量子力学の数学的構造に関わる関数解析

本稿においては、量子力学の数学的構造に関わる関数解析について、初歩的と思われることについて論じる。
展開する話題としては、有限自由度のWeyl型のCCR（正準交換関係）の既約な表現は全てユニタリ同値（特にSchrödingerによる表現とBorn-Heisenberg-Jordanによる表現はユニタリ同値）であることを主張するStone-von Neumannの一意性定理、回転対称ポテンシャルを持つSchrödinger作用素の方位量子化、水素様ポテンシャルを持つSchrödinger作用素の離散スペクトル構造の決定についてなどである。
仮定する数学的知識としては、測度論（入門テキスト「測度と積分」）、超関数とFourier変換、$L^2$ 空間におけるSobolev空間の知識（超関数とFourier変換、Sobolev空間にある程度の内容）、Hilbert空間上の作用素論、特にスペクトル測度に関する知識（Hilbert空間上の作用素論にある程度の内容）、局所コンパクト群のユニタリ表現に関する初歩的な知識（$\mathbb{R}^N$ のユニタリ表現と強可換な $N$ 個の自己共役作用素の組の対応（Stoneの定理）や、${\rm SO}(3), {\rm SU}(2)$ のユニタリ表現に関する内容（局所コンパクト群のユニタリ表現の5.12 $\sim$ 5.16と、8の内容））である。
本稿ではHilbert空間と言えば、特に断ることのない限り $\mathbb{C}$ 上のものとする。また、Hilbert空間の内積は第二変数に関して線形とし、$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、$\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,\ldots\}$ とする。

1. Weyl型CCRの表現とHeisenberg群、Schrödinger表現、Stone-vonNeumannの一意性定理

定義1.1（$\mathbb{R}^{2N}$ の標準シンプレクティック形式）

任意の $(x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N=\mathbb{R}^{2N}$ に対し、 $$ \omega_{N}((x,y),(x',y'))=x\cdot y'-x'\cdot y\in \mathbb{R} $$ とおき、$\mathbb{R}^{2N}$ 上の反対称双線形汎関数 $$ \omega_{N}\colon \mathbb{R}^{2N}\times \mathbb{R}^{2N}\rightarrow \mathbb{R} $$ を定義する。これを $\mathbb{R}^{2N}$ 上の標準シンプレクティック形式と言う。

注意1.2（標準シンプレクティック形式の非退化性）

標準シンプレクティック形式 $\omega_N\colon \mathbb{R}^{2N}\times \mathbb{R}^{2N}\rightarrow \mathbb{R}$ は非退化である。すなわち、$z\in \mathbb{R}^{2N}$ に対し、 $$ \omega_N(z,z')=0\quad(\forall z'\in \mathbb{R}^{2N})\quad\Leftrightarrow\quad z=0 $$ が成り立つ。実際、$N$ 次の零行列と単位行列 $0_N,1_N\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ に対し、 $$ J\colon=\begin{pmatrix}0_N&1_N\\-1_N&0_N\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{2N\times 2N}(\mathbb{R}) $$ とおくと、 $$ \omega_{N}(z,z')=z\cdot (Jz')\quad(\forall z,z'\in \mathbb{R}^{2N}) $$ であり、$J$ は正則行列である。

定義1.3（Heisenberg群）

任意の $(x,y,\lambda),(x',y',\lambda')\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$ に対し、 $$ (x,y,\lambda)(x',y',\lambda')=\left(x+x',y+y',\lambda+\lambda'+\frac{1}{2}\omega_N((x,y),(x',y'))\right) $$ とおいて $\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$ における二項演算を定義する。$\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$ はこの二項演算によって非可換乗法群をなす。$(0,0,0)$ がその単位元であり、$(-x,-y,-\lambda)$　が $(x,y,\lambda)$ の逆元である。そしてこの群は $\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$ のEuclid空間としての位相により局所コンパクト群をなす。この局所コンパクト群を $H_N$ と表し、$N$ 次のHeisenberg群と呼ぶ。

定義1.4（Weyl型CCRの表現）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の $2N$ 個の自己共役作用素の組 $(Q,P)=(Q_1,\ldots,Q_N,P_1,\ldots,P_N)$ が自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\mathcal{H}$ 上への表現であるとは、 $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$, $P=(P_1,\ldots,P_N)$ がそれぞれ $N$ 個の互いに強可換な自己共役作用素の組（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義5.13）であり、$\mathbb{R}^N$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現 $$ \begin{aligned} &\mathbb{R}^N\ni x\mapsto e^{ix\cdot Q}\in \mathbb{U}(\mathcal{H}),\\ &\mathbb{R}^N\ni y\mapsto e^{iy\cdot P}\in \mathbb{U}(\mathcal{H}) \end{aligned} $$ （強可換な自己共役作用素の組に対する結合スペクトル測度による積分の定義（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義5.15）を参照）が、 $$ e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}=e^{-ix\cdot y}e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ を満たすことを言う。

定義1.5（Weyl型CCRの表現に対応するHeisenberg群のユニタリ表現）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とし、$(Q,P)=(Q_1,\ldots,Q_N,P_1,\ldots,P_N)$ を自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\mathcal{H}$ 上への表現とする。このとき $N$ 次のHeisenberg群 $H_N$ に対し、 $$ \pi_{Q,P}\colon H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}\in \mathbb{U}(\mathcal{H}) $$ は $H_N$ の $\mathcal{H}$ 上へのユニタリ表現である。実際、任意の $(x,y,\lambda),(x',y',\lambda')\in H_N$ に対し、 $$ \begin{aligned} \pi_{Q,P}(x,y,\lambda)\pi_{Q,P}(x',y',\lambda')&=e^{-i\left(\lambda+\lambda'-\frac{1}{2}(x\cdot y+x'\cdot y')\right)}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}e^{ix'\cdot Q}e^{iy'\cdot P}\\ &=e^{-i\left(\lambda+\lambda'-\frac{1}{2}(x\cdot y+2x'\cdot y+x'\cdot y')\right)}e^{i(x+x')\cdot Q}e^{i(y+y')\cdot P}\\ &=e^{-i\left(\lambda+\lambda'+\frac{1}{2}(x\cdot y'-x'\cdot y)-\frac{1}{2}(x+x')\cdot (y+y')\right)}e^{i(x+x')\cdot Q}e^{i(y+y')\cdot P}\\ &=\pi_{Q,P}\left(x+x',y+y',\lambda+\lambda'+\frac{1}{2}(x\cdot y'-x'\cdot y)\right)\\ &=\pi_{Q,P}((x,y,\lambda)(x',y',\lambda')) \end{aligned} $$ である。$\pi_{Q,P}$ をWeyl型CCRの表現 $(Q,P)$ に対応するHeisenberg群 $H_N$ のユニタリ表現と呼ぶこととする。

定理1.6（Heisenberg群のユニタリ表現がWeyl型CCRの表現に対応するユニタリ表現であるための条件）

$\pi$ を $N$ 次のHeisenberg群 $H_N$ のユニタリ表現とする。このとき次は互いに同値である。

$(1)$　自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現 $(Q,P)$ で $\pi=\pi_{Q,P}$（定義1.5）なるものが存在する。
$(2)$　$\pi(0,0,\lambda)=e^{-i\lambda}1$ $(\forall \lambda\in \mathbb{R})$ が成り立つ。

また $(1)$ における $(Q,P)$ は存在するならば唯一つである。

Proof.

$(1)\Rightarrow(2)$ は $\pi_{Q,P}$ の定義（定義1.5）より自明である。 $(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。このとき、 $$ \begin{aligned} &\mathbb{R}^N\ni x\mapsto \pi(x,0,0)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi}),\\ &\mathbb{R}^N\ni y\mapsto \pi(0,y,0)\in \mathbb{U}(\mathcal{H}_{\pi}) \end{aligned} $$ はそれぞれ $\mathbb{R}^N$ の $\mathcal{H}_{\pi}$ 上へのユニタリ表現であるから、Stoneの定理（局所コンパクト群のユニタリ表現の定理5.6）より、$N$ 個の互いに強可換な $\mathcal{H}_{\pi}$ 上の自己共役作用素の組 $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$, $P=(P_1,\ldots,P_N)$ で、 $$ e^{ix\cdot Q}=\pi(x,0,0),\quad e^{iy\cdot P}=\pi(0,y,0)\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ なるものが一意存在する。任意の $x,y\in \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} &e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}=\pi(x,0,0)\pi(0,y,0)=\pi\left(x,y,\frac{1}{2}x\cdot y\right) =e^{-i\frac{1}{2}x\cdot y}\pi(x,y,0),\\ &e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q}=\pi(0,y,0)\pi(x,0,0) =\pi\left(x,y,-\frac{1}{2}x\cdot y\right)=e^{i\frac{1}{2}x\cdot y}\pi(x,y,0) \end{aligned} $$ であるから、 $$ e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}=e^{-ix\cdot y}e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q} $$ である。ゆえに $(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\mathcal{H}_{\pi}$ 上への表現である。そして、 $$ \begin{aligned} \pi(x,y,\lambda)&=\pi\left((x,0,0)(0,y,0)\left(0,0,\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)\right) =e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}\\ &=\pi_{Q,P}(x,y,\lambda)\quad(\forall (x,y,\lambda)\in H_N) \end{aligned} $$ であるから $(1)$ が成り立つ。

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定義1.7（Weyl型CCRの表現の既約性）

Weyl型CCRの表現 $(Q,P)$ が既約であるとは、$(Q,P)$ に対応するHeisenberg群のユニタリ表現 $\pi_{Q,P}$（定義1.5）が既約であることを言う。ユニタリ表現の既約性の定義については局所コンパクト群のユニタリ表現の定義2.3を参照。

定義1.8（自由度 $N$ のSchrödinger表現）

Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の自己共役作用素 $$ Q_j\colon={\rm id}_j,\quad P_j\colon=\mathcal{F}^{-1}Q_j\mathcal{F}=-i\partial_j\quad(j=1,\ldots,N) $$ を定義する。ただし ${\rm id}_j$ は恒等写像 ${\rm id}=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N)\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}^N$ の第 $j$ 成分による $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素^[1]を表し、$\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はFourier変換（Plancherelの定理（緩増加超関数とFourier変換の定理19.1）よりユニタリ作用素）であり、$\partial_j$ は第 $j$ 座標に関する弱微分である^[2]。このとき、次の定理1.9で見る様に、$Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$, $P=(P_1,\ldots,P_N)$ はそれぞれ互いに強可換な自己共役作用素の組であり、任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、$f(Q)$ ^[3]は単に $f$ による $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素である。そして $f(P)=\mathcal{F}^{-1}f(Q)\mathcal{F}$ が成り立ち、 $$ e^{iy\cdot P}=T_{-y}\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) $$ ^[4]であり、$(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上への表現である。これを自由度 $N$ のSchrödinger表現と言い、$Q=(Q_1,\ldots,Q_N)=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N)$ を位置作用素、$P=(P_1,\ldots,P_N)=(-i\partial_1,\ldots,-i\partial_N)$ を運動量作用素と言う。今後、特に断らない場合、この位置作用素と運動量作用素は、${\rm id}=({\rm id}_1,\ldots, {\rm id}_N)$, $-i\nabla =(-i\partial_1,\ldots,-i\partial_N)$ と表す。

定理1.9（Schrödinger表現の位置作用素と運動量作用素の基本的な性質）

定義1.8における $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の自己共役作用素の組 $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$, $P=(P_1,\ldots,P_N)$ はそれぞれ互いに強可換な自己共役作用素の組であり、任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$Q$ の結合スペクトル測度による $f$ の積分 $f(Q)$（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義5.15）は、$f$ による $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素（Hilbert空間上の作用素論の定義10.2）である。（これは、$Q$ による結合スペクトル測度が $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度と一致することにほかならない。）そして、 $$ f(P)=\mathcal{F}^{-1}f(Q)\mathcal{F},\quad e^{iyP}=T_{-y}\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立ち、 $$ e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}=e^{-ix\cdot y}e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。すなわち $(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上への表現である。

Proof.

$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度を $E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ とおく。すなわち、 $$ E(B)[g]=[\chi_Bg]\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N},\forall [g]\in L^2(\mathbb{R}^N)) $$ である。$Q_j$ は定義（定義1.8）より、${\rm id}_j\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto x_j\in \mathbb{R}$ による掛け算作用素であるから、 $$ Q_j=\int_{\mathbb{R}^N}\lambda_jdE(\lambda)\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。よってHilbert空間上の作用素論の命題8.6より、任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、 $$ f(Q_j)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda_j)dE(\lambda)\quad(j=1,\ldots,N) $$ が成り立つ。特に、 $$ e^{ix_jQ_j}=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix_j\lambda_j}dE(\lambda)\quad(\forall x_j\in \mathbb{R},j=1,\ldots,N) $$ であるから、$Q_1,\ldots,Q_N$ は互いに強可換である。そこで $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$ の結合スペクトル測度を $E^Q\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ とおくと、任意の $B_1,\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$ に対し、 $$ \begin{aligned} E^Q(B_1\times \cdots \times B_N)&=E^{Q_1}(B_1)\cdots E^{Q_N}(B_N) =\int_{\mathbb{R}^N}\chi_{B_1}(\lambda_1)\cdots \chi_{B_N}(\lambda_N)dE(\lambda)\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}\chi_{B_1\times \cdots\times B_N}(\lambda)dE(\lambda)=E(B_1\times\cdots \times B_N) \end{aligned} $$ であり、$\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$ は半集合代数（測度と積分3：測度論の基本定理(1)の定義12.1） $$ \{B_1\times \cdots\times B_N:B_1,\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\} $$ によって生成される $\sigma$-加法族であるから、単調族定理（測度と積分3：測度論の基本定理(1)の定理12.8）より、 $$ E^Q(B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}) $$ が成り立つ。よって任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、 $$ f(Q)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda)dE^Q(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda)dE(\lambda) $$ であるから、$f(Q)$ は $f$ による $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素である。Plancherelの定理（（緩増加超関数とFourier変換の定理19.1）よりFourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はユニタリ作用素であるから、ユニタリ作用素による射影値測度の変換（Hilbert空間上の作用素論の命題6.9）より、 $$ P_j=\mathcal{F}^{-1}Q_j\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda dE^{Q_j}(\lambda)\right)\mathcal{F}=\int_{\mathbb{R}}\lambda d(\mathcal{F}^{-1}E^{Q_j}\mathcal{F})(\lambda)\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。よって、 $$ E^{P_j}(B)=\mathcal{F}^{-1}E_{Q_j}(B)\mathcal{F}\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}},j=1,\ldots,N) $$ であるから、 $$ e^{iy_jP_j}=\int_{\mathbb{R}}e^{iy_j\lambda}dE^{P_j}(\lambda) =\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}}e^{iy_j\lambda}dE^{Q_j}(\lambda)\right)\mathcal{F} =\mathcal{F}^{-1}e^{iy_jQ_j}\mathcal{F}\quad(\forall y_j\in \mathbb{R},j=1,\ldots,N) $$ なので、$P_1,\ldots,P_N$ も互いに強可換であり、$P=(P_1,\ldots,P_N)$ の結合スペクトル測度を $E^P\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ とおくと、任意の $B_1,\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ に対し、 $$ E^P(B_1\times \cdots \times B_N)=E^{P_1}(B_1)\cdots E^{P_N}(B_N) =\mathcal{F}^{-1}E^{Q_1}(B_1)\cdots E^{Q_N}(B_N)\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}E(B_1\times\cdots\times B_N)\mathcal{F} $$ である。よって単調族定理より、 $$ E^P(B)=\mathcal{F}^{-1}E(B)\mathcal{F}\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}) $$ が成り立つので、任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、 $$ f(P)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda)dE^P(\lambda)=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}f(\lambda)dE(\lambda)\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}f(Q)\mathcal{F} $$ が成り立つ。特に、 $$ e^{iy\cdot P}=\mathcal{F}^{-1}e^{iy\cdot Q}\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}e^{iy\cdot {\rm id}}\mathcal{F}=T_{-y}\quad(\forall y\in \mathbb{R}^N) $$ であり、 $$ e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q}f=T_{-y}e^{ix\cdot {\rm id}}f =e^{ix\cdot y}e^{ix\cdot {\rm id}}T_{-y}f=e^{ix\cdot y}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^N),\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、 $$ e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}=e^{-ix\cdot y}e^{iy\cdot P}e^{ix\cdot Q}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ である。ゆえに $(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上への表現である。

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定理1.10（Fourier-Wigner変換の性質）

自由度 $N$ のSchrödinger表現 $({\rm id}, -i\nabla)$ に対応するHeisenberg群のユニタリ表現（定義1.8,定義1.5） $$ \rho\colon H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\lambda}e^{ix\cdot \left({\rm id}+\frac{1}{2}y\right)}T_{-y}\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N)) $$ に対し、Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^{2N})=L^2(\mathbb{R}^N)\otimes L^2(\mathbb{R}^N)$^[5]上のユニタリ作用素 $\mathcal{W}$ で、 $$ \mathcal{W}([f]\otimes [g])(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}([\overline{g}]\mid \rho(-x,-y,0)[f])_2\quad(\forall [f],[g]\in L^2(\mathbb{R}^N),\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ を満たすものが唯一つ存在する。

Proof.

任意の急減少関数 $f,g\in \mathcal{S}_N$（緩増加超関数とFourier変換の定義10.1）と任意の $(x,y)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(\overline{g}\mid \rho(-x,-y,0)f)_2 =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}e^{-ix\cdot\left(k-\frac{1}{2}y\right)}f(k-y)g(k)dk\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}e^{-ix\cdot k}f\left(k-\frac{1}{2}y\right)g\left(k+\frac{1}{2}y\right)dk \end{aligned} $$ である。よってユニタリ作用素 $$ U\colon L^2(\mathbb{R}^{2N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{2N}),\quad UF(x,y)=F\left(x-\frac{1}{2}y,x+\frac{1}{2}y\right)\quad(\forall F\in L^2(\mathbb{R}^{2N}),\forall (x,y)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N) $$ を考えると、 $$ \begin{aligned} &\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(\overline{g}\mid \rho(-x,-y,0)f)_2 =\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^N}e^{-ix\cdot k}f\left(k-\frac{1}{2}y\right)g\left(k+\frac{1}{2}y\right)dk\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{N}}e^{-ix\cdot k}U(f\otimes g)(k,y)dk =(\mathcal{F}_N\otimes 1)U(f\otimes g)(x,y) \end{aligned} $$ となる。ただし $\mathcal{F}_N\otimes 1$ はFourier変換 $\mathcal{F}_N\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$（Plancherelの定理よりユニタリ作用素）と恒等作用素 $1\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ のテンソル積による $L^2(\mathbb{R}^{2N})=L^2(\mathbb{R}^N)\otimes L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のユニタリ作用素である。^[6] よって、 $$ \mathcal{W}\colon=(\mathcal{F}_N\otimes 1)U\colon L^2(\mathbb{R}^{2N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{2N}) $$ とおけば $\mathcal{W}$ はユニタリ作用素であり、任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し、 $$ \mathcal{W}(f\otimes g)(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}(\overline{g}\mid \rho(-x,-y,0)f)_2\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。$L^2(\mathbb{R}^N)$ において $\mathcal{S}_N$ は稠密であるので、任意の $[f],[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し、 $$ \mathcal{W}([f]\otimes [g])(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}([\overline{g}]\mid \rho(-x,-y,0)[f])_2\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N) $$ が成り立つ。一意性は $L^2(\mathbb{R}^{2N})=L^2(\mathbb{R}^N)\otimes L^2(\mathbb{R}^N)$ において、${\rm span}\{[f]\otimes [g]:[f],[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)\}$ が稠密であることによる。

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定義1.11（Fourier-Wigner変換）

定理1.10における $L^2(\mathbb{R}^{2N})$ 上のユニタリ作用素 $\mathcal{W}$ をFourier-Wigner変換と言う。

定理1.12（Schrödinger表現の既約性）

Schrödinger表現は既約（定義1.7）である。

Proof.

自由度 $N$ のSchrödinger表現に対応するHeisenberg群のユニタリ表現を $\rho\colon H_N\rightarrow \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N))$ とおき、Fourier-Wigner変換 $\mathcal{W}\colon L^2(\mathbb{R}^{2N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{2N})$ を考える。$\rho$ が既約であることを示せばよいので、$\rho$ 不変な $\{0\}$ ではない閉部分空間 $\mathcal{K}\subset L^2(\mathbb{R}^N)$ を取り、$\mathcal{K}^{\perp}=\{0\}$ が成り立つことを示せばよい。任意の単位ベクトル $[f]\in \mathcal{K}$ を取り固定する。任意の $[g]\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、 $$ 0=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}([g]\mid \rho(-x,-y,0)[f])_2 =\mathcal{W}([f]\otimes [\overline{g}])(x,y)\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2N}) $$ であるから、$\mathcal{W}([f]\otimes [\overline{g}])=0$ である。よって $\mathcal{W}$ がユニタリ作用素であることから、 $$ 0=\lVert \mathcal{W}([f]\otimes [\overline{g}])\rVert_2=\lVert [f]\otimes [\overline{g}]\rVert_2=\lVert [f]\rVert_2\lVert [g]\rVert_2=\lVert [g]\rVert_2 $$ であるので、$[g]=0$ である。ゆえに $\mathcal{K}^{\perp}=\{0\}$ であるから、$\rho$ は既約である。

□

補題1.13

$\pi$ を $N$ 次のHeisenberg群 $H_N$ のユニタリ表現で定理1.6の条件 $$ \pi(0,\lambda)=e^{-i\lambda}1\quad(\forall \lambda\in \mathbb{R})\quad\quad(*) $$ を満たすものとする。そして任意の $[f]\in L^2(\mathbb{R}^{2N})$ に対し、$\pi([f],0)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})$ を $\mathcal{H}_{\pi}$ 値Bochner積分（測度と積分9：Bochner積分の定義44.1）により、 $$ \pi([f],0)v\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)\pi(y,0)vdy\in \mathcal{H}_{\pi}\quad(\forall v\in \mathcal{H}_{\pi}) $$ と定義し、有界線形作用素 $$ L^1(\mathbb{R}^{2N})\ni [f]\mapsto \pi([f],0)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})\quad\quad(**) $$ を定義する。また任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$ に対し、 $$ U(x)[f]\colon=e^{-\frac{1}{2}\omega_N(x,\cdot)}T_x[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) $$ とおいて、有界連続写像 $$ \mathbb{R}^{2N}\ni x\mapsto U(x)[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N}) $$ を定義し、$L^1(\mathbb{R}^{2N})$ 値Bochner積分により、 $$ [f]\star [g]\colon=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)U(y)[g]dy\in L^1(\mathbb{R}^{2N})\quad(\forall [f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})) $$ を定義する。さらに、 $$ [f]^*\colon=[f^*],\quad f^*(x)=\overline{f(-x)}\quad(\forall [f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N}),\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) $$ と定義する。このとき、

$(1)$　任意の $[f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$, 任意の $x\in \mathbb{R}^{2N}$ に対し、

$$ \pi(x,0)\pi([f],0)=\pi(U(x)[f],0),\quad \pi([f],0)\pi([g],0)=\pi([f]\star[g],0),\quad \pi([f],0)^*=\pi([f]^*,0) $$ が成り立つ。

$(2)$　$(**)$ は単射である。
$(3)$　$\rho\colon H_N\rightarrow \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N))$ をSchrödinger表現に対応するユニタリ表現、$\mathcal{W}\colon L^2(\mathbb{R}^{2N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{2N})$ をFourier-Wigner変換（定義1.11）とすると、任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し、$\mathcal{W}(f\otimes \overline{g})\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$ であり、

$$ \rho(\mathcal{W}(f\otimes \overline{g}),0)=f\odot g\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^N)) $$ が成り立つ。ただし $\odot$ はSchatten形式（Hilbert空間上の作用素論の定義13.5）を表す。すなわち、$(f\odot g)[h]=(g\mid [h])_2f$ $(\forall [h]\in L^2(\mathbb{R}^N))$ である。

Proof.

$(1)$　任意の $x\in \mathbb{R}^{2N}$, $[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$, $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、Bochner積分の性質（測度と積分9：Bochner積分の命題44.2）と $(*)$, および $\omega_N(x,x)=0$ $(\forall x\in \mathbb{R}^{2N})$ より、

$$ \begin{aligned} &\pi(x,0)\pi([f],0)v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)\pi(x,0)\pi(y,0)vdy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)e^{-\frac{i}{2}\omega_N(x,y)}\pi(x+y,0)vdy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y-x)e^{-\frac{i}{2}\omega_N(x,y)}\pi(y,0)vdy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}U(x)f(y)\pi(y,0)vdy=\pi(U(x)[f],0)v \end{aligned} $$ であるから、 $$ \pi(x,0)\pi([f],0)=\pi(U(x)[f],0)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N},\forall [f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N}))\quad\quad(***) $$ が成り立つ。また任意の $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、 $$ L^1(\mathbb{R}^{2N})\ni [f]\mapsto \pi([f],0)v\in \in \mathcal{H}_{\pi} $$ は有界線形作用素であるから、Bochner積分の性質（測度と積分9：Bochner積分の命題44.2）と $(***)$ より、任意の $[f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$, $v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\pi([f]\star [g],0)v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)\pi(U(y)[g],0)bdy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)\pi(y,0)\pi([g],0)vdy =\pi([f],0)\pi([g],0)v \end{aligned} $$ である。よって、 $$ \pi([f]\star[g],0)=\pi([f],0)\pi([g],0)\quad(\forall [f],[g]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})) $$ が成り立つ。そして任意の $[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$, $u,v\in\mathcal{H}_{\pi}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &(u\mid \pi([f],0)v)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f(y)(u\mid \pi(y,0)v)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}(\overline{f(y)}\pi(-y,0)u\mid v)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}(\overline{f(-y)}\pi(y,0)u\mid v)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}(f^*(y)\pi(y,0)u\mid v)dy =(\pi([f]^*,0)u,v) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \pi([f],0)^*=\pi([f]^*,0)\quad(\forall [f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})) $$ が成り立つ。

$(2)$　$\pi([f],0)=0$ と仮定して $[f]=0$ を示せばよい。$C_{c,+}(\mathbb{R}^{2N})$ の列 $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、

$$ {\rm supp}(\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^{2N}:\lvert x\rvert\leq n^{-1}\},\quad \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\varphi_n(x)dx=1\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ を満たすものを取る。このとき $\mathbb{R}^{2N}\ni y\mapsto U(y)[f]\in L^1(\mathbb{R}^{2N})$ の連続性より、 $$ \begin{aligned} &\lVert \varphi_n\star [f]-[f]\rVert_1=\left\lVert \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\varphi_n(y)(U(y)[f]-[f])dy\right\rVert_1\\ &\leq\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\varphi_n(y)\lVert U(y)[f]-[f]\rVert_1dy\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(****) \end{aligned} $$ である。そして $(1)$ より、 $$ \pi(\varphi_n\star [f],0)=\pi(\varphi_n,0)\pi([f],0)=0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*****) $$ である。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$y\mapsto x-y$ の変数変換により、 $$ \begin{aligned} &(\varphi_n\star [f])(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\varphi_n(y)e^{-\frac{i}{2}\omega_N(y,x)}f(x-y)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\varphi_n(x-y)e^{\frac{i}{2}\omega_N(y,x)}f(y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) \end{aligned} $$ であるから、Lebesgue優収束定理より $\varphi_n\star [f]$ は連続関数である。今、 $$ f_n\colon =\varphi_n\star [f]\in C(\mathbb{R}^{2N})\cap L^1(\mathbb{R}^{2N})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ とおく。$(*****)$ より $\pi(f_n,0)=0$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ に対し、 $$ \begin{aligned} 0&=(u\mid \pi(-x,0)\pi(f_n,0)\pi(x,0)v)\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f_n(y)(u\mid \pi(-x,0)\pi(y,0)\pi(x,0)v)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f_n(y)e^{-\frac{i}{2}\omega_N(y,x)}(u\mid \pi(-x,0)\pi(y+x,0)v)dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}f_n(y)e^{-i\omega_N(y,x)}(u\mid \pi(y,0)v)dy \end{aligned} $$ である。よってFourier変換の単射性^[7]と $f_n$ の連続性より、 $$ f_n(y)(u\mid \pi(y,0)v)=0\quad(\forall y\in \mathbb{R}^{2N}) $$ が成り立つ。ここで $u,v\in \mathcal{H}_{\pi}$ の任意性より $f_n=0$ であり、これが任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つので、$(****)$ より、 $$ [f]=\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n\star [f]=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=0 $$ を得る。

$(3)$　任意の $f,g\in \mathcal{S}_N$ に対し、定理1.10の証明より、$\mathcal{W}(f\otimes \overline{g})\in \mathcal{S}_{2N}\subset L^1(\mathbb{R}^{2N})$ であり、任意の $[a],[b]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し、

$$ \begin{aligned} &([a]\mid \rho(\mathcal{W}(f\otimes \overline{g}),0)[b])_2= \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\mathcal{W}(f\otimes \overline{g})(y)([a]\mid \rho(y,0)[b])_2dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{2N}}\mathcal{W}(f\otimes \overline{g})(y)\overline{([b]\mid \rho(-y,0)[a])_2}dy=(\mathcal{W}([a]\otimes [\overline{b}])\mid \mathcal{W}(f\otimes \overline{g}))_2\\ &=([a]\otimes [\overline{b}]\mid f\otimes \overline{g})_2 =([a]\mid f)_2([\overline{b}]\mid \overline{g})_2 =([a]\mid f)_2(g\mid [b])_2=([a]\mid (f\odot g)[b])_2 \end{aligned} $$ である。よって $\rho(\mathcal{W}(f\otimes \overline{g}),0)=f\odot g$ が成り立つ。

□

定理1.14（Stone-von Neumannの一意性定理）

$\pi$ をHeisenberg群 $H_N$ のユニタリ表現で定理1.6の条件 $$ \pi(0,\lambda)=e^{-i\lambda}1\quad(\forall \lambda\in \mathbb{R})\quad\quad(*) $$ を満たすものとする。このとき $\pi$ は完全可約（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義4.5）である。そして $\pi$ の任意の既約な部分表現は自由度 $N$ のSchrödinger表現（定義1.8）に対応する $H_N$ のユニタリ表現（定義1.5） $\rho\colon H_N\rightarrow \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N))$ とユニタリ同値である。

Proof.

$\varphi\in \mathcal{S}_N\subset L^2(\mathbb{R}^N)$ で、$\lVert \varphi\rVert_2=1$ を満たすものを取り、 $$ \Phi\colon=\mathcal{W}(\varphi\otimes \overline{\varphi})\in L^1(\mathbb{R}^{2N}) $$ とおくと、補題1.13の $(3)$ より、 $$ \rho(\Phi,0)=\varphi\odot \varphi\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^N))\quad\quad(**) $$ である。$\varphi$ は $L^2(\mathbb{R}^N)$ の単位ベクトルであるから、$(**)$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ の $1$ 次元部分空間 $\mathbb{C}\varphi$ の上への射影作用素である。よって補題1.13の $(1)$ より、 $$ \rho(\Phi,0)=\rho(\Phi,0)^2=\rho(\Phi\star \Phi,0),\quad \rho(\Phi,0)=\rho(\Phi,0)^*=\rho(\Phi^*,0) $$ であるから、補題1.13の $(2)$ より、 $$ \Phi\star \Phi=\Phi,\quad \Phi^*=\Phi $$ である。よって、 $$ P\colon=\pi(\Phi,0)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_{\pi})\quad\quad(***) $$ とおけば、補題1.13の $(1),(2)$ より $P$ は $0$ ではない射影作用素である。今、$\mathcal{H}_{\pi}$ の閉部分空間 ${\rm Ran}(P)\subset \mathcal{H}_{\pi}$ のCONSを $\{e_j\}_{j\in J}$ とおき、各 $j\in J$ について $\pi$ 不変な閉部分空間 $\mathcal{K}_j\colon=\overline{\pi(H_N)e_j}\subset \mathcal{H}_{\pi}$ を定義する。そして $\pi$ の $\mathcal{K}_j$ 上への制限を $\pi_j\colon H_N\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K}_j)$ とおく。このとき $e_j$ は $\pi_j$ の巡回ベクトル（局所コンパクト群のユニタリ表現の注意2.5を参照）である。一方、$\rho$ は既約である（定理1.12）から、局所コンパクト群のユニタリ表現の注意2.6より、単位ベクトル $\varphi\in L^2(\mathbb{R}^N)$ は $\rho$ の巡回ベクトルである。$(**)$ より、 $$ \begin{aligned} &\rho(\Phi,0)\rho(x,0)\rho(\Phi,0)=(\varphi\odot \varphi)\rho(x,0)(\varphi\odot \varphi)= (\varphi\odot \varphi)(\varphi\odot \rho(x,0)\varphi)\\ &=(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2(\varphi\odot \varphi) =(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2\rho(\Phi,0)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) \end{aligned} $$ であり、一方、補題1.13の $(1)$ より、 $$ \rho(\Phi,0)\rho(x,0)\rho(\Phi,0)=\rho(\Phi\star U(x)\Phi,0)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) $$ であるから、補題1.13の $(2)$ より、 $$ \Phi\star U(x)\Phi=(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2\Phi\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N}) $$ が成り立つ。よって $(***)$ と補題1.13の $(1)$ より、 $$ P\pi(x,0)P=\pi(\Phi\star U(x)\Phi,0)=(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2\pi(\Phi,0) =(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2P\quad(\forall x\in \mathbb{R}^{2N})\quad\quad(****) $$ である。$(*),(****)$ より任意の $j,j'\in J$ と任意の $(x,\lambda)\in H_N$ に対し、 $$ \begin{aligned} &(e_j\mid \pi(x,\lambda)e_{j'})=e^{-i\lambda}(e_j\mid \pi(x,0)e_{j'}) =e^{-i\lambda}(e_j\mid P\pi(x,0)Pe_{j'})\\ &=e^{-i\lambda}(\varphi\mid \rho(x,0)\varphi)_2(e_j\mid Pe_{j'}) =\delta_{j,j'}(\varphi\mid \rho(x,\lambda)\varphi)_2 \end{aligned} $$ となるから、$j\neq j'$ ならば、$\mathcal{K}_j\perp \mathcal{K}_{j'}$ であり、局所コンパクト群のユニタリ表現の命題2.13より任意の $j\in J$ に対し $\pi_j$ と $\rho$ はユニタリ同値である。今、$\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\subset \mathcal{H}_{\pi}$ とおき、$\mathcal{K}=\mathcal{H}_{\pi}$ が成り立つことを示す。そのためには $\mathcal{K}^{\perp}=\{0\}$ を示せばよいので、$\mathcal{K}^{\perp}\neq \{0\}$ であると仮定して矛盾を導く。$\mathcal{K}$ は $\pi$ 不変であるから $\mathcal{K}^{\perp}$ も $\pi$ 不変である。そこで $\pi$ の $\mathcal{K}^{\perp}$ 上への制限によって得られるユニタリ表現 $\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}\colon H_N\rightarrow \mathbb{U}(\mathcal{K}^{\perp})$ を考える。このとき $\pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}$ は定理1.6の条件を満たし、 $$ \pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}(\Phi,0)v\in \mathcal{K}^{\perp}\cap {\rm Ran}(P)\subset \mathcal{K}^{\perp}\cap \mathcal{K}=\{0\}\quad(\forall v\in \mathcal{K}^{\perp}) $$ であるから、 $$ \pi|_{\mathcal{K}^{\perp}}(\Phi,0)=0 $$ である。よって補題1.13の $(2)$ より $\Phi=0$ が導かれ、矛盾する。ゆえに $\mathcal{K}=\mathcal{H}_{\pi}$ であるから、 $$ \pi=\bigoplus_{j\in J}\pi_j $$ が成り立つ。各 $j\in J$ に対し $\pi_j$ と $\rho$ はユニタリ同値であり、$\rho$ は既約であるから $\pi$ は完全可約である。また $\pi$ の任意の既約な部分表現は定理1.6の条件を満たすので上の結果より $\rho$ とユニタリ同値である。

□

定理1.15（Stone-von Neumannの一意性定理2）

Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上への自由度 $N$ のWeyl型CCRの表現 $(Q,P)$ が既約であるとする。このときユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ UQ_jU^{-1}={\rm id}_j,\quad UP_jU^{-1}=-i\partial_j\quad(j=1,\ldots,N) $$ を満たすものが存在する。そして任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、 $$ Uf(Q)U^{-1}=f({\rm id}),\quad Uf(P)U^{-1}=f(-i\nabla)=\mathcal{F}^{-1}f({\rm id})\mathcal{F} $$ が成り立つ。（強可換な自己共役作用素の組に付随する結合スペクトル測度による積分の定義（局所コンパクト群のユニタリ表現の定理5.14、定義5.15）を参照。定理1.9より $f({\rm id})$ は $f$ による掛け算作用素である。）特に、 $$ U\lvert P\rvert^2U^{-1}=-\Delta $$ が成り立つ。

Proof.

定理1.14より、$(Q,P)$ に対応するHeisenberg群 $H_N$ のユニタリ表現 $$ H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}\in \mathbb{U}(\mathcal{H}) $$ と、自由度 $N$ のSchrödinger表現 $(Q^S,P^S)=({\rm id},-i\nabla)=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N,-i\partial_1,\ldots,-i\partial_N)$ に対応する $H_N$ のユニタリ表現 $$ H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ix\cdot Q^S}e^{iy\cdot P^S}\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N)) $$ はユニタリ同値であるから、ユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ で、 $$ Ue^{ix\cdot Q}U^{-1}=e^{ix\cdot Q^S},\quad Ue^{iy\cdot P}U^{-1}=e^{iy\cdot P^S}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ を満たすものが取れる。よってHilbert空間上の作用素論の命題6.9より$Q,P,Q^S,P^S$の結合スペクトル測度$E^Q,E^P,E^{Q^S},E^{P^S}$に関して、 $$ \int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\cdot \lambda}d(UE^QU^{-1})(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{ix\cdot \lambda}dE^{Q^S}(\lambda),\quad \int_{\mathbb{R}^N}e^{iy\cdot \lambda}d(UE^PU^{-1})(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^N}e^{iy\cdot \lambda}dE^{P^S}(\lambda) $$ が成り立つので、SNAGの定理(局所コンパクト群のユニタリ表現の定理5.11)の一意性より、 $$ UE^Q(B)U^{-1}=E^{Q^S}(B),\quad UE^P(B)U^{-1}=E^{P^S}(B)\quad(\forall B\in {\cal B}_{\mathbb{R}^N}) $$ が成り立つ。これより任意のBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、 $$ Uf(Q)U^{-1}=f(Q^S),\quad Uf(P)U^{-1}=f(P^S) $$ が成り立つ。よって定理1.9より、 $$ Uf(Q)U^{-1}=f({\rm id}),\quad Uf(P)U^{-1}=f(-i\nabla)={\cal F}^{-1}f({\rm id}){\cal F} $$ である。特に緩増加超関数とFourier変換の命題18.3より、 $$ U\lvert P\rvert^2U^{-1}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=-\Delta $$ である。

□

2. Weyl型CCRのBHJ表現、調和振動子型Schrödinger作用素のスペクトル構造の決定

定義2.1（Schrödinger作用素）

実数値の $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$（局所二乗可積分関数^[8]）に対し、$V$ によるHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素（Hilbert空間上の作用素論の定義10.2）をそのまま $V$ で表す。Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の対称作用素 $$ H_V\colon=\overline{-\Delta+V} $$ を $V$ をポテンシャルとするSchrödinger作用素と言う。自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\mathcal{H}$ 上への既約表現 $(Q,P)$ を取ると、Stone-von Neumannの一意性定理（定理1.15）より、ユニタリ作用素 $U\colon \mathcal{H}\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ が存在し、 $$ H_V=U\overline{(\lvert P\rvert^2+V(Q))}U^{-1} $$ と表せる。したがって $H_V$ のスペクトル構造は $\overline{\lvert P\rvert^2+V(Q)}$ のスペクトル構造と一致する。

例2.2（自由型Schrödinger作用素のスペクトル構造）

ポテンシャルが $0$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のSchrödinger作用素 $H_0=-\Delta$ は、Hilbert空間上の作用素論の命題17.1より、$H^2(\mathbb{R}^N)$ を定義域とする自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma(H_0)$　と点スペクトル（固有値全体） $\sigma_{\rm p}(H_0)$ は、 $$ \sigma(H_0)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm p}(H_0)=\emptyset $$ である。

例2.3（Coulomb型ポテンシャルを持つSchrödinger作用素）

$\alpha\in (0,\frac{3}{2})$, $k_j,K_{j,k}\in (0,\infty)$ $(\forall j,k\in \{1,\ldots,N\}, j\neq k)$ に対し、 $$ V(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\sum_{j=1}^{N}\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}}-\sum_{j\neq k}\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}} $$ なるポテンシャル $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を持つ $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ 上のSchrödinger作用素 $H_V=-\Delta+V$ は、加藤-Rellichの定理（Hilbert空間上の作用素論の定理17.5）より、$H^2(\mathbb{R}^{3N})$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯は $H_V$ の芯である（特に台がコンパクトな滑らかな関数全体 $D(\mathbb{R}^{3N})$ や急減少関数空間 $\mathcal{S}_{3N}$ は $H_V$ の芯である）。$N=1$, $\alpha=1$ の場合（水素原子型Schrödinger作用素）のスペクトルについて後の節で詳しく扱う。

例2.4（調和振動子型Schrödinger作用素）

正数 $k$ に対し、 $$ V(x)\colon=k\lvert x\rvert^2\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ なるポテンシャル $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ を持つSchrödinger作用素 $H_V=\overline{-\Delta+V}$ を調和振動子型Schrödinger作用素と言う。このスペクトル構造については定理2.8で述べる。

定義2.5（ユニラテラルシフト、昇降作用素）

Hilbert空間 $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の有界線形作用素 $V_1,\ldots,V_N$ を、 $$ (V_jf)(n)\colon=f(n+e_j)\quad(\forall f\in\ell^2(\mathbb{Z}_+^N), \forall n\in \mathbb{Z}_+^N,j=1,\ldots,N) $$ と定義する。このとき、 $$ (V_j^*f)(n)=\begin{cases}f(n-e_j)\quad&(n_j\geq1)\\0&(n_j=0)\end{cases}\quad(\forall f\in \ell^2(\mathbb{Z}_+^N),j=1,\ldots,N) $$ であり、 $$ V_j^*V_j=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+^N,n_j\geq1}\chi_{\{n\}}\odot \chi_{\{n\}},\quad V_jV_j^*=1\quad(j=1,\ldots,N)\quad\quad(*) $$ （$\odot$ はSchatten形式（Hilbert空間上の作用素論の定義13.5））である。よって $V_1,\ldots,V_N$ は部分等長作用素である。${\rm id}_j\colon \mathbb{Z}_+^N\ni n\mapsto n_j\in [0,\infty)$ による $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の掛け算作用素をそのまま ${\rm id}_j$ と表して、 $$ A_j\colon=V_j\sqrt{{\rm id}_j}=\sqrt{{\rm id}_j+1}V_j\quad(j=1,\ldots,N) $$ とおくと、$A_j$ は稠密に定義された閉線形作用素であり、 $$ A_j^*=\sqrt{{\rm id}_j}V_j^*=V_j^*\sqrt{{\rm id}_j+1}\quad(j=1,\ldots,N) $$ であるから、$(*)$ より、 $$ \lvert A_j\rvert=\sqrt{A_j^*A_j}=\sqrt{{\rm id}_j},\quad \lvert A_j^*\rvert=\sqrt{{\rm id}_j+1}\quad(j=1,\ldots,N) $$ である。よって $A_j,A_j^*$ の極分解（Hilbert空間上の作用素論の定理9.4と定理9.5）は、$A_j=V_j\sqrt{{\rm id}_j}$, $A_j^*=V_j^*\sqrt{{\rm id}_j+1}$ である。$(V_1,\ldots,V_N)$ を $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上のユニラテラルシフト、$(A_1,\ldots,A_N)$ を $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の昇作用素、$(A_1^*,\ldots,A_N^*)$ を $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の降作用素と言う。

定理2.6（BHJ（Born-Heisenberg-Jordan）表現の基本性質）

Hilbert空間 $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の昇降作用素 $(A_1,\ldots,A_N)$, $(A_1^*,\ldots,A_N^*)$ に対し、 $$ Q_j\colon=\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{A_j+A_j^*},\quad P_j\colon=\frac{1}{i\sqrt{2}}\overline{A_j-A_j^*}\quad(j=1,\ldots,N) $$ とおく。$c_c(\mathbb{Z}_+^N)\subset \ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ を台が有限集合であるもの全体からなる $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ の稠密部分空間とする。このとき、

$(1)$　$Q_1,\ldots,Q_N,P_1,\ldots,P_N$ はそれぞれ $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の自己共役作用素であり、$c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ はこられの共通の芯である。また $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ の任意の元はこれらの自己共役作用素の共通の全解析ベクトル（Hilbert空間上の作用素論の定義21.1）である。
$(2)$　交換子積 $[\cdot,\cdot]$（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義7.7）に関して、$c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ 上で、

$$ \begin{aligned} &[A_j,A_k]=[A_j^*,A_k^*]=0,\quad [A_j,A_k^*]=\delta_{j,k}\quad(\forall j,k\in \{1,\ldots,N\}),\\ &[Q_j,Q_k]=[P_j,P_k]=0,\quad [Q_j,P_k]=i\delta_{j,k}\quad(\forall j,k\in \{1,\ldots,N\}) \end{aligned} $$ が成り立つ。

$(3)$　$\overline{Q_j^2+P_j^2}=2{\rm id}_j+1$ $(j=1,\ldots,N)$ が成り立つ。
$(4)$　$(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRのHilbert空間 $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上への表現（定義1.4）である。
$(5)$　Weyl型CCRの表現 $(Q,P)$ は既約（定義1.7）である。

Proof.

$(1)$　任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。任意の $m\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、

$$ A_j\chi_{\{m\}}=\sqrt{m_j}\chi_{\{m-e_j\}},\quad A_j^*\chi_{\{m\}}=\sqrt{m_j+1}\chi_{\{m+e_j\}} $$ であるから、 $$ \lVert (A_j\pm A_j^*)^n\chi_{\{m\}}\rVert\leq 2^m\sqrt{m_j+n}\sqrt{m_j+n-1}\cdots\sqrt{m_j+1}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ である。よって任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、 $$ \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{\lvert z\rvert^n}{n!}\lVert (A_j\pm A_j^*)^n\chi_{\{m\}}\rVert_2\leq \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\lvert 2z\rvert^n\frac{\sqrt{m_j+n}\sqrt{m_j+n-1}\cdots \sqrt{m_j+1}}{n!} $$ であり、ratioテストより右辺は収束するので、$\chi_{\{m\}}$ は $Q_j,P_j$ の全解析ベクトルである。$c_c(\mathbb{Z}_+^N)={\rm span}\{\chi_{\{m\}}\}_{m\in \mathbb{Z}_+^N}$ であるから、Hilbert空間上の作用素論の命題21.2より $c_c(Z_+^N)$ の任意の元は $Q_j,P_j$ の全解析ベクトルである。そして $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ は $Q_j,P_j$ の作用に対して不変であり、$\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ において稠密であるから、Nelsonの解析ベクトル定理（Hilbert空間上の作用素論の系21.7）より $Q_j,P_j$ は $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ を芯とする自己共役作用素である。

$(2)$　直接計算による。
$(3)$　任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。$c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ 上で、

$$ Q_j^2+P_j^2=A_jA_j^*+A_j^*A_j=2{\rm id}_j+1 $$ であり、$Q_j^2+P_j^2$ は対称作用素（したがって可閉であり閉包も対称作用素）であるから、 $$ 2{\rm id}_j|_{c_c(\mathbb{Z}_+^N)}+1\subset \overline{Q_j^2+P_j^2} $$ である。$c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ は明らかに ${\rm id}_j$ の芯なので、 $$ 2{\rm id}_j+1\subset \overline{Q_j^2+P_j^2} $$ が成り立つ。左辺は自己共役作用素で右辺は対称作用素であるから、 $$ 2{\rm id}_j+1=\overline{Q_j^2+P_j^2} $$ が成り立つ。

$(4)$　任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ と任意の $t\in \mathbb{R}$ を取り固定する。$(2)$ より、

$$ \frac{(it)^n}{n!}Q_j^nP_kv=P_k\frac{(it)^n}{n!}Q_j^nv-t\delta_{j,k}\frac{(it)^{n-1}}{(n-1)!}Q_j^{n-1}v\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall v\in c_c(\mathbb{Z}_+^N))\quad\quad(*) $$ が成り立つ。$(1)$ より $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ の元は $Q_j$ の全解析ベクトルであるから、Hilbert空間上の作用素論の定理21.4より、 $$ \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(it)^n}{n!}Q_j^nv=e^{itQ_j}v\quad(\forall v\in c_c(\mathbb{Z}_+^N)) $$ である。よって $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ が $P_k$ の作用に対して不変であること、$P_k$ が閉作用素であることに注意して $(*)$ より、 $$ e^{itQ_j}P_k=P_ke^{itQ_j}v-t\delta_{j,k}e^{itQ_j}v\quad(\forall v\in c_c(\mathbb{Z}_+^N)) $$ が成り立つことが分かる。$(1)$ より $c_c(\mathbb{Z}_+^N)$ は $P_k$ の芯であるから、 $$ e^{itQ_j}P_k\subset (P_k-t\delta_{j,k})e^{itQ_j} $$ であり、これより、 $$ e^{itQ_j}P_ke^{-itQ_j}\subset P_k-t\delta_{j,k} $$ であるから、両辺の自己共役性より、 $$ e^{itQ_j}P_ke^{-itQ_j}=P_k-t\delta_{j,k} $$ を得る。よってHilbert空間上の作用素論の命題6.9と命題8.7の $(9)$ より、任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、 $$ e^{itQ_j}e^{isP_k}e^{-itQ_j}=e^{is(P_k-t\delta_{j,k})}=e^{-ist\delta_{j,k}}e^{isP_k} =e^{isP_k} $$ が成り立つ。これより、 $$ e^{itQ_j}e^{isP_k}=e^{ist\delta_{j,k}}e^{isP_k}e^{itQ_j}\quad(\forall s,t\in \mathbb{R},\forall j,k\in \{1,\ldots,N\}) $$ が成り立つ。全く同様に $(1),(2)$ を用いて（より簡単に）、 $$ e^{itQ_j}e^{isQ_k}=e^{isQ_k}e^{itQ_j},\quad e^{itP_j}e^{isP_k}=e^{isP_k}e^{itP_j}\quad(\forall s,t\in \mathbb{R},\forall j,k\in \{1,\ldots,N\}) $$ が成り立つことも分かる。よって $(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの表現である。

$(5)$　定義1.7よりWeyl型CCRの表現 $(Q,P)$ に対応するHeisenberg群のユニタリ表現（定義1.5）

$$ \pi\colon H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ix\cdot Q}e^{iy\cdot P}\in \mathbb{U}(\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)) $$ が既約であることを示せばよい。そのためにはSchurの補題（局所コンパクト群のユニタリ表現の定理2.10）より $\mathcal{C}(\pi)=\mathbb{C}1$ が成り立つことを示せばよい。そこでvon Neumann環（Hilbert空間上の作用素論の定義18.14） $$ \mathcal{M}=\pi(H_N)' ' $$ を考える。$\mathcal{M}'=\pi(H_N)' ' '=\pi(H_N)'=\mathcal{C}(\pi)$ であるから、$\mathcal{M}'=\mathbb{C}1$ であることを示せばよい。 $$ e^{ix\cdot Q}=\pi(x,0,0)\in \mathcal{M},\quad e^{iy\cdot P}=\pi(0,y,0)\in \mathcal{M}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について、Hilbert空間上の作用素論の補題21.3より、 $$ \begin{aligned} &SQ_jv=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}S(e^{itQ_j}-1)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itQ_j}-1)Sv=Q_jSv\quad(\forall v\in D(Q_j),\forall S\in \mathcal{M}'),\\ &SP_jv=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itP_j}-1)v=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itP_j}-1)Sv=P_jSv\quad(\forall v\in D(P_j),\forall S\in \mathcal{M}') \end{aligned} $$ である。よって、 $$ Q_1,\ldots,Q_N,P_1,\ldots,P_N\in \widetilde{\mathcal{M}}\quad\quad(**) $$ が成り立つ。^[9] $$ D(A_j)=D(\lvert A_j\rvert)=D(\sqrt{{\rm id}_j})=D(\sqrt{{\rm id}_j+1})=D(A_j^*)\quad(j=1,\ldots,N) $$ であるから、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ について、 $$ A_j\subset \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j+iP_j),\quad A_j^*\subset \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j-iP_j) $$ であり、Hilbert空間上の作用素論の定理3.10より、 $$ \begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j+iP_j)\subset \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j-iP_j)\right)^* \subset A_j^{**}=A_j\subset \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j+iP_j),\\ &\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j-iP_j)\subset \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j+iP_j)\right)^* \subset A_j^{*}\subset \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j-iP_j) \end{aligned} $$ であるから、 $$ A_j=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j+iP_j),\quad A_j^*=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q_j-iP_j) $$ が成り立つ。ゆえに $(**)$ とHilbert空間上の作用素論の命題19.3より、 $$ A_1,\ldots,A_N,A_1^*,\ldots,A_N^*\in \widetilde{\mathcal{M}}\quad\quad(***) $$ が成り立つ。定義2.5で述べたように $A_j=V_j\sqrt{{\rm id}_j}$, $A_j^*=V_j^*\sqrt{{\rm id}_j+1}$ は $A_j,A_j^*$ の極分解であるから、$(***)$ とHilbert空間上の作用素論の定理19.4より、 $$ V_1,\ldots,V_N\in \mathcal{M}\quad\quad(****) $$ が成り立つ。また $(3)$ より、 $$ 2{\rm id}_j+1=\overline{Q_j^2+P_j^2}\in \widetilde{\mathcal{M}}\quad(j=1,\ldots,N) $$ であるから、 $$ {\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N\in \widetilde{\mathcal{M}} $$ であるので、$E\colon 2^{\mathbb{Z}_+^N}\rightarrow \mathbb{P}(\ell^2(\mathbb{Z}_+^N))$ を掛け算作用素を表す射影値測度（Hilbert空間上の作用素論の定義10.2）とすると、Hilbert空間上の作用素論の定理19.4より、 $$ E(B)\in \mathcal{M}\quad(\forall B\subset \mathbb{Z}_+^N)\quad\quad(*****) $$ が成り立つ。今、任意の $S\in \mathcal{M}'$ を取る。任意の $n\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $(*****)$ より、 $$ S\chi_{\{n\}}=SE(\{n\})\chi_{\{n\}}=E(\{n\})S\chi_{\{n\}}=\alpha_n\chi_{\{n\}} $$ なる $\alpha_n\in \mathbb{C}$ が取れる。ここで任意の $n=(n_1,\ldots,n_N)\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、 $$ (V_1^*)^{n_1}\cdots (V_N^*)^{n_N}\chi_{\{0\}}=\chi_{\{n\}} $$ であるから、$(****)$ より、 $$ \alpha_n\chi_{\{n\}}=S\chi_{\{n\}}=S(V_1^*)^{n_1}\cdots (V_N^*)^{n_N}\chi_{\{0\}} =(V_1^*)^{n_1}\cdots (V_N^*)^{n_N}S\chi_{\{0\}}=\alpha_0\chi_{\{n\}} $$ である。よって $\alpha_n=\alpha_0$ $(\forall n\in \mathbb{Z}_+^N)$ であるので $S=\alpha_01$ である。ゆえに $\mathcal{M}'=\mathbb{C}1$ であるから求める結果を得る。

□

定義2.7（BHJ（Born-Heisenberg-Jordan）表現）

定理2.6における自由度 $N$ のWeyl型CCRの $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上への表現 $(Q,P)$ を自由度 $N$ のBHJ表現と言う。

定理2.8（調和振動子型Schrödinger作用素のスペクトル構造）

正数 $k$ に対し、 $$ V(x)\colon=k\lvert x\rvert^2\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$ なるポテンシャル項 $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ を持つSchrödinger作用素 $H_V=\overline{-\Delta+V}$ は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の自己共役作用素であり、そのスペクトルは純粋に離散的（Hilbert空間上の作用素論の定義14.3）である。そして、 $$ \sigma(H_V)=\sigma_{\rm d}(H_V)=\{k^{\frac{1}{2}}(2n+N)\}_{n\in \mathbb{Z}_+}, $$ $$ \dim{\rm Ker}(k^{\frac{1}{2}}(2n+N)-H_V)=\begin{pmatrix}n+N-1\\n\end{pmatrix}\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+) $$ が成り立つ。

Proof.

自由度 $N$ のSchrödinger表現（定義1.8）$({\rm id},-i\nabla)=({\rm id}_1,\ldots,{\rm id}_N,-i\partial_1,\ldots,-i\partial_N)$ をスケール変換したもの $$ (Q,P)=(k^{\frac{1}{4}}{\rm id},-k^{-\frac{1}{4}}i\nabla)=(k^{\frac{1}{4}}{\rm id}_1,\ldots,k^{\frac{1}{4}}{\rm id}_N,-k^{-\frac{1}{4}}i\partial_1,\ldots,-k^{\frac{1}{4}}i\partial_N) $$ を考えると、定理1.9より、 $$ e^{ix\cdot Q}=e^{ik^{\frac{1}{4}}x\cdot {\rm id}},\quad e^{iy\cdot P}=T_{-k^{-\frac{1}{4}}y}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^N) $$ であるから、$(Q,P)$ は自由度 $N$ のWeyl型CCRの表現である。そして $(Q,P)$ に対応するHeisenberg群のユニタリ表現（定義1.5）は、 $$ \pi_{Q,P}\colon H_N\ni (x,y,\lambda)\mapsto e^{-i\left(\lambda-\frac{1}{2}x\cdot y\right)}e^{ik^{\frac{1}{4}}x\cdot {\rm id}}T_{-k^{-\frac{1}{4}}y}\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^N)) $$ である（定理1.9を参照）。Schrödinger表現の既約性（定理1.12）とSchurの補題（局所コンパクト群のユニタリ表現の定理2.10）より、 $$ \mathcal{C}(\pi_{Q,P})=\pi_{Q,P}(H_N)'=\{e^{ik^{\frac{1}{4}}x\cdot {\rm id}},T_{-k^{-\frac{1}{4}}y}:x,y\in \mathbb{R}^N\}'=\{e^{ix\cdot {\rm id}},T_{-y}:x,y\in \mathbb{R}^N\}'=\mathbb{C}1 $$ であるから、$(Q,P)$ は既約である。そして $\lvert P\rvert^2=k^{-\frac{1}{2}}\Delta$, $\lvert Q\rvert^2=k^{\frac{1}{2}}\lvert {\rm id}\rvert^2=k^{-\frac{1}{2}}V$ であるから、 $$ H_V=\overline{-\Delta+V}=k^{\frac{1}{2}}(\overline{\lvert P\rvert^2+\lvert Q\rvert^2}) $$ である。今、自由度 $N$ のBHJ表現を $(Q',P')$ とおくと、定理2.6の $(3)$ より、 $$ \overline{\lvert P'\rvert^2+\lvert Q'\rvert^2}=\int_{\mathbb{Z}_+^N}\sum_{j=1}^{N}(2n_j+1)dE(n_1,\ldots,n_N) $$ （ただし $E\colon 2^{\mathbb{Z}_+^N}\rightarrow \mathbb{P}(\ell^2(\mathbb{Z}_+^N))$）は $\ell^2(\mathbb{Z}_+^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（Hilbert空間上の作用素論の定義10.2）であり、定理2.6の $(5)$ よりBHJ表現 $(Q',P')$ は既約であるから、$(Q,P)$ の既約性とStone-von Neumannの一意性定理（定理1.15）より、ユニタリ作用素 $$ U\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow \ell^2(\mathbb{Z}_+^N) $$ で、 $$ UH_VU^{-1}=k^{\frac{1}{2}}U(\overline{\lvert Q\rvert^2+\lvert P\rvert^2})U^{-1} =k^{\frac{1}{2}}(\overline{\lvert Q'\rvert^2+\lvert P'\rvert^2}) =k^{\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{Z}_+^N}\sum_{j=1}^{N}(2n_j+1)dE(n_1,\ldots,n_N) $$ を満たすものが取れる。よって $H_V$ は自己共役作用素であり、掛け算作用素に関するスペクトル写像定理（Hilbert空間上の作用素論の命題10.4）より、 $$ \sigma(H_V)=\sigma(UH_VU^{-1})=\sigma\left(k^{\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{Z}_+^N}\sum_{j=1}^{N}(2n_j+1)dE(n_1,\ldots,n_N)\right) =\{k^{\frac{1}{2}}(2n+N)\}_{n\in \mathbb{Z}_+} $$ が成り立つ。これより $\sigma(H_V)$ は孤立点のみからなり、Hilbert空間上の作用素論の命題6.8の $(5)$ より、 $$ \begin{aligned} {\rm Ker}(k^{\frac{1}{2}}(2n+N)-H_V) &={\rm Ker}\left(k^{\frac{1}{2}}(2n+N)-k^{\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{Z}_+^N}\sum_{j=1}^{N}(2n_j+1)dE(n_1,\ldots,n_N)\right)\\ &={\rm Ran}E\left(\{(n_1,\ldots,n_N)\in \mathbb{Z}_+^N: n_1+\cdots+n_N=n\}\right) \end{aligned} $$ であり、$\mathbb{Z}_+^N$ 上の一点集合の指示関数による掛け算作用素は $1$ 次元射影作用素であるから、 $$ \dim{\rm Ran}E\left(\{(n_1,\ldots,n_N)\in \mathbb{Z}_+^N: n_1+\cdots+n_N=n\}\right) =\begin{pmatrix}n+N-1\\n\end{pmatrix} $$ である。よって $\sigma(H_V)$ の各点は $H_V$ の離散固有値であるから、$\sigma(H_V)$ は純粋に離散的である。

□

3. 角運動量作用素、回転対称ポテンシャルを持つSchrödinger作用素の方位量子化

命題3.1（${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現）

任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のユニタリ作用素 $$ \pi(R)\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto f\circ R^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3) $$ を定義する。このとき、 $$ \pi\colon {\rm SO}(3)\ni R\mapsto \pi(R)\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^3)) $$ はSOT（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義2.1）連続な群準同型写像、すなわち、${\rm SO}(3)$ のHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上へのユニタリ表現である。

Proof.

極座標変換（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4)と $L^2$ 空間のテンソル積（Hilbert空間上の作用素論の定義12.9）により、ユニタリ作用素 $$ \begin{aligned} &U\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2([0,\infty)\times S_2)=L^2([0,\infty))\otimes L^2(S_2),\\ &(Uf)(r,\omega)=rf(r\omega)\quad(\forall (r,\omega)\in [0,\infty)\times S_2) \end{aligned} $$ が定義できる。また単位球面 $S_2$ は ${\rm SO}(3)$ の等質空間である（局所コンパクト群のユニタリ表現の命題8.6）から、正則表現（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義3.25）としてユニタリ表現 $$ \rho\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(S_2)),\quad \rho(R)f=f\circ R^{-1}\quad(\forall R\in {\rm SO}(3),\forall f\in L^2(S_2)) $$ が定義できる。そこでユニタリ表現 $$ \begin{aligned} &1\otimes \rho\colon {\rm SO}(3)\ni R\mapsto 1\otimes \rho(R)\in \mathbb{U}(L^2([0,\infty)\otimes L^2(S_2)),\\ &U^{-1}(1\otimes \rho)U\colon {\rm SO}(3)\ni R\mapsto U^{-1}(1\otimes \rho(R))U\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^3)) \end{aligned} $$ を考えると、任意の $f\in L^2([0,\infty)\times S_2)$ に対し、 $$ (1\otimes \rho(R))f(r,\omega)=f(r,R^{-1}\omega)\quad(\forall R\in {\rm SO}(3),\forall (r,\omega)\in [0,\infty)\times S_2) $$ であるから、 $$ (U^{-1}(1\otimes \rho(R))U)f=f\circ R^{-1}\quad(\forall R\in {\rm SO}(3),\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ である。ゆえに、 $$ \pi(R)=U^{-1}(1\otimes \rho(R))U\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ であるので $\pi$ は ${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上へのユニタリ表現である。

□

定義3.2（${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現）

命題3.1における ${\rm SO}(3)$ のHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上へのユニタリ表現 $$ \pi\colon {\rm SO}(3)\ni R\mapsto \pi(R)\in \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^3)),\quad \pi(R)f=f\circ R^{-1}\quad(\forall R\in {\rm SO}(3),\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現と言う。

定義3.3（$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の角運動量作用素 $L$）

${\rm SO}(3)$ の生成子 $F_1,F_2,F_3\in {\rm Lie}({\rm SO}(3))$（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義8.1）、すなわち、 $$ F_1\colon=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad F_2\colon=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad F_3\colon=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} $$ を考える。${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現 $\pi\colon {\rm SO}(3)\rightarrow \mathbb{U}(L^2(\mathbb{R}^3))$（定義3.2）に対し、$\pi$ の微分表現 $d\pi$（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義7.18）を考え、 $$ L_j\colon=id\pi(F_j)\quad(j=1,2,3) $$ を定義する。このとき $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の自己共役作用素の三つ組 $L\colon=(L_1,L_2,L_3)$ を $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の角運動量作用素と言う。微分表現の定義より、 $$ e^{itL_j}=\exp(-t d\pi(F_j))=\pi(\exp(-tF_j))\quad(\forall t\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ である。

正の向きの直交座標によるラプラシアンの表示（ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の命題13.10）より、任意の $R\in {\rm SO}(3)$ に対し、 $$ (\Delta u)\circ R^{-1}=\Delta(u\circ R^{-1}) $$ であるから、 $$ \pi(R)\Delta\pi(R)^{-1}=\Delta\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ である。また $V$ は回転対称であるから、掛け算作用素として、 $$ \pi(R)V\pi(R)^{-1}=V\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ である。よって、 $$ \pi(R)H\pi(R)^{-1}=H\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ が成り立つ。ここで角運動量作用素の定義3.3より、 $$ \pi(\exp(\theta F_j))=e^{-i\theta L_j}\quad(\forall \theta\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ であるから、 $$ e^{i\theta L_j}He^{-i\theta L_j}=H\quad(\forall \theta\in \mathbb{R},j=1,2,3). $$ よって、ユニタリ作用素による射影値測度の変換（Hilbert空間上の作用素論の命題6.9）より、 $$ e^{i\theta L_j}e^{itH}e^{-i\theta L_j}=e^{itH}\quad(\forall \theta,t\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ である。これより $H$ は $L_1,L_2,L_3$ のそれぞれと強可換である。さらにこのことから、 $$ e^{itH}L_j^2e^{-itH}=L_j^2\quad(\forall t\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ であるので、 $$ e^{itH}\lvert L\rvert^2e^{-itH}=\lvert L\rvert^2\quad(\forall t\in \mathbb{R}) $$ である。ゆえに $H$ は $\lvert L\rvert^2$ とも強可換である。よって斜体文任意の $l\in \mathbb{Z}_+$, $j\in \{1,2,3\}$, $m\in \{-l,-l+1,\ldots,l\}$ に対し、 $$ P^l_{j,m}H\subset HP^{l}_{j,m}\quad\quad(*) $$ が成り立つので、$H$ の $\mathcal{H}^l_{j,m}={\rm Ran}(P^l_{j,m})$ 上への制限 $$ H^l_{j,m}\colon P^l_{j,m}(D(H))=D(H)\cap {\rm Ran}(P^l_{j,m})\ni f\mapsto Hf\in \mathcal{H}^{l}_{j,m} $$ は $H$ の自己共役性を受け継いで $\mathcal{H}^l_{j,m}$ 上の自己共役作用素であることが分かる。ラプラシアンを極座標によって表したものを、 $$ \Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\Delta_{S_2}\quad\quad(**) $$ （ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の命題18.2より極座標は直交座標であることに注意してベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の命題13.10を用いる）とおく。任意の $v\in \mathcal{H}_l(S_2)$ に対し $v$ は $\mathbb{R}^3$ 上の $l$ 次の調和多項式を $S_2$ 上に制限したものである（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義8.4）から、$(**)$ より、 $$ \Delta_{S_2}v=-l(l+1)v\quad(\forall l\in \mathbb{Z}_+,\forall v\in \mathcal{H}_l(S_2))\quad\quad(***) $$ である。また任意の $\varphi\in D((0,\infty))$ に対し、 $$ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\varphi(r)\right)\right) =\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}\varphi(r)=\frac{1}{r}\varphi' '(r) $$ であるから、$(**),(***)$ より、 $$ \begin{aligned} -\Delta U^{-1}(\varphi\otimes v^{l}_{j,m})&=\frac{1}{r} \varphi' 'v^{l}_{j,m}+\frac{l(l+1)}{r^2}\frac{1}{r}\varphi v^{l}_{j,m}\\ &=-U^{-1}(\varphi' '\otimes v^{l}_{j,m})+ \frac{l(l+1)}{r^2}U^{-1}(\varphi\otimes v^{l}_{j,m}) \end{aligned} $$ である。よって、 $$ H^l_{j,m}U^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})=-U^{-1}(\varphi' '\otimes v^{l}_{j,m})+\left(\frac{l(l+1)}{r^2}+V\right)U^{-1}(\varphi\otimes v^{l}_{j,m}) $$ である。定理3.7より、 $$ 1=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\bigoplus_{m=-l}^{l}P^l_{j,m} $$ であるから、$(*)$ より、 $$ H=\bigoplus_{l\in \mathbb{Z}_+}\bigoplus_{m=-l}^{l}H^l_{j,m} $$ である。

□

4. 水素原子型Schrödinger作用素のスペクトル構造の決定

定義4.1（水素原子型Schrödinger作用素 $H$）

$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のSchrödinger作用素 $$ H=-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert} $$ を水素原子型Schrödinger作用素と言う。

注意4.2（水素原子型Schrödinger作用素のパラメータ変換）

水素原子型Schrödinger作用素は、実際はある正数 $m,\alpha$ に対し、 $$ -\frac{1}{2m}\Delta-\frac{\alpha}{\lvert {\rm id}\rvert}\quad\quad(*) $$ と表されるが、定義4.1の形のものを考えれば十分である。実際、$k=m\alpha$ とおき、自由度 $3$ のSchrödinger表現（定義1.8） $$ ({\rm id},-i\nabla)=({\rm id}_1,{\rm id}_2,{\rm id}_3,-i\partial_1,-i\partial_2,-i\partial_3) $$ に対し、 $$ (Q,P)\colon=(k{\rm id},-k^{-1}i\nabla)=(k{\rm id}_1,k{\rm id}_2,k{\rm id}_3,-k^{-1}i\partial_1,k^{-1}i\partial_2,-k^{-1}\partial_3) $$ とおくと、定理1.9より、 $$ e^{ix\cdot Q}=e^{ikx\cdot {\rm id}},\quad e^{iy\cdot P}=T_{-k^{-1}y}\quad(\forall x,y\in \mathbb{R}^3) $$ であるから、$(Q,P)$ は自由度 $3$ のWeyl型CCRの $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への既約表現である（既約性はSchrödinger表現の既約性（定理1.12）による）。よってStone-von Neumannの一意性定理（定理1.15）より、ユニタリ作用素 $U\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ が存在し、 $$ U(-\Delta)U^{-1}=U\lvert (-i\nabla)\rvert^2U^{-1}=\lvert P\rvert^2=k^{-2}(-\Delta), $$ $$ U\left(\frac{1}{\rm id}\right)U^{-1}=\frac{1}{\lvert Q\rvert}=k^{-1}\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert} $$ となる。これより、 $$ \begin{aligned} U\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right) &=k^{-2}(-\Delta)-k{-1}\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}=k^{-2}\left(-\Delta-\frac{2k}{\lvert {\rm id}\rvert}\right) =\frac{1}{(m\alpha)^2}\left(-\Delta-\frac{2m\alpha}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)\\ &=\frac{2m}{(m\alpha)^2}\left(-\frac{1}{2m}\Delta-\frac{\alpha}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)=\frac{2}{m\alpha^2}\left(-\frac{1}{2m}\Delta-\frac{\alpha}{\lvert {\rm id}\rvert}\right) \end{aligned} $$ であるから、$(*)$ のスペクトル構造は、 $$ \frac{m\alpha^2}{2}\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right) $$ のスペクトル構造と一致する。

命題4.3（水素原子型Schrödinger作用素の基本性質）

水素原子型Schrödinger作用素（定義4.1）について次が成り立つ。

$(1)$　$H$ は$D(-\Delta)=H^2(\mathbb{R}^3)$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯は $H$ の芯である。特に台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数空間 $D(\mathbb{R}^3)$ や急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ は $H$ の芯である。
$(2)$　$H$ の真性スペクトルは $\sigma_{\rm ess}(H)=[0,\infty)$ であり、$H$ は無限個の離散固有値を持つ。^[12]そして $H$ の離散固有値を下から並べたものを $(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}$ とおくと、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\sup_{n\in \mathbb{N}}\lambda_n=0$ である。
$(3)$　角運動量作用素 $L=(L_1,L_2,L_3)$（定義3.3）と $\lvert L\rvert^2=\overline{L_1^2+L_2^2+L_3^2}$ に対し、$H$ は $L_1,L_2,L_3,\lvert L\rvert^2$ それぞれと強可換（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義5.13）である。
$(4)$　$H$ の任意の固有値の任意の固有ベクトルは $C_0(\mathbb{R}^3)\cap C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ に属する。

Proof.

$(1),(2)$ はHilbert空間上の作用素論の定理17.4による。

$(4)$ を示す。$\lambda$ を $H$ の任意の固有値とし、$f\in D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)$ をその固有ベクトルとする。よって、 $$ \lambda f=Hf=-\Delta f-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}f\quad\quad(*) $$ である。Sobolevの埋め込み定理（Sobolev空間の基本事項の定理38.3）より $D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)\subset C_0(\mathbb{R}^3)$（ただし $C_0(\mathbb{R}^3)$ は無限遠で消える連続関数空間）であるので、$f\in C_0(\mathbb{R}^3)$ である。今、$m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、 $$ \varphi f\in H^{m+2}(\mathbb{R}^3)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash\{0\}))\quad\quad(**) $$ が成り立つと仮定する。このとき任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ に対し、$(*),(**)$ より、 $$ \Delta(\varphi f)=(\Delta \varphi)f+2\nabla \varphi\cdot \nabla f+\varphi\Delta f= \left(\Delta\varphi-\left(\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}+\lambda\right)\varphi\right)f +2\nabla \varphi\cdot \nabla f\in H^{m+1}(\mathbb{R}^3) $$ であるから、楕円型正則性（微分方程式の初歩の定理3.9の $(3)$）より、 $$ \varphi f\in H^{m+3}(\mathbb{R}^3)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})) $$ が成り立つ。よって帰納法より $(**)$ は任意の $m\in \mathbb{Z}_+$ に対して成り立つので、Sobolevの埋め込み定理（Sobolev空間の基本事項の定理38.3）より、 $$ \varphi f\in C^\infty(\mathbb{R}^3)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})) $$ である。これより $f\in C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ が成り立つ。

□

定義4.4（ベクトル作用素）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$A=(A_1,A_2,A_3)$, $B=(B_1,B_2,B_3)$ を $\mathcal{H}$ 上の線形作用素の $3$ つ組とする。これに対し $\mathcal{H}$ 上の線形作用素 $A\cdot B$ を、 $$ A\cdot B\colon=\sum_{j=1}^{3}A_jB_j $$ と定義する。また $\mathcal{H}$ 上の線形作用素の $3$ つ組 $A+B$, $\alpha A$, $A\times B$ $(\alpha\in \mathbb{C})$ をその $j\in \{1,2,3\}$ 成分が、 $$ (A+B)_j\colon=A_j+B_j,\quad (\alpha A)_j\colon=\alpha A_j,\quad (A\times B)_j\colon=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_kB_l $$ であるもとして定義する。ただし $\epsilon_{j,k,l}$ はLevi-Cibitaの記号である。

補題4.5（Levi-Cibitaの記号の基本性質）

Levi-Cibitaの記号 $\epsilon_{j,k,l}$ について、 $$ \sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\epsilon_{l,r,m}=\delta_{j,r}\delta_{k,m}-\delta_{j,m}\delta_{k,r}\quad(\forall j,k,r,m\in \{1,2,3\}) $$ が成り立つ。

Proof.

容易に確かめられる。

□

補題4.6（作用素の交換関係に関する基本補題）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$A=(A_j)_{j=1,2,3}$, $B=(B_j)_{j=1,2,3}$, $C=(C_j)_{j=1,2,3}$ をそれぞれ $\mathcal{H}$ 上の線形作用素の $3$ つ組とし、$\mathcal{S}\subset \mathcal{H}$ を、 $$ \mathcal{S}\subset \bigcap_{j=1}^{3}(D(A_j)\cap D(B_j)\cap D(C_j)), $$ $$ A_j\mathcal{S}\subset \mathcal{S},\quad B_j\mathcal{S}\subset \mathcal{S},\quad C_j\mathcal{S}\subset \mathcal{S}\quad(j=1,2,3) $$ を満たす線形部分空間とする。このとき、

$(1)$　$\mathcal{S}$ 上で $A_jA_k=A_kA_j$ $(\forall j,k\in \{1,2,3\})$ が成り立つならば、$\mathcal{S}$ 上で、

$$ A\times A=0 $$ が成り立つ。

$(2)$　$\mathcal{S}$ 上で、

$$ A\cdot (B\times C)=(A\times B)\cdot C $$ が成り立つ。

$(3)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ (A\times B+B\times A)_j=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}[A_k,B_l] $$ が成り立つ。

$(4)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ (A\times (B\times C))_j=\sum_{k=1}^{3}A_kB_jC_k-(A\cdot B)C_j, $$ $$ ((A\times B)\times C)_j=\sum_{l=1}^{3}A_lB_jC_l-A_j(B\cdot C) $$ が成り立つ。

$(5)$　$\mathcal{S}$ 上で $A_jA_k=A_kA_j$ $(\forall j,k\in \{1,2,3\})$ が成り立つならば、任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、$\mathcal{S}$ 上で、

$$ (A\times (A\times B))_j=A_j(A\cdot B)-(A\cdot A)B_j, $$ $$ ((B\times A)\times A)_j=(B\cdot A)A_j-B_j(A\cdot A) $$ が成り立つ。

$(6)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ A_jB_k-A_kB_j=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times B)_l $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ (A\times A)_j=\sum_{k,l=1}^{3}A_kA_l=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_lA_k =-\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,l,k}A_lA_k=-(A\times A)_j $$ であるから $\mathcal{S}$ 上で $(A\times A)_j=0$ である。

$(2)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ \begin{aligned} A\cdot (B\times C)&=\sum_{j=1}^{3}A_j(B\times C)_j=\sum_{j,k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_jB_kC_l=\sum_{j,k,l=1}^{3}\epsilon_{l,j,k}A_jB_kC_l\\ &=\sum_{l=1}^{3}(A\times B)_lC_l=(A\times B)\cdot C \end{aligned} $$ が成り立つ。

$(3)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ \begin{aligned} (A\times B+B\times A)_j&=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_kB_l+\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}B_lA_k=\sum_{k,l=1}^{3}(A_kB_l-B_lA_k)\\ &=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}[A_k,B_l] \end{aligned} $$ が成り立つ。

$(4)$　補題4.5より任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ \begin{aligned} (A\times (B\times C))_j&=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_k(B\times C)_l =\sum_{k,l,r,m=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\epsilon_{l,r,m}A_kB_rC_m\\ &=\sum_{k,r,m=1}^{3}(\delta_{j,r}\delta_{k,m}-\delta_{j,m}\delta_{k,r})A_kB_rC_m\\ &=\sum_{k=1}^{3}(A_kB_jC_k-A_kB_kC_j)\\ &=\sum_{k=1}^{3}A_kB_jC_k-(A\cdot B)C_j, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} ((A\times B)\times C)_j&=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times B)_kC_l =\sum_{k,l,r,m=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\epsilon_{k,r,m}A_rB_mC_l\\ &=\sum_{l,r,m=1}^{3}(\delta_{l,r}\delta_{j,m}-\delta_{l,m}\delta_{j,r})A_rB_mC_l\\ &=\sum_{l=1}^{3}(A_lB_jC_l-A_jB_lC_l)\\ &=\sum_{l=1}^{3}A_lB_jC_l-A_j(B\cdot C) \end{aligned} $$ である。

$(5)$　$(4)$ より任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ \begin{aligned} (A\times (A\times B))_j&=\sum_{k=1}^{3}A_kA_jB_k-(A\cdot A)B_j=\sum_{k=1}^{3}A_jA_kB_k-(A\cdot A)B_j\\ &=A_j(A\cdot B)-(A\cdot A)B_j, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} ((B\times A)\times A)_j&=\sum_{l=1}^{3}B_lA_jA_l-B_j(A\cdot A) =\sum_{l=1}^{3}B_lA_lA_j-B_j(A\cdot A)\\ &=(B\cdot A)A_j-B_j(A\cdot A) \end{aligned} $$ である。

$(6)$　補題4.5より任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}$ 上で、

$$ \begin{aligned} A_jB_k-A_kB_j&=\sum_{r,m=1}^{3}(\delta_{j,r}\delta_{k,m}-\delta_{j,m}\delta_{k,r})A_rB_m =\sum_{l,r,m=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\epsilon_{l,r,m}A_rB_m\\ &=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times B)_l \end{aligned} $$ である。

□

注意4.7（急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ 上で $L=Q\times P$）

$Q=(Q_j)_{j=1,2,3}$, $P=(P_j)_{j=1,2,3}$, $L=(L_j)_{j=1,2,3}$ をそれぞれHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素（定義3.3, 定義3.4）とする。このとき定理3.6より急減少関数空間 $\mathcal{S}_3\subset L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、 $$ \mathcal{S}_3\subset \bigcap_{j=1}^{3}(D(Q_j)\cap D(P_j)\cap D(L_j)), $$ $$ Q_j\mathcal{S}_3\subset \mathcal{S}_3,\quad P_j\mathcal{S}_3\subset \mathcal{S}_3,\quad L_j\mathcal{S}_3\subset \mathcal{S}_3\quad(j=1,2,3) $$ であり、 $$ L_jf=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}Q_kP_lf\quad(\forall f\in \mathcal{S}_3,j=1,2,3) $$ である。よって $\mathcal{S}_3$ 上で $L=Q\times P$ である。

補題4.8（$Q,P,L$ の交換関係）

$Q=(Q_j)_{j=1,2,3}$, $P=(P_j)_{j=1,2,3}$, $L=(L_j)_{j=1,2,3}$ をそれぞれHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素（定義3.3, 定義3.4）とする。このとき、

$(1)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ [Q_j,P_k]=i\delta_{j,k} $$ が成り立つ。また $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ L=Q\times P=-P\times Q,\quad Q\times Q=P\times P=0, $$ $$ L\cdot Q=Q\cdot L=L\cdot P=P\cdot L=0 $$ が成り立つ。

$(2)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ [L_j,Q_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}Q_l,\quad [L_j,P_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}P_l,\quad [L_j,L_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_l $$ が成り立つ。

$(3)$　$A,B$ をそれぞれ $Q,P,L$ のうちのいずれかとすると、任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ [L_j,(A\times B)_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times B)_l,\quad [L_j,A\cdot B]=0 $$ が成り立つ。また $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ L\times A+A\times L=2iA $$ が成り立つ。

$(4)$　$\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ L\times Q+Q\times L=2iQ,\quad L\times P+P\times L=2iP,\quad L\times L=iL $$ が成り立つ。また $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ \begin{aligned} &L\cdot (Q\times L)=(Q\times L)\cdot L=L\cdot (L\times Q)=(L\times Q)\cdot L=0,\\ &L\cdot (P\times L)=(P\times L)\cdot L=L\cdot (L\times P)=(L\times P)\cdot L=0 \end{aligned} $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$、任意の $f\in \mathcal{S}_3$ に対し、

$$ [Q_j,P_k]f=-i{\rm id}_j\partial_kf+i\partial_k{\rm id}_jf=i\delta_{j,k}f $$ であるから $\mathcal{S}_3$ 上で $[Q_j,P_k]=i\delta_{j,k}$ である。また注意4.7より $\mathcal{S}_3$ 上で $L=Q\times P$ である。補題4.6の $(3)$ より $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ (Q\times P+P\times Q)_j=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}[Q_k,P_l]=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}i\delta_{k,l}=0\quad(j=1,2,3) $$ であるから $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ L_j=(Q\times P)_j=-(P\times Q)_j $$ である。そして補題4.6の $(1)$ より $\mathcal{S}_3$ 上で $Q\times Q=P\times P=0$ であり、補題4.6の $(2)$ より $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ \begin{aligned} &L\cdot Q=-(P\times Q)\cdot Q=-P\cdot (Q\times Q)=0,\\ &Q\cdot L=Q\cdot (Q\times P)=(Q\times Q)\cdot P=0,\\ &L\cdot P=(Q\times P)\cdot P=Q\cdot (P\times P)=0,\\ &P\cdot L=-P\cdot (P\times Q)=-(P\times P)\cdot Q=0 \end{aligned} $$ である。

$(2)$　$\pi$ を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現（定義3.2）とし、$F_1,F_2,F_3\in {\rm Lie}({\rm SO}(3))$ を ${\rm SO}(3)$ の生成子（局所コンパクト群のユニタリ表現の定義8.1）、すなわち、

$$ F_1\colon=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad F_2\colon=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\quad F_3\colon=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} $$ とすると、角運動量作用素の定義（定義3.3）より、任意の $f\in \mathcal{S}_3$ に対し $L^2(\mathbb{R}^3)$ のノルムで、 $$ \begin{aligned} [L_j,Q_k]f&=i\frac{d}{d\theta}\big|_{\theta=0}(\pi(\exp(\theta F_j))Q_k\pi(\exp(-\theta F_j)))f\\ &=-i(F_jQ)_kf=i\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}Q_lf, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} [L_j,P_k]f&=i\frac{d}{d\theta}\big|_{\theta=0}(\pi(\exp(\theta F_j))P_k\pi(\exp(-\theta F_j)))f\\ &=i(PF_j)_kf=i\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}P_lf \end{aligned} $$ である。また局所コンパクト群のユニタリ表現の定理7.19の $(3)$ より任意の $f\in \mathcal{S}_3$ に対し、 $$ [L_j,L_k]f=[id\pi(F_j),id\pi(F_k)]=-[d\pi(F_j),d\pi(F_k)]=-d\pi([F_j,F_k])f=i\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_lf $$ である。

$(3)$　$(2)$ より任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ [L_j,A_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_l,\quad [L_j,B_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}B_l $$ であるから、補題4.5と補題4.6の $(6)$ より、$\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ \begin{aligned} &[L_j,(A\times B)_k] =\sum_{l,m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}[L_j,A_l]B_m+\sum_{l,m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}A_l[L_j,B_m]\\ &=i\sum_{l,m,a=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}\epsilon_{j,l,a}A_aB_m +i\sum_{i,m,b=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}\epsilon_{j,m,n}A_lB_b\\ &=i\left(\delta_{j,k}\sum_{a=1}^{3}A_aB_a-A_kB_j\right)+i\left(A_jB_k-\delta_{j,k}\sum_{b=1}^{3}A_bB_b\right)\\ &=i(A_jB_k-A_kB_j)=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times B)_l \end{aligned} $$ である。また任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ \begin{aligned} &[L_j,A\cdot B] =\sum_{k=1}^{3}[L_j,A_kB_k]=\sum_{k=1}^{3}[L_j,A_k]B_k+\sum_{k=1}^{3}A_k[L_j,B_k]\\ &=i\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_kB_k+i\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_kB_l=0 \end{aligned} $$ である。そして補題4.6の $(3)$ より任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ (L\times A+A\times L)_j=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}[L_k,A_l] =i\sum_{k,l,m=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\epsilon_{k,l,m}A_m=2iA_j $$ である。

$(4)$　$(3)$ より $\mathcal{S}_3$ 上で、

$$ L\times Q+Q\times L=2iQ,\quad L\times P+P\times L=2iP,\quad L\times L=iL $$ であるから、$(1)$ と補題4.6の $(2)$ より $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ \begin{aligned} &L\cdot(P\times L)=L\cdot (2iP)-L\cdot(L\times P)=-(L\times L)\cdot P=-iL\cdot P=0,\\ &(P\times L)\cdot L=P\cdot(L\times L)=iP\cdot L=0,\\ &L\cdot (L\times P)=(L\times L)\cdot P=iL\cdot P=0,\\ &(L\times P)\cdot L=2iP\cdot L-(P\times L)\cdot L=-P\cdot (L\times L)=-iP\cdot L=0,\\ &(L\times P)\cdot L=2iP\cdot L-(P\times L)\cdot L=-P\cdot (L\times L)=-iP\cdot L=0 \end{aligned} $$ である。全く同様にして $\mathcal{S}_3$ 上で、 $$ L\cdot (Q\times L)=(Q\times L)\cdot L=L\cdot (L\times Q)=(L\times Q)\cdot L=0 $$ が成り立つことも示せる。

□

定義4.9（Runge-Lenzベクトル作用素 $A$）

$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の対称作用素 $$ A_j\colon=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}+\frac{1}{2}(P\times L-L\times P)_j\quad(j=1,2,3) $$ を定義する。$A=(A_j)_{j=1,2,3}$ をRunge-Lenzベクトル作用素と言う。

補題4.10（$Q,P,L,H,A$ の交換関係）

$Q,P,L,H,A$ をそれぞれ $L^2(\mathbb{R^3})$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素、水素原子型Schrödinger作用素（定義4.1）、Runge-Lenzベクトル作用素とする。このとき、

$(1)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ [L_j,A_k]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_l $$ が成り立つ。

$(2)$　$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ A=-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}+P\times L-iP=-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}+iP-L\times P $$ が成り立つ。

$(3)$　$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ L\cdot A=A\cdot L=0 $$ が成り立つ。

$(4)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ [H,A_j]=0 $$ が成り立つ。

$(5)$　$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ A\cdot A=1+H(\lvert L\rvert^2+1) $$ が成り立つ。

$(6)$　任意の $j,k,l\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ [A_j,A_k]=-i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_lH $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　$\pi$　を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現（定義3.2）とすると、

$$ \pi(R)\lvert Q\rvert\pi(R)^{-1}=\lvert Q\rvert\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ （$\lvert Q\rvert$ は $\mathbb{R}^3\ni x\mapsto \lvert x\rvert\in [0,\infty)$ による掛け算作用素）であり、 $$ e^{i\theta L_j}=\pi(\exp(-\theta F_j))\quad(\forall \theta\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ であるから、Hilbert空間上の作用素論の命題6.9より、 $$ e^{i\theta L_j}\frac{1}{\lvert Q\rvert}e^{-i\theta L_j}=\frac{1}{\lvert Q\rvert}\quad(\forall \theta\in \mathbb{R},j=1,2,3) $$ である。よって $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で $\frac{1}{\lvert Q\rvert}$ と $L_1,L_2,L_3$ は可換であるから、任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash\{0\})$ 上で、 $$ \left[L_j,\frac{Q_k}{\lvert Q\rvert}\right]=\frac{1}{\lvert Q\rvert}[L_j,Q_k] $$ である。このことと補題4.8の $(2),(3)$ より求める結果を得る。

$(2)$　補題4.8の $(3)$ による。
$(3)$　補題4.8の $(4)$ による。
$(4)$　$\frac{1}{\lvert Q\rvert}$ と $L_1,L_2,L_3$ は $D(\mathbb{R}^3\backslash\{0\})$ 上で可換であるから、任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ \begin{aligned} \left[H,\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}\right] &=\left[-\Delta,\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}\right] =\sum_{k=1}^{3}\left[P_kP_k,\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}\right] =\sum_{k=1}^{3}P_k\left[P_k,\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}\right]+\sum_{k=1}^{3}\left[P_k,\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}\right]P_k\\ &=-i(P_j\lvert Q\rvert^2-(P\cdot Q)Q_j)\frac{1}{\lvert Q\rvert^3}-\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(\lvert Q\rvert^2P_j-Q_j(Q\cdot P))\\ &=i((P\times Q)\times Q)_j\frac{1}{\lvert Q\rvert^3}+\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(\lvert Q\rvert^2P_j-Q_j(Q\cdot P))\\ &=-i(L\times Q)_j\frac{1}{\lvert Q\rvert^3}+\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L)_j\\ &=-i(L\times Q)_j\frac{1}{\lvert Q\rvert^3}+\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L)_j\\ &=\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L-L\times Q)_j \end{aligned} $$ となる。ただし $2$ 段目から $3$ 段目において補題4.6の $(5)$ を用いた。また $H$ と $L_1,L_2,L_3$ は強可換である（命題4.3の $(3)$）なので、$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で可換であるから、$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ \begin{aligned} \left[H,\frac{1}{2}(P\times L-L\times P)\right]& =\frac{1}{2}([H,P]\times L-L\times [H,P])\\ &=\left[-\frac{1}{\lvert Q\rvert},P\right]\times L-L\times \left[-\frac{1}{\lvert Q\rvert},P\right]\\ &=\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L-L\times Q) \end{aligned} $$ である。よって、$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ \begin{aligned} &[H,A]=\left[H,-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}\right]+\left[H,\frac{1}{2}(P\times L-L\times P)\right]\\ &=-\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L-L\times Q)+\frac{i}{\lvert Q\rvert^3}(Q\times L-L\times Q)=0 \end{aligned} $$ である。

$(3)$　$(2)$ より $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ \begin{aligned} A\cdot A&=\left(-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}+iP-L\times P\right)\cdot\left(-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}+P\times L-iP\right)\\ &=1-\frac{Q}{\lvert Q\rvert}\cdot(P\times L-iP)-(iP-L\times P)\cdot\frac{Q}{\lvert Q\rvert}\\ &+(iP-L\times P)\cdot (P\times L-iP) \end{aligned} $$ であり補題4.6の $(2),(5)$ と補題4.8より、$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ -\frac{Q}{\lvert Q\rvert}\cdot(P\times L-iP)=-\frac{\lvert L\rvert^2}{\lvert Q\rvert}+\frac{i}{\lvert Q\rvert}(Q\cdot P), $$ $$ \begin{aligned} -(iP-L\times P)\cdot\frac{Q}{\lvert Q\rvert}&=-iP\cdot \frac{Q}{\lvert Q\rvert}+(L\times P)\cdot Q\frac{1}{\lvert Q\rvert}\\ &=-\frac{2}{\lvert Q\rvert}-\frac{i}{\lvert Q\rvert}(Q\cdot P)+L\cdot(P\times Q)\frac{1}{\lvert Q\rvert}\\ &=-\frac{2}{\lvert Q\rvert}-\frac{i}{\lvert Q\rvert}(Q\cdot P)-\frac{\lvert L\rvert^2}{\lvert Q\rvert}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (iP-L\times P)\cdot (P\times L-iP)&=\lvert P\rvert^2-(L\times P)\cdot (P\times L)\\ &=\lvert P\rvert^2-(L\times P)\cdot (P\times L)\\ &=\lvert P\rvert^2-L\cdot (P\times (P\times L))\\ &=\lvert P\rvert^2+L\cdot (\lvert P\rvert^2L)\\ &=\lvert P\rvert^2(\lvert L\rvert^2+1) \end{aligned} $$ である。よって $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ A\cdot A=1-\frac{2}{\lvert Q\rvert}(\lvert L\rvert^2+1)+\lvert P\rvert^2(\lvert L\rvert^2+1)=1+H(\lvert L\rvert^2+1) $$ である。

$(6)$　$(2)$ と補題4.6の $(5)$ より任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、

$$ \begin{aligned} A_j&=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}+(P\times L)_j-iP_j=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}-(P\times (P\times Q))_j-iP_j\\ &=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}-P_j(P\cdot Q)+\lvert P\rvert^2Q_j-iP_j=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}-(P\cdot Q)P_j+\lvert P\rvert^2Q_j\\ &=\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)Q_j-(P\cdot Q)P_j \end{aligned} $$ である。$A_j$ は対称作用素であるので $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ A_j=Q_j\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)-P_j(Q\cdot P) $$ でもある。よって $D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ \begin{aligned} A&=\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)Q-(P\cdot Q)P\\ &=Q\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)-P(Q\cdot P) \end{aligned} $$ であるから、$P\times P=Q\times Q=0$ であることと $\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}$, $P\cdot Q$ がそれぞれ $L_j$ と可換である（補題4.8の $(3)$）に注意して、$D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ 上で、 $$ \begin{aligned} A\times A&=-\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)Q\times P(Q\cdot P)-(P\cdot Q)P\times Q\left(\lvert P\rvert^2-\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)\\ &=-L\left(\lvert P\rvert^2(Q\cdot P)-\frac{1}{\lvert Q\rvert}(Q\cdot P)-(P\cdot Q)\lvert P\rvert^2+(P\cdot Q)\frac{1}{\lvert Q\rvert}\right)\\ &=-L\left(i\lvert P\rvert^2-i\frac{2}{\lvert Q\rvert}\right)=-iLH \end{aligned} $$ である。よって補題4.6の $(6)$ より、 $$ [A_j,A_k]=A_jA_k-A_kA_j=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(A\times A)_l=-i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_lH $$ である。

□

補題4.11（$H$ の離散固有空間は $L_j,A_j$ の定義域に含まれ、$L_j,A_j$ の作用に対して不変）

$Q,P,L,H,A$ をそれぞれ $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素、水素原子型Schrödinger作用素、Runge-Lenzベクトル作用素とし、$\lambda$ を $H$ の任意の離散固有値（命題4.3を参照）とする。このとき、

$(1)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(L_j),\quad L_j{\rm Ker}(\lambda-H)\subset {\rm Ker}(\lambda-H) $$ が成り立つ。

$(2)$　任意の $k,l\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(P_kL_l)\cap D(L_kP_l) $$ が成り立つ。

$(3)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D((P\times L)_j)\cap D((P\times L)_j)=D(A_j) $$ が成り立ち、任意の $v\in{\rm Ker}(\lambda-H)$ に対し、 $$ A_jv=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v+(P\times L)_jv-iP_jv $$ が成り立つ。

$(4)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)$（命題4.3を参照）、任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、$P_jv\in H^1(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元としてラプラシアン $\Delta$ を作用させたものは $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に属する。
$(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)$、任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、$\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元としてラプラシアン $\Delta$ を作用させたものは $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に属する。
$(6)$ 任意の $j\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ A_j{\rm Ker}(\lambda-H)\subset {\rm Ker}(\lambda-H) $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　$\pi$ を ${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現（定義3.2）とすると、

$$ \pi(R)H\pi(R)^{-1}=H\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ であるから、Hilbert空間上の作用素論の命題6.9より、 $$ \pi(R)E^H(\{\lambda\})\pi(R)^{-1}=H\quad(\forall R\in {\rm SO}(3)) $$ （$E^H$ は $H$ のスペクトル測度）である。よって $L^2(\mathbb{R}^3)$ の有限次元部分空間 ${\rm Ker}(\lambda-H)={\rm Ran}(E^H(\{\lambda\}))$ は $\pi$ 不変であり、$\pi$ を ${\rm Ker}(\lambda-H)$ に制限して得られる ${\rm SO}(3)$ のユニタリ表現は有限次元であることから作用素ノルムで連続であるので、任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$ に対し、局所コンパクト群のユニタリ表現の7.5より、 $$ \lim_{\theta\rightarrow0}\frac{1}{\theta}(\pi(\exp(\theta F_j))-1)v\in {\rm Ker}(\lambda-H) $$ が存在する。ゆえに任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$ に対し $v\in D(d\pi(F_j))=D(L_j)$ であり、$L_jv=id\pi(F_j)v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$ である。

$(2)$　任意の $k,l\in \{1,2,3\}$ を取る。$(1)$ より、

$$ L_l{\rm Ker}(\lambda-H)\subset {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)\subset D(P_k) $$ であるから、 $$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(P_kL_l) $$ である。補題4.8の $(2)$ より、 $$ P_lL_k=L_kP_l-i\sum_{m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}P_m\quad(\text{on $\mathcal{S}_3$}) $$ であるから、任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$、任意の $u\in \mathcal{S}_3$ に対し、 $$ \begin{aligned} (L_ku\mid P_lv)_2&=(P_lL_k u\mid v)_2=\left(L_kP_lu-i\sum_{m}\epsilon_{k,l,m}P_mu\mid v\right)_2\\ &=\left(u\mid P_lL_kv+i\sum_{m}\epsilon_{k,l,m}P_mv \right)_2 \end{aligned} $$ である。ここで定理3.6より $\mathcal{S}_3$ は $L_k$ の芯であるので、任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$、任意の $v\in D(L_k)$ に対し、 $$ (L_ku\mid P_lv)_2=\left(u\mid P_lL_kv+i\sum_{m}\epsilon_{k,l,m}P_mv \right)_2 $$ が成り立つ。よって任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$ に対し、 $$ P_lv\in D(L_k^*)=D(L_k) $$ であるので、 $$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(L_kP_l) $$ が成り立つ。

$(3)$　任意の $j\in \{1,2,3\}$ を取る。

$$ (P\times L)_j=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}P_kL_l,\quad (L\times P)_j=\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_kP_l $$ であるから、$(2)$ より、 $$ {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D((P\times L)_j)\cap D((L\times P)_j)=D(A_j) $$ が成り立つ。補題4.8の $(4)$ より、 $$ \frac{1}{2}(P\times L-L\times P)_j=iP_j-(L\times P)_j $$ であるから、任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$、任意の $u\in \mathcal{S}_3$ に対し、 $$ \begin{aligned} (u\mid A_jv)_2&=\left(u\mid-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v\right)_2 +\left(\frac{1}{2}(P\times L-L\times P)_ju\mid v\right)_2\\ &=\left(u\mid-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v\right)_2+(iP_ju-(L\times P)_ju\mid v)_2\\ &=\left(u\mid-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v\right)_2+\left(u\mid (P\times L)_jv-iP_jv\right)_2\\ &=\left(u\mid-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v+(P\times L)_jv-iP_jv\right)_2 \end{aligned} $$ である。$\mathcal{S}_3$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ において稠密であるので、 $$ A_jv=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v+(P\times L)_jv-iP_jv\quad(\forall v\in {\rm Ker}(\lambda-H)) $$ が成り立つ。

$(4)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)\subset D(H)=H^2(\mathbb{R}^3)$、任意の $j\in \{1,2,3\}$ を取る。$P_jv\in H^1(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元として $\Delta$ を作用させたもの

$$ \Delta P_jv=-i\partial_j\Delta v=-i\partial_j\left(\lambda+\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)v\in D'(\mathbb{R}^3) $$ が $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に属することを示すには、$\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元として $\partial_j$ を作用させたものが $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に属することを示せばよい。$v$ は $H$ の固有ベクトルであるので、命題4.3の $(4)$ より、 $$ v\in D(H)=H^2(\mathbb{R}^3),\quad v\in C_0(\mathbb{R}^3)\cap C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ である。そこでBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ を、 $$ f(x)\colon=\partial_j\left(\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\right) \quad(\forall x\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ なるものとして定義すると、 $$ \partial_j\left(\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\right)=-\frac{x_j}{\lvert x\rvert^3}v(x)+\frac{1}{\lvert x\rvert}\partial_jv(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ より $f\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ である。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3)$ に対し、Gaussの発散定理（微分方程式の初歩の定理2.3）と変数変換公式（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の補題17.4）より、 $$ \begin{aligned} &\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}f(x)\varphi(x)dx +\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\partial_j\varphi(x)dx =\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}\partial_j\left(\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\varphi(x)\right)dx\\ &=-\epsilon^2\int_{S_2}\frac{1}{\epsilon}v(\epsilon\omega)\varphi(\epsilon\omega)\omega_jd\mu_{S_2}(\omega)\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0) \end{aligned} $$ であり、$f,\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ であるからLebesgue優収束定理より、 $$ \int_{\lvert x\rvert>\epsilon}f(x)\varphi(x)dx+\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\partial_j\varphi(x)dx\rightarrow \int_{\mathbb{R}^3}f(x)\varphi(x)dx+\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\partial_j\varphi(x)dx \quad(\epsilon\rightarrow+0) $$ である。よって、 $$ \int_{\mathbb{R}^3}f(x)\varphi(x)dx+\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\partial_j\varphi(x)dx=0 $$ であるから、 $$ -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\lvert x\rvert}v(x)\partial_j\varphi(x)dx =\int_{\mathbb{R}^3}f(x)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3)) $$ が成り立つ。これより $\frac{1}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元として $\partial_j$ を作用させたものは $f\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ である。

$(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$、任意の $j\in \{1,2,3\}$ を取る。$v$ は $H$ の固有ベクトルなので、命題4.3の $(4)$ より、

$$ v\in D(H)=H^2(\mathbb{R}^3),\quad v\in C_0(\mathbb{R}^3)\cap C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ である。そこでBorel関数 $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}$ を、 $$ f(x)\colon=\Delta\left(\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\right)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ なるものとして定義すると、 $$ \Delta\left(\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\right)=\Delta\left(\frac{x_j}{\lvert x\rvert}\right)v(x)+2\nabla\left(\frac{x_j}{\lvert x\rvert}\right)\cdot \nabla v(x)+\frac{x_j}{\lvert x\rvert}\Delta v(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3\backslash\{0\}) $$ であることから $f\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ であることが分かる。任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^3)$ を取る。Gaussの発散定理（微分方程式の初歩の定理2.3）と変数変換公式（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の補題17.4）より、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}f(x)\varphi(x)dx-\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\Delta\varphi(x)dx =\int_{\lvert x\rvert>\epsilon}\left(\Delta\left(\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\right)\varphi(x)-\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\Delta\varphi(x)\right)dx\\ &=-\epsilon^2\int_{S_2}\nabla\left(\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\right)(\epsilon\omega)\varphi(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)+\epsilon^2\int_{S_2}\omega_jv(\epsilon\omega)\nabla\varphi(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)\\ &=-\epsilon^2\int_{S_2}\nabla\left(\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\right)(\epsilon\omega)\varphi(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)+ \epsilon^2\int_{S_2}\omega_jv(\epsilon\omega)\nabla \varphi(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)\\ &=-\epsilon^2\int_{S_2}\nabla\left(\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\varphi\right)(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)+2\epsilon^2\int_{S_2}\omega_jv(\epsilon\omega)\nabla \varphi(\epsilon\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ となる。$f,\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、 $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\text{$(*)$ の左辺})=\int_{\mathbb{R}^3}f(x)\varphi(x)dx-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{x_j}{\lvert x\rvert}v(x)\Delta\phi(x)dx\quad\quad(**) $$ であり、$v$ は有界なので、 $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}(\text{$(*)$ の右辺の第二項})=0\quad\quad(***) $$ である。今、 $$ F\colon [0,\infty)\ni r\mapsto \int_{S_2}\left(\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\varphi\right)(r\omega) d\mu_{S_2}(\omega)\quad(\forall r\in [0,\infty)) $$ とおくと、Lebesgue優収束定理より $F$ は連続関数で、さらに $(0,\infty)$ 上で微分可能であり、 $$ F'(r)=\int_{S_2}\nabla\left(\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\varphi\right)(r\omega)\cdot \omega d\mu_{S_2}(\omega)\quad(\forall r\in (0,\infty)) $$ である。よって、 $$ (\text{$(*)$ の右辺の第一項})=-\epsilon^2F'(\epsilon)\quad\quad(****) $$ である。 $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}(F(\epsilon)-F(0))=0 $$ であるから、平均値の定理より、$0$ に収束する正実数の列 $(\epsilon_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(\delta_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\epsilon_n{\rm Re}F'(\epsilon_n)=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\delta_n{\rm Im}F'(\delta_n)=0 $$ を満たすものが取れる。よって $(*),(**),(***),(****)$ より、 $$ \int_{\mathbb{R}^3}f(x)\varphi(x)dx-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{x_j}{\lvert x\rvert} v(x)\Delta\varphi(x)dx=0 $$ を得る。ゆえに $\frac{{\rm id}_j}{\lvert {\rm id}\rvert}v\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元として $\partial_j$ を作用させたものは $f\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ である。

$(6)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\lambda-H)$、任意の $j\in \{1,2,3\}$ を取る。$(3)$ より、

$$ A_jv=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v+(P\times L)_jv-iP_jv=-\frac{Q_j}{\lvert Q\rvert}v+\sum_{k,l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}P_kL_lv-iP_jv $$ であるから、$(1),(4),(5)$ より $A_jv\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に $D'(\mathbb{R}^3)$ の元として $\Delta$ を作用させたもの $\Delta A_jv$ は $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に属する。よって、 $$ \left(-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)A_jv\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)\quad\quad(*****) $$ である。また $v\in C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ であることと補題4.10の $(4)$ より、 $$ \left(-\Delta-\frac{2}{\lvert x\rvert}\right)A_j\varphi(x)v(x)=A_j\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert x\rvert}\right)\varphi(x)v(x)\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})) $$ であり、Urysohnの補題より $\mathbb{R}^3\backslash \{0\}$ に含まれる任意の閉球 $\overline{B(x,\epsilon)}=\{y\in \mathbb{R}^3:\lvert y-x\rvert\leq \epsilon\}\subset \mathbb{R}^3\backslash \{0\}$ に対し、$\varphi\in D(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ で、$\varphi(y)=1$ $(\forall y\in \overline{B(x,\epsilon)})$ を満たすものが取れるから、 $$ \left(-\Delta-\frac{2}{\lvert x\rvert}\right)A_jv(x)=A_j\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert x\rvert}\right)v(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}) $$ が成り立つ。よって $(*****)$ より、 $$ \left(-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)A_jv=A_j\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\right)v=A_jHv=\lambda A_jv $$ が成り立つ。ゆえに、 $$ \int_{\mathbb{R}^3}\lambda A_jv(x)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^3}A_jv(x)\left(-\Delta-\frac{2}{\lvert x\rvert}\right)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^3)) $$ であるから、 $$ (u\mid \lambda A_jv)_2=(Hu\mid A_jv)_2\quad(\forall u\in D(\mathbb{R}^3)) $$ である。$D(\mathbb{R}^3)$ は $H$ の芯である（命題4.3の $(1)$ ）から、 $$ (u\mid \lambda A_jv)_2=(Hu\mid A_jv)_2\quad(\forall u\in D(H)) $$ である。ゆえに、 $$ A_jv\in D(H^*)=D(H),\quad (\lambda-H)A_jv=0 $$ が成り立つ。

□

補題4.12

$Q,P,L,H,A$ をそれぞれ $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素、水素原子型Schrödinger作用素、Runge-Lenzベクトル作用素とし、$\lambda$ を $H$ の任意の離散固有値（命題4.3を参照）とする。このとき補題4.11より各 $j\in \{1,2,3\}$ に対し有限次元Hilbert空間 ${\rm Ker}(\lambda-H)$ 上の自己共役作用素 $$ \begin{aligned} &L_{\lambda,j}\colon {\rm Ker}(\lambda-H)\ni v\mapsto L_jv\in {\rm Ker}(\lambda-H),\\ &A_{\lambda,j}\colon {\rm Ker}(\lambda-H)\ni v\mapsto A_jv\in {\rm Ker}(\lambda-H) \end{aligned} $$ が定義できる。これらに対し ${\rm Ker}(\lambda-H)$ 上の自己共役作用素 $$ J_{\lambda,\pm,j}\colon=\frac{1}{2}(L_{\lambda,j}\pm (-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,j}) $$ を定義する（命題4.3の $(2)$ より $\lambda$ は負であることに注意）。このとき、

$(1)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ [L_{\lambda,j},L_{\lambda,k}]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}L_{\lambda,l},\quad [L_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}A_{\lambda,l},\quad [A_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(-\lambda)L_{\lambda,l} $$ が成り立つ。

$(2)$　有限次元Hilbert空間 ${\rm Ker}(\lambda-H)$ 上の自己共役作用素の三つ組 $L_{\lambda}=(L_{\lambda,j})_{j=1,2,3}$, $A_{\lambda}=(A_{\lambda,j})_{j=1,2,3}$ に対し、

$$ L_{\lambda}\cdot A_{\lambda}=A_{\lambda}\cdot L_{\lambda}=0,\quad \lvert A_{\lambda}\rvert^2=1+\lambda(\lvert L_{\lambda}\rvert^2+1) $$ が成り立つ。ただし $\lvert A_{\lambda}\rvert^2=A_{\lambda}\cdot A_{\lambda}$, $\lvert L_{\lambda}\rvert^2=L_{\lambda}\cdot L_{\lambda}$ である。

$(3)$　任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ [J_{\lambda,\pm,j},J_{\lambda,\pm ,k}]=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}J_{\lambda,\pm,l},\quad [J_{\lambda,+,j},J_{\lambda,-,k}]=0 $$ が成り立つ。

$(4)$　有限次元Hilbert空間 ${\rm Ker}(\lambda-H)$ 上の自己共役作用素の三つ組 $J_{\lambda,\pm}=(J_{\lambda,\pm,j})_{j=1,2,3}$ に対し、

$$ \lvert J_{\lambda,\pm}\rvert^2=J_{\lambda,\pm}\cdot J_{\lambda,\pm}=-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\lambda}\right) $$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　補題4.8の $(2)$ と補題4.10の $(1),(6)$ による。
$(2)$　補題4.10の $(3),(5)$ による。
$(3)$　$(1)$ より任意の $j,k\in \{1,2,3\}$ に対し、

$$ \begin{aligned} &[J_{\lambda,\pm,j},J_{\lambda,\pm,k}]=\frac{1}{4}\left([L_{\lambda,j},L_{\lambda,k}]\pm (-\lambda)^{-\frac{1}{2}}[L_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]\pm (-\lambda)^{-\frac{1}{2}}[A_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]+(-\lambda)^{-1}[A_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]\right)\\ &=\frac{i}{4}\sum_{l=1}^{3}\left(\epsilon_{j,k,l}L_{\lambda,l}\pm \epsilon_{j,k,l}(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,l}\mp \epsilon_{k,j,l}(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,l}+\epsilon_{j,k,l}L_{\lambda,l}\right)\\ &=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}\frac{1}{2}(L_{\lambda,l}\pm (-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,l})=i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}J_{\lambda,\pm,j} \end{aligned} $$ であり、 $$ \begin{aligned} &[J_{\lambda,+,j},J_{\lambda,-,k}]=\frac{1}{4}\left([L_{\lambda,j},L_{\lambda,k}]-(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}[L_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]+(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}[A_{\lambda,j},L_{\lambda,k}]-(-\lambda)^{-1}[A_{\lambda,j},A_{\lambda,k}]\right)\\ &=\frac{i}{4}\sum_{l=1}^{3}\left(\epsilon_{j,k,l}L_{\lambda,l}-\epsilon_{j,k,l}(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,l}-\epsilon_{k,j,l}(-\lambda)^{-\frac{1}{2}}A_{\lambda,l}-\epsilon_{j,k,l}L_{\lambda,l}\right)=0 \end{aligned} $$ である。

$(4)$　$(2)$ より、

$$ \begin{aligned} \lvert J_{\lambda,\pm}\rvert^2&=\frac{1}{4}\left(\lvert L_{\lambda}\rvert^2+(-\lambda)^{-1}\lvert A_{\lambda}\rvert^2\right) =\frac{1}{4}(\lvert L_{\lambda}\rvert^2+(-\lambda)^{-1}(1+\lambda(\lvert L_{\lambda}\rvert^2+1)))\\ &=\frac{1}{4}\left(\lvert L_{\lambda}\rvert^2-\frac{1}{\lambda}-\lvert L_{\lambda}\rvert^2-1\right)=-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\lambda}\right) \end{aligned} $$ である。

□

定理4.13（水素原子型Schrödinger作用素の離散固有値の固有空間の方位量子化）

水素原子型Schrödinger作用素 $$ H=-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3) $$ の任意の離散固有値 $\lambda$ はある $n\in \mathbb{N}$ に対し、 $$ \lambda=-\frac{1}{n^2} $$ と表される。そして $H$ の離散固有値 $\lambda=-\frac{1}{n^2}$ の固有空間 ${\rm Ker}(\lambda-H)={\rm Ran}E^H(\{\lambda\})={\rm Ran} E^H(\{-\frac{1}{n^2}\})$ は、角運動量作用素 $L=(L_1,L_2,L_3)$ と $\lvert L\rvert^2=\overline{L_1^2+L_2^2+L_3^2}$（定理3.7を参照）に対し、 $$ \begin{aligned} &{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)=\bigoplus_{l=0}^{n-1}{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})\\ &=\bigoplus_{l=0}^{n-1}\bigoplus_{m=-l}^{l}{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})\quad(j=1,2,3)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ と分解される。ただし $E^H,E^{\lvert L\rvert^2},E^{L_j}$ はそれぞれ自己共役作用素 $H, \lvert L\rvert^2,L_j$ のスペクトル測度である。

Proof.

$H$ の離散固有値 $\lambda$ に対し補題4.12における ${\rm Ker}(\lambda-H)={\rm Ran}E^H(\{\lambda\})$ 上の自己共役作用素の三つ組 $L_{\lambda}=(L_{\lambda,j})_{j=1,2,3}$, $J_{\lambda}=(J_{\lambda,j})_{j=1,2,3}$ を考える。補題4.12の $(3)$ より、 $$ [-iJ_{\lambda,\pm,j},-iJ_{\lambda,\pm,k}]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(-iJ_{\lambda,\pm,l})\quad(\forall j,k\in \{1,2,3\}) $$ であるから、$(-iJ_{\lambda,\pm,j})_{j=1,2,3}$ と ${\rm Ker}(\lambda-H)$ の関係は局所コンパクト群のユニタリ表現の定理8.3における $(d\pi(A_j))_{j=1,2,3}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ の関係に等しい。そして補題4.12の $(4)$ より、 $$ \lvert J_{\lambda,\pm}\rvert^2=-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\lambda}\right) $$ であるから、局所コンパクト群のユニタリ表現の定理8.3より $J_{\lambda,+,j},J_{\lambda,-,j}$ の最大固有値は等しく、それはある $l_0\in \mathbb{Z}_+$ によって $\frac{l_0}{2}$ と表され、さらに、 $$ \frac{l_0}{2}\left(\frac{l_0}{2}+1\right)=\lvert J_{\lambda,\pm}\rvert^2=-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\lambda}\right) $$ が成り立つ。よって $n\colon=l_0(l_0+1)\in \mathbb{N}$ とおけば、 $$ \lambda=-\frac{1}{n^2} $$ である。今、$(*)$ が成り立つことを示す。そのためには定理3.7より ${\rm Ker}(\lambda-H)={\rm Ran}E^H(\{\lambda\})$ 上で $\lvert L_{\lambda}\rvert^2$ の最大固有値が $n=l_0(l_0+1)$ であることを示せば十分である。補題4.12の $(3)$ より、 $$ [-iL_{\lambda,j},-iL_{\lambda,k}]=\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{j,k,l}(-iL_{\lambda,j})\quad(\forall j,k\in \{1,2,3\}) $$ であるから $(-iL_{\lambda,j})_{j=1,2,3}$ と ${\rm Ker}(\lambda-H)$ の関係は局所コンパクト群のユニタリ表現の定理8.3における $(d\pi(A_j))_{j=1,2,3}$ と $\mathcal{H}_{\pi}$ の関係に等しい。よって $\lvert L_{\lambda}\rvert^2$ の最大固有値が $l_0(l_0+1)$ であることを示すには $L_{\lambda,j}$ の最大固有値が $l_0$ であることを示せば十分である。補題4.12の $(3)$ より $(-iJ_{\lambda,+,j})_{j=1,2,3}$ と $(-iJ_{\lambda,-,j})_{j=1,2,3}$ は互いに可換であるから、局所コンパクト群のユニタリ表現の定理8.3より $J_{\lambda,+,j}$ と $J_{\lambda,-,j}$ は最大固有値 $\frac{l_0}{2}$ の同時固有ベクトルを持つ。そして、 $$ L_{\lambda,j}=J_{\lambda,+,j}+J_{\lambda,-,j}\quad\quad(**) $$ であるから $L_{\lambda,j}$ は固有値 $l_0$ を持つ。補題4.12の $(1)$ より、 $$ [L_{\lambda,j},J_{\lambda,\pm,j}]=\frac{1}{2}[L_{\lambda,j},L_{\lambda,j}]\pm (-\lambda)^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{2}[L_{\lambda,j},A_{\lambda,j}]=0 $$ であるから $L_{\lambda,j},J_{\lambda,+,j},J_{\lambda,-,j}$ は互いに可換である。ゆえに $L_{\lambda,j}$ の固有空間は $L_{\lambda,j},J_{\lambda,+,j},J_{\lambda,-,j}$ の同時固有空間に分解できるから、もし $L_{\lambda,j}$ が $l_0$ より大きい固有値を持つならば、$(**)$ より、$J_{\lambda,+},J_{\lambda,-}$ のうちのいずれか一方は $\frac{l_0}{2}$ より大きい固有値を持つこととなり、$\frac{l_0}{2}$ が $J_{\lambda,\pm,j}$ の最大固有値であることに矛盾する。よって $L_{\lambda,j}$ の最大固有値は $l_0$ であるので、$\lvert L_{\lambda}\rvert^2$ の最大固有値は $l_0(l_0+1)$ である。

□

水素原子型Schrödinger作用素 $$ H=-\Delta-\frac{2}{\lvert {\rm id}\rvert}\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3) $$ の真性スペクトルと離散スペクトル（Hilbert空間上の作用素論の定義14.1）は、 $$ \sigma_{\rm ess}(H)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm d}(H)=\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}_{n\in \mathbb{N}} $$ である。そして任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $H$ の離散固有値 $-\frac{1}{n^2}$ の固有空間は、角運動量作用素 $(L_j)_{j=1,2,3}$ と $\lvert L\rvert^2=\overline{L_1^2+L_2^2+L_3^2}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right) =\bigoplus_{l=0}^{n-1}{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})\\ &=\bigoplus_{l=0}^{n-1}\bigoplus_{m=-l}^{l}{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})\quad(j=1,2,3)\quad\quad(*) \end{aligned} $$ と分解でき、さらに、 $$ {\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})=\mathbb{C}f^n_{l,j,m}\quad\quad(**) $$ （定義4.19を参照）が成り立ち、したがって、 $$ \dim{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)=n^2 $$ が成り立つ。

Proof.

$H$ の真性スペクトル $\sigma_{\rm ess}(H)$ が $[0,\infty)$ であることは命題4.3の $(2)$ で述べてある。そして定理4.13より、 $$ \sigma_{\rm d}(H)\subset \left\{-\frac{1}{n^2}\right\}_{n\in \mathbb{N}} $$ であり、補題4.18より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $-\frac{1}{n^2}$ は $H$ の負の固有値であるから、 $$ -\frac{1}{n^2}\in \sigma(H)\backslash [0,\infty)=\sigma(H)\backslash \sigma_{\rm ess}(H)=\sigma_{\rm d}(H)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ である。よって、 $$ \sigma_{\rm d}(H)=\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}_{n\in\mathbb{N}} $$ が成り立つ。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $H$ の離散固有値 $-\frac{1}{n^2}$ の固有空間が $(*)$ のように分解できることは定理4.13による。今、任意の $n\in \mathbb{N}$, $l\in \{0,1,\ldots,n-1\}$, $j\in \{1,2,3\}$, $m\in \{-l,-l+1,\ldots,l\}$ に対し $(**)$ が成り立つことを示す。そのためには任意の $$ f=U^{-1}(R\otimes v^l_{j,m})\in {\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\}) $$ を取り、$f$ が $f^n_{l,j,m}$ のスカラー倍であることを示せばよい。$f$ は $H$ の固有ベクトルであるから命題4.3の $(4)$ より $f\in C_0(\mathbb{R}^3)\cap C^\infty(\mathbb{R}^3\backslash \{0\})$ である。よって $R\in L^2([0,\infty))$ は $(0,\infty)$ 上で滑らかであり、 $$ \lim_{r\rightarrow\infty}\frac{1}{r}R(r)=0\quad\quad(***) $$ を満たす。任意の $\varphi\in D((0,\infty))$ を取る。定理3.8より、 $$ HU^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})=U^{-1}\left(\left(-\varphi' '+\frac{l(l+1)}{r^2}\varphi-\frac{2}{r}\varphi\right)\otimes v^l_{j,m}\right) $$ であるから、 $$ \begin{aligned} (U^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})\mid Hf)_{L^2(\mathbb{R}^3)}&=\left(HU^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})\mid U^{-1}(R\otimes v^l_{j,m})\right)\\ &=\left(-\varphi' '+\frac{l(l+1)}{r^2}\varphi-\frac{2}{r}\varphi\mid R\right)_{L^2([0,\infty))}\\ &=\int_{(0,\infty)}\left(-R' '(r)+\frac{l(l+1)}{r^2}R(r)-\frac{2}{r}R(r)\right)\overline{\varphi(r)}dr \end{aligned} $$ である。一方、$Hf=-\frac{1}{n^2}f$ であるから、 $$ \begin{aligned} (U^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})\mid Hf)_{L^2(\mathbb{R}^3)}&=-\frac{1}{n^2}\left(U^{-1}(\varphi\otimes v^l_{j,m})\mid U^{-1}(R\otimes v^l_{j,m})\right)_{L^2(\mathbb{R}^3)}\\ &=-\frac{1}{n^2}(\varphi\mid R)_{L^2([0,\infty))}=-\frac{1}{n^2}\int_{(0,\infty)}R(r)\overline{\varphi(r)}dr \end{aligned} $$ である。よって、 $$ \begin{aligned} \int_{(0,\infty)}\left(-R' '(r)+\frac{l(l+1)}{r^2}R(r)-\frac{2}{r}R(r)\right)\overline{\varphi(r)}dr=-\frac{1}{n^2}\int_{(0,\infty)}R(r)\overline{\varphi(r)}dr\quad(\forall \varphi\in D((0,\infty))) \end{aligned} $$ が成り立つ。ゆえに、 $$ -R' '(r)+\frac{l(l+1)}{r^2}R(r)-\frac{2}{r}R(r)=-\frac{1}{n^2}R(r)\quad(\forall r\in (0,\infty)) $$ が成り立つ。これと $(***)$ と補題4.17より、$R$ は $R^n_l$ のスカラー倍である。よって $f$ は $f^n_l$ のスカラー倍であるので、$(**)$ が成り立つ。これより、 $$ \dim {\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})=1 $$ であるから、$(*)$ より、 $$ \begin{aligned} \dim {\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right) &=\dim \bigoplus_{l=0}^{n-1}\bigoplus_{m=-l}^{l}{\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})\\ &=\sum_{l=0}^{n-1}\sum_{m=-l}^{l}\dim {\rm Ran}E^H\left(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\right)E^{\lvert L\rvert^2}(\{l(l+1)\})E^{L_j}(\{m\})\\ &=\sum_{l=0}^{n-1}\sum_{m=-l}^{l}1=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n(n-1)+n=n^2 \end{aligned} $$ である。

□

参考文献

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無限量子系のための作用素環論

脚注

↑ 掛け算作用素の定義についてはHilbert空間上の作用素論の定義10.2を参照。${\rm id}_j\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto x_j\in \mathbb{R}$ は実数値であるから、${\rm id}_j$による掛け算作用素は自己共役作用素である（Hilbert空間上の作用素論の命題6.8を参照）。
↑ 緩増加超関数とFourier変換の命題18.3を参照。
↑ $f(Q)$ は互いに強可換な自己共役作用素の組 $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$ に対する結合スペクトル測度による $f$ の積分である。Hilbert空間上の作用素論の定義5.15を参照。
↑ $T_{-y}$ は $-y$ による平行移動、すなわち任意の $h\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し、$T_{-y}h(x)=h(x+y)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N$) である。
↑ $L^2$ 空間のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定義12.9を参照。
↑ 有界線形作用素のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定理12.12を参照。
↑ 緩増加超関数のFourier変換の定義（緩増加超関数とFourier変換の定義18.1）を参照。
↑ $L_{\rm loc}^p(\Omega)$ の定義については超関数の定義と基本操作の定義5.1を参照
↑ $\widetilde{\mathcal{M}}$ はvon Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体である。Hilbert空間上の作用素論の定義19.1を参照。
↑ ${\rm Ker}(S^*\pm i)=({\rm Ran}(S\mp i))^{\perp}$ であることに注意。Hilbert空間上の作用素論の命題3.9の $(5)$ を参照。
↑ 例えばベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系16.12の $(3)$ を参照。
↑ 真性スペクトル。離散固有値の定義についてはHilbert空間上の作用素論の定義14.1を参照。
↑ 極座標変換についてはベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4、$L^2$ 空間のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定義12.9を参照。
↑ 勾配の極座標（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の命題18.2より直交座標である）による表示（ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の命題12.5]）を用いた。

[1] 掛け算作用素の定義についてはHilbert空間上の作用素論の定義10.2を参照。${\rm id}_j\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto x_j\in \mathbb{R}$ は実数値であるから、${\rm id}_j$による掛け算作用素は自己共役作用素である（Hilbert空間上の作用素論の命題6.8を参照）。

[2] 緩増加超関数とFourier変換の命題18.3を参照。

[3] $f(Q)$ は互いに強可換な自己共役作用素の組 $Q=(Q_1,\ldots,Q_N)$ に対する結合スペクトル測度による $f$ の積分である。Hilbert空間上の作用素論の定義5.15を参照。

[4] $T_{-y}$ は $-y$ による平行移動、すなわち任意の $h\in L^2(\mathbb{R}^N)$ に対し、$T_{-y}h(x)=h(x+y)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N$) である。

[5] $L^2$ 空間のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定義12.9を参照。

[6] 有界線形作用素のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定理12.12を参照。

[7] 緩増加超関数のFourier変換の定義（緩増加超関数とFourier変換の定義18.1）を参照。

[8] $L_{\rm loc}^p(\Omega)$ の定義については超関数の定義と基本操作の定義5.1を参照

[9] $\widetilde{\mathcal{M}}$ はvon Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体である。Hilbert空間上の作用素論の定義19.1を参照。

[10] ${\rm Ker}(S^*\pm i)=({\rm Ran}(S\mp i))^{\perp}$ であることに注意。Hilbert空間上の作用素論の命題3.9の $(5)$ を参照。

[11] 例えばベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の系16.12の $(3)$ を参照。

[12] 真性スペクトル。離散固有値の定義についてはHilbert空間上の作用素論の定義14.1を参照。

[13] 極座標変換についてはベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4、$L^2$ 空間のテンソル積についてはHilbert空間上の作用素論の定義12.9を参照。

[14] 勾配の極座標（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の命題18.2より直交座標である）による表示（ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の命題12.5]）を用いた。

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量子力学の数学的構造に関わる関数解析

1. Weyl型CCRの表現とHeisenberg群、Schrödinger表現、Stone-vonNeumannの一意性定理

定義1.1（$\mathbb{R}^{2N}$ の標準シンプレクティック形式）

注意1.2（標準シンプレクティック形式の非退化性）

定義1.3（Heisenberg群）

定義1.4（Weyl型CCRの表現）

定義1.5（Weyl型CCRの表現に対応するHeisenberg群のユニタリ表現）

定理1.6（Heisenberg群のユニタリ表現がWeyl型CCRの表現に対応するユニタリ表現であるための条件）

Proof.

定義1.7（Weyl型CCRの表現の既約性）

定義1.8（自由度 $N$ のSchrödinger表現）

定理1.9（Schrödinger表現の位置作用素と運動量作用素の基本的な性質）

Proof.

定理1.10（Fourier-Wigner変換の性質）

Proof.

定義1.11（Fourier-Wigner変換）

定理1.12（Schrödinger表現の既約性）

Proof.

補題1.13

Proof.

定理1.14（Stone-von Neumannの一意性定理）

Proof.

定理1.15（Stone-von Neumannの一意性定理2）

Proof.

2. Weyl型CCRのBHJ表現、調和振動子型Schrödinger作用素のスペクトル構造の決定

定義2.1（Schrödinger作用素）

例2.2（自由型Schrödinger作用素のスペクトル構造）

例2.3（Coulomb型ポテンシャルを持つSchrödinger作用素）

例2.4（調和振動子型Schrödinger作用素）

定義2.5（ユニラテラルシフト、昇降作用素）

定理2.6（BHJ（Born-Heisenberg-Jordan）表現の基本性質）

Proof.

定義2.7（BHJ（Born-Heisenberg-Jordan）表現）

定理2.8（調和振動子型Schrödinger作用素のスペクトル構造）

Proof.

3. 角運動量作用素、回転対称ポテンシャルを持つSchrödinger作用素の方位量子化

命題3.1（${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現）

Proof.

定義3.2（${\rm SO}(3)$ の $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上への正則表現）

定義3.3（$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の角運動量作用素 $L$）

定義3.4（$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素 $Q$ と運動量作用素 $P$）

補題3.5（自己共役作用素の芯の一つの判定法）

Proof.

定理3.6（$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の位置作用素、運動量作用素、角運動量作用素の芯としての $D(\mathbb{R}^3)$ と $\mathcal{S}_3$）

Proof.

定理3.7（$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の角運動量作用素の固有空間への分解）

Proof.

定理3.8（回転対称ポテンシャルを持つSchrödinger作用素の方位量子化）

Proof.

4. 水素原子型Schrödinger作用素のスペクトル構造の決定

定義4.1（水素原子型Schrödinger作用素 $H$）

注意4.2（水素原子型Schrödinger作用素のパラメータ変換）

命題4.3（水素原子型Schrödinger作用素の基本性質）

Proof.

定義4.4（ベクトル作用素）

補題4.5（Levi-Cibitaの記号の基本性質）

Proof.

補題4.6（作用素の交換関係に関する基本補題）

Proof.

注意4.7（急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ 上で $L=Q\times P$）

補題4.8（$Q,P,L$ の交換関係）

Proof.

定義4.9（Runge-Lenzベクトル作用素 $A$）

補題4.10（$Q,P,L,H,A$ の交換関係）

Proof.

補題4.11（$H$ の離散固有空間は $L_j,A_j$ の定義域に含まれ、$L_j,A_j$ の作用に対して不変）

Proof.

補題4.12

Proof.

定理4.13（水素原子型Schrödinger作用素の離散固有値の固有空間の方位量子化）

Proof.

定義4.14（Laguerre多項式）

命題4.15（Laguerre多項式が満たす微分方程式）

Proof.

補題4.16

Proof.

補題4.17

Proof.