積）

任意の $v_1,\ldots,v_{N-1}\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ v_1\times\ldots\times v_{N-1}\colon=\star(v_1\wedge \ldots\wedge v_{N-1})\in \mathbb{R}^N $$ とおく。これを $v_1,\ldots,v_{N-1}$ のベクトル積と呼ぶ。

命題11.2（ベクトル積の基本性質）

任意の $v_1,\ldots,v_{N-1}\in \mathbb{R}^N$ に対し、

• $(1)$　$v_1\times\ldots\times v_{N-1}\neq0$ であることと $v_1,\ldots,v_{N-1}$ が線形独立であることは同値。
• $(2)$　

$$ \lvert v_1\times\ldots\times v_{N-1}\rvert^2={\rm det}(v_i\cdot v_j)_{i,j} $$ が成り立つ。

• $(3)$　

$$ (v_1\times\ldots\times v_{N-1})\cdot v= {\rm det}(v_1,\ldots,v_{N-1},v)\quad(\forall v\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ（右辺は行列の縦ベクトル表記）。 特に $v_1\times\ldots\times v_{N-1}$ は $v_1,\ldots,v_{N-1}$ それぞれと直交する。

Proof.

• $(1)$　速習「線形空間論」の命題9.6より $v_1\wedge\ldots\wedge v_{N-1}\neq0$ であることと $v_1,\ldots,v_{N-1}$ が線形独立であることは同値である。このこととHodgeの $\star$ 作用素は線形同型写像であることによる。
• $(2)$　定義10.2の $(*)$ と $(******)$ より、

$$ \lvert v_1\times \ldots\times v_{N-1}\rvert^2 =(v_1\wedge\ldots\wedge v_{N-1}\mid v_1\wedge \ldots\wedge v_{N-1})_{N-1} ={\rm det}(v_i\cdot v_j) _{i,j} $$ である。

• $(3)$　定義10.2の $(****)$ と外積の反対称性より、

$$ \begin{aligned} (v_1\times\ldots\times v_{N-1})\cdot v&= (e_1\wedge \cdots\wedge e_N\mid v_1\wedge \cdots\wedge v_{N-1}\wedge v)_N\\ &={\rm det}(v_1,\ldots,v_{N-1},v). \end{aligned} $$

□

注意11.3（ベクトル積の直観的な意味）

線形独立な $v_1,\ldots,v_{N-1}\in \mathbb{R}^N$ が張る面 $$ A\colon=\left\{t_1v_1+\ldots+t_{N-1}v_{N-1}: t_1,\ldots,t_{N-1}\in [0,1]\right\} $$ を考える。 $$ v_N\colon= v_1\times \ldots\times v_{N-1}\in\mathbb{R}^N $$ とおく。命題11.2の $(1), (2)$ より $v_N\neq0$ であり $v_N$ は面 $A$ と直交している。そして命題11.2の $(3)$ より、 $$ \lvert v_N\rvert^2= (v_1\times\ldots\times v_{N-1})\cdot v_N ={\rm det}(v_1,\ldots,v_{N-1},v_N) $$ である。よって $v_1,\ldots,v_{N-1},v_N$ が張る $\mathbb{R}^N$ における平行体 $$ B\colon=\{t_1v_1+\ldots+t_Nv_N:t_1,\ldots,t_N\in [0,1]\} $$ を考えると $\lvert v_N\rvert^2$ は $B$ の体積（Lebesgue測度）$\lvert B\rvert$ に等しい（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の命題37.3を参照）。$v_N$ は $A$ と直交しているので、 $$ \lvert v_1\times\ldots\times v_{N-1}\rvert=\lvert v_N\rvert=\frac{\lvert B\rvert}{\lvert v_N\rvert} $$ は $A$ の面積とみなし得る。

12. Euclid空間内の多様体の計量、多様体上の関数の勾配

定義12.1（超曲面）

$\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体を $\mathbb{R}^N$ の超曲面と言う。

定義12.2（Euclid空間内の多様体の計量行列）

$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次元多様体とする。$M$ の任意の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ に対し、 $$ g_{(U,\varphi)}(p)\colon=\left(\frac{\partial}{\partial x_i}p\cdot \frac{\partial}{\partial x_j}p\right)_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\quad(\forall p\in U) $$ とおく。$C^\infty$ 級の行列値関数 $g_{(U,\varphi)}\colon U\ni p\mapsto g_{(U,\varphi)}(p)\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ を $M$ の局所座標 $(U,\varphi)$ に関する計量行列と呼ぶこととする。また計量行列の行列式を、 $$ G_{(U,\varphi)}(p)\colon={\rm det} g_{(U,\varphi)}(p)\quad(\forall p\in U) $$ と表す。任意の $p\in U$ に対し $\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p\in \mathbb{R}^N$ は線形独立であるので $\frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\in \bigwedge^nT_p(\mathbb{R}^N)$ は $0$ ではない（命題11.2の$(1)$ ）。そして定義10.2における $\bigwedge^nT_p(\mathbb{R}^N)$ の内積 $(\cdot\mid\cdot)_n$ に対し、 $$ G_{(U,\varphi)}(p)={\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}p\cdot \frac{\partial}{\partial x_j}p\right)_{i,j}= \left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge\ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\mid \frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\right)_n>0 $$ である。$M$ が $\mathbb{R}^N$ 内の超曲面である場合、$\mathbb{R}^N$ におけるベクトル積によって、 $$ \begin{aligned} G_{(U,\varphi)}(p)&=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\mid \frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)_{N-1}\\ &=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\cdot \left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\\ &=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right\rvert^2>0 \end{aligned} $$ と表せる。よって注意11.3より $\sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}$ は $N-1$ 本のベクトル $\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\in \mathbb{R}^N$ の張る面の面積を表している（このことは後の小節で述べる超曲面の面積測度の直観的な意味を与える）。

命題12.3（計量行列の基本性質）

$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$、$(V,\psi;y_1,\ldots,y_n)$ を $U\cap V\neq\emptyset$ なる $M$ の局所座標とする。このとき任意の $p\in U\cap V$ に対し、 $$ \begin{aligned} \sqrt{G_{(U,\varphi)}(p)}&=\sqrt{G_{(V,\psi)}(p)}\left\lvert {\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert\\ &=\sqrt{G_{(V,\psi)}(p)}\left\lvert {\rm det}(\psi\circ\varphi^{-1})'(\varphi(p))\right\rvert \end{aligned} $$ が成り立つ。

Proof.

$$ \frac{\partial}{\partial x_j}p=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial y_i}p $$ であるから、定義10.2の $(*)$ と外積の反対称性より、 $$ \begin{aligned} G_{(U,\varphi)}(p)&= \left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\mid \frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\right)_n\\ &=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert^2 \left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial y_n}p\mid \frac{\partial}{\partial y_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial y_n}p\right)_n\\ &=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert^2G_{(V,\psi)}(p). \end{aligned} $$

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定義12.4（多様体上の関数の勾配）

$M$ をEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ を $p\in M$ において微分可能な関数とする。$df_p\in T_p^*(M)$ に対しRieszの定理（位相線形空間1：ノルムと内積の定理6.13）より ${\rm grad}_p(f)\in T_p(M)$ で、 $$ df_pv={\rm grad}_p(f)\cdot v\quad(\forall v\in T_p(M)) $$ なるものが定まる。${\rm grad}_p(f)\in T_p(M)$ を $f$ の $p$ における勾配と言う。

命題12.5（勾配の計量による表示）

$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ を $p\in M$ において微分可能な関数とする。$p$ の周りの $M$ の局所座標 $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ に対する計量行列 $(g_{i,j}(p))_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ の逆行列を $(g^{i,j}(p))_{i,j}\in \mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ とおく。このとき、 $$ {\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial x_i}p\quad\quad(*) $$ と表せる。

Proof.

$\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p$ は $T_p(M)$ の基底であるから ${\rm grad}_p(f)\in T_p(M)$ はある $a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{R}$ に対し、 $$ {\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial}{\partial x_i}p $$ と表せる。 $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)={\rm grad}_p(f)\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}p=\sum_{j=1}^{n}a_j\frac{\partial}{\partial x_j}p\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}p =\sum_{i=1}^{n}g_{i,j}(p)a_j $$ であるから、 $$ a_i=\sum_{j=1}^{n}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\quad(i=1,\ldots,n) $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

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13. 発散、回転、ラプラシアン

定義13.1（Euclid空間のベクトル場）

Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ の部分集合 $E$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ 値関数 $u\colon E\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $E$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場と呼ぶことがある。

定義13.2（Euclid空間のベクトル場に対応する $1$ 階微分形式）

Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ の標準基底を $(e_1,\ldots,e_N)$、標準座標を $(x_1,\ldots,x_N)$ とおくと、 $$ e_k=\frac{\partial}{\partial x_k}p\quad(\forall p\in \mathbb{R}^N, k=1,\ldots,N) $$ である。よって定義10.4における同型写像 $j\colon\mathbb{R}^N\rightarrow {\mathbb{R}^N}^*$ に対し、 $$ j(e_k)=j\left(\frac{\partial}{\partial x_k}p\right)=dx_{k,p}\quad(\forall p\in \mathbb{R}^N, k=1,\ldots,N) $$ である。今、$E\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u\colon E\ni p\mapsto (u_1(p),\ldots,u_N(p))\in \mathbb{R}^N$ を考える。このとき、 $$ u(p)=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)e_k=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)\frac{\partial}{\partial x_k}p\quad(\forall p\in E) $$ であるから、 $$ j(u(p))=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)j\left(\frac{\partial}{\partial x_k}p\right) =\sum_{k=1}^{N}u_k(p)dx_{k,p}\quad(\forall p\in E) $$ である。そこで、 $$ j(u)\colon=(j(u(p)))_{p\in E} $$ として $E$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式 $j(u)$ を定義する。

定義13.3（Euclid空間の $C^1$ 級ベクトル場の発散）

$U\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon U\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $C^1$ 級ベクトル場とする。$u$ に対応する $U$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in U}$ に ${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素（定義10.4）を各点ごとに作用させて $U$ の $N-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $$ \star j(u)=(\star j(u(p)))_{p\in U} $$ を定義する。そしてこの外微分（定義9.5）を取ることで $U$ の $1$ 階連続微分形式 $$ d\star j(u)=(d\star j(u(p)))_{p\in U} $$ を定義し、さらにこれに ${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて $U$ 上の連続関数 $$ {\rm div}(u)\colon=\star d\star j(u)=(\star d\star j(u(p)))_{p\in U} $$ を定義する。${\rm div}(u)\colon U\rightarrow \mathbb{R}$ を $u$ の発散と言う。

定義13.4（Euclid空間の $C^2$ 級関数のラプラシアン）

$U\subset \mathbb{R}^N$ を開集合、$u\colon U\rightarrow \mathbb{R}$ を $C^2$ 級関数とする。$U$ の $C^1$ 級 $1$ 階微分形式 $du$ に ${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて $U$ の $N-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $$ \star du=(\star du_p)_{p\in U} $$ を定義する。そしてこの外微分を取ることで $U$ の $N$ 階連続微分形式 $$ d\star du=(d\star du_p)_{p\in U} $$ を定義し、さらにこれに ${\mathbb{R}^N}^*$ における Hodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて $U$ 上の連続関数 $$ \Delta u\colon=\star d\star du=(\star d\star du_p)_{p\in U} $$ を定義する。$\Delta u\colon U\rightarrow \mathbb{R}$ を $u$ のラプラシアンと言う。

定義13.5（$\mathbb{R}^3$ の $C^1$ 級ベクトル場の回転）

$U\subset \mathbb{R}^3$ を開集合、$u\colon U\rightarrow \mathbb{R}^3$ を $C^1$ 級ベクトル場とする。$u$ に対応する $U$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in U}$ の外微分 $$ dj(u)=(dj(u(p)))_{p\in U} $$ に、${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて $U$ の連続 $1$ 階微分形式 $$ \star dj(u)=(\star dj(u(p)))_{p\in U} $$ を定める。このとき、 $$ j({\rm rot}(u))=\star dj(u) $$ として定まる連続なベクトル場 ${\rm rot}(u)\colon U\rightarrow\mathbb{R}^3$ を $u$ の回転と言う。

定義13.6（$\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標）

$\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(U,y_1,\ldots,y_N)$ が直交座標であるとは $i\neq j$ なる任意の $i,j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、 $$ \frac{\partial}{\partial y_i}p\cdot \frac{\partial}{\partial y_j}p=0\quad(\forall p\in U) $$ が成り立つことを言う。さらに直交座標 $(U,y_1,\ldots,y_N)$ が、 $$ {\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial y_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial y_N}p\right)>0\quad(\forall p\in U) $$ を満たすとき$ (U,y_1,\ldots,y_N)$ を正の向きの直交座標と言う。

注意13.7（$\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標とHodgeの $\star$ 作用素）

$\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標 $(U,y_1,\ldots,y_N)$ に対し、 $$ h_k(p)\colon=\left\lvert\frac{\partial}{\partial y_k}p\right\rvert\quad(\forall p\in U,k=1,\ldots,N) $$ として $C^{\infty}$ 級関数 $h_1,\ldots,h_N\colon U\rightarrow (0,\infty)$ を定義する。このとき任意の $p\in U$ に対し、 $$ \frac{1}{h_1(p)}\frac{\partial}{\partial y_1}p,\ldots,\frac{1}{h_N(p)}\frac{\partial}{\partial y_N}p\in\mathbb{R}^N $$ は $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底であるので、 $$ {\rm det}\left(\frac{1}{h_1(p)}\frac{\partial}{\partial y_1}p,\ldots,\frac{1}{h_N(p)}\frac{\partial}{\partial y_N}p\right) =1 $$ である よって定義10.4における同型写像 $j:\mathbb{R}^N\rightarrow {\mathbb{R}^N}^*$ に対し外積の反対称性より、 $$ j\left(\frac{1}{h_1(p)}\frac{\partial}{\partial y_1}p\right)\wedge \ldots\wedge j\left(\frac{1}{h_N(p)}\frac{\partial}{\partial y_N}p\right)=j(e_1)\wedge\ldots\wedge j(e_N) $$ である。ここで、 $$ j\left(\frac{1}{h_k(p)}\frac{\partial}{\partial y_k}p\right) =h_k(p)dy_{k,p}\quad(k=1,\ldots,N) $$ であるから、 $$ (h_1dy_{1}\wedge\ldots\wedge h_Ndy_N)_p=j(e_1)\wedge \ldots\wedge j(e_N) $$ である。これより任意の $r\in \{1,\ldots,N\}$ と任意の $\sigma\in S_N$ に対し $U$上 の $r$ 階微分形式 $$ h_{\sigma(1)}dy_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge h_{\sigma(r)}dy_{\sigma(r)} $$ に ${\mathbb{R}^N}^*$ におけるHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させたものは、 $$ \star (h_{\sigma(1)}dy_{\sigma(1)}\wedge \ldots\wedge h_{\sigma(r)}dy_{\sigma(r)}) ={\rm sgn}(\sigma)h_{\sigma(r+1)}dy_{\sigma(r+1)}\wedge\ldots\wedge h_{\sigma(N)}dy_{\sigma(N)} $$ である。

例13.8

$\mathbb{R}^N$ の（正の向きの）直交座標としては、標準座標、極座標、円柱座標などがある。極座標に関しては後に述べる。

定義13.9（Levi-Civitaの記号）

$k,l,m\in \{1,2,3\}$ に対し $\epsilon_{k,l,m}\in \{-1,0,1\}$ を次のように定義する。$k,l,m$ のうち互いに等しいものがある場合は $\epsilon_{k,l,m}=0$ とする。$k,l,m$ が互いに異なる場合は $\sigma(1)=k$, $\sigma(2)=l$, $\sigma(3)=m$ として定まる $\sigma\in S_3$ に対し $\epsilon_{k,l,m}={\rm sgn}(\sigma)$ とする。

命題13.10（発散、ラプラシアン、回転の正の向きの直交座標による表示）

$(U,y_1,\ldots,y_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の正の向きの直交座標とし、 $$ h_k(p)\colon=\left\lvert\frac{\partial}{\partial y_k}p\right\rvert\quad(\forall p\in U,k=1,\ldots,N) $$ とおく。 このとき、

• $(1)$　$U$ 上の任意の $C^1$ 級ベクトル場

$$ u\colon U\ni p\mapsto \sum_{k=1}^{N}u_k(p)\frac{\partial}{\partial y_k}p\in \mathbb{R}^N $$ に対し $u$ の発散 ${\rm div}(u)\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ は、 $$ {\rm div}(u)=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial(h_1\ldots h_Nu_k)}{\partial y_k} $$ と表される。

• $(2)$　$U$ 上の任意の $C^2$ 級関数 $u\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $u$ のラプラシアン $\Delta u$ は、

$$ \Delta u=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial}{\partial y_k}\left(\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}\right) $$ と表される。

• $(3)$　$N=3$ の場合、$U$ 上の任意の $C^1$ 級ベクトル場

$$ u\colon U\ni p\mapsto \sum_{k=1}^{3}u_k(p)\frac{\partial}{\partial y_k}p\in \mathbb{R}^3 $$ に対し $u$ の回転 ${\rm rot}(u)\colon U\rightarrow\mathbb{R}^3$ は、 $$ {\rm rot}(u)(p)=\frac{1}{h_1(p)h_2(p)h_3(p)}\sum_{k,l,m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial h_m^2u_m}{\partial y_l}(p)\frac{\partial}{\partial y_k}p\quad(\forall p\in U) $$ と表される。

Proof.

• $(1)$　注意13.7より、

$$ j(u)=\sum_{k=1}^{N}h_ku_k(h_kdy_k), $$ $$ \star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}(h_1\ldots h_N)u_k(dy_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dy_k}\wedge\ldots\wedge dy_N), $$ $$ d\star j(u)=\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial(h_1\ldots h_Nu_k)}{\partial y_k}(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_N), $$ $$ {\rm div}(u)=\star d\star j(u)=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial(h_1\ldots h_Nu_k)}{\partial y_k}. $$

• $(2)$　注意13.7より、

$$ \star du=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}(dy_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dy_k}\wedge\ldots\wedge dy_N) $$ $$ d\star du=\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial}{\partial y_k}\left(\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}\right)(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_N), $$ $$ \Delta u=\star d\star du=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial}{\partial y_k}\left(\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}\right). $$

• $(3)$　注意13.7より、

$$ j(u)=\sum_{k=1}^{3}h_ku_k(h_kdy_k)=\sum_{k=1}^{3}h_k^2u_kdy_k, $$ $$ dj(u)=\sum_{k,l,m=1}^{3}\frac{1}{h_lh_m}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial (h_m^2u_m)}{\partial y_l}(h_ldy_l\wedge h_mdy_m), $$ $$ \star dj(u)=\sum_{k,l,m=1}^{3}\frac{1}{h_lh_m}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial (h_m^2u_m)}{\partial y_l}h_kdy_k, $$ $$ {\rm rot}(u)(p)=j^{-1}(\star dj(u(p)))=\frac{1}{h_1(p)h_2(p)h_3(p)}\sum_{k,l,m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial h_m^2u_m}{\partial y_l}(p)\frac{\partial}{\partial y_k}p. $$

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14. Poincaréの補題

定義14.1（星形集合）

$\mathbb{R}^N$ の部分集合 $S$ が $a\in S$ を中心とする星形集合であるとは、任意の $x\in S$ に対し $a$ と $x$ を結ぶ線分 $\{a+t(x-a):t\in [0,1]\}$ が $S$ に含まれることを言う。

凸集合は星形集合である。

定理14.2（Poincaréの補題）

$U$ を $\mathbb{R}^N$ の星形開集合、$\omega$ を $U$ の $r$ 階（$r\geq1$） $C^1$ 級微分形式とし $d\omega=0$ が成り立つと仮定する。このとき $U$ の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\theta$ で $d\theta=\omega$ を満たすものが存在する。

Proof.

$r\geq N+1$ ならば自明であるので $r\in\{1,\ldots,N\}$ であるとする。

• $(1)$　$U$ が $0\in\mathbb{R}^N$ を中心とする星形開集合である場合を示す。

$$ f(t)=0\quad(\forall t\in (-\infty,0)),\quad 0\leq f(t)\leq1\quad(\forall t\in [0,1]),\quad f(t)=1\quad(\forall t\in (1,\infty)) $$ を満たす $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ を取る。そして $C^\infty$ 級写像 $$ \Phi\colon\mathbb{R}\times U\ni (t,x)\mapsto f(t)x\in U $$ を定義する。$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ に対し、 $$ \omega_x=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r}\quad(\forall x\in U)\quad\quad(**) $$ とおき、$\omega$ の $\Phi$ による引き戻しによって得られる $\mathbb{R}\times U$ の $r$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\Phi^*\omega$ を、 $$ \begin{aligned} &(\Phi^*\omega)_{(t,x)}=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\beta_{i_1,\ldots,i_r}(t,x)dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r}\\ &+\sum_{j_1<\ldots<j_{r-1}}\gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(t,x)dt\wedge dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{r-1}}\quad(\forall (t,x)\in\mathbb{R}\times U)\quad\quad(***) \end{aligned} $$ とおく。このとき、 $$ \beta_{i_1,\ldots,i_r}(t,x)=f(t)^r\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(\Phi(t,x))\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U) $$ であるから $f(1)=1$, $\Phi(1,x)=x$, $\Phi(0,x)=0$ $(\forall x\in U)$ であることと微積分学の基本定理より、 $$ \alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)=\beta_{i_1,\ldots,i_r}(1,x)-\beta_{i_1,\ldots,i_r}(0,x) =\int_{0}^{1}\frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)dt\quad(\forall x\in U)\quad\quad(****) $$ である。ここで $d\omega=0$ であることと、引き戻しと外微分の可換性（命題9.12）より、 $$ d\Phi^*\omega=\Phi^*d\omega=0 $$ であり、$(***)$ と外微分の定義（定義9.5）より、 $$ \begin{aligned} &(d\Phi^*\omega)_{(t,x)}=\sum_{j_1<\ldots<j_{r+1}}\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial \beta_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}}{\partial x_k}(t,x)dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{t+1}}\\ &+\sum_{i_1<\ldots<i_r}\left(\frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}\right)dt\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r} \end{aligned} $$ であるから、任意の $1\leq i_1<\ldots<i_r\leq N$ に対し、 $$ \frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)=\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U)\quad\quad(*****) $$ である。よって $(****)$、$(*****)$ より、 $$ \alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)=\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)dt\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U)\quad\quad(******) $$ が成り立つ。そこで任意の $1\leq j_1<\ldots<j_{r-1}\leq N$ に対し、 $$ \delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(x):=\int_{0}^{1}\gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(t,x)dt\quad(\forall x\in U) $$ とおき、$U$ の $r-1$ 階微分形式 $\theta$ を、 $$ \theta_x\colon=\sum_{j_1<\ldots<j_{r-1}}\delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(x)dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{r-1}}\quad(\forall x\in U) $$ と定義する。任意の $1\leq j_1<\ldots<j_{r-1}\leq N$ と任意の $k\in\{1,\ldots,N\}$ に対しLebesgue優収束定理（測度と積分3：測度論の基本定理(1)の定理11.2）より、 $$ \frac{\partial\delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}}{\partial x_k}(x)=\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}}{\partial x_k}(t,x)dt\quad(\forall x\in U) $$ であるから $\theta$ は $U$ の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式である。そして外微分の定義と $(******)$ より、 $$ \begin{aligned} d\theta_x&=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\left(\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\frac{\partial\delta_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(x)\right)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\\ &=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\left(\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)dt\right)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\\ &=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}=\omega_x\quad(\forall x\in U) \end{aligned} $$ である。よって成り立つ。

• $(2)$　$U$ が $a$ を中心とする星形開集合である場合を示す。このとき $U-a$ は $0$ を中心とする星形開集合である。そこで、

$$ \Psi\colon U-a\ni x\mapsto x+a\in U $$ なる $C^\infty$ 級同相写像を考え、$\Psi$ による $\omega$ の引き戻しによって得られる $U-a$ の $r$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\Psi^*\omega$ を考える。引き戻しと外微分の可換性より $d\Psi^*\omega=\Psi^*d\omega=0$ であるから $(1)$ の結果より $U-a$ の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\theta$ で $\Psi^*\omega=d\theta$ を満たすものが存在する。$\Psi^{-1}:U\rightarrow U-a$ による $\theta$ の引き戻し ${\Psi^{-1}}^*\theta$ は $U$ 上の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式であり、 $$ d{\Psi^{-1}}^*\theta={\Psi^{-1}}^*d\theta={\Psi^{-1}}^*\Psi^*\omega=(\Psi\circ\Psi^{-1})^*\omega =\omega $$ である。よって成り立つ。

□

14.3（Poincaréの補題の系）

$U\subset \mathbb{R}^3$ を星形開集合、$u:U\rightarrow\mathbb{R}^3$ を $C^1$ 級ベクトル場とする。

• $(1)$　${\rm div}(u)=0$ が成り立つならば $C^1$ 級ベクトル場 $v\colon U\rightarrow\mathbb{R}^3$ で $u={\rm rot}(v)$ なるものが存在する。
• $(2)$　${\rm rot}(u)=0$ が成り立つならば $C^1$ 級関数 $f\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ で $u={\rm grad}(f)$ なるものが存在する。

Proof.

• $(1)$　発散の定義（定義13.3）より ${\rm div}(u)=\star d\star j(u)$ であるから ${\rm div}(u)=0$ ならば $d\star j(u)=0$ である。よって $U$ の $2$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\star j(u)$ に対しPoincaréの補題を適用すればある $C^1$ 級ベクトル場 $v\colon U\rightarrow\mathbb{R}^3$ に対し、

$$ \star j(u)=dj(v) $$ となる。よって回転の定義（定義13.5）より、 $$ j(u)=\star dj(v)=j({\rm rot}(v)) $$ であるから $u={\rm rot}(v)$ である。

• $(2)$　回転の定義（定義13.5）より $j({\rm rot}(u))=\star dj(u)$ であるから ${\rm rot}(u)=0$ ならば $dj(u)=0$ である。よって $U$ の $1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $j(u)$ にPoincaréの補題を適用すればある $C^1$ 級関数 $f:U\rightarrow \mathbb{R}$ に対し、

$$ j(u)=df $$ となる。よって勾配の定義（定義12.4）より $u={\rm grad}(f)$ である。

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