入門テキスト「位相空間論」
入門テキスト「位相空間論」
このテキストでは、現代数学のどの方面に進むにあたっても必要となる位相空間論の基本事項を、証明をつけた形で解説する。読者には、集合と写像の言葉への慣れを期待する。たとえば、和集合・共通部分などの集合の操作や、全射・単射・像・逆像などの概念には親しんでいるものとする。さらに、具体例を理解するためには、連続性の $\varepsilon$-$\delta$ 論法を用いた定義や、数列の収束の定義、実数の基本性質などを理解していることが望ましい。
現代数学では、点の集まりとしての集合に構造を付加することにより、多彩な概念を構成していく。例えば、代数学においては、集合に加法や乗法などの演算という構造を付加して群、環、体などといった概念を考える。位相空間は、集合にある種の構造を付加することで、写像の連続性や点列の収束など、ある種の「近さ」にまつわる議論を可能にしたものである。つまり、端的に言えば、位相空間とは「近さ」が定義される場所である。
座標平面 $\mathbb{R}^2$ の中には、我々が慣れ親しんだ数多くの図形、たとえば、線分、円、三角形、四角形がある。こうした図形には、自然に「近さ」の概念があると考えられるが、実際にこれらの図形は $\mathbb{R}^2$ からの相対位相という自然な方法で、位相空間とみなすことができる。しかし、図形を位相空間とみなすことは、同時に「近さ」以外の要素を捨象することでもある。その結果として、通常では同じとは思えない図形が、位相空間として同一（正式な用語では「同相」）となることがある。実際、いま述べた円、三角形、四角形はすべて互いに同相である。しかし、線分はこれらと同相ではない。このように、位相空間の立場では図形がかなり「粗く」分類されることになるが、この立場での図形の分類を目指す学問が位相幾何学である。
上に述べたことからも、位相空間論は幾何学の基礎として重要なことは推察されると思うが、位相空間論の重要性は幾何学に留まるものではない。数学の様々な分野で、直観的には図形とは思えない集合に位相空間の構造を与えることで、ある種の図形的考察が可能となる。一つ例を挙げれば、関数解析学においては、関数のなす集合に位相空間としての構造を与えることで「関数空間」をつくり、関数を点とする一種の図形として取り扱うことで解析学の問題解決に豊富な道具を提供している。
この章では、Euclid空間を例に、開集合の概念と連続写像との関係を調べ、位相空間への導入とする。
この章では、位相空間を開集合系の公理により定義し、距離空間から位相空間が定まることなどを述べる。
この章では、位相空間における点の近傍の概念、そしてそのうち「代表的なものを集めた」ものである基本近傍系について述べる。また、点列の収束の概念を導入する。
この章では、位相空間の開集合のうち「代表的なものを集めた」ものである開基について述べる。また、その一般化である準開基についても述べる。
この章では、位相空間の部分集合に対してそれに「いくらでも近い点」を付け加える操作である閉包、およびそれと密接に関連した操作である内部と境界について述べる。
この章では、位相空間の間の連続写像を定義し、連続性のさまざまな判定法について述べた後、二つの位相空間が「同一」であることを表す同相の概念について説明する。
この章では、位相空間の部分集合を位相空間とみなす標準的な方法である相対位相を導入し、その「写像版」として埋め込みの概念を定義する。
この章では、位相空間から「貼り合わせ」を行って新しい位相空間をつくるのに必要な商位相の概念を導入し、その「写像版」として商写像の概念を定義する。また、相対位相と商位相の関係について論じる。
この章では、位相空間の直積集合や直和集合を位相空間とみなす標準的な方法である直積位相と直和位相を導入する。直積位相に関しては簡単な場合である有限個の直積について扱った後、一般の場合へと進む。
この章では、位相空間がある意味で「有限の大きさをもつ」ことを表すコンパクト性の概念を導入する。これは位相空間論全般にわたって最も重要な概念であるといえる。
この章では、位相空間が「つながっている」あるいは「二つに切り離せない」ことを表す連結性の概念を導入する。これと類似した概念として弧状連結性も合わせて論じられる。
この章では、位相空間の点や部分集合同士を開集合で分離できることを主張する条件である分離公理のうち、とくにHausdorff性について述べる。この性質とコンパクト性との関係はとくに重要である。
この章では、より強い分離公理である正則性と正規性について述べる。正規性の示す著しい性質として、実数値連続関数の存在定理であるUrysohnの補題やTietzeの拡張定理が証明される。
この章では、位相空間論と関連の深い距離空間の性質として、ある意味での「すき間のなさ」を意味する完備性を主に取り上げる。合わせて、距離空間の間の一様連続写像についても扱う。
この章では、距離空間のコンパクト性の判定条件を述べたのち、距離空間の可算個の直積が距離化可能であることを示し、それを用いてUrysohnの距離化定理を証明する。
この章では、各点がコンパクトな近傍をもつ空間である局所コンパクト空間の基本的な性質について述べる。局所コンパクトHausdorff空間に対する一点コンパクトの構成も行う。
この章では、任意の個数のコンパクト空間の直積がコンパクトとなることを述べたTychonoffの定理を証明する。その準備として、コンパクト性の強力な判定条件であるAlexanderの準開基定理も示される。
参考文献
- Ryszard Engelking, "General Topology"
- 彌永昌吉, 彌永健一, "集合と位相"
- 松坂和夫, "集合・位相入門"
