関係、同値関係、商集合
関係、同値関係、商集合
関係とは例えば、
- 実数 $x$、$y$ に対して、$x \le y$ である
- 平面上の $3$ 点 $P$、$Q$、$R$ に対して、この $3$ 点は同一直線上にある~
などのように2個以上の変数を持つ命題である。関係は以下に述べるように「変数を元に持つ集合の直積の部分集合」として定義される。関係の中でも $2$ 個の変数からなる関係で特別な性質をみたす同値関係と呼ばれるものが特に重要である。同値関係はイコール「$=$」の概念の拡張と考えられ、「今考えている議論において何をもって等しいとみなすか」を定めるときに使われる。~ 数学において同一視やグループ分けをすることはよく行われることである。例えば平面幾何において、合同であれば同じとみなす場合や相似であれば同じとみなす場合等、状況に応じて「同じ」の定義を定めてその意味で「同じ」ものに共通な性質を考えたり、あるいは整数論において偶奇の場合分けをすることがしばしば有効なように、考えている対象をいくつかのグループに分けて、あり得るパターンを有限個に落し込んでしらみつぶしで議論を進める、などである。同値関係や商集合といった概念はこのような議論の基礎を与える。
定義と基本的な性質
$n$ 個の集合 $A_1,A_2, \ldots ,A_n$ とこれらの直積 $X=A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$ を考える。部分集合 $R \subset X$ が与えられているとき、「$X$ には$n$ 項関係 $R$ が定まっている」という。このとき、$(a_i)_i=(a_1,a_2,\ldots ,a_n) \in X$ のときは「$(a_i)_i$ は $R$ という関係がある」と解釈し、そうでない場合は「$(a_i)_i$ は $R$ という関係がない」と解釈する。~
以下、特に $n=2$ 、$A_1 =A_2 (=A$ と置く $)$ で、 $A \ne \emptyset$ とする。この場合、$2$ 項関係 $R \subset A \times A$ が与えられたときは単に「$A$ には $2$ 項関係 $R$ が定まっている」といい、 $(a,b) \in R$ であることを、$R$ を $2$ 項演算子のように使って $aRb$ と書く。~
- 空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ の $2$ 項関係 $R$ が 同値関係 であるとは次の $3$ つをみたすことである。
- （反射律）任意の $a \in A$ に対して $aRa$ が成り立つ。
- （対称律）任意の $a,b \in A$ に対して「$aRb \Rightarrow bRa$」が成り立つ。
- （推移律）任意の $a,b,c \in A$ に対して「（$aRb$ かつ $bRc） \Rightarrow aRc$」が成り立つ。 ~
$2$ 項関係 $R$ が同値関係のときは $R$ ではなく $\sim$ や $\equiv$ がよく使われ、$a \sim b$ であることを「$a$ と $b$ は同値である」とか「$a$ と $b$ は合同である」という。
以下、空でない集合 $A$ と $A$ の同値関係 $\sim$ が与えられているとする。~
- $a \in A$ に対して、$A$ の部分集合 $C(a) = \{ x \in A | a \sim x \}$ （$a$ と同値な元全体。$C(a)$ を $\overline{a}$ や $[a]$ とも書く。）を考える。$C(a)$ を「$a$ の（$\sim$ による）同値類」といい、逆に $b \in C(a)$ であるような $b$ （もちろん $b=a$ でもよい）を $C(a)$ の代表元という。
- $A$ の $\sim$ による（相異なる）同値類全体 $\{ C(a)| a \in A \}$ を $A$ の（$\sim$ による）商集合といい $A/\sim$ とかく。各（相異なる）同値類 $C(a)$ からひとつずつ代表元をとってきて得られる $A$ の部分集合 $S$ （代表元はひとつとは限らないのでこの $S$ は一意には定まらない）を $A$ の $\sim$ による完全代表系という。
- 写像 $\pi:A \ni a \longmapsto C(a) \in A/\sim $ は全射である。この写像を自然な全射とか自然な射影あるいは商写像などと呼ぶ。
次の命題から商集合は元の集合のグループ分けを与えることがわかる。この意味で $A$ と $\sim$ から $A/\sim$ を得ることを $A$ の（$\sim$ による）類別という。
命題（同値関係から直和分解）
空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ に同値関係 $\sim$ が与えられたとする。このとき次が成り立つ。~ （１）任意の $a \in A$ に対して $C(a) \ne \emptyset$~ （２）$A = \bigcup_{a \in A} C(a)$ かつ 「$a,b \in A$ に対して $C(a) \ne C(b) \Rightarrow C(a) \cap C(b) = \emptyset$ 」（すなわち $A$ の部分集合族 $\{ C(a)| a \in A \}$ は $A$ の直和分解を与える）~ （証明）~ （１）任意の $a \in A$ に対して、反射律より $a \sim a$ が成り立つ。よって $a \in C(a)$ なので $C(a) \ne \emptyset$ である。~ （２）（$\subset$）任意の $x \in A$ に対して、$x \in C(x) \subset \bigcup_{a \in A} C(a)$ なのでよい。~ （$\supset$）任意の $a \in A$ に対して $C(a) \subset A$ なので（そもそも $C(a)$ は $A$ の部分集合である）$\bigcup_{a \in A} C(a) \subset A$ である。~ （直和であること） $a,b \in A$ とする。対偶をとって「$C(a) \cap C(b) \ne \emptyset \Rightarrow C(a) =C(b) $」を示す。$x \in C(a) \cap C(b)$ とする。このとき $x \sim a$ かつ $x \sim b$ なので対象律と推移律から $a \sim b$である。いま、任意に $y \in C(a)$ をとると $y \sim a$ であるので、$y \sim a$ と $a \sim b$ から推移律より $y \sim b$ 、よって $y \in C(b)$ である。逆の包含関係も同様に示される。 （証明終）
命題（直和分解から同値関係）
空でない集合 $A (\ne \emptyset)$ に直和分解 $A = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ （ただし $\lambda \ne \mu \Rightarrow A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$）が与えられたとする。このとき$A$ の $2$ 項関係 $\sim$ を、$a \sim b \Leftrightarrow $「ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して、$a$ 、$b \in A_{\lambda}$」で定義すると、次のふたつが成り立つ。~ （１）$\sim$ は同値関係である。~ （２）$a \in A_{\lambda} \Rightarrow C(a)=A_{\lambda}$~ （証明）~ （１）（反射律）$a \in A$ を任意にとる。$A = \bigcup_{\lambda \in \Lambda } A_{\lambda}$ なので、ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して $a \in A_{\lambda}$。これは $a$ 、$a \in A_{\lambda}$ と書いてもよいので $a \sim a$ が成り立つ。~ （対称律）$a \sim b$ であるように $a$ 、$b \in A$ を任意にとる。このとき、ある $\lambda \in \Lambda$ が存在して $a$ 、$b \in A_{\lambda}$ である。これは $b$ 、$a \in A_{\lambda}$ と書いてもよいので、$b \sim a$ が成り立つ。~ （推移律）$a \sim b$ かつ $b \sim c$ であるように $a$ 、$b$ 、$c \in A$ を任意にとる。このとき、ある $\lambda$ 、$\mu \in \Lambda$ が存在して $a$、$b \in A_{\lambda}$ かつ $b$、$c \in A_{\mu}$ となる。よって $b \in A_{\lambda} \cap A_{\mu}$ である。もし、$\lambda \ne \mu$ とすると直和分解の条件から $A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$ なので、$b \in \emptyset$ となって矛盾。したがって $\lambda = \mu$ となるので $a$ 、$c \in A_{\lambda}$ だから $a \sim c$ が成り立つ。~ （２）$(\subset)$ 任意の $x \in C(a)$ に対して、$x \sim a$ なので、ある $\mu \in \Lambda$ が存在して $x$ 、$a \in A_{\mu}$ となる。仮定より $a \in A_{\lambda}$ なので $\lambda = \mu$ となる（なぜならば $\sim$ は同値関係なので $\lambda \ne \mu \Rightarrow A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$ である）。よって、$x \in A_{\mu} =A_{\lambda}$~ $(\supset)$ $x \in A_{\lambda}$ とする。仮定 $a \in A_{\lambda}$ と合わせて、$x$ 、$a \in A_{\lambda}$ なので $x \sim a$ である。よって、$x \in C(a)$ である。（証明終）
命題（自然な全射の普遍性）
命題（写像の分解）
具体例
- （自明な同値関係）
- （整数の剰余類）
- （トーラス）
集合論の初歩
論理と命題 / 集合の基本的な用語、集合の演算 / 全称記号と存在記号 / 写像、像、逆像、写像のグラフ / 写像の合成、写像の拡大と制限 / 選択公理について / 単射、全射、全単射、逆写像 / 部分集合族、べき集合 / （ 演算と代数構造 ） / （ 関係、同値関係、商集合 ） / （ 初歩的な順序集合 ） / （ Zornの補題 ） / （ 集合の濃度 ）
