Sobolev空間とSobolevの不等式

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ここでは $p\neq 2$ を含めた $L^p$ 空間におけるSobolev空間とSobolev空間に対する一般的な埋め込み定理であるSobolevの不等式について主に取り扱う。

記法および注意

ここではとくに断らない限り実数値関数のみを取り扱う。また断りなく次の記法を用いる:

• $n\in\Zp$ とし、$\Omega$ を $\R^n$ における開集合とする。
• $x\in\R^n$、$r>0$ について $B_r(x)$ で $\R^n$ の半径が $r$、中心が $x$ の開球を表す。中心や半径を具体的に指定しない場合は $B_r$ や $B(x)$ などと略すことがある。
• $\H^s$ で $s$ 次元Hausdorff測度、$\L^n$ で $n$ 次元Lebesgue外測度(Hausdorff測度とarea_coarea_formulaの定義30。命題31も参照。)を表し、$\L^n$ -a.e. を単にa.e.とかき、また誤解のおそれがなければ省略する。
• 多重指数 $\alpha$ について $\alpha$ 階偏微分を $D^\alpha$ で表す。また $\alpha=ke_i$ のときは $D^\alpha u$ を $D^k_i u$ と表す。$D^1_i u$ は $D_iu$ と表し、$\R^n$ 値関数 $(D_1u,\ldots D_nu)$ を $Du$ と表す。
• $n=1$ のときは $D^k_1 u$ を $u^{(k)}$ と表す。また $u^{(1)}$、$u^{(2)}$ はそれぞれ $u'$、$u^{\prime\prime}$ と表す。
• $\mu\in\R^n\backslash\{0\}$ について、$D_\mu$ で $\mu$ -方向微分を表す。とくに $u$ が微分可能であるとき $D_\mu u=\mu\cdot Du$ である。
• $p\in[1,\infty]$ について $p'$ でそのHölder共役指数、すなわち $p^{-1}+p'^{-1}=1$ をみたす $p'\in[1,\infty]$ を表す。
• $\norm{\cdot}_{p;\Omega}$ で $L^p(\Omega)=L^p(\Omega,\L^n)$ のノルムを表す。また、相対開集合 $T\subset\pOm$ について $\norm{\cdot}_{p;T}$ で $L^p(T,\H^{n-1})$ のノルムを表す。誤解のおそれがなければ $\Omega$ と $T$ は省略することがある。
• $C^k(\Ombar)$、$C^{k,\alpha}(\Ombar)$ のノルムにはHölder空間の基本事項で定義した記号を用いる。
• $Q\colon=(-1,1)^n$、$Q_+\colon=(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$、$Q_0\colon=(-1,1)^{n-1}\times\{0\}$ とする。
• $\Omega,\Omega'\subset\R^n$ を開集合とし、$f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ と $g\colon\Omega\to\R$ を $\L^n$ -可測関数とする。

$$f*g(x)\colon=\int_{\Omega}f(x-y)g(y)dy$$ が a.e. $x\in\Omega'$ で定義されるとき $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義されるといい、これを $f$ と $g$ の合成積という。

$f*g$ は次のYoungの不等式をみたす:

補題 1 (Youngの不等式)

$p,q\in[1,\infty]$ が $p^{-1}+q^{-1}\ge 1$ をみたすとする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega'-\Omega\to\R$ は $$M_1\colon=\sup_{x\in\Omega'}\norm{f(x-\cdot)}_{p;\Omega}\lt\infty,M_2\colon=\sup_{y\in\Omega}\norm{f(\cdot-y)}_{p;\Omega'}\lt\infty$$ をみたすとする。$g\in L^q(\Omega)$ とすると $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$r\colon=(p^{-1}+q^{-1}-1)^{-1}\in[1,\infty]$ とすると $$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_{q;\Omega}.$$ ただし $p=\infty$、$q=1$、$r=\infty$ の場合は $\frac{p}{r}=0$ とする。

とくに $f\in L^p(\Omega'-\Omega)$ のとき $$\norm{f*g}_{r;\Omega'}\le\norm{f}_{p;\Omega'-\Omega}\norm{g}_{q;\Omega}.$$

Proof.

$p^{-1}+q^{-1}=1$ のときは $r=\infty$ で、Hölderの不等式より $x\in\Omega'$ について $$\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\le M_1\norm{g}_q$$ となるので $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され、$\norm{f*g}_\infty\le M_1\norm{g}_q$。

$p^{-1}+q^{-1}\gt 1$ の場合を示す。このとき $p,q,r\in[1,\infty)$ で、Hölderの不等式より \begin{align*} \left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)||g(y)|dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}&=\left(\int_{\Omega'}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^{p(1-q^{-1})}|g(y)|^{q(1-p^{-1})}(|f(x-y)|^p|g(y)|^q)^{p^{-1}+q^{-1}-1}dy\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\ &\le\left(\int_{\Omega'}\left(\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^pdy\right)^{1-q^{-1}}\left(\int_{\Omega}|g(y)|^qdy\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)^{p^{-1}+q^{-1}-1}\right)^rdx\right)^{r^{-1}}\\ &\le\left(\int_{\Omega'} M_1^{pr(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{qr(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}|f(x-y)|^p|g(y)|^qdy\right)dx\right)^{r^{-1}}\\ &=M_1^{p(1-q^{-1})}\norm{g}_q^{q(1-p^{-1})}\left(\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega'} |f(x-y)|^p|g(y)|^qdx\right)dy\right)^{r^{-1}}\\ &\le M_1^{p(p^{-1}-r^{-1})}\norm{g}_q^{q(q^{-1}-r^{-1})}\left(M_2^p\norm{g}_q^q\right)^{r^{-1}}\\ &=M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q. \end{align*} よって $f*g$ は $\Omega'$ 上で定義され $$f*g\in L^r(\Omega'),\norm{f*g}_r\le M_1^{1-\frac{p}{r}}M_2^\frac{p}{r}\norm{g}_q.$$

□

• 実数値関数からなる線形空間 $X$ に対し、各成分が $X$ に属する $\R^m$ 値関数の空間を $m$ 個の $X$ の直積と同一視して $X^m$ とかく。

$\pOm$ への条件

Sobolev空間の一部の性質は、$\Omega\subset\R^n$ が一般の開集合の場合は成立せず、主に $\pOm$ に関する適切な仮定の下で成立する。そのような性質はなめらかな領域ではすべて成立するが、以下に述べるようなより弱い仮定の下で考えることもある。

定義 2 (線分条件)

相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in T$ について次をみたす $\xi$ の開近傍 $U_\xi\subset\R^n$ と $y_\xi\in\R^n$ が存在するとき $T$ は線分条件をみたすという: $$\{x+ty_\xi\colon x\in\overline{U_\xi\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega.\tag{$\dagger$}\label{segm}$$ $\pOm$ が線分条件をみたすとき $\Omega$ は線分条件をみたすという。

定義 3 (Lipschitz領域)

$n\ge 2$ とする。相対開集合 $T\subset\pOm$ について、各 $\xi\in\pOm$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ であって次をみたすものが存在するとき $T$ はLipschitz境界部分であるという: $$\gamma_\xi(0)=0,O_\xi(\Omega-\xi)\cap(V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi))=\{(y',y_n)\in V_\xi\times (-h_\xi,h_\xi)\colon y_n\gt \gamma_\xi(y')\}.\tag{$\dagger\dagger$}\label{Lipdom}$$ $\pOm$ がLipschitz境界部分であるとき $\Omega$ はLipschitz領域であるという。

注意

$O_\xi$ は $O_\xi\in SO_n$ ととってもよい。

明らかにLipschitz境界部分は線分条件をみたし、かつ $C^{0,1}$ 境界部分(Hölder空間の基本事項の定義28)となる。一方、次が成り立つ:

命題 4

任意の凸領域はLipschitz領域である。

Proof.

$x\in\Omega$ をとり、$r\gt 0$ を $B_{6r}(x)\subset\Omega$ となるようにとる。$\xi\in\pOm$ とし、$h\colon=|x-\xi|$ とする。$z\colon=h^{-1}(x-\xi)\in \partial B_1(0)$ とし、$O\in O_n$ を $Oz=e_n$ となるようにとる。

$\R^{n-1}$ における開球を $B'$ で表す。$y'\in B'_{6r}(0)$ について $\gamma'(y')\colon=\inf\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ と定める。

$(y',h)=(y',0)+hOz=O(O^{-1}(y',0)+(x-\xi))\in O(B_{6r}(x-\xi))\subset O(\Omega-\xi)$ であるから $\gamma'(y')\le h$。また $\Omega$ は開かつ凸であるから $\{t\in\R\colon (y',t)\in O(\Omega-\xi)\}$ は開区間である。これより $t\lt h$ について $$(y',t)\in O(\Omega-\xi)\iff t\in(\gamma'(y'),h)$$ であり、 $$O(\Omega-\xi)\cap(B'_{2r}(0)\times(-h,h))=\{(y',t)\in B'_{2r}(0)\times(-h,h)\colon t\gt\gamma'(y')\}$$ が成り立つ。また $\gamma'(0)=0$。

$x',y'\in B'_{6r}(0)$ と $s,t\lt h$ と $\sigma\in[0,1]$ について、$O(\Omega-\xi)$ が凸であることから $$s\in(\gamma'(x'),h),t\in(\gamma'(y'),h)\implies (1-\sigma)s+\sigma t\in(\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y'),h).$$ これより $\gamma'((1-\sigma)x'+\sigma y')\le(1-\sigma)\gamma'(x')+\sigma\gamma'(y')$ となり $\gamma'$ は凸である。

また $y'\in B_{6r}(0)$ について $\gamma(0)-\gamma'(y')\le\gamma'(-y')-\gamma'(0)$ となるので $\gamma'(y')\ge-\gamma'(-y')\ge -h$。

$x',y'\in B'_{2r}(0)$ とする。$|x'-y'|\lt 4r\lt 6r-|x'|$ であるから $\tau\colon=4|x'-y'|^{-1}r$ とすると $\tau\gt 1$ かつ $x'+\tau(x'-y')\in B_{6r}(0)$ で $$\gamma'(x')-\gamma'(y')\le(1+\tau)^{-1}(\gamma'(x'+\tau(x'-y'))-\gamma'(y'))\le 2h\tau^{-1}\le\frac{1}{2}hr^{-1}|x'-y'|.$$ 同様に $\gamma'(y')-\gamma'(x')\le\le\frac{1}{2}hr^{-1}|y'-x'|$ も示される。これより $\gamma'\in C^{0,1}(\overline{B'_{2r}(0)})$。

以上より $V=B'_r(0)$ ととって $\gamma\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を $\gamma=\gamma'$ in $B'_r(0)$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。

□

命題 5

$k\ge 1$、$\alpha\in[0,1]$ とする。$T\subset\pOm$ を $C^{k,\alpha}$ 境界部分とすると、各 $\xi\in T$ について $0\in V_\xi$ なる開集合 $V_\xi\subset\R^{n-1}$ と $h_\xi\gt 0$ と $O_\xi\in O_n$ と $\gamma_\xi\in C^{k,\alpha}_c(\R^{n-1})$ であって(\ref{Lipdom})をみたすものが存在する。とくに $C^1$ 領域はLipschitz領域である。

Proof.

$\xi$ の開近傍 $U$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ で $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{k,\alpha}$ 写像で $\psi(2Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(2Q_0)=U\cap\pOm$ をみたすものが存在する。$\psi(\xi)=0$ としてよい。

$f\colon U\to 2Q$ を $\psi^{-1}$ の第 $n$ 成分として定める。$U\cap\Omega$ と $U\cap\pOm$ はそれぞれ $\{x\in U\colon f(x)\gt 0\}$、$\{x\in U\colon f(x)=0\}$ と表される。また $Df\neq 0$ in $U$。

$O\in O_n$ を $O^{-1}D_nf(\xi)\gt 0$ となるようにとる。$\widetilde{\Omega}\colon=O(\Omega-\xi)$、$\widetilde{U}\colon=O(U-\xi)$ とし、$\widetilde{f}\colon\widetilde{\Omega}\to\R$ を $\widetilde{f}(y)\colon=\widetilde{f}(O^{-1}y+\xi)$ により定める。$\widetilde{U}\cap\widetilde{\Omega}$ と $\widetilde{U}\cap\partial\widetilde{\Omega}$ はそれぞれ $\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)\gt 0\}$、$\{y\in \widetilde{U}\colon \widetilde{f}(y)=0\}$ と表される。また $D_n\widetilde{f}(0)\gt 0$。

陰関数定理(ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分)により十分小さい $h\gt 0$ をとると射影 $p\colon\R^{n-1}\times\R\to\R^{n-1},(y',y_n)\mapsto y'$ の $hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ への制限はある開集合 $W\subset\R^{n-1}$ への全単射であり、$p^{-1}\colon V\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ は $C^{k,\alpha}$ 写像である。

$p^{-1}$ はある $\gamma'\colon W\to hQ\cap\partial\widetilde{\Omega}$ を用いて $p^{-1}(y')=(y',\gamma'(y_n))$ と表され、$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y_n))\colon y'\in W\}$。また $p^{-1}$ が $C^{k,\alpha}$ 写像であることから $\gamma'\in C^{k,\alpha}(W)$。

一方、必要であれば $r$ を小さくとり直して $D_nh\gt 0$ in $hQ$ とできる。 $$\{y\in hQ\colon h(y)=0\}=hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{(y',\gamma'(y'))\colon y'\in W\}$$ より $(y',y_n)\in W\times(-h,h)$ について $\widetilde{f}(y',y_n)=0\iff y_n=\gamma'(y')$。$\widetilde{f}$ は $hQ$ 上では $y_n$ について狭義単調増加であるから $$hQ\cap\widetilde{\Omega}=\{y\in hQ\colon h(x)\gt 0\}=\{(y',y_n)\in W\times(-h,h)\colon y_n\gt\gamma'(y')\}.$$ 従って $0$ の開近傍 $V\rcpt W$ をとって $\gamma\in C^{k,\alpha}_c(\R^n)$ を $\gamma=\gamma'$ in $V$ となるようにとればこの $V$、$h$、$O$、$\gamma$ は(\ref{Lipdom})をみたす。

□

注意

陰関数定理は $C^{0,1}$ 写像に対しては無効であり、$C^{0,1}$ 領域は一般にLipschitz領域とはならない。実際、$n=2$ とし、$\psi\colon\R^2\to\R^2,(x,y)\mapsto(x+y\sin(\log|y|),y)$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ ともに $C^{0,1}$ 写像であるから $$\Omega\colon=\{\psi(x,y)\colon y\gt-|x|\}$$ とすると $\Omega$ は $C^{0,1}$ 領域となる。一方で、この $\Omega$ は線分条件をみたしていないので、Lipschitz領域ではない。

Sobolev空間の定義

定義 6 (弱微分)

$u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ とし、$\alpha$ を多重指数とする。変分学の基本補題(超関数の定義と基本操作の命題5.3)により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $$\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\varphi$$ をみたす $v\in L^1_{\loc}(\Omega)$ は存在すれば一意的である。$v$ を $D^\alpha u$ とかき、$u$ の $\alpha$ 階弱微分という。

定義 7 (Sobolev空間 $W^{k,p}(\Omega),W^{k,p}_{\loc}(\OmT),W^{k,p}_c(\OmT)$)

$C^\infty_c(\Omega)$ で $\Omega$ 上のコンパクトな台をもつなめらかな関数からなる空間を表す。

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty]$ についてSobolev空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を $$W^{k,p}(\Omega)\colon=\left\{u\in L^p(\Omega)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p(\Omega)\right\}$$ と定める。また相対開集合 $T\subset\pOm$ について $L^p_\loc(\OmT)$ と $W^{k,p}_{\loc}(\OmT)$ を $$L^p_\loc(\OmT)\colon=\left\{f\in L^p_\loc(\Omega)\colon \Omega'\rcpt\OmT\ について\ f\in L^p(\Omega')\right\},$$ $$W^{k,p}_{\loc}(\OmT)\colon=\left\{u\in L^p_{\loc}(\OmT)\colon |\alpha|\le k\ について\ D^\alpha u\in L^p_{\loc}(\OmT)\right\}$$ と定める。また $W^{k,p}_c(\OmT)$ を $$W^{k,p}_c(\OmT)\colon=\{u\in W^{k,p}(\Omega)\colon\supp u\rcpt\OmT\}$$ と定める。

定義 8 ($W^{k,p}(\Omega)$ のノルム)

$W^{k,p}(\Omega)$ に $$\norm{u}_{k,p;\Omega}\colon= \begin{cases} \left(\sum_{|\alpha|\le k}\int_{\Omega}|D^\alpha u|^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in[1,\infty)\\ \max_{|\alpha|\le k}\esssup_{\Omega} |D^\alpha u|&\colon p=\infty \end{cases}$$ によりノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ を定める。

注意

便宜上 $\norm{u}_{0,p;\Omega}=\norm{u}_{p;\Omega}$ とすることがある。またどの領域におけるSobolev空間のノルムかが明らかな場合は「$;\Omega$」は省略されることが多い。

$W^{k,2}(\Omega)$ は $H^k(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k(\Omega)$ には $$(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega D^\alpha uD^\alpha v$$ により内積が定まる。

$\displaystyle \sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なノルムである。また $$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$ で、 $$\sum_{|\alpha|\le k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}$$ となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

定義 9 ($\norm{D^ku}_{p;\Omega}$)

$W^{k,p}(\Omega)$ に $$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\colon=\begin{cases} \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^p\right)^{p^{-1}}&\colon p\in[1,\infty)\\ \max_{|\alpha|}\norm{D^\alpha u}_{\infty;\Omega}&\colon p=\infty \end{cases}$$ によりセミノルム $\norm{D^ku}_{p;\Omega}$ を定める。

注意

$\displaystyle \sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$ や $\displaystyle \left(\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}^2\right)^\frac{1}{2}$ も同値なセミノルムである。また $$\norm{D^ku}_{p;\Omega}\le\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}$$ で、 $$\sum_{|\alpha|=k}\norm{D^\alpha u}_{p;\Omega}\le C\norm{D^ku}_{p;\Omega}$$ となる定数 $C$ は $n$ と $k$ のみに依存し $p$ には依存しないようにとれる。

命題 10 ($W^{k,p}(\Omega)$ の完備性)

$W^{k,p}(\Omega)$ はノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ について完備である。

Proof.

$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{k,p}(\Omega)$ をCauchy列とすると各 $|\alpha|\le k$ について $\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty$ は $L^p(\Omega)$ におけるCauchy列であるから $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して $\norm{u_m-v_\alpha}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$。$u\colon=v_0$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\lim_{m\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_m\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$ であるから $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$D^\alpha u=v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$、$\norm{D^\alpha u_m-D^\alpha u}_{p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty,|\alpha|\le k)$。$\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ の定義より $$\norm{u_m-u}_{k,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$$ となる。

□

注意

この証明から $u_m\in W^{1,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$、$u,v_1,\ldots ,v_n\in L^p(\Omega)$ が $\norm{u_m-u}_p,\norm{D_iu_m-v_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となることが従う。このことは作用素の用語を用いると $$D\colon L^p(\Omega)\supset D(D)=W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\Omega)^n,Du=(D_1u,\ldots,D_nu)$$ により定まる非有界作用素 $D$ は閉作用素であると言い換えられる。

なめらかな関数による近似

定義 11 (Friedrich's mollifier)

$$\eta(x)\colon= \begin{cases} A\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)&\colon x\in B_1(0)\\ 0&\colon x\in\R^n\backslash B_1(0) \end{cases} ,A\colon=\left(\int_{B_1(0)}\exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right)dx\right)^{-1}$$ として $\eta\colon \R^n\to\R$ を定める。$\eta$ は $$\eta\in C^\infty(\R^n),\eta\ge 0,\eta=0\on\R^n\backslash B_1(0),\int_{\R^n} \eta=1\tag{*}\label{mol}$$ をみたす。 $\varepsilon\gt 0$ について $$\eta_\varepsilon(x)\colon=\varepsilon^{-n}\eta(\varepsilon^{-1}x)$$ と定め、Friedrich's mollifier、または単にmollifierという。

注意

(\ref{mol})をみたしていれば $\eta$ はこの関数でなくてもよい。

命題 12 (mollifierの性質)

開集合 $\Omega'\subset\Omega\subset\R^n$ は $d\colon=\dist(\Omega',\pOm)\gt 0$ をみたすとする。$f\in L^1_{\loc}(\Omega)$、$p\in[1,\infty]$、$\varepsilon\in (0,d)$ について、$\eta_\varepsilon*f$ は $\Omega'$ 上で定義され次が成り立つ:

• (1) $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\{x\in\R^n\colon\dist(x,\supp f)\le\varepsilon\}$。とくに $\dist(\supp f,\Omega\backslash\Omega')\gt 0$ のとき十分小さく$\varepsilon\gt 0$ をとれば $\supp\eta_\varepsilon*f\subset\Omega'$。
• (2) $\eta_\varepsilon*f\in C^\infty(\overline{\Omega'})$ で、多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)=D^\alpha\eta_\varepsilon*f$ in $\Omega'$。
• (3) $f\in L^p(\R^n)$ のとき $q\in[p,\infty]$ と多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*f)}_{q;\Omega'}\le C_{n,p,q,\alpha}\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})}\norm{f}_{p;\Omega}$。

また $\varepsilon\to 0$ とするとき、

• (4) $\eta_\varepsilon*f\to f$ a.e. in $\Omega'$。
• (5) $f\in C(\Omega)$ のとき有界な $U\subset\Omega'$ について $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{\infty;U}\to 0$。
• (6) $f\in L^p(\Omega)$、$p\in[1,\infty)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p;\Omega'}\to 0$。

Proof.

(1)は明らか。

(2)を示す。任意の多重指数 $\alpha$ と $i=1,\ldots,n$ について $D_i(D^\alpha\eta_\varepsilon*f)=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f$ on $\overline{\Omega'}$ を示せばよい。$x\in\overline{\Omega'}$ と $a\lt 0\lt b$ について \begin{align*} D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+be_i)-D^\alpha\eta_\varepsilon*f(x+ae_i)&=\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x+ae_i-y)-D^\alpha\eta_\varepsilon(x+be_i-y))f(y)dy\\ &=\int_{\R^n}\left(\int_a^bD_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)dt\right)f(y)dy\\ &=\int_a^b\left(\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy\right)dt. \end{align*} Lebesgueの収束定理より $t\mapsto\int_{\Omega}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x+te_i-y)f(y)dy$ は $(a,b)$ 上で連続であるから微積分基本公式より $$D_i\left(D^\alpha\eta_\varepsilon*f\right)(x)=\int_{\R^n}D_iD^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)f(y)dy=D_iD^\alpha\eta_\varepsilon*f(x).$$

(3)は(2)とYoungの不等式と \begin{align*} \left(\int_{B_\varepsilon(0)}|D^\alpha\eta_\varepsilon(x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}&=\left(\int_{\R^n}|\varepsilon^{-|\alpha|-n}D^\alpha\eta(\varepsilon^{-1}x)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dx\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\ &=\varepsilon^{-|\alpha|-n}\left(\int_{\R^n}\varepsilon^n|D^\alpha\eta(y)|^{(1-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}dy\right)^{1-p^{-1}+q^{-1}}\\ &\le C\varepsilon^{-|\alpha|-n(p^{-1}-q^{-1})} \end{align*} から従う。

(4)を示す。$x\in\Omega'$ を $f$ のLebesgue点とすれば $$|\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\int_{\Omega'}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\le\int_{B_\varepsilon(x)}\varepsilon^{-n}\norm{\eta}_\infty|f(y)-f(x)|dy\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$

(5)を示す。$x\in U$ について \begin{align*} |\eta_\varepsilon*f(x)-f(x)|&\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)-f(x)|dy\\ &\le\int_{B_\varepsilon(x)}\eta_\varepsilon(x-y)dy\cdot\sup_{y\in B_\varepsilon(x)}|f(y)-f(x)|\\ &\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|. \end{align*} ここで $U+B_\frac{d}{2}(0)$ は有界で $\dist(U+B_\frac{d}{2}(0),\pOm)\ge\dist(\Omega',\pOm)-\frac{d}{2}=\frac{d}{2}$ であるから $U+B_\frac{d}{2}(0)\rcpt\Omega$。これより $$\sup_{\substack{y,z\in U+B_\varepsilon(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\le\sup_{\substack{y,z\in U+B_\frac{d}{2}(0),|y-z|\lt\varepsilon}}|f(y)-f(z)|\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$ これより $\norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{\infty;\Omega'}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

(6)を示す。積分形のMinkowskiの不等式と平行移動の $L^p$ 連続性(合成積とFourier変換の命題28.2)より \begin{align*} \norm{\eta_\varepsilon*f-f}_{p,\Omega'}&=\int_{\Omega'}|\int_{B_\varepsilon(y)}\eta_\varepsilon(x-y)(f(y)-f(x))dy|^pdx\\ &\le\int_{\Omega'}\left(\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)|f(x-z)-f(x)|dz\right)^pdx\\ &\le\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(z)\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}dz\\ &\le\sup_{z\in B_\varepsilon(0)}\left(\int_{\Omega'}|f(x-z)-f(x)|^pdx\right)^{p^{-1}}\to 0. \end{align*}

□

なお積分形のMinkowskiの不等式とは次の主張である:

補題 13 (積分形のMinkowskiの不等式)

$\sigma$ -有限測度空間 $X=(X,\mathfrak{M},\mu)$、$Y=(Y,\mathfrak{N},\nu)$ と $\mathfrak{M}\otimes\mathfrak{N}$ -可測関数 $f$ と $p\ge 1$ について $$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y).$$

Proof.

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\lt\infty$ の場合を示す。 \begin{align*} \int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)&=\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^{p-1}|f(x,y')|d\mu(x)\right)d\nu(y')\\ &\int_Y\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_X|f(x,y')|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y')\\ &=\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{1-p^{-1}}\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y) \end{align*} となり $$\left(\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$ を得る。

$\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|d\nu(y)\right)^pd\mu(x)=\infty$ の場合は $X_1\subset X_2\subset\ldots\subset X$、$Y_1\subset Y_2\subset\ldots\subset Y$ を $\mu(X_i),\nu(Y_i)\lt\infty$ かつ $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty X_i=X,\bigcup_{i=1}^\infty Y_i=Y$ となるようにとると $$\left(\int_{X_i}\left(\int_{Y_i} \min\{|f(x,y)|,i\}d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}\le\int_{Y_i}\left(\int_{X_i}\min\{|f(x,y)|,i\}^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)$$ となるので $i\to\infty$ として $\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\right)^{p^{-1}}d\nu(y)=\infty$ を得る。

□

参考

$\nu$ -a.e. $y\in Y$ について $\int_X|f(x,y)|^pd\mu(x)\lt\infty$ のとき $y\mapsto f(\cdot,y)$ は $Y$ 上の $L^p(X)$ -値Bochner可測関数となる。これに測度と積分9：Bochner積分の命題44.2を適用することによっても積分形のMinkowskiの不等式を証明できる。

補題 14 ($W^{k,p}$ 関数となめらかな関数の積)

$u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)$ について、 $$\zeta u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(\zeta u)=\sum_{\beta\le\alpha}\left(\begin{array}{c}\alpha\\ \beta\end{array}\right)D^{\alpha-\beta}\zeta D^\beta u.$$ とくに $u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\zeta\in C^k(\Omega)\cap W^{k,\infty}(\Omega)$ のとき $$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega),\norm{D^k(\zeta u)}_{p;\Omega}\le C_{n,k}\sum_{j=0}^k\norm{D^{k-j}\zeta}_{\infty;\Omega}\norm{D^ju}_{p;\Omega},\norm{\zeta u}_{k,p;\Omega}\le C_{n,k}\norm{\zeta}_{k,\infty;\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$ また $\zeta\in C^k_c(\Omega)$ の場合は $\zeta u=0$ on $\R^n\backslash\Omega$ と定めると $\zeta u\in W^{k,p}(\R^n)$ となる。

Proof.

$k=1$ のときのみ示す。一般の場合は帰納法により従う。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n$ について $$\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega uD_i(\zeta\varphi)=-\int_\Omega u(D_i\zeta\varphi+\zeta D_i\varphi)$$ より $$\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi.$$ $u,D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)$、$\zeta,D_i\zeta\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$ より $\zeta u,\zeta D_iu+D_i\zeta u\in L^p_\loc(\Omega)$。従って $\zeta u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$、$D_i(\zeta u)=\zeta D_iu+D_i\zeta u$。

$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ となるので同様の計算により $\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=-\int_\Omega (\zeta D_iu+D_i\zeta u)\varphi$ となる。$\zeta u,\zeta D_iu,D_i\zeta u\in L^p(\R^n)$ となるので $\zeta u\in W^{1,p}(\R^n)$。

□

命題 15

$k\in\Zp$ とする。以下が成り立つ:

• (1) $u\in W^{k,1}_{\loc}(\R^n)$ と $|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ について

$$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*D^\alpha u.$$ とくに $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{k,p}(\R^n)$ のとき $\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{k,p;\R^n}\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。

• (2) $p\in[1,\infty)$、$u\in L^p_{\loc}(\Omega)$ について次は同値:
  • (i) $u\in W^{k,p}_{\loc}(\Omega)$。
  • (ii) $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset C^\infty(\Omega)$ で $u_m\to u$ in $L^p_{\loc}(\Omega)(m\to\infty)$ かつ $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m$ が $L^p_{\loc}(\Omega)$ で収束するものが存在する。
• (3) $p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty_c(\R^n)$ は $W^{k,p}(\R^n)$ において稠密である。

Proof.

(1)を示す。$x\in\R^n$ について $$D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{\R^n}D^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy=(-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n}(D^\alpha\eta_\varepsilon(x-\cdot))(y)u(y)dy=\int_{\R^n}\eta_\varepsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy=D^\alpha\eta_\varepsilon*u(y).$$

(2)を示す。(i) $\implies$ (ii)は次のように従う: $\Omega_1\rcpt\Omega_2\rcpt\ldots\rcpt\Omega$ を $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \Omega_m=\Omega$ となるようにとり、$\varepsilon_m\in(0,\dist(\Omega_{m+1},\pOm))$ を $\varepsilon_m\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとる。また $\zeta_m\in C^\infty(\Omega_{m+1})$ を $\zeta_m=1$ in $\Omega_m$ となるようにとる。このとき $u_m\colon=\eta_{\varepsilon_m}*(\zeta_mu)$ は $\Omega$ 上で定義され、$m'\ge m$ について $u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*u$ in $\Omega_m$ となるので $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_{m'}=\eta_{\varepsilon_{m'}}*D^\alpha u$ in $\Omega_m$。これより $\norm_{D^\alpha u_{m'}-D^\alpha u}_{p;\Omega'}\to 0\ (m'\to\infty)$。これよりこの $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ は条件をみたす。

(ii) $\implies$ (i)は $|\alpha|\le k$ について $D^\alpha u_m\to v_\alpha$ in $L^1_{\loc}(\Omega)$ とすると任意の $\varepsilon\in C^\infty_c(\Omega)$ と $|\alpha|\le k$ について $$\int_\Omega uD^\alpha\varphi=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega u_mD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi$$ となり $D^\alpha u=v_\alpha$ となって従う。

(3)を示す。(1)より $u_m\in W^{k,p}(\Omega)\ (m\in\Zp)$ が存在して $\supp u_m$ が有界かつ $\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n}\to 0 (m\to\infty)$ となることを示せばよい。

$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ on $\Bb_1(0)$ となるようにとる。$\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)$ とすると $\supp\zeta_m\subset B_{2m}(0)$、$\zeta_m=1$ on $\Bb_m(0)$。また任意の多重指数 $\alpha$ について $D^\alpha \zeta_m(x)=m^{-|\alpha|}\zeta(m^{-1}x)$ であるから $\norm{\zeta_m}_{k,\infty}\le\norm{\zeta}_{k,\infty}$

$u_m\colon=\zeta_m u$ とすると $u_m\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp u_m\subset B_{2m}(0)$、$u_m=u$ on $\Bb_m(0)$ となり $$\norm{u_m-u}_{k,p}=\norm{u_m-u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}=\norm{(1-\zeta_m)u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\le C\norm{u}_{k,p;\R^n\backslash\Bb_m(0)}\to 0\ (m\to\infty).$$

□

注意

(2)の(ii)で $D^\alpha u$ を定義することもできる。このように定義された $u\in L^1_{\loc}(\Omega)$ の微分は強微分とよばれる。

系 16

$k\in\Zp$ とする。$u\in L^1_\loc(\Omega)$ について次は同値:

• (1) $u\in C^k(\Omega)$。
• (2) $|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$。

Proof.

$u\in C^k(\Omega)$ とすると $v_\alpha\ (|\alpha|\le k)$ を各点での偏微分としての $D^\alpha u$ と定めれば部分積分により任意の $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int_{\Omega}uD^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v_\alpha\varphi$ となる。これより $u$ は $k$ 階以下の弱微分をもち、各点微分と一致する。

$|\alpha|\le k$ について $u$ は弱微分 $D^\alpha u$ をもち $D^\alpha u\in C(\Omega)$ をみたすとする。$\Omega'\rcpt\Omega$ として $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとると $|\alpha|\le k$ について $\norm{D^\alpha(\eta_\varepsilon*\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty=\norm{\eta_\varepsilon*D^\alpha(\zeta u)-D^\alpha(\zeta u)}_\infty\to 0\ (\varepsilon\to +0)$ であるから $\zeta u\in C^k(\R^n)$。これより $u\in C(\Omega)$。

□

定理 17 (なめらかな関数による近似)

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

Proof.

$u\in W^{k,p}(\Omega)$、$\delta\gt 0$ とする。各 $x\in\Omega$ について $x$ を中心とする球 $B(x)\rcpt\Omega$ をとり、$\Omega$ の開被覆 $\{B(x)\}_{x\in\Omega}$ の局所有限な細分 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ を $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty U_i=\Omega$ となるようにとり、これに従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(U_i)$ をとる。

補題 14より $\zeta_iu\in W^{k,p}(\Omega)$、$\supp\zeta_iu\subset U_i\rcpt\Omega$。命題 15より十分小さい $\varepsilon_i\gt 0$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i}\delta$ かつ $\supp\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)\subset U_i$ となるようにできる。

$$\sum_{i=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt\delta$$ であるから $W^{k,p}(\Omega)$ の完備性より無限和 $$w\colon=\sum_{i=1}^\infty(\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)-\zeta_iu)$$ は $W^{k,p}(\Omega)$ で収束し、$\norm{w}_{k,p;\Omega}\lt\delta$。 $$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\eta_{\varepsilon_i}*(\zeta_iu)$$ とすると $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ は局所有限よりこの無限和は各点で値が定まり $v\in C^\infty(\Omega)$。一方 $v=u+w\in W^{k,p}(\Omega)$ で $\norm{v-u}_{k,\alpha;\Omega}\lt\delta$ となる。

□

注意

これより $W^{k,p}(\Omega)$ を $\left\{u\in C^\infty(\Omega)\colon \norm{u}_{k,p;\Omega}\lt\infty\right\}$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ による完備化として定義し、$D^\alpha u$ を強微分で定義しても同値である。

一方、$v\in C^\infty(\Ombar)$ による近似をするには $\pOm$ に条件が必要である。

定理 18 (線分条件をみたす領域における近似)

相対開集合 $T\subset\pOm$ は線分条件をみたすとする。$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とすると $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

Proof.

$\xi\in T$ について(\ref{segm})の $U_\xi$ と $y_\xi$ をとり、$\Omega_{d,r}\colon=\{x\in\Omega\colon |x|\lt d,\dist(x,\pOm)\gt r\}\ (d,r\gt 0)$ とする。$\{U_\xi\}_{\xi\in T}\cup\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ は $\Omega\cup T$ の開被覆となり、$\{U_\xi\}_{\xi\in\pOm}$、$\{\Omega_{d,r}\}_{d,r\gt 0}$ の局所有限な細分 $\{V_i\}_{i=1}^\infty$、$\{W_j\}_{j=1}^\infty$ を $\Omega\cup T\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i\cup\bigcup_{j=1}^\infty W_j$ となるようにとれる。各 $i\in\Zp$ について $y_i\in\R^n$ が存在し、 $$\{x+ty_i\colon x\in \overline{V_i\cap\Omega},t\in(0,1)\}\subset\Omega$$ が成り立つ。また各 $j\in\Zp$ について $W_j\rcpt\Omega$。

$\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ に従属する $1$ の分割 $\{\zeta_i\}_{i=1}^\infty\cup\{\theta_j\}_{j=1}^\infty$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$、$\theta_j\in C^\infty_c(W_j)$ をとる。

$i\in\Zp$ とする。定理 17と補題 14より $v_i\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{\zeta_iv_i-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ となるようにとれる。平行移動の $L^p$ 連続性(合成積とFourier変換の命題28.2)より $|\alpha|\le k$ について $$\norm{D^\alpha v_i(\cdot+ty_i)-D^\alpha v_i}_{p;V_i\cap\Omega}\to 0 (t\to +0).$$ 補題 14より十分小さい $t_i\in(0,1)$ をとって $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iv_i}_{k,p;V_i\cap\Omega}\lt 2^{-i-2}\delta$ とできる。$V_i$ のとりかたより $\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i}\subset\Omega$ であるから $v_i\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega+t_iy_i})$ であり、$v_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{V_i\cap\Omega})$。よって $\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)\in C^\infty(\overline{\Omega})$、$\supp\zeta_iv_i\subset V_i\cap\Omega$。また $\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_iu}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-i-1}\delta$。

また $j\in\Zp$ について $\theta_ju\in W^{k,p}(\R^n)$、$\supp\theta_ju\subset W_j$ であるから十分小さい $\varepsilon_j$ をとって $\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt 2^{-j-1}\delta$、$\supp\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)\subset W_j$ とできる。

$$v\colon=\sum_{i=1}^\infty\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)+\sum_{j=1}^\infty\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)$$ とすれば $\Omega\cup T$ の開被覆 $\{V_i\}_{i=1}^\infty\cup\{W_j\}_{j=1}^\infty$ は局所有限より $v\in C^\infty(\Omega\cup T)$ で、定理 17と同様に $v\in W^{k,p}(\Omega)$ かつ $$\norm{v-u}_{k,p;\Omega}\le\sum_{i=1}^\infty\norm{\zeta_iv_i(\cdot+ty_i)-\zeta_i u}_{k,p;\Omega}+\sum_{j=1}^\infty\norm{\eta_{\varepsilon_j}*(\theta_ju)-\theta_ju}_{k,p;\Omega}\lt\delta.$$

□

注意

とくに $\Omega$ が有界かつ線分条件をみたすとき $C^\infty(\Ombar)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密である。

$p=\infty$ のときはこれらの近似定理は $W^{k,\infty}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえた主張を同様に証明できる。また、近似列の構成のしかたが $k$ と $p$ によらないことから、 $u\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ と $\delta\gt 0$ について $v\in C^\infty(\Omega)\cap v\in W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $v\in C^\infty(\Ombar)\cap W^{j,p}(\Omega)\cap W^{k,q}(\Omega)$ ) が存在して $\norm{u-v}_{j,p}\lt\delta$、$\norm{u-v}_{k,q}\lt\delta$ となる。( $p=\infty$ の場合は $W^{k,p}(\Omega)$ を $C^k(\Ombar)$ にとりかえる。$q=\infty$ の場合も同様。)

命題 15で、(3)の証明の(1)を定理 17にとりかえると、$\Omega$ が非有界の場合 $$\left\{u\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\colon \supp u\ が有界\right\}$$ が $W^{k,p}(\Omega)$ において稠密であることが示される。( $\Omega$ が線分条件をみたすときは $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $C^\infty(\Ombar)$ にとりかえてよい。)

$w\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}_c(\OmT)$ ( $T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)$ )は $W^{k,p}_c(\Omega)$ において稠密である。実際、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ を $\norm{v-u}_{k,p}\lt\varepsilon$ をみたすようにとり、$\zeta\in C^\infty(\R^n\backslash(\pOm\backslash T))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとると $\norm{\zeta v-u}_{k,p}=\norm{\zeta (v-u)}_{k,p}\le C_\zeta\varepsilon$ となる。

$n=1$ の場合

ここでは $n=1$ とし、$I=(a,b)$、$-\infty\le a\lt b\le +\infty$ を開区間とする。

定理 19 ($W^{1,p}(I)$ の特徴づけ)

$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p(I)$ とする。次は同値:

• (1) $u\in W^{1,p}(I)$。
• (2) $u$ は絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(\overline{I})$ で $f\in L^p(I)$ が存在して $a\le x\lt y\le a$ について

$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$ またこのとき $u'=f$。

Proof.

$p=1$ の場合を示せば十分。

(1) $\implies$ (2)を示す。$I$ は明らかに線分条件をみたすので $u_m\in C^\infty(\overline{I})\cap W^{1,1}(I)$ を $\norm{u_m-u}_{1,1}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u_m\to u,u_m'\to u'$ a.e. in $I$ としてよい。

$x_0\in I$ を $u_m(x_0)\to u(x_0)\ (m\to\infty)$ をみたす点とする。$x\in[x_0,b)$ について $$u_m(x)=u_m(x_0)+\int_{x_0}^x u_m'(t)dt.$$ $\norm{u_m'-u'}_1\to 0\ (m\to\infty)$ より右辺は $m\to\infty$ とすると $x\in[x_0,b)$ について $u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(t)dt$ に一様収束するので $$u\in C([x_0,b]),u(x)=u(x_0)+\int_a^x u'(t)dt\ (x\in[x_0,b]).$$ 任意の $x\in I$ について $x_0$ を $x_0\in(a,x)$ となるようにとれることから $u\in C((a,b])$。また $x,y\in (a,b]$、$x\lt y$ について $x_0$ を $x_0\lt x$ となるようにとれば $$u(y)-u(x)=\left(u(x_0)+\int_{x_0}^yu'(t)dt\right)-\left(u(x_0)+\int_{x_0}^xu'(t)dt\right)=\int_x^yu'(t)dt\ (x,y\in(a,b]).$$ また $u'\in L^1(I)$ より $y\in I$ を固定すると $$u(x)=u(y)-\int_x^y u'(t)dt$$ は $x\to a+0$ で収束する。とくに $a\gt -\infty$ の場合は $u\in C(\overline{I})$ で $$u(y)-u(a)=\int_a^y u'(t)dt.$$ これより $$u\in C(\overline{I}),u(y)-u(x)=\int_x^y u'(t)dt\ (x,y\in\overline{I},x\lt y).$$

(2) $\implies$ (1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(I)$ とする。$J=(a',b')\rcpt I$ を $\supp\varphi$ を含む開区間とする。 $y\in (b',b)$ とすると仮定より $x\in(a,y)$ について $$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$

$x\in (a,a')$ とする。$J\subset(x,y)$ で、$\varphi(x)=0$ より $t\in(x,b')$ について $\varphi(t)=\int_x^t\varphi'(s)ds$ であるから \begin{align*} \int_I f(t)\varphi(t)dt&=\int_x^y f(t)\varphi(t)dt\\ &=\int_x^y f(t)\left(\int_x^t \varphi'(s)ds\right)dt\\ &=\int_x^y \varphi'(s)\left(\int_s^yf(t)dt\right)ds\\ &=\int_x^y \varphi'(s)(u(y)-u(s))ds\\ &=u(y)\int_x^y \varphi'(s)ds-\int_x^y u(s)\varphi'(s)ds\\ &=-\int_I u(s)\varphi'(s)ds. \end{align*} よって $u\in W^{1,1}(I)$、$u'=f$。

□

系 20 ($W^{1,p}_{\loc}(I)$ の特徴づけ)

$p\in[1,\infty]$ とし、$u\in L^p_{\loc}(I)$ とする。次は同値:

• (1) $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$。
• (2) $u$ は局所絶対 $p$ -連続である。すなわち $u\in C(I)$ で $f\in L^p_{\loc}(\Omega)$ が存在して $a\lt x\lt y\lt b$ について

$$u(y)-u(x)=\int_x^y f(t)dt.$$ またこのとき $u'=f$。

注意

絶対 $1$ -連続と局所絶対 $1$ -連続は単に絶対連続、局所絶対連続という。

系 20より $u\in W^{1,p}_{\loc}(I)$ は $u'$ のLebesgue点で(従ってa.e. in $I$ で)微分可能で、各点微分は弱微分とa.e.で一致する。

定理 21 ($n=1$ のときのMorreyの不等式)

$I$ は有界であるとする。

• (1) $u\in W^{1,1}(I)$ のとき

$$\norm{u}_\infty\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$ また $u(y)=0$ なる $y\in \overline{I}$ が存在するとき $$\norm{u}_\infty\le \norm{u'}_1.$$

• (2) $p\in(1,\infty]$ とする。 $\alpha=1-\frac{1}{p}$ とすると $u\in W^{1,p}(I)$ について

$$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le \norm{u'}_p.$$

Proof.

(1)を示す。定理 19より $x,y\in\overline{I}$、$x\lt y$ について $$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le \norm{u'}_1.$$ 対称性よりこれは任意の $x,y\in I$ について成り立つ。ここで $x,y\in\overline{I}$ を $$|u(x)|=\sup_{I}|u|,|u(y)|=\inf_{I}|u|$$ となるようにとると $$\sup_{I}|u|=|u(x)|\le|u(y)|+\norm{u'}_1=\inf_{I}|u|+\norm{u'}_1\le|I|^{-1}\int_I|u|+\norm{u'}_1\le C_{|I|}\norm{u}_{1,1}.$$ また $|u(y)|=0$ のとき $$\sup_{I}|u|\le\norm{u'}_1.$$

(2)を示す。Hölderの不等式より $x,y\in I$、$x\lt y$ について $$|u(x)-u(y)|\le\int_x^y|u'(t)|dt\le\norm{u'}_p|x-y|^{1-\frac{1}{p}}.$$ よって $$u\in C^{0,\alpha}(\overline{I}),[u]_{0,\alpha;I}\le\norm{u'}_p.$$

□

合成関数の微分、積の微分

定理 22 (合成関数の微分)

$p\in[1,\infty]$、$m\in\Zp$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)^m$ とする。 $G\in C^1(\R^m)$ が $$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p_{\loc}(\Omega)$$ をみたすとすると $$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (i=1,\ldots,n).$$

Proof.

$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)^m$ の場合を示せば十分である。また $G$ を $G-G(0)$ にとりかえて $G(0)=0$ としてよい。

$DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。定理 17より $u^{(k)}\in C^\infty(\Omega)^m\cap W^{1,p}(\Omega)^m$ を $\norm{u^{(k)}-u}_{1,p}\to 0\ (k\to\infty)$ となるようにとれる。部分列に移って $u^{(k)}\to u,D_iu^{(k)}\to D_iu$ a.e. in $\Omega$ かつ $v,v_1,\ldots,v_n\in L^p(\Omega)$ が存在して $|u^{(k)}|\le v,|D_iu^{(k)}|\le v_i\ (\forall k\in\Zp)$ としてよい。

各 $u^{(k)}$ は $G(u^{(k)})\in C^1(\Omega)$、$\displaystyle D_i(G(u^{(k)}))=\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_i\ (i=1,\ldots,n)$ をみたす。また、$G(0)=0$ より $G(t)\le\norm{DG}_\infty|t|\ (t\in\R)$ となることから $|G(u^{(k)})|\le\norm{DG}_\infty v$、$\displaystyle \left|\sum_{j=1}^mD_jG(u^{(k)})D_iu^{(k)}_j\right|\le C\norm{DG}_\infty v_i$。$\displaystyle G(u^{(k)})\to G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u^{(k)})\cdot D_iu^{(k)}_j\to \sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j\ (k\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{G(u^{(k)})-G(u)}_p,\norm{D_i(G(u^{(k)}))-\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (k\to\infty)$$ となる。これより $$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

一般の場合を示す。$\xi\in C^1(\R)$ を $$|\xi|\le 1,\xi(t)=1\ \jf t\ge 1,\xi(t)\le 1\ \jf t\le 1,\xi(t)=t\ \jf |t|\le\frac{1}{2}$$ となるようにとり、$M\gt 0$ について $\xi_M(t)\colon=M\xi(M^{-1}t)\ (t\in\R)$ とする。$\xi$、$\xi_M$ は $$\xi'\in C_c(\R),|\xi_M'(t)|=|\xi'(M^{-1}t)|\le 1,\xi_M'(t)\to 1\ (M\to\infty)$$ をみたす。

$G_M\colon=\xi_M(G)$ とする。$\xi_M(G)\in C^1(\R^m)$、$D_j(\xi_M(G))=\xi_M'(G)D_jG\in C_c(\R^m)^m$ であるから $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合より $$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\xi_M'(G(u))\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$ $|G_M(u)|\le|G(u)|$、$|\xi_M'(u)DG(u)|\le|DG(u)|$で、$$G_M(u)\to G(u),\sum_{j=1}^m\xi_M'(u)D_jG(u)D_iu_j\to \sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\ (M\to\infty)$$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{G_M(u)-G(u)}_p,\norm{D_i(G_M(u))-\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j}_p\to 0\ (M\to\infty).$$ よって $$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=\sum_{j=1}^mD_jG(u)D_iu_j.$$

□

注意

$G(0)=0$ かつ $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。とくに $|\Omega|\lt\infty$ のときは $DG\in L^\infty(\R^m)^m$ であれば十分である。

帰納法により高階の合成関数の微分公式も成り立つ。すなわち、$u\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)^m$、$G\in C^k(\R^m)$ とすると、$G(u)$ の形式的な $\alpha$ 階微分( $|\alpha|\le k$ )がすべて $L^1_{\loc}(\Omega)$ に属せば $G(u)\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ で $D^\alpha (G(u))$ は形式的な $\alpha$ 階微分と一致する。

系 23 (積の微分)

$k\in\Zp$ とする。$u_1,\ldots ,u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega)$ が $|\alpha|\le k$ について $$\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\in L^1_{\loc}(\Omega)$$ をみたすとすると $$u_1\ldots u_m\in W^{k,1}_{\loc}(\Omega),D^\alpha(u_1\ldots u_m)=\sum_{\beta_1+\ldots +\beta_m=\alpha}\frac{\alpha!}{\beta_1!\ldots \beta_m!}D^{\beta_1}u_1\ldots D^{\beta_m}u_m\ (|\alpha|\le k).$$

Proof.

$G(t_1,\ldots ,t_m)=t_1\ldots t_m$ として $k$ 階の合成関数の微分公式を用いればよい。

□

$m=1$ の場合はより正則性を欠いた関数との合成を考えることもできる:

補題 24

$u\in W^{1,1}_{\loc}(\Omega)$ とし、$N\subset\R$ はBorel集合で $|N|=0$ をみたすとする。このとき $$Du=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}.$$

Proof.

$\Omega$ が有界で $u\in W^{1,1}(\Omega)$ の場合を示せば十分。

$m\in\Zp$ について開集合 $U_m\subset\R$ を $N\subset U_m$、$|U_m|\lt 2^{-m}$ となるようにとる。また $W_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U_m\}$ として $$N'\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty U_m,W\colon=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$$ とする。$N'$ は $N\subset N'$、$|N'|=0$ をみたす。

$U'_{m,1}\rcpt U'_{m,2}\rcpt\ldots\rcpt U_m$ を $\displaystyle \bigcup_{l=1}^\infty U'_{m,l}=U_m$ となるようにとると $\displaystyle \left|W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty \left\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_{m,l}\right\}\right|=0$ となるので十分大きい $l$ をとって $U'_m\colon=U'_{m,l}$、$W'_m\colon=\{x\in\Omega\colon u(x)\in U'_m\}$ とすれば $|W_m\backslash W'_m|\lt 2^{-m}$ となる。

$\varphi_m\in C_c(U_m)$ を $0\le\varphi_m\le 1$ かつ $\varphi_m=1$ in $U'_m$ となるようにとり $$G_m(t)\colon=\int_{-\infty}^t \varphi_m$$ とする。$G_m\in C^1(\R)$、$0\le G_m'\le 1$ であるから定理 22より $$G_m(u)\in W^{1,1}(\Omega),D_i(G_m(u))=G_m'(u)D_iu.$$ $G_m'=1$ in $U'_m$、$G_m'=0$ on $\R\backslash U_m$ より $$D_i(G_m(u))=D_iu\ \on\ W'_m,D_i(G_m(u))=0\ \on\ \Omega\backslash W_m.$$ また $$\norm{G_m(u)}_\infty\le\int_\R\varphi_m\le|U_m|\lt 2^{-m}.$$

$W$ と $W_m$ の定義から $\displaystyle W=\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W_m$ であるからa.e. $x\in \Omega\backslash W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=0$ となる。一方 \begin{align*} \left|W\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|&=\lim_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcup_{l=1}^\infty\bigcap_{m=l}^\infty W'_m\right|\\ &\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash\bigcap_{m=k}^\infty W'_m\right|\\ &=\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty\left(\bigcap_{m=k}^\infty W_m\backslash W'_l\right)\right|\\ &\le\liminf_{k\to\infty}\left|\bigcup_{l=k}^\infty(W_l\backslash W'_l)\right|\\ &\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty|W_l\backslash W'_l|\\ &\le\liminf_{k\to\infty}\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=0. \end{align*} よってa.e. $x\in W$ について十分大きい $m$ をとれば $D_i(G_m(u))(x)=D_iu(x)$ となる。従って $$D_i(G_m(u))\to D_iu\chi_W\ \ae\inn\Omega\ (m\to\infty).$$ $|D_i(G_m(u))|\le |D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{D_i(G_m(u))-D_iu\chi_W}_1\to 0\ (m\to\infty).$$ 一方 $\norm{G_m(u)}_\infty\lt 2^{-m}\to 0\ (m\to\infty)$。よって $G_m(u)$ は $m\to\infty$ とすると $W^{1,1}(\Omega)$ において $0$ に収束し、 $$D_iu\chi_W=0\ \ae\inn \Omega.$$ よって $Du=0$ a.e. on $W$。$W$ の定義より $\{x\in\Omega\colon u(x)\in N\}\subset W$ となるので主張が示された。

□

定理 25 (局所絶対連続関数と $W^{1,p}$ 関数の合成)

$p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ とする。

• (1) $\R$ 上の $\L^n$ -可測関数 $f$ について $f(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n)$ はwell-definedである。
• (2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ とする。$u$ が

$$G(u),G'(u)D_iu\in L^p_{\loc}(\Omega)\ (i=1,...n)$$ をみたすとすると $$G(u)\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu\ (i=1,\ldots ,n).$$

Proof.

(1)を示す。$f$ のBorel可測な代表元 $f_1$ をとると $f_1(u)D_iu$ は $\L^n$ -可測である。また $f_2$ を $f$ の別の代表元とすると補題 24より $$D_iu=0\ \ae\on\{x\in\Omega\colon f_1(u(x))\neq f_2(u(x))\}$$ であるから $f_1(u)D_iu=f_2(u)D_iu$ a.e. in $\Omega$ となる。これより $f(u)D_iu$ はwell-definedである。

(2)を示す。定理 22 と同様に $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$、$G(0)=0$ の場合を示せば十分。

$G'\in L^\infty(\R)$ の場合を示す。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon\colon=\eta_\varepsilon*G-\eta_\varepsilon*G(0)$ とする。$G_\varepsilon\in C^\infty(\R)$、$|G_\varepsilon'|\le\norm{G'}_\infty$、$G_\varepsilon(0)=0$ であるから定理 22より $$G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_\varepsilon(u))=G_\varepsilon'(u)D_iu.$$ また $G_\varepsilon\to G,G_\varepsilon'\to G'$ a.e. in $\R\ (\varepsilon\to +0)$ であり、補題 24より $G_\varepsilon(u(x))\to G(u(x)),G_\varepsilon'(u(x))\to G'(u(x))\ (\varepsilon\to +0)$ とならないほどんど全ての $x\in\Omega$ について $D_iu(x)=0$ であるから $$G_\varepsilon(u)\to G(u),G_\varepsilon'(u)D_iu\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (\varepsilon\to +0).$$ $|G(u)|\le\norm{G'}_\infty|u|$、$|G_\varepsilon'(u)D_iu|\le\norm{G'}_\infty|D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{G_\varepsilon(u)-G(u)}_p,\norm{G_\varepsilon'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0).$$ 従って $$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G(u)D_iu.$$

$u\in L^\infty(\Omega)$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty(B_2(0))$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ をとり、$m\in\Zp$ として $\zeta_m(x)\colon=\zeta(m^{-1}x)\ (x\in\R^n)$ とする。

$M\gt 0$ について $G_M(t)\ (t\in\R)$ を $$G_M(t)= \begin{cases} \int_0^t\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\ge 0\\ -\int_0^{-t}\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}ds\ &\colon t\lt 0\\ \end{cases}$$ と定める。このとき $|G_M'|\le M$、$G_M'=\min\{\max\{G',-M\},M\}$、$G_M(0)=0$。

$|G_M'|\le M$、$G_M(0)=0$ より $|G_M(t)|\le M|t|\ (t\in\R)$ であるから $G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$ で $\supp G_M(u)\subset B_{2m}(0)$ より $\supp G_M(\zeta_mu)\in L^p(\Omega)$。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より $$G_M(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G_M(u))=\min\{\max\{G'(u),-M\},M\}D_iu.$$ また $$|G_M(t)|\le \begin{cases} \int_0^t|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^t|G'(s)|ds\ &\colon t\ge 0\\ \int_0^{-t}|\min\{\max\{G'(s),-M\},M\}|ds\le\int_0^{-t}|G'(s)|ds\ &\colon t\lt 0\\ \end{cases}$$ であるから $$|G_M(u)|\le\int_{-\norm{u}_\infty}^{\norm{u}_\infty}|G'(s)|ds.$$ またLebesgueの収束定理より各 $t\in\R$ について $G_M(t)\to G(t)\ (M\to\infty)$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{\zeta_mG_M(u)-\zeta_mG(u)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$ また $t\in\R$ について $\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\le |G'(t)|$、$\min\{\max\{G'(t),-M\},M\}\to G'(t)\ (M\to\infty)$ であるから $|D_i(\zeta_mG_M(u))|\le|D_i\zeta_m||G_M(u)|+|\zeta_m||G(u)D_iu|$、$D_i(\zeta_mG_M(u))\to D_i\zeta_mG(u)+\zeta_mG'(u)D_iu\ (M\to\infty)$。Lebesgueの収束定理より $$\norm{D_i(\zeta_mG_M(u))-(D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu)}_p\to 0\ (M\to\infty).$$ よって $$\zeta_mG(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(\zeta_mG(u))=D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu.$$ $m\to\infty$ とすれば $\norm{\zeta_mG(u)-G(u)}_p,\norm{D_i\zeta_mG_M(u)+\zeta_mG'(u)D_iu-G'(u)D_iu}_p\to 0$ となるので $$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu.$$

一般の場合を示す。$M,N\ge 0$ について $$u_{M,N}\colon=\min\{\max\{u,-N\},M\}$$ とする。$G'\in L^\infty(\R)$ の場合より $$u_{M,N}\in W^{1,p}(\Omega),D_iu_{M,N}=D_iu\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}.$$ また $|u_{M,N}|\le \max\{M,N\}$ で、 $$|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|=|G'(u_{M,N})D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}=|G'(u)D_iu|\chi_{\{-N\lt u\lt M\}}\le|G'(u)D_iu|$$ となるので $u\in L^\infty(\Omega)$ の場合より $$G(u_{M,N})\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u_{M,N}))=G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}.$$

a.e. $x\in\Omega$ について $M,N\gt|u(x)|$ とすれば $u_{M,N}(x)=u(x)$ となることから $$G(u_{M,N})\to G(u),G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}\to G'(u)D_iu\ \ae\inn\Omega\ (M,N\to\infty).$$ $|G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}|\le|G'(u)D_iu|$ であるからLebesgueの収束定理より $$\norm{G'(u_{M,N})D_iu_{M,N}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (M,N\to\infty).$$

また $j\in\Zz$ について次のように $L_j,M_j,N_j\ge 0$ をとる:

$L_0=M_0=N_0\colon=0$ とする。

$L_j,M_j,N_j$ がとれたとする。 $|\{|u|\gt L\}|\to 0\ (L\to\infty)$ に注意し、$L_{j+1}$ を $$L_{j+1}\ge L_j+1,|G(L_j)|^p|\{u\gt L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)},|G(-L_j)|^p|\{u\lt -L_{j+1}\}|\lt 2^{-(j+1)}$$ となるようにとる。$M_{j+1},N_{j+1}$ を $M_{j+1},N_{j+1}\in [L_j,L_{j+1}]$ かつ $$|G(M_{j+1})|=\inf_{[L_j,L_{j+1}]}|G|,|G(-N_{j+1})|=\inf_{[-L_{j+1},-L_j]}|G|$$ となるようにとる。

このとき $j\in\Zp$ とすると $M_j,N_j\le L_j$ で $t\in[M_j,L_j]$ について $|G(M_j)|\le|G(t)|$、$t\in[-L_j,-N_j]$ について $|G(-N_j)|\le|G(t)|$。これより $$|G(u_{M_j,N_j})|\chi_{\{|u|\le L_j\}}= \begin{cases} |G(-N_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [-L_j,-N_j]\\ |G(u)|&\colon u\in(-N_j,M_j)\\ |G(M_j)|\le|G(u)|&\colon u\in [M_j,N_j]\\ 0&\colon |u|\gt L_j .\end{cases} $$ また $\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to 1$ a.e. in $\Omega\ (j\to\infty)$ より $$G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}\to G(u)\ \ae\inn\Omega\ (j\to\infty).$$ Lebesgueの収束定理より $$\norm{G(u_{M_j,N_j})\chi_{\{|u|\le L_j\}}-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$ また $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1$ より $M_j,N_j\to\infty\ (j\to\infty)$ であり、 \begin{align*} \int_\Omega|G(u_{M_j,N_j})|^p\chi_{\{|u|\gt L_j\}}&=\int_\Omega(|G(M_j)|^p\chi_{\{u\gt M_j\}}+|G(-N_j)|^p\chi_{\{u\lt -N_j\}})\\ &=|G(M_j)||\{u\gt M_j\}|+|G(-N_j)||\{u\gt -N_j\}|\\ &\le|G(L_j)||\{u\gt L_{j-1}\}|+|G(-L_j)||\{u\gt -L_{j-1}\}|\\ &\le 2^{1-j}\to 0\ (j\to\infty). \end{align*} 従って $$\norm{G(u_{M_j,N_j})-G(u)}_p\to 0\ (j\to\infty).$$ $M_j,N_j\ge L_{j-1}\ge j-1\to\infty\ (j\to\infty)$ より $$\norm{G'(u_{M_j,N_j})D_iu_{M_j,N_j}-G'(u)D_iu}_p\to 0\ (j\to\infty)$$ となることとあわせて $$G(u)\in W^{1,p}(\Omega),D_i(G(u))=G'(u)D_iu$$ が成り立つ。

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差分商による特徴づけ

定義 26 (差分商)

$f\colon\Omega\to\R$ と開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ について $$\Delta^h_z f(x)\colon=\frac{f(x+hz)-f(x)}{h}\ (x\in\Omega',i=1,\ldots ,n)$$ により $f$ の $z$ 方向の差分商 $\Delta^h_z f\colon\Omega'\to\R$ を定める。$\Delta^h_{e_i} f$ は $\Delta^h_i f$ と書く。

命題 27 (差分商の初等的性質)

開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $\partial B_1(0)$ について次が成り立つ:

• (1) $f\in C^1(\Omega)$ について

$$\Delta^h_z f(x)=\int_0^1 D_if(x+thz)dt\ (x\in\Omega').$$

• (2) $f\colon\Omega\to\R$ について

$$\Delta^h_z(fg)(x)=\Delta^h_zf(x)g(x)+f(x+hz)\Delta^h_zg(x)=\Delta^h_zf(x)g(x+hz)+f(x)\Delta^h_zg(x)\ (x\in\Omega').$$

• (3) $f\colon \Omega\to\R$ と $g\colon\R^n\to\R$ が $\L^n$ -可測で $\supp g\subset\Omega'$ かつ $f(\cdot+hz)g,fg\in L^1(\Omega)$ とすると

$$\int_{\Omega'}\Delta^h_zfg=-\int_{\Omega}f\Delta^{-h}_zg.$$

Proof.

(1) は微積分基本公式から直ちに従う。

(2) は $$f(x+hz)g(x+hz)-f(x)g(x)=(f(x+hz)-f(x))g(x)+f(x+hz)(g(x+hz)-g(x))$$ から従う。

(3) は \begin{align*} \int_{\Omega'} \Delta^h_zfg&=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'} f(x+hz)g(x)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\ &=\frac{1}{h}\left(\int_{\Omega'+hz} f(x)g(x-hz)dx-\int_{\Omega'} f(x)g(x)dx\right)\\ &=-\frac{1}{-h}\left(\int_\Omega f(x)g(x-hz)dx-\int_\Omega f(x)g(x)dx\right)\\ &=-\int_\Omega f\Delta^{-h}_zg \end{align*} となり従う。

□

$p\in(1,\infty]$ のとき、差分商を用いて $W^{1,p}(\Omega)$ を特徴づけることができる。差分商は微分可能性を仮定することなく定義できるため、この特徴づけは $u\in W^{1,p}(\Omega)$ を示す上でしばしば有用なものである。

補題 28

• (1) $p,p'\in[1,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $z\in\partial B_1(0)$ について

$$\norm{D_zu}_p=\sup\left\{\int_\Omega uD_z\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}.\tag{*}\label{difqlem1}$$ ここで $\displaystyle D_zu\colon=z\cdot Du$ である。

• (2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ で各 $i=1,\ldots ,n$ について(\ref{difqlem1})の右辺が有限であれば $u\in W^{1,p}(\Omega)$ である。

Proof.

(1)を示す。(\ref{difqlem1})の右辺を $A_z$ とおく。$\varphi\in C^\infty(\Omega)$ について $$\int_\Omega uD_z\varphi=-\int_\Omega D_zu\varphi$$ であるから $$A_z=\sup\left\{-\int_\Omega D_zu\varphi\colon\varphi\in C^\infty_c(\Omega),\norm{\varphi}_{p'}\le 1\right\}=\norm{D_zu}_p.$$

(2)を示す。$A_i=A_{e_i}\lt\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とすると $\varphi\mapsto\int_\Omega uD_i\varphi$ は $L^{p'}(\Omega)$ 上の有界線型汎関数に拡張され、$p'\in[1,\infty)$ よりこの汎関数はある $v_i\in L^p(\Omega)$ を用いて $\varphi\mapsto-\int_\Omega v_i\varphi$ と表される。従って $$\int_\Omega uD_i\varphi=-\int_\Omega v_i\varphi\ (\forall\varphi\in C^\infty_c(\Omega))$$ となり $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$D_iu=v_i$ となる。

□

注意

(2)は $p=1$ の場合は成り立たない。例えば $n=1$、$\Omega=\R$、$u=\chi_{(0,\infty)}$ とすると $\varphi\in C^\infty_c(\R)$、$\norm{\varphi}_\infty\le 1$ について $\int_\R u\varphi'=\int_0^\infty \varphi'=-\varphi(0)\le 1$ となる。一方 $u\in W^{1,1}(\Omega)$ であったとして $v=u'$ とすると任意の $\varphi\in C^\infty_c(\R)$ について $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ となり、とくに $x\in\R\backslash\{0\}$ として $\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとると $\eta_\varepsilon*v(x)=\eta_\varepsilon(x)=0$ となるので $\eta_\varepsilon*v\to 0$ a.e. in $\R$ であり $v=0$ となるがこれは $\int_\R v\varphi=\varphi(0)$ に矛盾する。

定理 29 ($W^{1,p}(\Omega)$ の差分商による特徴づけ)

• (1) $\Omega'\rcpt\Omega$ を開集合とする。$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ と $z\in\partial B_1(0)$ と $p\in[1,\infty]$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について

$$\norm{\Delta^h_z u}_{p;\Omega'}\le \norm{D_zu}_p.$$

• (2) $p\in(1,\infty]$ の場合は逆に $u\in L^p(\Omega)$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ と $0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ なる $h\in\R$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば

$$u\in W^{1,p}(\Omega),\norm{D_iu}_{p;\Omega}\le C_i\ (i=1,\ldots ,n).$$

Proof.

(1)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ について $$\int_{\Omega'}\Delta^h_z u\varphi=-\int_\Omega u\Delta^{-h}_z\varphi=-\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_z\varphi(x-thz)dt\right)dx$$ で、補題 28より $t\in[0,1]$ について $$-\int_\Omega u(x)\varphi(x-thz)dx\le\norm{D_zu}_p.$$ よって $\norm{\Delta^h_zu}_p\le\int_0^1\norm{D_zu}_pdt=\norm{D_zu}_p$。

(2)を示す。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$、$\norm{\varphi}_{p'}\le 1$ として開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ を $\supp\varphi\subset\Omega'$ となるようにとると十分小さい $h\gt 0$ について $$C_i\ge-\int_\Omega\Delta^h_i u(x)\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\Delta^{-h}_i\varphi(x)dx=\int_\Omega u(x)\left(\int_0^1 D_i\varphi(x-the_i)dt\right)dx$$ で、$h\to +0$ とすれば $$\int_\Omega uD_i\varphi\le C_i$$ となる。補題 28より $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{D_iu}_p\le C_i$。

□

注意

$\Omega\subset\Rnp$ とし、$T\subset\pOm$ を $T\subset\pRnp$ なる相対開集合とする。$\Omega'\rcpt\OmT$ を開集合とし、$h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm\backslash T)$ とすると、$z\in\partial B_1(0)\cap\pRnp$ については $f\colon\Omega\to\R$ の差分商 $\Delta^h_i f\colon\Omega'\to\R$ を定義することができる。$p\in(1,\infty]$、$u\in L^p(\Omega)$、$i=1,\ldots ,n-1$ について、$C_i\ge 0$ が存在して任意の開集合 $\Omega'\rcpt\OmT$ と $h\in\R$、$0\lt|h|\lt\frac{1}{2}\dist(\Omega',\pOm)$ について $\norm{\Delta^h_i u}_{p;\Omega'}\le C_i$ が成り立てば $u$ の弱微分 $D_iu$ が存在し $$\norm{D_iu}_p\le C_i\ (i=1,\ldots ,n-1)$$ となることが定理 29と同様に示される。これは境界の近傍における $u$ の正則性を調べる上で重要となるが、法線微分 $D_nu$ が存在するかは別の方法で調べる必要がある。

$p=\infty$ の場合

$W^{k,\infty}(\Omega)$ は著しく特殊であり、Lipschitz連続性によって特徴づけることができる。

定理 30 ($W^{k,\infty}(\Omega)$ の特徴づけ)

$k\in\Zp$ とする。

• (1) $C^{k-1,1}(\Ombar)\subset W^{k,\infty}(\Omega)$ で $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$ について

$$\norm{D^ku}_{\infty;\Omega}\le[u]_{k-1,1;\Omega}.$$ さらに $\Omega$ がHölder空間の基本事項の補題14の($\dagger$)をみたすとすると $W^{k,\infty}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,\infty}(\Omega)$ について $$[u]_{k-1,1;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{D^ku}_{k,\infty;\Omega}.$$

• (2) 任意の開集合 $\Omega\subset\R^n$ について

$$W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega).$$

また $u\in W^{k,\infty}_{\loc}(\Omega)=C^{k-1,1}(\Omega)$ について、$k$ 階以下の各点での微分と弱微分は一致する。

Proof.

$k=1$ の場合を示せば十分。

(2)は(1)と凸領域が($\dagger$)をみたすことから直ちに従う。

(1)を示す。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると任意の $\Omega'\rcpt\Omega$ について $\Delta^h_iu$ は $h\to +0$ とすると $\Omega'$ 上で各点微分の意味の $D_iu$ に収束する。$\varphi\in C^\infty_c(\Omega')$ について $$\int_\Omega D_iu\varphi=\lim_{h\to 0}\int_{\Omega'}\Delta^h_iu\varphi=-\lim_{h\to 0}\int_\Omega u\Delta^{-h}_i\varphi=-\int_\Omega uD_i\varphi.$$ これより $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ で、$u$ は弱微分は a.e. in $\Omega$ で $u$ の各点微分と一致する。また $\norm{D_iu}_\infty\le[u]_{0,1}$。

逆に $u\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ とし、$x_0=x$、$x_N=y$、$l(p)\le L|x-y|$ となるように $\Omega$ 内の折れ線 $p=\{x_i\}_{i=0}^N$ をとる。$\displaystyle \bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}$ はコンパクトより開集合 $\Omega'\rcpt\Omega$ をとって $\displaystyle\bigcup_{i=0}^N\{(1-t)x_i+tx_{i+1}\colon t\in[0,1]\}\subset\Omega'$ とできる。$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるようにとる。十分小さい $\varepsilon\gt 0$ をとると任意の $i=0,\ldots ,N-1$ と $t\in[0,1]$ について $B_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1})\subset\Omega'$ となり $$|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})|\le C\norm{D(\zeta u)}_{\infty;\Omega'}=C\norm{Du}_{\infty;\Omega'}\ (j=1,\ldots ,n).$$ これより $i=0,\ldots ,N-1$ について \begin{align*} |\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_{i+1})-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x_i)|&=\left|\int_{\R^n}(\eta_\varepsilon(x_{i+1}-z)-\eta_\varepsilon(x_i-z))(\zeta u)(z)dz\right|\\ &=\left|\int_{\R^n}\left(\int_0^1 D\eta_\varepsilon((1-t)x_i+tx_{i+1}-z)\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right)(\zeta u)(z)dz\right|\\ &=\left|\int_0^1\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})\cdot(x_{i+1}-x_i)dt\right|\\ &=\int_0^1|\eta_\varepsilon*D(\zeta u)((1-t)x_i+tx_{i+1})||x_{i+1}-x_i|dt\\ &\le C\norm{Du}_{\infty}|x_{i+1}-x_i| \end{align*} となり $$|\eta_\varepsilon*(\zeta u)(y)-\eta_\varepsilon*(\zeta u)(x)|\le C\norm{Du}_\infty l(p)\le C\norm{Du}_\infty|x-y|.$$ $\varepsilon\to+0$ すれば、$u$ のLebesgue点 $x,y\in\Omega'$ について $$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|$$ が成り立つ。$\Omega$ のほとんど全ての点が $u$ のLebesgue点であり、とくに $u$ のLebesgue点は $\Omega$ で稠密であるから、$u^*\colon\Omega\to\R$ を $u$ のLebesgue点で $u^*=u$ かつ $|u^*(x)-u^*(y)|\le C\norm{Du}_\infty|x-y|\ (\forall x,y\in\Omega)$ となるようにとれる。これより $$u=u^*\in C^{0,1}(\Ombar),[u]_{0,1}\le C\norm{Du}_\infty.$$

□

注意

同様にして $T\subset\pOm$ がHölder空間の基本事項の系16の($\dagger_\loc$)をみたすとき $W^{k,\infty}_\loc(\Omega)\subset C^{k-1,1}(\Omega\cup T)$ となることが証明できる。

$\gamma\colon [a,b]\to\Omega$ をLipschitz曲線とし、$u\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $u\circ\gamma\in C^{0,1}([a,b])=W^{1,\infty}(a,b)$ となるので $x\colon=\gamma(a)$、$y\colon=\gamma(b)$ とすれば $$u(y)=u(x)+\int_a^b (u\circ\gamma)'(t)dt$$ が成り立つ。とくに a.e. $t\in(a,b)$ について $u$ が $\gamma(t)$ において微分可能であれば $$u(y)=u(x)+\int_a^b Du(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt$$ が成り立つ。

変数変換公式

定理 31 (変数変換公式)

$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $$u\circ\psi\in W^{1,p}(\widetilde{\Omega}),D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$ とくに $$\norm{u\circ\psi}_{1,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{\psi}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

Proof.

$u\in C^{0,1}(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$u$ はa.e. in $\Omega$ で微分可能で、定理 30より各点微分は弱微分と一致する。また $\psi^{-1}$ がLipschitz写像であることから $|\{y\in\widetilde{\Omega}\colon\ u\ は\ \psi(y)\ で微分不可能\}|=|\psi^{-1}(\{x\in\Omega\colon u\ は\ x\ で微分不可能\})|=0$ となり、a.e. $y\in\widetilde{\Omega}$ について $u$ は $\psi(y)$ で微分可能である。 $\psi$ はa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能であるから $u\circ\psi$ もa.e. in $\widetilde{\Omega'}$ で微分可能で $$D_j(u\circ\psi)=\sum_{i=1}^n (D_iu\circ\psi)D_j\psi_i.$$ $p=\infty$ の場合は $\norm{u\circ\psi}_\infty=\norm{u}_\infty$ と $$\norm{D_j(u\circ\psi)}_\infty\le\sum_{i=1}^n \norm{D_iu\circ\psi}_\infty\norm{D_j\psi_i}_\infty\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_\infty$$ より $$u\circ\psi\in W^{1,\infty}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1,\infty}\le C\norm{u}_{1,\infty}$$ が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の場合はarea不等式(Hausdorff測度とarea_coarea_formulaの定理19)より $$\int_{\Omega'}|u\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |u|^p.$$ また $D\psi$ は $\Omega'$ 上で有界であるから $i,j\in\{1,\ldots ,n\}$ について $$\int_{\Omega'}|(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i|^p\le C\int_{\Omega'}|D_iu\circ\psi|^p\le C\int_\Omega |D_iu|^p$$ となるので $$\norm{D_j(u\circ\psi)}_p\le \sum_{i=1}^n\norm{(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\le C\sum_{i=1}^n\norm{D_iu}_p$$ となり $$u\circ\psi\in W^{1,p}(\Omega),\norm{u\circ\psi}_{1;p}\le C\norm{u}_{1;p}$$ が成り立つ。

$p\in[1,\infty)$ の一般の場合は $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ を $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるようにとると $$\norm{u_m-u}_p,\norm{\sum_{i=1}^n(D_iu_m\circ\psi)D_j\psi_i-\sum_{i=1}^n(D_iu\circ\psi)D_j\psi_i}_p\to 0\ (m\to\infty)$$ となることから従う。

□

系 32

$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon \widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi,\psi^{-1}$ はともに $C^{k-1,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合とし、$\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$ とする。$u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$u\circ\psi\in W^{k,p}(\widetilde{\Omega}),\norm{u\circ\psi}_{k,p;\widetilde{\Omega}}\le C_{k,\psi}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

Proof.

定理 31と積の微分を用いて $k$ に関する帰納法により証明できる。

□

Sobolev空間 $W^{k,p}_0(\OmT)$

定義 33 ($W^{k,p}_c(\OmT),W^{k,p}_0(\OmT)$)

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$W^{k,p}_c(\OmT)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ のノルムでの閉包を $W^{k,p}_0(\OmT)$ と表す。$W^{k,p}_0(\Omega\cup\emptyset)$ は単に $W^{k,p}_0(\Omega)$ とかく。

注意

定理 18の注意より、$T$ が線分条件をみたす場合は $C^\infty_c(\OmT)\subset W^{k,p}_0(\OmT)$ は稠密である。とくに $C^\infty_c(\Omega)\subset W^{k,p}_0(\Omega)$ は稠密である。

$W^{1,p}_0(\OmT)$ は「弱い意味で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ 」となる関数の空間としてよく用いられ、より高階の微分可能性と組み合わせて $W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\OmT)$ などの形で用いられることがある。なお、この空間を $W^{2,p}_0(\OmT)$ と混同しないように注意せよ。

$W^{k,2}_0(\OmT)$ は $H^k_0(\OmT)$ と書かれることが多い。

命題 34 ($u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ の拡張)

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$D\subset\R^n$ は開集合で $\Omega\subset D$、 $T\subset\partial D$ をみたすとする。このとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について $$v\colon=\begin{cases} u&\ \inn\Omega\\ 0&\ \on D\backslash\Omega \end{cases}$$ とすると $v\in W^{k,p}_0(D\cup T)$ である。

Proof.

$u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とする。$\dist(\supp u,\pOm\backslash T)\gt 0$ より $\zeta\in C^\infty(\Omega)$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ かつ $\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ となるようにとれる。$\zeta=0$ on $D\backslash\Omega$ として $\zeta$ を $D$ 上に拡張すると $D\cap\pOm\subset\pOm\backslash T$ の近傍で $\zeta=0$ より $\zeta\in C^\infty(D)$。また $\supp\zeta\rcpt\OmT$。

$\varphi\in C^\infty_c(D)$ とすると $\zeta\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$。$D_i\zeta=0$ on $\supp u$ に注意すると $$\int_D vD_i\varphi=\int_\Omega \zeta uD_i\varphi=\int_\Omega u(D_i(\zeta\varphi)-D_i\zeta\varphi)=-\int_\Omega D_iu\zeta\varphi=-\int_\Omega D_iu\varphi.$$ これより $v\in W^{1,p}(D)$。また $\supp v=\supp u\rcpt D\cup T$ で、$Dv=Du$ in $\Omega$、$Dv=0$ on $D\backslash\Omega$。

帰納法により $u\in W^{k,p}_c(\OmT)$ のとき $v\in W^{k,p}_c(D\cup T)$ となる。近似により主張が従う。

□

注意

以下では $\Omega\subset D$、 $T\subset\partial D$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ とそのここで構成した $D$ 上への拡張を区別せず $W^{k,p}_0(\OmT)\subset W^{k,p}_0(D\cup T)$ と見做す。

命題 35 (部分積分)

$p\in[1,\infty)$ とする。$T_1,T_2\subset\pOm$ は $T_1\cap T_2=\emptyset$ をみたすとする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_0(\OmT_2)$ とすると $$\int_\Omega D_iuv=-\int_\Omega uD_iv\ (i=1,\ldots ,n)$$

Proof.

近似により $u\in W^{1,p}_c(\OmT_1)$、$v\in W^{1,p'}_c(\OmT_2)$ としてよい。$uv,D_iuv+uD_iv\in L^1(\Omega)$ より $uv\in W^{1,1}(\Omega)$。$T_1\cap T_2=\emptyset$ より $\supp uv\rcpt\Omega$ であるから $uv\in W^{1,1}_c(\Omega)$。$C^\infty_c(\Omega)\subset W^{1,1}_0(\Omega)$ は稠密であるから近似により $\displaystyle \int_\Omega D_i(uv)=0$。これより主張が従う。

□

命題 36

$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。$u\in W^{1,p}(\Omega)$ が任意の有界な $S\subset\pOm\backslash T$ について $$\limsup_{x\to S}|u(x)|\colon=\lim_{\delta\to +0}\esssup_{\dist(x,S)\lt\delta}|u(x)|=0$$ をみたすとすると $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

Proof.

$\supp u$ が有界な場合を示す。$B=B_R(0)$ を $\supp u\rcpt B$ となるようにとる。

$G\in C^1(\R)$ を $G(t)=0$ if $|t|\lt 1$、$G(t)=t$ if $|t|\gt 2$ となるようにとる。$G'(t)=1$ if $|t|\gt 2$ より $G'\in L^\infty(\R)$。$\varepsilon\gt 0$ について $G_\varepsilon(t)\colon=\varepsilon G(\varepsilon^{-1}t)$ とする。このとき $G_\varepsilon(t)=0$ if $|t|\lt\varepsilon$、$G_\varepsilon(t)=t$ if $|t|\gt\varepsilon$、$|G'_\varepsilon|\le\norm{G'}_\infty$ であるから定理 22より $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$。また仮定より十分小さい $\delta\gt 0$ をとると $$|u|\lt\varepsilon\ \ae\inn\{x\in\Omega\colon\dist(x,(\pOm\cap B)\backslash T)\lt\delta\}\cup(\R^n\backslash B_{R-\delta}(0)).$$ これより $$\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\cap B)\backslash T),\dist(\supp G_\varepsilon(u),(\pOm\backslash B)\backslash T)\ge\delta$$ 従って $\dist((\supp G_\varepsilon(u),\pOm\backslash T)\gt 0$ となり $G_\varepsilon(u)\in W^{1,p}_c(\OmT)$。

$u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $G_\varepsilon(u(x))=u(x)$ となり、$u(x)=0$ なる $x\in\Omega$ については $G_\varepsilon(u(x))=u(x)=0$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{G_\varepsilon(u)-u}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。また $u(x)\neq 0$ なる $x\in\Omega$ について $\varepsilon\lt \frac{1}{2}|u(x)|$ とすれば $D(G_\varepsilon(u(x)))=G'_\varepsilon(u(x))Du(x)=Du(x)$ となり、$G'_\varepsilon(0)=0$ と補題 24より $D(G_\varepsilon(u))=G'_\varepsilon(u)Du=0=Du$ a.e. on $\{u=0\}$ となるのでLebesgueの収束定理より $\norm{D(G_\varepsilon(u))-Du}_p\to 0\ (\varepsilon\to +0)$。これより $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

$\Omega$ が有界でない場合は $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、 $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ とすると仮定より明らかに $\zeta_mu$ も同じ仮定をみたし $\supp\zeta_mu$ は有界であるから $\zeta_mu\in W^{1,p}_0(\OmT)$。$m\to\infty$ として主張を得る。

□

注意

とくに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Ombar\backslash T)$ で $u=0$ on $\pOm\backslash T$ であれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ となる。

命題 37 (合成関数と積)

$p\in[1,\infty)$ とし、$T\subset\pOm$ を相対開集合とする。

• (1) $G\in C^1(\R^m)$ が

$$G(0,\ldots,0,t_{j+1},\ldots,t_m)=0\ (t_{j+1},\ldots,t_m\in\R)$$ をみたすとする。$u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ が $$u_1,\ldots,u_j\in W^{1,p}_0(\OmT)$$ かつ $$G(u),\sum_{j=1}^m D_jG(u)D_iu_j\in L^p(\Omega)\ (i=1,\ldots,n)$$ をみたすとすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT).$

• (2) $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$、$G(0)=0$ とする。$u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$G(u),G'(u)D_iu\in L^p(\Omega)$ とすると $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$。
• (3) $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$、$v\in W^{1,p}(\Omega)$ が $uv,D_iuv+uD_iv\in L^p(\Omega)$ をみたすとすると $uv\in W^{1,p}_0(\OmT)$。

Proof.

(1)の $DG\in L^\infty(\R^m)$ の場合は定理 18の注意より定理 22の証明で $u^{(k)}=(u^{(k)}_1,\ldots ,u^{(k)}_m)$ を $u^{(k)}_1,\ldots,u^{(k)}_j\in W^{1,p}_c(\OmT)$ となるようにとれ、このとき $\supp G(u^{(k)})\rcpt\OmT$ となり $G(u)\in W^{1,p}_0(\OmT)$ が従う。一般の場合は定理 22と同様である。

(2)は(1)より定理 25の証明で $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\OmT)$ にとりかえられることから従う。

□

Sobolev空間 $W^{-k,p}(\Omega)$

定義 38 ($W^{-k,p}(\Omega)$)

$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$W^{k,p'}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p';\Omega}$ に関する双対空間を $W^{-k,p}(\Omega)$ と表す。

命題 39

$k\in\Zp$、$p\in(1,\infty]$ とする。$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ について $g_\alpha\in L^p(\Omega)\ (|\alpha|\le k)$ が存在し $$\langle \varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (\forall u\in W^{k,p}_0(\Omega))\tag{*}\label{rep}$$ かつ $$\norm{\varphi} =\begin{cases} \left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_{p;\Omega}^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\ \max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_{\infty;\Omega} &\colon p=\infty \end{cases}.$$ ここで $\norm{\cdot}$ は $W^{k,p}_0(\Omega)$ のノルム $\norm{\cdot}_{k,p;\Omega}$ に関する双対ノルムである。

Proof.

$|\alpha|\le k$ なる多重指数 $\alpha$ を $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$ と番号づけて $W^{k,p'}_0(\Omega)$ を $u\mapsto (D^{\alpha_1}u,\ldots ,D^{\alpha_N}u)$ により $L^{p'}(\Omega)^N$ の部分空間と見做す。Hahn-Banachの定理より $\varphi$ は $\varphi'\in(L^{p'}(\Omega)^N)^*$ に拡張でき、$\norm{\varphi'} =\norm{\varphi}$。ここで $\norm{\varphi'}$ は $L^p(\Omega)^N$ のノルム $$\norm{(f_1,\ldots ,f_N)} =\left(\sum_{i=1}^N|f_i|^p\right)^\frac{1}{p}$$ に関する双対ノルムである。$\varphi'$ は $\varphi'_i\in (L^{p'}(\Omega))^*\ (i=1,\ldots ,N)$ を用いて $$\langle \varphi',f\rangle=\sum_{i=1}^N\langle \varphi'_i,f_i\rangle\ (f=(f_1,\ldots ,f_N)\in L^{p'}(\Omega))$$ と表され、 $$\norm{\varphi} =\norm{\varphi'} =\begin{cases} \left(\sum_{i=1}^N \norm{\varphi_i} ^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\ \max_{i=1,\ldots ,N}\norm{\varphi_i} &\colon p=\infty \end{cases}.$$ 各 $i=1,\ldots ,N$ について $g_i\in L^p(\Omega)$ が存在して $\langle \varphi'_i,f\rangle=(-1)^{|\alpha_i|}\int_\Omega g_if\ (f\in L^{p'}(\Omega))$、$\norm{\varphi'_i} =\norm{g_i}_p$。$g_i$ を $g_{\alpha_i}$ と書き直せば $$\langle\varphi,u\rangle=\sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega g_\alpha D^\alpha u\ (u\in W^{k,p'}_0(\Omega))$$ かつ $$\norm{\varphi} =\begin{cases} \left(\sum_{|\alpha|\le k} \norm{g_\alpha}_p^p\right)^\frac{1}{p}&\colon p\in(1,\infty)\\ \max_{|\alpha|\le k}\norm{g_\alpha}_\infty &\colon p=\infty \end{cases}$$ が成り立つ。

□

定義 40 ($W^{-k,p}(\Omega)$ の元の表示)

$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を(\ref{rep})をみたす $g_\alpha\in L^1_\loc(\Omega)$ を用いて $$\varphi=\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha$$ と表す。またこの表示により $\varphi=g$ と表される $\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $g\in L^1_\loc(\Omega)$ と同一視し、$L^p(\Omega)\subset W^{-k,p}(\Omega)$ と見做す。

注意

超関数の用語を用いて言い換えると、$\varphi\in W^{-k,p}(\Omega)$ を $\displaystyle\sum_{|\alpha|\le k}D^\alpha g_\alpha\in\D'(\Omega)$ と同一視して $W^{-k,p}(\Omega)\subset\D'(\Omega)$ と見做すということである。

$W^{-k,2}(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ と書かれることが多い。$H^k_0(\Omega)$ の双対空間は $H^k_0(\Omega)$ の内積構造を用いてRieszの表現定理によって $H^k_0(\Omega)$ 自身と同一視することもできる。しかし、定義 40によれば $H^k_0(\Omega)$ は $H^{-k}(\Omega)$ の真部分空間となることから、Rieszの表現定理による同一視は定義 40で与えたものと一致せず、どちらを採用するか選ぶ必要がある。$H^{-k}(\Omega)$ と書いた場合は、定義 40の方を採用する。

拡張作用素

定理 41 ($C^{0,1}$ 境界部分における局所拡張作用素)

$p\in[1,\infty]$ とし、$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分(Hölder空間の基本事項の定義28)とする。$\xi\in T$ について、$\xi$ の開近傍 $V\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(V\cap\Omega)\to W^{1,p}(V)$ であって $u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ について $Eu=u$ in $V\cap\Omega$ をみたすものが存在する。

Proof.

$u\in W^{1,\infty}(V\cap\Omega)\subset C^{0,1}(\Omega\cup T)$ についてHölder空間の基本事項の定理30より $\xi$ の開近傍 $V$ と $v=Eu\in C^{0,1}_c(V)$ が存在して $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。また系 32に注意すると、$Eu$ の構成から $p\in[1,\infty]$ について $\norm{Eu}_{1,p;V}\le C\norm{u}_{1,p;V\cap\Omega}$ も成り立つ。

$E$ は $W^{1,p}(V\cap\Omega)$ から $W^{1,p}(V)$ への有界線型作用素に一意的に拡張される。$u\in W^{1,p}(V\cap\Omega)$ とし、$u_m\in C^\infty(V\cap\Omega)\cap W^{1,p}(V\cap\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;V\cap\Omega}\to 0,u_m\to u$ a.e. in $V\cap\Omega\ (m\to\infty)$ とすると $\norm{Eu_m-Eu}_{1,p;V}\to 0$ で $Eu_m=u_m$ in $V\cap\Omega$ であるから $Eu=u$ in $V\cap\Omega$。

□

定理 42 ($C^{0,1}$ 領域における拡張作用素)

$p\in[1,\infty]$ とする。次が成り立つ:

• (1) $T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。また $u\in W^{1,p}_0(\OmT')$ のとき $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。
• (2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:

$$開集合D\subset\R^nとC^{0,1}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit$}\label{D}$$ このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)$ であって $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

• (3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると有界線型作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_c(D)$ ( $p\in[1,\infty]$ )で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $Eu=u$ in $\Omega$ をみたすものが存在する。

Proof.

(1)を示す。定理 41の $V=V_\xi$ から $V_1,\ldots,V_N$ を選んで $\displaystyle T'\subset\bigcup_{i=1}^N V_i$ となるようにする。$\OmT$ の開被覆 $\Omega,V_1,\ldots, V_N$ に従属する $1$ の分割 $\zeta_0\in C^\infty(\Omega)$、$\zeta_i\in C^\infty_c(V_i)$ をとり、拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega_i)\to W^{1,p}(V_i)$ を用いて $$\Omega_0\colon=\Omega\cup\bigcup_{i=1}^N V_i,Eu\colon=\zeta_0u+\sum_{i=1}^N \zeta_iE_iu$$ とすればよい。またこのとき $u\in W^{1,p}_c(\OmT)$ とすると明らかに $Eu\in W^{1,p}_c(\Omega_0)$ となるので $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $Eu\in W^{1,p}_0(\Omega_0)$。

(2)は命題 34と(1)から従う。(3)は(1)で $T=\pOm$ としたものから直ちに従う。

□

注意

構成より(1)、(2)の $\Omega_0$ は $\Omega_0\backslash\Omega$ が有界になるようにとれる。とくに $\Omega$ が有界であれば $\Omega_0$ も有界とでき、$|\Omega|\lt\infty$ であれば $|\Omega_0|\lt\infty$ とできる。

系 43

$T\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とすると $p\in[1,\infty)$ について $C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ において稠密である。

Proof.

定理 18の証明で、$v_i(\cdot+t_iy_i)$ の代わりに局所拡張作用素 $E_i\colon W^{1,p}(V_i\cap\Omega)\to W^{1,p}(V_i)$ をとって $\norm{w_i-E_iu}_{1,p;V_i}\lt 2^{-i}\delta$ をみたす $w_i\in C^\infty(V_i)\cap W^{1,p}(V_i)$ を用いればよい。

□

同様にして $\Omega$ が有界な $C^{k-1,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ への有界な拡張作用素を構成できる。

一方で、別の方法により $\Omega$ が有界なLipschitz領域のときに任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $W^{k,p}(\Omega)$ から $W^{k,p}(\R^n)$ へ有界となる拡張作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1(\R^n)$ を構成できる。

補題 44

次をみたす $h\colon[1,\infty)\to\R$ が存在する:任意の多項式関数 $P$ について $$Ph\in L^1(1,\infty),\int_1^\infty Ph=P(0).$$

Proof.

$\C\backslash[1,\infty)$ 上の正則関数 $f=f(z)$ を $$\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)$$ の $\arg\left((z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ なる枝により定める。$0\lt\delta\lt 1\lt R\lt\infty$ とし、$\C\backslash[1,\infty)$ 上のなめらかな曲線 $\gamma_i$、$i=1,2,3,4$ を \begin{align*} \gamma_1(t)&\colon=t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[1,R]),\\ \gamma_2(t)&\colon=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}\exp\left(\sqrt{-1}t\right)\ \left(t\in\left[\arctan\frac{\delta}{R},2\pi-\arctan\frac{\delta}{R}\right]\right)\\ \gamma_3(t)&\colon=R-t+\delta\sqrt{-1}\ (t\in[0,R-1])\\ \gamma_4(t)&\colon=\delta\exp\left(\pi\sqrt{-1}\left(\frac{3}{2}-t\right)\right)\ (t\in[0,1]) \end{align*} により定め、この順につないで得られる区分的になめらかな曲線を $\gamma$ とすると $\gamma$ は単純閉曲線となる。留数定理により多項式関数 $P$ について $$\int_\gamma P(z)z^{-1}f(z)dz=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0).$$ ここで $\arg\left(\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right)\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ であるから $$\left|\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(z-1)^\frac{1}{4}\right|\le\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(|z|+1)^\frac{1}{4}\right)$$ となり $$\left|\int_{\gamma_2}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\le 2\pi\sup_{|z|=(R^2+\delta^2)^\frac{1}{2}}|P(z)|\exp\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}(R+1)^\frac{1}{4}\right)\to 0\ (R\to+\infty).$$ また $P(z)z^{-1}f(z)\to P(1)\ (z\to 1)$ より $$\left|\int_{\gamma_4}P(z)z^{-1}f(z)dz\right|\to 0\ (\delta\to +0).$$ 一方 $\lambda\in[1,\infty)$ について \begin{align*} &\quad\lim_{\delta\to+0}P(\lambda+\delta\sqrt{-1})(x+\delta\sqrt{-1})f(\lambda+\delta\sqrt{-1})-\lim_{\delta\to+0}P(\lambda-\delta\sqrt{-1})(\lambda-\delta\sqrt{-1})f(\lambda-\delta\sqrt{-1})\\ &=P(\lambda)\lambda^{-1}\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)-\exp\left(-\exp\left(\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)\\ &=2\sqrt{-1}P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right). \end{align*} 従って $R\to +\infty,\delta\to +0$ とすると $$2\sqrt{-1}\int_1^\infty P(\lambda)\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)d\lambda=\frac{2\pi\sqrt{-1}}{e}P(0)$$ となる。これより $$ h(\lambda)=\frac{e}{\pi}\lambda^{-1}\Im\left(\exp\left(-\exp\left(-\frac{\pi\sqrt{-1}}{4}\right)(\lambda-1)^\frac{1}{4}\right)\right)$$ ととればよい。

□

定理 45 ($n=1$ の場合)

$I\subsetneq\R$ を開区間とする。線型作用素 $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ であって次をみたすものが存在する:

• $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について

$$Eu=u\ \inn I.$$

• 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(I))\subset W^{k,p}(\R)$ で $u\in W^{k,p}(I)$ について

$$\norm{Eu}_{k,p;\R}\le C_{k,|I|}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

Proof.

$I$ が非有界の場合を示す。$I=(0,\infty)$ としてよい。

補題 44の $h$ をとる。$u\in L^p(I)$ について積分形のMinkowskiの不等式により $$\norm{\int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda}_{p;(-\infty,0)}\le\int_1^\infty\norm{u((1-2\lambda)\cdot)}_{p;(-\infty,0)}|h(\lambda)|d\lambda\le\int_1^\infty\norm{u}_{p;I}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_{p;I}.$$ $u\in L^1(I)+L^\infty(I)$ について $$Eu(x)\colon=\begin{cases} u(x)&\colon x\in\overline{I}\\ \int_1^\infty u((1-2\lambda)\cdot)h(\lambda)d\lambda&\colon x\in(-\infty,0) \end{cases}$$ と定める。上で示したことより $E\colon L^1(I)+L^\infty(I)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ はwell-definedで、$L^p(\R)$ から $L^p(\R)$ へ連続である。

$u\in W^{1,p}(I)$ とすると定理 19より $-\infty\lt x\lt y\le 0$ について \begin{align*} Eu(x)&=\int_1^\infty\left(u(y)-\int_{(1-2\lambda)y}^{(1-2\lambda)x}u'(t)dt\right)h(\lambda)d\lambda\\ &=Eu(y)-\int_0^\infty\left((1-2\lambda)\int_x^y u'((1-2\lambda)s)ds\right)h(\lambda)d\lambda\\ &=Eu(y)-\int_x^0\left(\int_0^\infty u'((1-2\lambda)s)h(\lambda)d\lambda\right)ds\\ &=Eu(y)-\int_x^0 Eu'(s)ds. \end{align*} また $$\lim_{x\to +0}Eu(x)=\int_1^\infty u(0)h(\lambda)d\lambda=u(0).$$ これより $-\infty\lt x\lt 0\le y\lt\infty$ についても $$u(y)=u(0)+\int_0^y u'(t)dt=u(x)+\int_x^y Eu'(t)dt.$$ これより $$Eu\in W^{1,p}(\R),(Eu)'=Eu',\norm{(Eu)'}_{p;\R}\le C\norm{u'}_p.$$ 帰納法により任意の $k\in\Zp$ と $p\in[1,\infty]$ について $E$ は $W^{k,p}(I)$ から $W^{k,p}(\R)$ へ連続で $u\in W^{k,p}(I)$ について $(Eu)^{(k)}=Eu^{(k)}$ となる。

$I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$\zeta\in C^\infty([a,b])$ を $a$ の近傍で $1$ かつ $b$ の近傍で $1$ となるようにとると $u\in W^{k,p}(I)$ について $\zeta u\in W^{k,p}(a,\infty)$、$(1-\zeta)u\in W^{k,p}(-\infty,b)$ となるので、拡張作用素 $E_{a+}\colon L^1(a,\infty)+L^\infty(a,\infty)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ と $E_{b-}\colon L^1(-\infty,b)+L^\infty(-\infty,b)\to L^1(\R)+L^\infty(\R)$ をとって $Eu\colon=E_{a+}(\zeta u)+E_{b-}((1-\zeta)u)$ とすればよい。

□

補題 46

$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$ とし、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\lt\gamma(x')\}$ とする。次をみたす $\delta\in C^\infty(\Omega)\cap C^{0,1}(\Ombar)$ が存在する:

• $$\sup_{\Omega}D_n\delta\lt 0.$$
• 任意の多重指数 $\alpha$ について

$$|D^\alpha\delta(x',x_n)|\le C_{\alpha,\gamma}(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}\ \inn\Omega.$$

Proof.

$M\colon=\left(1+[\gamma]_{0,1}^2\right)^\frac{1}{2}$、$t\colon=1+(16M)^{-1}$ とする。また $m\in\Z$ について $\Omega_m\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n-\gamma(x')\lt -t^m\}\subset\Omega$ とする。

$(x',x_n),(y',y_n)\in\Omega$ について $$|(x_n-\gamma(x'))-(y_n-\gamma(y'))|^2\le([\gamma]_{0,1}|x'-y'|)^2+|x_n-y_n|^2\le M^2|(x',x_n)-(y',y_n)|$$ であるから $l\lt m$ について $\dist(\Omega_m,\pOm_l)\ge M^{-1}(t^m-t^l)$。

$\delta_m\colon=\eta_{(4M)^{-1}t^m}*\chi_{\Omega_m}$ とする。$N\in\Zp$ を $t^N\gt 2$ となるようにとると $\dist(\Omega_m,\pOm_{m-N})\gt (2M)^{-1}t^m$ となるので $\supp\delta_m\subset\Omega_{m-N}$。また $\dist(\Omega_{m+N},\pOm_m)\gt (2M)^{-1}t^{m+N}$ となるので $\delta_m=1$ in $\Omega_{m+N}$。とくに $\supp D\delta_m\subset\Omega\backslash\Ombar_{m+N}$ であり、$\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限である。また多重指数 $\alpha$ について $\norm{D^\alpha\delta_m}_\infty\le Ct^{-m|\alpha|}$。

一方 \begin{align*} D_n\delta_m(x',x_n)&=\int_{\Omega_m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n-y_n)dy\\ &=\int_{\R^{n-1}}\left(\int_{-\infty}^{\gamma(z')-t^m}D_n\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-z',x_n-z_n)dz'\right)\\ &=-\int_{\R^{n-1}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\le 0. \end{align*} また $(x',x_n)\in\Omega_m\backslash\Omega_{m+1}$ とすると $|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt t^{m+1}-t^m=(16M)^{-1}t^m$ であるから、$y'\in\R^n$ を $|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m$ となるようにとれば $$|(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y')|\le|(x'-y',\gamma(x')-\gamma(y'))|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt M|x'-y'|+|x_n+t^m-\gamma(x')|\lt(8M)^{-1}t^m$$ となり \begin{align*} D_n\delta(x',x_n)&\le -\int_{\{y'\in\R^{n-1}\colon|y'-x'|\lt(16M^2)^{-1}t^m\}}\eta_{(4M)^{-1}t^m}(x'-y',x_n+t^m-\gamma(y'))dy'\\ &\le -\omega_{n-1}\left((16M^2)^{-1}t^m\right)^{n-1}\cdot\left((4M)^{-1}t^m\right)^{-n}\inf_{B_\frac{1}{2}(0)}\eta\\ &=-ct^{-m},c=c_{n,M}\gt 0. \end{align*} $$\delta\colon=\sum_{l\in\Z}t^l\delta_l$$ とする。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp\delta_l\subset\Omega_{l-N}\subset\Omega_m$ となるので $\delta_l(x)=0$。これより $$\delta(x)=\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\delta_l\le\sum_{l=-\infty}^{m+N-1}t^l\le(t-1)^{-1}t^{m+N}\le C(\gamma(x')-x_n).$$ また $\{\supp D\delta_m\}_{m\in\Z}$ は局所有限であったから $\delta\in C^\infty(\Omega)$。$x=(x',x_n)\in\Omega_{m-1}\backslash\Omega_m$ とすると $l\ge m+N$ について $\supp D\delta_l\subset\Omega_m$ で、$l\le m-N-1$ について $\supp\delta_l\cap\Omega_{m-1}=\emptyset$ となるのでこれらの場合 $D^\alpha\delta(x)=0$。これより多重指数 $\alpha\gt 0$ について $$|D^\alpha\delta(x)|\le\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^l|D^\alpha\delta_l(x)|\le C\sum_{l=m-N}^{m+N-1}t^{l(1-|\alpha|)}\le C\left(2Nt^{(m-N)(1-|\alpha|)}\right)\le C(\gamma(x')-x_n)^{1-|\alpha|}.$$ とくに $D\delta$ は有界であり $\delta\in C^{0,1}(\Ombar)$ となる。

一方 $l\in\Z$ について $D_n\delta_l(x)\le 0$ で、$D_n\delta_m(x)\le -ct^{-m}$ であるから $$D_n\delta(x)\le -c.$$ 以上よりこの $\delta$ は条件をみたす。

□

注意

$|\delta(x)|\le C(\gamma(x')-x_n)$ より $\delta=0$ on $\pOm$ である。

定理 47 (Steinの拡張作用素)

$\gamma\in C^{0,1}_c(\R^{n-1})$、$\Omega\colon=\{(x',x_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon x_n\gt\gamma(x')\}$ とする。線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ であって次をみたすものが存在する:

• $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について

$$Eu=u \inn\Omega.$$

• 任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について

$$\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C_{k,\gamma}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

Proof.

補題 46の $\delta\in C^\infty(\R^n\backslash\Ombar)$ と補題 44 の $h$ をとり、$\displaystyle M\colon=-2\left(\sup_{\R^n\backslash\Ombar}D_n\delta\right)^{-1}$ とする。

$\lambda\ge 1$ について $\psi_\lambda\colon\R^n\backslash\Ombar\to\R^n$ を $$\psi_\lambda(x',x_n)=(x',x_n+M\lambda\delta(x))$$ により定める。$x'\in\R^{n-1}$、$t\in(-\infty,\gamma(x'))$ について $$\frac{\partial}{\partial t}(t+M\lambda\delta(x',t))=1+M\lambda D_n\delta(x',t)\le 1-2\lambda\lt 0.$$ また $\delta(x',\gamma(x'))=0$ より $\gamma(x')+M\lambda\delta(x',\gamma(x'))=\gamma(x')$ で $$\psi_\lambda(x',t)=\gamma(x')-\int_t^{\gamma(x')}(1+M\lambda D_n\delta(x',s))ds\le\gamma(x')+(2\lambda-1)(\gamma(x')-t)\to +\infty\ (t\to-\infty).$$ よって $(-\infty,\gamma(x'))\to(\gamma(x'),+\infty),t\mapsto t+M\lambda\delta(x',t)$ は全単射である。これより $\psi_\lambda$ は $\R^n\backslash\Ombar$ から $\Omega$ への全単射で $|\det D\psi_\lambda|=|D_n\psi_\lambda|=2\lambda-1\ge 1$ となるので $p\in[1,\infty)$ と $u\in L^p(\Omega)$ について $$\int_\Omega |u|^p=\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p|D_n\psi_\lambda|\ge\int_{\R^n\backslash\Ombar}|u\circ\psi_\lambda|^p.$$ 積分形のMinkowskiの不等式により $p\in[1,\infty]$ と $u\in L^p(\Omega)$ について $$\norm{\int_1^\infty |(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)|d\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le\int_1^\infty\norm{u\circ\psi_\lambda}_{p;\R^n\backslash\Omega}|h(\lambda)|d\lambda\le C\norm{u}_p.\tag{*}\label{stext1}$$

また $L(\psi_\lambda)\le 1+M\lambda[\delta]_{0,1}$ であるから $u\in C^{0,1}(\Ombar)$ とすると $x,y\in \R^n\backslash\Ombar$ について $$\left|\int_0^1 u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda-\int_0^1 u(\psi_\lambda(y))h(\lambda)d\lambda\right|\le\int_0^1 (1+M\lambda[\delta]_{0,1})[u]_{0,1}|x-y||h(\lambda)|d\lambda\le C[u]_{0,1}|x-y|$$ となるので $\displaystyle \int_0^1(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\in C^{0,1}(\R^n\backslash\Omega)$。

また各 $\lambda\in[1,\infty)$ について $u\circ\psi_\lambda$ は a.e. in $\R^n\backslash\Ombar$ で微分可能であるから、Fubiniの定理よりa.e. $ x\in\R^n\backslash\Ombar$ について、a.e. $\lambda\in[1,\infty)$ に対し $u\circ\psi_\lambda$ は $x$ で微分可能である。またそのような $x\in\R^n\backslash\Ombar$ と $|k|$ が十分小さい $k\in\R\backslash\{0\}$ について $$\left|\frac{u(\psi_\lambda(x+ke_i))-u_\lambda(x)}{k}h(\lambda)\right|\le(1+M\lambda[\delta]_{0,1})|h(\lambda)|$$ であるからLebesgueの収束定理より \begin{align*} D_i\left(\int_1^\infty(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\right)&=\int_1^\infty D_i(u\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda\\ &=\int_1^\infty(D_iu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda+D_i\delta\int_1^\infty(D_nu\circ\psi_\lambda)h(\lambda)d\lambda.\tag{**}\label{stext2} \end{align*}

また部分積分による帰納法により $u\in C^{k-1,1}(\Ombar)$、$x\in\R^n\backslash\Ombar$、$\lambda\ge 1$ について $$u(\psi_\lambda(x))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu.$$ となるので $l\in\Zp$ について \begin{align*} \int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(M\delta(x))^j}{j!}D_n^ju(\psi_1(x))(\lambda-1)^j\lambda^l+\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\ &=\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda.\tag{***}\label{stext3} \end{align*} 積分形のMinkowskiの不等式と $\delta(x)\le C(\gamma(x')-x_n)$ より \begin{align*} &\quad\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\int_1^\infty \lambda^lu(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\ &=\norm{(\gamma(x')-x_n)^{-k}\frac{(M\delta(x))^k}{(k-1)!}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}\lambda^lD_n^ku(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda}_{p;(\R^n\backslash\Omega)_x}\\ &\le C\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda\norm{D_n^ku\circ\psi_\mu}_{p;\R^n\backslash\Omega}(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\\ &\le C\left(\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda(\lambda-\mu)^kd\mu\right)\lambda^l|h(\lambda)|d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\ &=C\left(\int_1^\infty \frac{1}{(k+1)!}(\lambda-1)^{k+1}\lambda^l|h(\lambda)| d\lambda\right)\norm{D_n^ku}_p\\ &\le C\norm{D_n^ku}_p.\tag{****}\label{stext4} \end{align*} が成り立つ。

$u\in L^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ について $$Eu(x)\colon=\begin{cases} u(x)&\colon x\in\Ombar\\ \int_1^\infty u(\psi_\lambda(x))h(\lambda)d\lambda &\colon x\in\R^n\backslash\Ombar \end{cases}$$ と定める。(\ref{stext1})より $E$ はwell-definedで、$p\in[1,\infty]$ について $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界である。

$u\in C^{k-1,1}(\Ombar)=W^{k,\infty}(\Omega)$ とする。(\ref{stext2})と $k$ に関する帰納法により $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n\backslash\Ombar)$ で多重指数 $|\alpha|\le k$ と $x\in\R^n\backslash\Ombar$ について $D^\alpha Eu(x)$ は $$D^\alpha Eu(x)=\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda+\sum_{0\lt\beta\le\alpha}\sum_{l=1}^{|\beta|}\sum_{\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta}C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda$$ と表される。ここで $C_{\alpha,\beta'_1,\ldots,\beta'_l}$ は定数である。

(\ref{stext4})と $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $$\left|\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\right|\le C(\gamma(x')-x_n)^{-(|\beta|-l)}$$ となることから $$\norm{D^\alpha Eu}_{p;\R^n\backslash\Omega}\le C\norm{D^{|\alpha|}u}_p.$$ また $|\alpha|\le l-1$ とすると $x_0=(x_0',\gamma(x_0'))\in\pOm$ について $\psi_\lambda(x)\to x_0\ (x\to x_0)$ であるからLebesgueの収束定理より $$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty D^\alpha u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=\int_1^\infty D^\alpha u(x_0) h(\lambda)d\lambda=u(x_0).$$ また $0\lt\beta\le\alpha$、$l=1,\ldots,|\beta|$ と $\beta'_1+\ldots+\beta'_l=\beta$ なる多重指数 $\beta'_1,\ldots\beta'_l$ について $\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\delta(x)^{|\beta|-l}$ は有界で、Lebesgueの収束定理より \begin{align*} \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(\psi_\mu(x))d\mu\right)h(\lambda)d\lambda&=\int_1^\infty\left(\int_1^\lambda (\lambda-\mu)^{k-1}D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)d\mu\right)h(\lambda)d\lambda\\ &=\frac{1}{k}\left(\int_1^\infty(\lambda-1)^k\lambda^lh(\lambda)d\lambda\right)D^{|\beta|}_nD^{\alpha-\beta}u(x_0)=0 \end{align*} であるから(\ref{stext4})とあわせて $$\lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}\prod_{j=1}^lD^{\beta'_j}\delta(x)\int_1^\infty \lambda^lD^l_nD^{\alpha-\beta} u(\psi_\lambda(x)) h(\lambda)d\lambda=0.$$ 従って $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x_0,\\x\in\R^n\backslash\Ombar}}D^\alpha Eu(x)=D^\alpha u(x_0)$ となり $Eu\in C^{k-1}(\R^n)$。

また $x\in\Ombar$、$y\in\R^n\backslash\Ombar$ とすると $t\in[0,1]$ で $z\colon=(1-t)x+ty\in\pOm$ となるものが存在するので $|\alpha|=k-1$ とすると $$|D^\alpha u(x)-D^\alpha Eu(y)|\le|D^\alpha u(x)-D^\alpha u(z)|+|D^\alpha u(z)-D^\alpha u(y)|\le \left((1-t)[D^\alpha u]_{0,1}+t[D^\alpha Eu]_{0,1}\right)|x-y|\le C\norm{D^ku}_{\infty}|x-y|.$$ よって $Eu\in C^{k-1,1}(\R^n)=W^{k,\infty}(\R^n)$ となる。

$p\in[1,\infty)$ について $W^{k,\infty}(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)$ は稠密であり、$E$ は $L^p(\Omega)$ から $L^p(\R^n)$ へ有界であるから近似により $$E(W^{k,p}(\Omega))\subset E^{k,p}(\R^n),\norm{D^kEu}_{p;\R^n}\le C\norm{D^ku}_{\Omega;\R^n}$$ も成り立つ。

□

定理 42と同様に次を得る:

定理 48

• (1) $T\subset\pOm$ をLipschitz境界部分とする。$T'\rcpt T$ について、$\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について

$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}(\Omega),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$ をみたすものが存在する。また $\supp u\rcpt\OmT$ のとき $\supp Eu\rcpt\Omega_0$。

• (2) $T\subset\pOm$ を次をみたす相対開集合とする:

$$開集合D\subset\R^nと{\rm Lipschitz}境界部分S\subset\partial Dが存在し\Omega\subset D,T\rcpt S. \tag{$\diamondsuit'$}\label{D'}$$ このとき $\OmT\subset\Omega_0$ をみたす開集合 $\Omega_0\subset\R^n$ と線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)\to L^1(\Omega_0)+L^\infty(\Omega_0)$ であって $u\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について $$E(W^{k,p}_0(\Omega))\subset W^{k,p}_0(\Omega_0),\norm{Eu}_{k,p;\Omega_0}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega_0))$$ をみたすものが存在する。

• (3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とする。$D\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt D$ なる開集合とすると線型作用素 $E\colon L^1(\Omega)\to L^1_c(D)$ であって $u\in L^1(\Omega)$ について $Eu=u$ in $\Omega$ をみたし、任意の $k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について

$$E(W^{k,p}(\Omega))\subset W^{k,p}_c(D),\norm{Eu}_{k,p;D}\le C_{k,p}\norm{u}_{k,p;\Omega}\ (u\in W^{k,p}(\Omega))$$ をみたすものが存在する。

Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式

定義 49 (Sobolev共役指数)

$p\in[1,n)$ について $$p^*\colon=\frac{np}{n-p}$$ と定め、$p$ のSobolev共役指数という。$p^*$ は $p^{*-1}=p^{-1}-n^{-1}$ をみたす。

補題 50

$n\ge 2$ とする。$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n)$ とし、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_n,b_n)$ とする。$f_1,\ldots ,f_n\in L^1(R)$ とすると $$\int_{R}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\le\prod_{i=1}^n\norm{f_i}_{1;R}^\frac{1}{n-1}.$$

Proof.

$n$ に関する帰納法により示す。

$n=2$ の場合を示す。$f_1,f_2\in L^1(R)$ とすると \begin{align*} \int_{R}\left(\int_{a_1}^{x_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{x_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2&\le\int_{R}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_2(x_1,t)|dt\right)dx_1dx_2\\ &=\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}|f_1(t,x_2)|dt\right)dx_2\right)\left(\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}|f_1(x_1,t)|dt\right)dx_1\right)\\ &\le\norm{f_1}_1\norm{f_2}_1 \end{align*} となり主張が成り立つ。

ある $n$ について主張が成り立ったとし、$-\infty\le a_i\lt b_i\le +\infty\ (i=1,\ldots ,n+1)$ 、$R\colon=(a_1,b_1)\times\ldots \times(a_{n+1},b_{n+1})$、$f_1,\ldots ,f_{n+1}\in L^1(R)$ とする。また $R'\colon=(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)$ とする。$i=1,\ldots ,n+1$ について $$g_i(x')\colon=\int_{a_i}^{b_i}|f_i(x',t)|dt\ (x'\in R')$$ とすると $g_i\in L^1(R')$、$\norm{g_i}_{1;R'}=\norm{f_i}_{1;R}$。 \begin{align*} &\quad \int_R\left(\prod_{i=1}^{n+1}\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_{n+1}\\ &\le\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}|f_{n+1}(x_1,\ldots ,x_n,t)|dt\right)^\frac{1}{n}dx_1\ldots dx_n\\ &\le\left(\int_{R'}\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\prod_{i=1}^n\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)^\frac{1}{n}dx_{n+1}\right)^\frac{n}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\left(\int_{R'}|g(x',t)|dx'\right)^\frac{1}{n}\\ &\le\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}\left(\int_{a_i}^{x_i}|f_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})|dt\right)dx_{n+1}\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\ &=\left(\int_{R'}\prod_{i=1}^n\left(\int_{a_i}^{x_i}g_i(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\right)^\frac{n-1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\ &\le\prod_{i=1}^n\norm{g_i}_1^\frac{1}{n}\norm{f_{n+1}}_1^\frac{1}{n}\\ &=\prod_{i=1}^{n+1}\norm{f_i}_1^\frac{1}{n+1} \end{align*} となる。これより主張が成り立つ。

□

定理 51 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式)

$p\in[1,n)$ とすると $W^{1,p}(\R^n)\subset L^{p^*}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $$\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$

注意

任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*}\le C\norm{Du}_p$ となる定数 $C=C_{n,p}$ が存在しうる $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ に限られる。実際 $u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ と $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=u(\lambda x)$ として $u_\lambda\in C^\infty_c(\R^n)$ を定めると、積分の変数変換により $\norm{u_\lambda}_{p^*}=\lambda^{-\frac{n}{p^*}}\norm{u}_p$ となり、また $Du_\lambda(x)=\lambda Du(\lambda x)$ に注意すると $\norm{Du_\lambda}_{p}=\lambda^{1-\frac{n}{p}}\norm{Du}_p$ となるので $\frac{\norm{u_\lambda}_{p^*}}{\norm{Du_\lambda}_p}$ が有界となるには $-\frac{n}{p^*}=1-\frac{n}{p}$ が必要であるが、これをみたす $p^*$ は $p^*=\frac{np}{n-p}$ のみである。

Proof.

$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $\norm{u}_{p^*;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ を示す。

$p=1$ の場合を示す。$i=1,\ldots ,n$ と $(x_1,\ldots ,x_n)\in\R^n$ について $$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt$$ であるから $$|u(x_1,\ldots ,x_n)|\le\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n}.$$ 補題 50より \begin{align*} \int_{\R^n}|u|^{1^*}&\le\int_{\R^n}\prod_{i=1}^n\left(\int_{-\infty}^{x_i}|D_iu(x_1,\ldots ,x_{i-1},t,x_{i+1},\ldots ,x_n)|dt\right)^\frac{1}{n-1}dx_1\ldots dx_n\\ &\le\prod_{i=1}^n\norm{D_iu}_1^\frac{1}{n-1}\\ &\le\norm{Du}_1^{1^*} \end{align*} となり $\norm{u}_{1^*}\le\norm{Du}_1$ が成り立つ。

$p\in(1,n)$ の場合を示す。$t\in(1,\infty)$ として $v\colon=|u|^t$ とすると $v\in C^1_c(\R^n)$、$D_iv=t|u|^{t-1}\sgn uD_iu$。$p=1$ の場合より $$\left(\int_\Omega |u|^{\frac{n}{n-1}t}\right)^\frac{n-1}{n}\le\int_\Omega t|u|^{t-1}|Du|\le t\left(\int_\Omega|u|^{\frac{p}{p-1}(t-1)}\right)^\frac{p-1}{p}\norm{Du}_p.$$ ここで $t=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $\frac{n}{n-1}t=\frac{p}{p-1}(t-1)=\frac{np}{n-p}$ となり $$\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^\frac{n}{n-1}\le \frac{(n-1)p}{n-p}\left(\int_\Omega|u|^{p^*}\right)^\frac{p}{p-1}\norm{Du}_p.$$ これより $\norm{u}_{p^*}=\left(\int_\Omega |u|^{p^*}\right)^{\frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}}\le\frac{(n-1)p}{n-p}\norm{Du}_p$ が従う。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$ とし、$u_m\in C^\infty_c(\R^n)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とする。部分列に移って $u_m\to u $ a.e. in $\R^n$ としてよい。Fatouの補題より $$\norm{u}_{p^*}\le\liminf_{m\to\infty}\norm{u}_{p^*}\le C\liminf_{m\to\infty}\norm{Du_m}_p=C\norm{Du}_p.$$

□

参考

$C_{n,p}=\frac{(n-1)p}{n-p}$ はGagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数(すなわちこの不等式が任意の $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について成り立つ最小の $C_{n,p}$)ではない。Gagliardo-Nirenberg-Sobolevの不等式の最良定数は $$C_{n,p}=n^{-\frac{1}{p}}\pi^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-\frac{1}{p}}\left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})\Gamma(n)}{\Gamma(\frac{n}{p})\Gamma(1+n-\frac{n}{p})}\right)^\frac{1}{n}$$ で与えられ、 $$u(x)=(a+b|x|^\frac{p}{p-1})^{1-\frac{n}{p}}$$ とすると $\norm{u}_{p^*;\R^n}=C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}$ が成り立つことが知られている。ここで $a,b$ は正の定数であり、$\Gamma$ は $\Gamma$ 関数である。$u$ はTalentiの関数と呼ばれる。

系 52

$p\in[1,n)$ について $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset L^{p^*}_{\loc}(\Omega)$。

Proof.

$u\in W^{1,p}_\loc(\Omega)$、$\Omega'\rcpt\Omega$ とし、$\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ で $\zeta=1$ in $\Omega'$ となるものをとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$。これより $u\in L^{p^*}(\Omega')$。

□

$W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ を示すには $\pOm$ に条件が必要である:

系 53

$p\in[1,n)$ について次が成り立つ:

• (1) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について

$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

• (2) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\subset L^{p^*}(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{p^*;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

Proof.

(1)は $E\colon W^{1,p}_0(\OmT)\to W^{1,p}(\R^n)$ を拡張作用素とすれば $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $$\norm{u}_{p^*}\le\norm{Eu}_{p^*}\le C\norm{DEu}_{p}\le C\norm{Eu}_{1,p}\le C\norm{u}_p.$$ (2)も同様。

□

系 54 ($p=n$ の場合)

$|\Omega|\lt\infty$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_{n;\Omega}.$$

Proof.

$q\ge 1^*$ の場合を示せば十分。定理 51より $$\norm{u}_q\le C\norm{Du}_\frac{nq}{n+q}\le C|\Omega|^{q^{-1}}\norm{Du}_n.$$

□

系 55

• (1) $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_{\loc}(\Omega)\subset L^q_{\loc}(\Omega)$。
• (2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について

$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega,T}\norm{u}_{n;\Omega}.$$

• (3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると任意の $q\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{q,\Omega}\norm{u}_{n;\Omega}.$$

注意

$n=1$ の場合は定理 21より $W^{1,1}(I)\subset L^\infty(I)$ であるが、$n\ge 2$ の場合は $W^{1,n}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ は成り立たない。

たとえば $\Omega=B_1(0)$ とし、 $$u(x)=(-\log|x|)^\alpha,\alpha\in (0,1-n^{-1})$$ とすると、任意の $q\in[1,\infty)$ について $u\in L^q(\Omega)$ で、$x\in\Omega\backslash\{0\}$ について $$Du(x)=\alpha|x|^{-2}(-\log|x|)^{\alpha-1}x$$ が各点の意味で成り立ち、$n(\alpha-1)\lt -1$ より $$\int_\Omega |Du|^n=n\omega_n\int_0^1 r^{-n+(n-1)}(-\log r)^{n(\alpha-1)}dr\lt\infty.$$ また $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ と $r\in(0,1)$ について $$\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}uD_i\varphi=-\int_{\Omega\backslash\Bb_r(0)}D_iu\varphi-\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x),$$ $$\left|\int_{\partial\Bb_r(0)}(-\log|x|)^\alpha\varphi(x)\frac{x_i}{r}d\H^{n-1}(x)\right|\le \norm{\varphi}_\infty(-\log r)^\alpha\cdot n\omega_n r^{n-1}\to 0\ (r\to 0)$$ より $u$ は弱微分をもち、各点微分と一致する。これより $u\in W^{1,n}(\Omega)$。一方、明らかに $u\notin L^\infty(\Omega)$ である。

Rieszポテンシャル

$p\in(n,\infty)$ の場合を扱う準備として、次のRieszポテンシャルを定義する:

定義 56 (Rieszポテンシャル)

$\mu\in(0,1]$ とする。$\L^n$ -可測関数 $f\colon\Omega\to\R$ について合成積 $|\cdot|^{-n(1-\mu)}*f$ がある開集合上で定義されるときこれを $V_\mu f$ とかきRieszポテンシャルという。

命題 57

$|\Omega|\lt\infty$、$p\in[1,\infty]$、$\mu\in(0,1]$ とする。$f\in L^p(\Omega)$ とすると $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され次が成り立つ:

• (1) $q\in[p,\infty]$ が $\delta\colon=p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたすとすると

$$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_{q;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_{p;\Omega}.$$

• (2) $p\in[1,\infty)$、$\mu=p^{-1}$、$f\not\equiv 0$ のとき、$\alpha\gt 0$ について

$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}} f|}{C_{n,p,\alpha}\norm{f}_{p,\Omega}}\right)^{p'}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

Proof.

(1)を示す。$h\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}$、$r\colon=(q^{-1}-p^{-1}+1)^{-1}=(1-\delta)^{-1}$ とする。 $$\norm{h}_{r;\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\tag{*}\label{riep}$$ を示す。

$R\colon=(\omega_n^{-1}|\Omega|)^{n^{-1}}$ とする。$|\Omega|=\omega_nR^n=|B_R(0)|$ であるから $|\Omega\backslash B_R(0)|=|B_R(0)\backslash\Omega|$ で $$\int_{\Omega}h^r\le R^{-n(1-\mu)}|\Omega\backslash B_R(0)|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r=R^{-n(1-\mu)}|B_R(0)\backslash\Omega|+\int_{B_R(0)\cap\Omega}h^r\le\int_{B_R(0)}h^r.$$ $1-(1-\mu)r=1-\frac{1-\mu}{1-\delta}=\frac{\mu-\delta}{1-\delta}\gt 0$ に注意すると $$\int_\Omega h^r\le\int_{B_R(0)}h^r=n\omega_n\int_0^R t^{n-n(1-\mu)r-1}dx=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_nR^{n-n(1-\mu)r}=\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\omega_n^{(1-\mu)r}|\Omega|^{(\mu-\delta)r}$$ となり(\ref{riep})が従う。

$x,y\in\Omega$ について(\ref{riep})より \begin{align*} \norm{h(x-\cdot)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;x-\Omega}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta},\\ \norm{h(\cdot-y)}_{r;\Omega}&=\norm{h}_{r;\Omega-y}\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}. \end{align*} $q^{-1}=p^{-1}+r^{-1}-1$ であるからYoungの不等式より $V_\mu f$ は $\Omega$ 上で定義され $$V_\mu f\in L^q(\Omega),\norm{V_\mu f}_q\le\left(\frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta}\omega_n^{1-\mu}|\Omega|^{\mu-\delta}\norm{f}_p$$ が成り立つ。

(2)を示す。$\mu=p^{-1}$ のときは任意の $q\in[p,\infty)$ が $p^{-1}-q^{-1}\lt\mu$ をみたす。

$N\colon=\lceil p-1\rceil$ とする。$m\in\Z$、$m\ge N$ とすると $mp'\ge p$ となり、$q=mp'$ として(1)を用いると $\delta=p^{-1}-(mp')^{-1}=1-(1+m^{-1})p'^{-1}$ より $$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le\left((m+1)^{(1+m^{-1})p'^{-1}}\omega_n^{p'^{-1}}|\Omega|^{(mp')^{-1}}\norm{f}_p\right)^{mp'}=(m+1)^{m+1}\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$ $m=1,\ldots ,N-1$ については $$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le|\Omega|^{1-\frac{m}{N}}\left(\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{Np'}\right)^\frac{m}{N}\le N^m\omega_n^m|\Omega|\norm{f}_p^{mp'}.$$ $m!=O(m^{m+\frac{1}{2}}e^{-m})$ に注意すると $m\in\Zp$ について $$\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\le C(m+1)^{-\frac{1}{2}}e^{-m}(m+1)!|\Omega|.$$ これより $M\gt (e\omega_n)^{p'^{-1}}$ について \begin{align*} \int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{M\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)&=|\Omega|+\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m!(M\norm{f}_p)^{mp'}}\int_\Omega|V_{p^{-1}}f|^{mp'}\\ &\le\left(1+C\sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}\omega_n^m}{M^m}\right)|\Omega|. \end{align*} $\displaystyle \sum_{m=1}^\infty\frac{(m+1)^\frac{1}{2}e^{m+1}}{M^m}\to 0 (M\to\infty)$ であるから十分大きな $C=C_{n,p,\alpha}$ をとれば $$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|V_{p^{-1}}f|}{C\norm{f}_p}\right)^{p'}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$

□

$\mu=\delta$ の場合は次の結果が重要である:

定理 58 (Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式)

$p\in[1,\mu^{-1})$ とし、$f\in L^p(\R^n)$ とすると $V_\mu f$ は $\R^n$ 上で定義され、$q\colon=\frac{p}{1-\mu p}$ とすると次が成り立つ:

• (1) $p=1$ のとき

$$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_{q;\R^n}\le C_{n,\mu}\norm{f}_{1;\R^n}.$$ ( $L^{q,w}$ と $[\cdot]_q$ の定義はMarcinkiewiczの補間定理を参照。)

• (2) $p\in(1,\mu^{-1})$ のとき

$$V_\mu f\in L^q(\R^n),\norm{V_\mu f}_{q;\R^n}\le C_{n,p,\mu}\norm{f}_{p;\R^n}.$$

Proof.

$R\gt 0$ とし、$h_1\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{B_R(0)}$、$h_2\colon=|\cdot|^{-n(1-\mu)}\chi_{\R^n\backslash B_R(0)}$ とする。 $$\norm{h_1}_1=n\omega_n\int_0^R t^{n\mu-1}dt=\mu^{-1}\omega_nR^{n\mu}$$ であるからYoungの不等式より $$h_1*f\in L^p(\R^n),\norm{h_1*f}_p\le CR^{n\mu}\norm{f}_p.$$ また $p'\colon=\frac{p}{p-1}$ とすると $((1-\mu)p'-1)^{-1}=p'((1-\mu)-(1-p^{-1}))^{-1}=p'q^{-1}$ $$\norm{h_2}_{p'}^{p'}=n\omega_n\int_R^\infty t^{n-n(1-\mu)p'-1}dt=p'q^{-1}\omega_nR^{-np'q^{-1}}$$ であるからHölderの不等式より $$h_2*f\in L^\infty(\R^n),\norm{h_2*f}_\infty\le KR^{-nq^{-1}}\norm{f}_p,K\colon=(p'q^{-1}\omega_n)^{1-p^{-1}}.$$ よって $V_\mu f=h_1*f+h_2*f$ は $\R^n$ 上で定義される。

$t\gt 0$ とする。$R=(2K\norm{f}_pt^{-1})^{n^{-1}q}$ ととれば $\norm{h_2*f}_\infty\le\frac{t}{2}$ となり $$\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=0.$$ また $\mu pq+p=q(\mu p+p(p^{-1}-\mu))=q$ に注意すると $$\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|=(\norm{h_1*f}_pt^{-1})^p\le C(R^{n\mu}\norm{f}_pt^{-1})^p=C(\norm{f}_pt^{-1})^{\mu pq+p}=C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$ $|V_\mu f|\gt t\implies|h_1*f|\gt\frac{t}{2}$ or $|h_2*f|\gt\frac{t}{2}$ より $$|\{|V_\mu f|\gt t\}|\le\left|\left\{|h_1*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|+\left|\left\{|h_2*f|\gt\frac{t}{2}\right\}\right|\le C(\norm{f}_pt^{-1})^q.$$ 従って $$V_\mu f\in L^{q,w}(\R^n),[V_\mu f]_q\le C\norm{f}_p.\tag{*}\label{HLS}$$ (1)はこれで示された。

(2)を示す。$p_0,p_1$ を $1\le p_0\lt p\lt p_1\lt\mu^{-1}$ となるようにとり、$q_i\colon=\frac{p_i}{1-\mu p_i}\ (i=0,1)$ とする。$\theta\in(0,1)$ を $p^{-1}=(1-\theta)p_0^{-1}+\theta p_1^{-1}$ となるようにとると $$q^{-1}=p^{-1}-\mu=(1-\theta)(p_0^{-1}-\mu)+\theta(p_1^{-1}-\mu)=(1-\theta)q_0^{-1}+\theta q_1^{-1}.$$ (\ref{HLS})とMarcinkiewiczの補間定理より(2)が従う。

□

命題 59 (Rieszポテンシャルと微分の関係)

• (1) $k=1,\ldots,n$ とする。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ とすると $x\in\R^n$ について

$$u(x)=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n}\sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy.$$ とくに $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について $$|u|\le\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}V_\frac{k}{n}|D^ku|.$$

• (2) $\Omega$ は凸であるとし、$S\subset\Omega$ は有界かつ $|S|\gt 0$ をみたすとする。$u\in W^{1,1}(\Omega)$ とすると

$$|u-u_S|\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}|V_{n^{-1}}u|\ \inn\Omega.$$ ここで $$u_S\colon=\frac{1}{|S|}\int_S u.$$

Proof.

(1)を示す。$z\in\partial B_1(0)$ とする。十分大きい $t\gt 0$ について $u(x+tz)=0$ となることに注意すると部分積分による $k$ に関する帰納法により $$u(x)=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}D^k_z u(x+tz)dt=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}\int_0^\infty\sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt.$$ よって \begin{align*} u(x)&=\frac{(-1)^k}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\left(\int_0^\infty \sum_{|\alpha|=k}t^{k-1}z^\alpha D^\alpha u(x+tz)dt\right)d\H^{n-1}(z)\\ &=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_0^\infty\left(\int_{B_t(x)} \sum_{|\alpha|=k}t^{k-n}(t^{-1}(x-y))^\alpha D^\alpha u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\ &=\frac{1}{(k-1)!n\omega_n}\int_{\R^n} \sum_{|\alpha|=k}|x-y|^{-n}(x-y)^\alpha D^\alpha u(y)dy. \end{align*}

(2)を示す。$x,z\in\Omega$ とすると $$u(x)-u(z)=\int_0^1 Du(tx+(1-t)z)\cdot(x-z)dt.$$ $z\in S$ について積分すると $$u(x)-u_S=\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 Du((1-t)x+tz)\cdot(x-z)dt\right)dz.$$ $t\in[0,1]$ について $x\in (1-t)x+t\Omega$、$\diam((1-t)x+t\Omega)=t\diam\Omega$ より $y\in\Omega$ について $y\in(1-t)x+t\Omega\implies |x-y|\le t\diam\Omega$ となることに注意すると \begin{align*} |u(x)-u_S|&\le\frac{1}{|S|}\int_S\left(\int_0^1 |Du((1-t)x+tz)||x-z|dt\right)dz\\ &=\frac{1}{|S|}\int_0^1\left(\int_{(1-t)x+tS} t^{-n}|Du(y)|t^{-1}|x-y|dy\right)dt\\ &=\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+tS\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\ &\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_{\{t\in[0,1]\colon y\in(1-t)x+t\Omega\}}t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\ &\le\frac{1}{|S|}\int_\Omega\left(\int_\frac{|x-y|}{\diam\Omega}^\infty t^{-n-1}|x-y||Du(y)|dt\right)dy\\ &=\frac{(\diam\Omega)^n}{n|S|}\int_\Omega|x-y|^{1-n}|Du(y)|dt. \end{align*}

□

参考

$p\in(1,n)$ の場合は(1)とHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を組み合わせてSobolevの不等式を証明することもできる。

Poincaréの不等式

実用上は以下に示すSobolevの不等式のより弱い形であるPoincaréの不等式で十分であることも多い。

定理 60 (Poincaréの不等式)

• (1) $|\Omega|\lt\infty$ とする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_n|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

• (2) $\Omega$ は一方向に有界であるとする。すなわち $z\in\partial B_1(0)$ が存在し $\displaystyle w\colon=\sup_{x\in\R^n}\diam(\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\})\lt\infty$ となるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_nw\norm{D_zu}_{p;\Omega}.$$

Proof.

(1)は命題 59の(1)と命題 57の(1)より $$\norm{u}_p\le\frac{1}{n\omega_n}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ としてよい。

$\pi\colon=\{x\in\R^n\colon z\cdot x=0\}$ とする。$x\in\pi$ について $$a_x\colon=\inf\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},b_x\colon=\sup\{t\in\R\colon x+tz\in\Omega\},I_x\colon=(a_x,b_x)$$ とすると $|I_x|\le w$、$\displaystyle \Omega\subset\bigcup_{x\in\pi}\{x+tz\colon t\in I_x\}$。 $u\in C^\infty_c(\Omega)$ とすると定理 21より $x\in\pi$ について $$\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}\le|I_x|^{p^{-1}}\sup_{t\in I_x}|D_zu(x+tz)|\le|I_x|\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)^{p^{-1}}.$$ Lipschitz連続関数 $x\mapsto z\cdot x$ に対してcoarea formulaを用いると \begin{align*} \norm{u}_p&=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\Omega\colon z\cdot x=t\}}|u(x)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\ &=\left(\int_\R\left(\int_{\{x\in\pi\colon x+tz\in\Omega\}}|u(x+tz)|^pd\H^{n-1}(x)\right)dt\right)^{p^{-1}}\\ &=\left(\int_\pi\left(\int_{I_x}|u(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}(x)\right)^{p^{-1}}\\ &\le\left(\int_\pi |I_x|^p\left(\int_{I_x}|D_zu(x+tz)|^pdt\right)d\H^{n-1}\right)^{p^{-1}}\\ &\le w\norm{D_zu}_p. \end{align*}

□

定理 61 (Poincaréの不等式)

$\Omega$ は有界かつ凸であるとする。$p\in[1,\infty)$ と $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $|S|\gt 0$ なる $S\subset\Omega$ について $$\norm{u-u_S}_{p;\Omega}\le C_n\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|^{n^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

Proof.

命題 59の(2)と命題 57の(1)より $$\norm{u-u_\Omega}_p\le\frac{(\diam\Omega)^n}{n|\Omega|}\norm{V_{n^{-1}}|Du|}_p\le C\frac{(\diam\Omega)^n}{|S|}|\Omega|\norm{Du}_p.$$

□

注意

$|\Omega|\lt\infty$ または $\Omega$ が一方向に有界のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。とくに $p=2$ のとき、 $$\int_\Omega Du\cdot Dv$$ は $W^{1,2}_0(\Omega)$ に $W^{1,2}(\Omega)$ における内積と同値な内積を定める。

また、$\Omega$ が有界かつ凸のとき、$\norm{Du}_{p;\Omega}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ の閉部分空間 $\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ に $\norm{u}_{1,p;\Omega}$ と同値なノルムを定める。

Morreyの不等式

ここでは $p\in(n,\infty)$ の場合を取り扱う。

定理 62 (Morreyの不等式)

$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ。

• (1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{\infty;\Omega}\le C_{n,p}|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

• (2) $W^{1,p}(\R^n)\subset C^{0,\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)$ について

$$[u]_{0,\alpha;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}.$$ とくに $|\Omega|\lt\infty$ のとき $W^{1,p}_0(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について $$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{n,p,|\Omega|}\norm{Du}_{p;\Omega},u=0\ \on\pOm.$$

Proof.

(1)を示す。命題 59の(1)と命題 57で $\mu=n^{-1}$、$q=\infty$ としたものより $$\norm{u}_\infty\le CV_{n^{-1}}|Du|\le C|\Omega|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p.$$

(2)を示す。$B=B_r\subset\R^n$ とする。命題 59の(2)と命題 57より $$|u-u_B|\le\frac{(\diam B)^n}{n|B|}V_{n^{-1}}\left(\left(\left.|Du|\right)\right|_B\right)\le C|B|^{n^{-1}-p^{-1}}\norm{Du}_p\le Cr^\alpha\norm{Du}_p\ \inn B.$$ $x,y\in B$ とすると $$|u(x)-u(y)|\le|u(x)-u_B|+|u(y)-u_B|\le Cr^\alpha\norm{Du}_p.\tag{*}\label{mor1}$$ $x,y\in\R^n$、$x\neq y$ について、$B=B_r$ を $x,y\in B$ かつ $r\le|x-y|$ となるようにとれるので $$|u(x)-u(y)|\le C\norm{Du}_p|x-y|^\alpha$$ が成り立つ。$u=0$ on $\pOm$ は $u_m\in W^{1,p}_c(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p;\Omega}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $u_m=0$ on $\pOm$、$\norm{u_m-u}_\infty\to 0\ (m\to\infty)$ となることから成り立つ。

□

系 52、系 53と同様に次が成り立つ:

系 63

$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると $W^{1,p}_{\loc}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Omega)$。

系 64

$p\in(n,\infty)$ とする。$\alpha=1-\frac{n}{p}$ とすると次が成り立つ:

• (1) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について

$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,T,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}, u=0\ \on \Omega\backslash T.$$

• (2) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について

$$|u|_{0,\alpha;\Omega}\le C_{p,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

注意

定理 30より、系 63と系 64の(2)は $p=\infty$ の場合にも成立する。

系 65 (a.e.微分可能性)

$p\in(n,\infty]$ とする。$u\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ は a.e. in $\Omega$ で微分可能で、各点微分と弱微分は一致する。

Proof.

$p\in(n,\infty)$ としてよい。

$x_0\in\Omega$ は $$r^{-n}\int_{B_r(x_0)}|Du-Du(x_0)|^p\to 0\ (r\to +0)$$ をみたすとする。Lebesgueの微分定理よりこれはa.e. $x_0\in\Omega$ で成り立つ。 $$v(x)\colon=u(x)-u(x_0)-Du(x_0)\cdot(x-x_0)\ (x\in\Omega)$$ と定め、$v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$ を示せばよい。

定理 62の証明の(\ref{mor1})より $B_r=B_r(x_0)\rcpt\Omega$ について $$|v|_{\infty;B_r}=|v-v(x_0)|_{\infty;B_r}\le C\norm{Dv}_{p;B_r}r^{1-\frac{p}{n}}\le Cr\left(r^{-n}\int_{B_r}|Du-Du(x_0)|^p\right)^{p^{-1}}.$$ これより $v(x)=o(|x-x_0|)\ (|x-x_0|\to +0)$。

□

参考

$p=\infty$ の場合を定理 30と組み合わせるとRademacherの定理(Hausdorff測度とarea_coarea_formulaの定理33)の別の証明が得られる。

Trudinger-Moserの不等式

系 55の注意で述べたように、$p=n\ge 2$ の場合のSobolevの不等式はその他の場合より繊細である。一方、Rieszポテンシャルを用いると系 54と系 55の評価をより精密にすることができる。

定理 66 (Trudinger-Moserの不等式)

$n\ge 2$ のとき次が成り立つ:

• (1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{1,n}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について

$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,\alpha}\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

• (2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ を $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{1,n}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について

$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

• (3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $u\in W^{1,n}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について

$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{\Omega,\alpha}\norm{u}_{1,n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

Proof.

(1)を示す。命題 59の(1)より $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $|u|\le CV_{n^{-1}}|Du|$ となるので命題 57より $$\int_\Omega\left(\left(\frac{|u|}{C\norm{Du}_{n;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-1}\right)\le(1+\alpha)|\Omega|.$$ 一般の場合は近似により従う。

(2)と(3)は(1)と拡張作用素により示される。

□

注意

系 55の注意の $u$ は $\int_\Omega\exp\left(|u|^\frac{n}{n-1}\right)\lt\infty$ をみたしている。

一般のSobolevの不等式

定理 67 (一般のSobolevの不等式)

$k\in\Zp$、$p\in[1,\infty)$ とする。次が成り立つ:

• (1) $kp\lt n$ のとき $p_k\colon=\frac{np}{n-kp}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset L^{p_k}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について

$$\norm{u}_{p_k;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$ また $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について $$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$ $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset L^{p_k}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$\norm{u}_{p_k;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

• (2) $|\Omega|\lt\infty$、$kp=n$ のとき任意の $q\in[1,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{n,k,q}|\Omega|^{q^{-1}}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$ また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について $$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$ $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $q\in[p,\infty)$ について $W^{k,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$\norm{u}_{q;\Omega}\le C_{k,q,\Omega}\norm{D^ku}_{p;\Omega}.$$

• (3) $kp=n\ge k+1$、$|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について

$$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{n,k,\alpha}\norm{D^ku}_{p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$ また $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について $$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,T,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$ $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $u\in W^{k,p}(\Omega)\backslash\{0\}$ と $\alpha\gt 0$ について $$\int_\Omega\exp\left(\left(\frac{|u|}{C_{k,\Omega,\alpha}\norm{u}_{k,p;\Omega}}\right)^\frac{n}{n-k}\right)\le (1+\alpha)|\Omega|.$$

• (4) $kp\gt n$、$\frac{n}{p}\notin\Z$ のとき $j\colon=\left\lfloor k-\frac{n}{p}\right\rfloor$、$\beta\colon= k-j-\frac{n}{p}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\subset C^{j,\beta}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)$ について

$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{n,k,p}\norm{D^ku}_{p;\R^n}.$$ また $|\Omega|\lt\infty$ のとき $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について $$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$ $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について $$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$ $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

• (5) $|\Omega|\lt\infty$、$kp\gt n$、$\frac{n}{p}\in\Z$ のとき $j\colon=k-\frac{n}{p}-1$ とすると任意の $\beta\in(0,1)$ について $W^{k,p}_0(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ について

$$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta,|\Omega|}\norm{u}_{k,p;\Omega},[u]_{j,\beta;\Omega}\le C_{n,k,p,\beta}|\Omega|^\frac{1-\beta}{n}\norm{D^ku}_{k,p;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$ $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)$ について $$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$ $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\subset C^{j,\beta}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$|u|_{j,\beta;\Omega}\le C_{k,p,\beta,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}.$$

• (6) $k\gt n$、$p=1$ のとき $W^{k,1}(\R^n)\subset C^{k-n}(\R^n)\cap W^{k-n,\infty}(\R^n)$ で $u\in W^{k,1}(\R^n)$ について

$$[u]_{k-n;\R^n}\le C_{n,k}\norm{D^ku}_{1;\R^n},D^\alpha u=0\ \on\pOm\ (|\alpha|\le k-1).$$ $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{k,1}_0(\OmT)\subset C^{k-n}(\Ombar)\cap W^{k-n,\infty}(\Omega)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について $$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega,T}\norm{u}_{k,1;\Omega},D^\alpha u=0\ \on\pOm\backslash T\ (|\alpha|\le k-1).$$ $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{k,1}(\Omega)\subset C^{k-n}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,1}(\Omega)$ について $$[u]_{k-n;\Omega}\le C_{k,\Omega}\norm{u}_{k,1;\Omega}.$$

Proof.

(1)、(2)、(4)、(5)は定理 21、定理 51、系 54、系 55、系 53、定理 62、系 64を用いて $k$ に関する帰納法により示される。

(3)は前半は定理 66と同様。拡張作用素により後半も従う。

(6)を示す。前半の $k=n$ の場合を示せば十分。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ について命題 59の(1)より $$|u|\le V_1|D^nu|=\int_{\R^n}|D^nu|=\norm{D^nu}_1.$$ 近似によりこれは任意の $u\in W^{n,1}(\R^n)$ に対して成り立つ。またこれより $$W^{n,1}(\R^n)\subset\overline{C^\infty_c(\R^n)}^{L^\infty(\R^n)}\subset C(\R^n).$$

□

コンパクト埋め込み

補題 68

$p\in[1,\infty)$ とする。$u\in W^{1,p}(\R^n)$ と $\varepsilon\gt 0$ について $$\norm{\eta_\varepsilon*u-u}_{p;\R^n}\le C_{n,p}\norm{Du}_{p;\R^n}\varepsilon.$$

Proof.

定理 29に注意して \begin{align*} \int_{\R^n}|\eta_\varepsilon*u-u|^p&=\int_{\R^n}\left|\int_{B_\varepsilon(0)}\eta_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\\ &=\int_{\R^n}\norm{\eta_\varepsilon}_{p'}^p\left(\int_{B_\varepsilon(0)}|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\\ &\le C\varepsilon^{-n}\int_{\R^n}\left(\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}|\Delta^t_z u(x)|^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\right)dx\\ &\le C\varepsilon^{-n}\int_{0}^\varepsilon\left(\int_{\partial B_1(0)}t^{n-1+p}\norm{Du}_p^pd\H^{n-1}(z)\right)dt\\ &\le C\varepsilon^{-n}\norm{Du}_p^p\int_0^\varepsilon t^{n-1+p}dt\le C\norm{Du}_p^p\varepsilon^p. \end{align*}

□

定理 69 (Rellich-Kondrachovの定理)

$p\in[1,\infty)$ とし、 $$\begin{cases} q\in[1,p^*)&\colon p\in(1,n)\\ q\in[1,\infty)&\colon p=n\\ q\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty) \end{cases}$$ とする。次が成り立つ:

• (1) $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}_0(\Omega)$ が $\displaystyle \sup_{m}\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列で $L^q(\Omega)$ で収束するものが存在する。
• (2) $|\Omega|\lt\infty$ で $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\OmT)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。
• (3) $\Omega$ を有界な $C^{0,1}$ 領域とすると、埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^q(\Omega)$ はコンパクトである。

Proof.

(1)の $\Omega$ が有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。

開球 $B\subset\R^n$ を $\Omega\rcpt B$ となるようにとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $k=0,1$ について $$\norm{D^k(\eta_\varepsilon*u_m)}_\infty\le C\varepsilon^{np^{-1}}\norm{D^ku_m}_p$$ であるから $\displaystyle\sup_m|\eta_\varepsilon*u_m|_{1;B}\lt\infty$。

Hölder空間の基本事項の定理62と対角線論法により、$\{u_m\}_{m=1}^\infty$ の部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の $l\in\Zp$ について $\{\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $C(\overline{B})$ において収束し、とくに $L^p(B)$ において収束するものがとれる。補題 68より \begin{align*} \limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p&\le\limsup_{i,j\to\infty}\left(\norm{\eta_{l^{-1}}*u_{m_i}-\eta_{l^{-1}}*u_{m_j}}_p+C\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)l^{-1}\right)\\ &\le C\sup_m\norm{Du_m}_pl^{-1}. \end{align*} $l\to\infty$ として $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $\Omega$ が非有界かつ $q=p\in[1,n]$ の場合を示す。$\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり、$\zeta_l(x)\colon=\zeta(l^{-1}x)\ (l\in\Zp)$ とする。(1)の $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ で任意の$l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^p(\Omega)$ で収束するものがとれる。また $$\norm{(1-\zeta_l)u_m}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\norm{D((1-\zeta_l)u_m)}_p\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}(1+l^{-1})\norm{u_m}_{1,p}.$$ これより $$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_l u_{m_i}-\zeta_l u_{m_j}}_p+C|\Omega\backslash B_l(0)|^\frac{1}{n}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}.$$ $|\Omega\backslash B_l(0)|\to 0\ (l\to\infty)$ より $l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0$ を得る。

(1)の $p\in[1,n]$ の場合は $L^p(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればHölderの不等式と定理 51、系 54より $$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q\le\begin{cases} \limsup_{i,j\to\infty}|\Omega|^{p^{-1}-q^{-1}}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p=0\ &\colon q\in[1,p]\\ \limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_p^\frac{n}{q}\left(\norm{Du_{m_i}}_p+\norm{Du_{m_j}}_p\right)^{1-\frac{n}{q}}=0\ &\colon q\in(p,p^*) \end{cases}$$ となり従う。

(1)の $p\in(n,\infty]$ の場合を示す。$q=\infty$ としてよい。$\Omega$ が有界な場合は定理 62とHölder空間の基本事項の命題61から従う。$\Omega$ が非有界な場合は $\Omega$ が有界な場合と対角線論法により $l\in\Zp$ について $\{\zeta_lu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^\infty(\Omega)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ がとれ、定理 62より $$\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty\le\limsup_{i,j\to\infty}\norm{\zeta_lu_{m_i}-\zeta_lu_{m_j}}_\infty+2\sup_m\norm{(1-\zeta_l)u_m}_\infty\le C|\Omega\backslash B_l(0)|^{n^{-1}-p^{-1}}\sup_m\norm{Du}_p.$$

$l\to\infty$ とすれば $\displaystyle\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_\infty=0$ を得る。

(2)、(3)は拡張作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}_0(\Omega_0)\ (\Omega\rcpt\Omega_0,|\Omega_0|\lt\infty)$ をとって $\{Eu_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ が $L^q(\Omega_0)$ で収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{j=1}^\infty$ をとればよい。

□

注意

とくに $q=p$ の場合が重要である。すなわち、$|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{1,p}_0(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のときは埋め込み $W^{1,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ はコンパクトである。

$k\gt j$ なる $j,k\in\Zz$ と $p\in[1,\infty]$ について、帰納法により $$\begin{cases} q\in\left[1,\frac{np}{n-(k-j)p}\right)&\colon np\lt k-j\\ q\in[1,\infty)&\colon np=k-j\\ q\in[1,\infty]&\colon np\gt k-j \end{cases}$$ とすると $|\Omega|\lt\infty$ のとき埋め込み $W^{k,p}_0(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトで、$\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき埋め込み $W^{k,p}(\Omega)\subset W^{j,q}(\Omega)$ はコンパクトである。

(1)の仮定「 $|\Omega|\lt\infty$ 」と(2)の仮定「有界」は外すことができない。例えば $\Omega=\R^n$ とし、$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$、$u_m(x)\colon=u(x-me_1)$ とすると $\{u_m\}_m$ は明らかに $W^{1,p}(\R^n)$ で有界である。一方、$u_m\to 0$ a.e. in $\R^n\ (m\to\infty)$ であるから、$\{u_m\}_m$ が $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_m}_q=\norm{u}_q\gt 0$ より $\{u_m\}_m$ は $0$ に $L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^q(\R^n)$ で収束する部分列をもたない。

また、$p\in[1,n)$ のとき $\Omega$ がいかなる開集合であっても $q=p^*$ を含めることはできない。実際、$0\in\Omega$ として一般性を失わない。$u\in C^\infty_c(\R^n)\backslash\{0\}$ として $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda(x)\colon=\lambda^{\frac{n}{p}-1}u(\lambda x)$ とすると十分小さい $\lambda\gt 0$ について $u_\lambda\in C^\infty_c(\Omega)$ であり、また変数変換により $\norm{Du_\lambda}_p=\norm{Du}_p$ であるから $\displaystyle\sup_{\lambda\gt 0}\norm{Du_\lambda}_p\lt\infty$。一方、$u_\lambda\to 0$ a.e. in $\Omega\ (\lambda\to +0)$ であるから、$\{u_{m^{-1}}\}_m$ が $L^q(\Omega)$ で収束する部分列をもつとすればその極限は $0$ であるが、$\norm{u_\lambda}_{p^*}=\norm{u}_{p^*}\gt 0$ より $\{u_{m^{-1}}\}_m$ は $0$ に $L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたず、従って$L^{p^*}(\Omega)$ で収束する部分列をもたない。

系 70 (Poincaréの不等式)

$\Omega$ が $|\Omega|\lt\infty$ かつ連結で相対開集合 $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたすとし、$p\in[1,\infty)$ とする。$\mathcal{W}\subset W^{1,p}_0(\OmT)$ はノルム閉集合で $u∈\mathcal{W},t\in\R\implies tu∈\mathcal{W}$ かつ $1\notin\mathcal{W}$ をみたすとする。$u\in \mathcal{W}$ について $$\norm{u}_{p;\Omega}\le C_{p,\mathcal{W}}\norm{Du}_{p;\Omega}.$$

Proof.

主張が成り立たなかったとする。$(u_m)_S=1$ なる $\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset \mathcal{W}$ が存在し、$\norm{u_m}_p=1$ かつ $\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となる。定理 69より部分列にとりかえてある $u\in L^p(\Omega)$ について $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ となるとしてよい。

$\norm{Du_m}_p\to 0\ (m\to\infty)$ であるから $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Du=0$ in $\Omega$ となり $v$ は定数関数である。一方 $\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ となるので $u\in\mathcal{W}$。$1\notin\mathcal{W}$ より $\mathcal{W}$ は $0$ 以外の定数関数を含まないので $u=0$。これは $\norm{u_m}_p=1$ より $\norm{u}_p=1$ となることに矛盾。

□

注意

たとえば次が成り立つ:

• (1) $1\notin W^{1,p}_0(\OmT)$ とすると任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
• (2) $\delta\gt 0$ とすると $\{u\in L^p(\Omega)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ はノルム閉集合である。実際、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset L^p(\Omega)$ と $u\in L^p(\Omega)$ が $|\{u_m\ge 0\}|\ge\delta$ かつ $\norm{u_m-u}_p\to 0\ (m\to\infty)$ をみたすとすると任意の $r\gt 0$ について $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le r^{-p}\norm{u_m-u}_p^p$ であるから任意の $\varepsilon\gt 0$ について十分 $m$ を大きくとれば $|\{|u_m-u|\gt r\}|\le\varepsilon$ となり $\{u_m=0\}\backslash\{|u_m-u|\gt r\}\subset\{|u|\le r\}$ より $|\{|u|\le r\}|\ge\delta-\varepsilon$。$r\to +0$、$\varepsilon\to +0$ として $|\{u=0\}|\ge\delta$ を得る。

これより $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}_0(\OmT)\colon |\{u=0\}|\ge\delta\}$ も $0$ 以外の定数関数を含まないノルム閉集合であり、$u\in\mathcal{W}$ について $\norm{u}_p\le C_{p,\Omega,T,\delta}\norm{Du}_p$ が成り立つ。

• (3) $\xi\in\pOm\backslash T$ と $r\gt 0$ が存在して $B=B_r(\xi)$ が $B\cap T=\emptyset$ かつ $|B\backslash\Omega|\gt 0$ をみたすとすると $\Omega$ を $\Omega\cup B$ にとりかえて $\mathcal{W}=W^{1,p}_0(\OmT)$ とすることにより任意の $u\in W^{1,p}_0(\OmT)$ について $\norm{u}\le C_{p,\Omega,T}\norm{Du}$。
• (4) $\Omega$ が有界かつ連結な $C^{0,1}$ 領域のとき、$T=\pOm$ として $\mathcal{W}=\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon u_\Omega=0\}$ ( $u_\Omega\colon=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$ )とすると $\mathcal{W}$ は仮定をみたし、任意の $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について

$$\norm{u-u_S}_p\le C_{p,\Omega}\norm{Du}_p.$$

(1)、(3)と定理 60の(1)、(4)と定理 61を比較せよ。凸領域は連結かつ $C^{0,1}$ であるから系 70の方がより一般的な不等式である。一方、定理 60と定理 61では $C$ がどのように $\Omega$ に依存するかまでわかっているが、系 70の証明は $C$ の具体的な表示を与えていない。

補間不等式

ここでは主に $$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau$$ の形の補間不等式を取り扱う。

補題 71 ($n=1$、$j=1$、$k=2$ の場合)

$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{1}{2}p^{-1}+\frac{1}{2}q^{-1}\right)^{-1}$ とすると $u\in W^{k,p}(\R)$ について $$\norm{u'}_{1,r;\R}\le C\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{1}{2}\norm{u}_{q;\R}^\frac{1}{2}.$$

Proof.

$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。

$u\in C^\infty_c(\R)\backslash\{0\}$ としてよい。$J=(a,b)\subset\R$ を開区間とする。$x\in J_1\colon=(a,a+\frac{1}{3}|J|)$、$y\in J_2\colon=(b-\frac{1}{3}|J|,b)$ とすると $z\in J$ について $$\frac{1}{3}|J||u'(z)|\le(y-x)|u'(z)|=\left|u(y)-u(x)-\int_x^y(u'-u'(z))\right|\le|u(y)|+|u(x)|+|J|\int_J|u^{\prime\prime}|.$$ $x\in I_1$、$y\in I_2$ について積分しHölderの不等式を用いると \begin{align*} \frac{1}{27}|J|^3|u'(z)|&\le\frac{1}{3}|J|\left(\int_{J_1}|u|+\int_{J_2}|u|\right)+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\ &\le\frac{1}{3}|J|\int_J|u|+\frac{1}{9}|J|^3\int_J|u^{\prime\prime}|\\ &\le\frac{1}{9}|J|^{4-p^{-1}}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+\frac{1}{3}|J|^{2-q^{-1}}\norm{u}_{q;J}. \end{align*} これより $$\norm{u'}_{r;J}\le|J|^{r^{-1}}\norm{u'}_{\infty;J}\le 3|J|^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J}+9|J|^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;J}.$$ ここで $U\colon=\{u\neq 0\}$ とする。$x\in U$ について $t\mapsto\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}$ と $t\mapsto\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}$ は $(0,+\infty)$ から $\R$ へ連続であって $$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to+\infty,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to 0\ (t\to +0)$$ かつ $$(2t)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t,x+t)}\to 0,(2t)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t,x+t)}\to +\infty\ (t\to +\infty)$$ であるから中間値の定理より $t_x\in(0,+\infty)$ が存在して $$(2t_x)^{-1+\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=(2t_x)^{1-\frac{1}{2}(p^{-1}-q^{-1})}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}^\frac{1}{2}.$$ また $t_x\ge\diam U$ を仮定すると $U\subset(x-t_x,x+t_x)$ より $\norm{u}_{q;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u}_{q;\R}$、$\norm{u^{\prime\prime}}_{p;(x-t_x,x+t_x)}=\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}$ となり $$(2t_x)^{2-p^{-1}+q^{-1}}=\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}.$$ これより $$t_x\le\max\left\{\diam U,\frac{1}{2}\left(\frac{\norm{u}_{q;\R}}{\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}}\right)^{(2-p^{-1}+q^{-1})^{-1}}\right\}.$$ Besicovitchの被覆定理より $\{J_i\}_{i=1}^\infty=\{(x_i-t_{x_i},x_i+t_{x_i})\}_{i=1}^j$、$j\in\Zp\cup\{\infty\}$ が存在して $$U\subset\bigcup_{i=1}^j J_i,\sum_{i=1}^j\chi_{J_i}\le C.$$ $u'=0$ a.e. on $\R\backslash U$ に注意すると \begin{align*} \norm{u'}_{r;\R}^r&=\norm{u'}_{r;U}^r\\ &\le\sum_{i=1}^j\norm{u'}_{r;J_i}^r\\ &\le C\sum_{i=1}^j\left(\norm{u}_{q;J_i}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}\right)^\frac{r}{2}\\ &\le C\left(\sum_{i=1}^j\norm{u}_{q;J_i}^q\right)^\frac{r}{2q}\left(\sum_{i=1}^j\norm{u^{\prime\prime}}_{p;J_i}^p\right)^\frac{r}{2p}\\ &\le C\norm{u}_{q;\R}^\frac{r}{2}\norm{u^{\prime\prime}}_{p;\R}^\frac{r}{2} \end{align*} を得る。

この定数 $C$ は $p,q$ には依存しないので、$p=\infty$ あるいは $q=\infty$ で $\supp u$ が有界の場合も成り立つ。一般の場合は $\zeta\in C^\infty_c(-2,2)$ を $\zeta=1$ in $(-1,1)$ となるようにとり $\zeta_m(t)\colon=\zeta(m^{-1}t)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

□

定理 72 (補間不等式)

$j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$p,q\in[1,\infty]$ とし、$r\colon=\left(\frac{j}{k}p^{-1}+\frac{k-j}{k}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。次が成り立つ:

• (1) $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,j,k}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\R^n}^\frac{k-j}{k}.$$

• (2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について

$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega,T}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

• (3) $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について

$$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{j,k,\Omega}\norm{u}_{k,p;\Omega}^\frac{j}{k}\norm{u}_{q;\Omega}^\frac{k-j}{k}.$$

Proof.

(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

まず $j=1$、$k=2$、$p,q\in[1,\infty)$ の場合を示す。$u\in C^\infty_c(\R^n)$ としてよい。補題 より $i=1,\ldots,n$ について \begin{align*} \norm{D_iu}_r&=\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_iu(x_1,\ldots ,x_n)|^rdx_i\right)dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\ &\le C\left(\int_{\R^{n-1}}\left(\int_\R|D_{ii}u(x_1,\ldots,x_n)|^pdx_i\right)^\frac{r}{2p}\left(\int_\R|u(x_1,\ldots ,x_n)|^qdx_i\right)^\frac{r}{2q}dx_1\ldots dx_{i-1}dx_{i+1}\ldots dx_n\right)^{r^{-1}}\\ &\le C\norm{D_{ii}u}_p^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2}. \end{align*} これより $\norm{Du}_r\le C\norm{u}_p^\frac{1}{2}\norm{D^2u}_q^\frac{1}{2}$ を得る。

$j=1$、$k=2$ で $p,q$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$\supp u$ がコンパクトな場合は $p,q\in[1,\infty)$ の場合の定数 $C$ が $p,q$ に依存していないことから従う。$\supp u$ がコンパクトでない場合は $\zeta\in C^\infty_c(B_2(0))$ を $0\le\zeta\le 1$、$\zeta=1$ in $B_1(0)$ となるようにとり $\zeta_m(x)=\zeta(m^{-1}x)\ (m\in\Zp)$ として $\zeta_mu$ に補間不等式を用いて $m\to\infty$ とすれば従う。

$k=j+1$ の場合を $j$ に関する帰納法により示す。

$j=1$ の場合は既に示した。

ある $j$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{j+2,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j+1}{j+2}p^{-1}+\frac{1}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$j=1$ の場合と仮定より $$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^ju}_{\left(\frac{j}{j+2}p^{-1}+\frac{2}{j+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{1}{2}\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{1}{2}\le C\norm{D^{j+1}u}_r^\frac{j}{2(j+1)}\norm{D^{j+2}u}_{p}^\frac{1}{2}\norm{u}_q^\frac{1}{2(j+1)}.$$ これより $$\norm{D^{j+1}u}_r\le C\norm{D^{j+2}u}_p^\frac{j+1}{j+2}\norm{u}_q^\frac{1}{j+2}$$ を得る。

一般の場合を $j$ を固定し $k$ に関する帰納法により示す。

$k=j+1$ の場合は既に示した。

ある $k$ について主張が成り立ったとし、$u\in W^{k+1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$、$r\colon=\left(\frac{j}{k+1}p^{-1}+\frac{k-j+1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}$ とする。$k=j+1$ の場合と仮定より $$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^ku}_{\left(\frac{k}{k+1}p^{-1}+\frac{1}{k+1}q^{-1}\right)^{-1}}^\frac{j}{k}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}\le C\norm{D^ju}_r^\frac{j}{k(k-j+1)}\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j(k-j)}{k(k-j+1)}\norm{u}_q^\frac{k-j}{k}.$$ これより $$\norm{D^ju}_r\le C\norm{D^{k+1}u}_p^\frac{j}{k+1}\norm{u}_q^\frac{k-j+1}{k+1}$$ を得る。

□

系 73

$\Omega=\R^n$、あるいは $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $p\in[1,\infty]$ とすると $u\in W^{k,p}(\Omega)$ について $$\norm{u}_{k,p;\Omega}\le C_{k,\Omega}\left(\norm{u}_{p;\Omega}+\norm{D^ku}_{p;\Omega}\right).$$

Proof.

定理 72で $p=q$ とすると $j=1,\ldots,k-1$ について $$\norm{D^ju}_{p}\le C\norm{u}_{k,p}^\frac{j}{k}\norm{u}_p^\frac{k-j}{k}\le\frac{1}{2(k-1)}\norm{u}_{k,p}+C\norm{u}_p$$ であるから $$\norm{u}_{k,p}\le\sum_{j=0}^k\norm{D^ju}_p\le\frac{1}{2}\norm{u}_{k,p}+C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$ となり $$\norm{u}_{k,p}\le C(\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p)$$ となる。

□

注意

これより $\norm{u}_p+\norm{D^ku}_p$ や $\left(\norm{u}_p^p+\norm{D^ku}_p^p\right)^{p^{-1}}$ は $W^{k,p}(\Omega)$ に $\norm{u}_{k,p}$ と同値なノルムを定めることが従う。

一方Sobolevの不等式を用いるとこれとは異なる補間不等式を得られる。

命題 74

$p\in[1,n]$、$q\in[1,\infty)$、$\tau\in(0,1]$ とし、$r\colon=\left((1-\tau)p^{*-1}+\tau q^{-1}\right)^{-1}$ とすると次が成り立つ:

• (1) $W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset L^r(\R^n)$ で $u\in W^{1,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{Du}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$

• (2) $T\subset\pOm$ が(\ref{D})をみたす相対開集合のとき $W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega,T}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

• (3) $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について

$$\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,p,q,\tau,\Omega}\norm{u}_{1,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

Proof.

(1)を示す。(2)と(3)は(1)と拡張作用素により従う。

$p\in[1,n)$ のときは定理 51より直ちに従う。以下 $p=n$ とする。

$m\in\Zp$ について定理 51より $$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{|u|^{1^{*-1}q+m-1}Du}_1\le C\norm{Du}_n\norm{u}_{q+(m-1)1^*}^{1^{*-1}q+m-1}.$$ 帰納法により $m\in\Zp$ について $$\norm{u}_{q+m1^*}^{1^{*-1}q+m}\le C\norm{Du}_n^m\norm{u}_q^{1^{*-1}q}.$$ ここで $m=\left\lfloor 1^{*-1}(r-q)\right\rfloor$ ととる。このとき $q+m1^*\le r\lt q+(m+1)1^*$ となる。$\theta\in[0,1)$ を $r^{-1}=(1-\theta)(q+m1^*)^{-1}+\theta(q+(m+1)1^*)^{-1}$ となるようにとると \begin{align*} \norm{u}_r&\le\norm{u}_{q+m1^*}^{1-\theta}\norm{u}_{q+(m+1)1^*}^\theta\\ &\le C\norm{Du}_n^{m(1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+(m+1)\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1}}\norm{u}_q^{((1-\theta)(1^{*-1}q+m)^{-1}+\theta(1^{*-1}q+m+1)^{-1})1^{*-1}q}\\ &=C\norm{Du}_n^{1-\frac{q}{r}}\norm{u}_q^{\frac{q}{r}}=C\norm{Du}_n^{1-\tau}\norm{u}_q^\tau. \end{align*}

□

注意

$p=q=n$ の場合より、$|\Omega|=\infty$ の場合でも任意の $r\in[n,\infty)$ について $W^{1,n}_0(\Omega)\subset L^r(\Omega)$ で $u\in W^{1,n}_0(\Omega)$ について $\norm{u}_{r;\Omega}\le C_{n,r}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。系 54と比較せよ。

定理 72と命題 74を組み合わせてより一般的な補間不等式を得る。

補題 75

$k\in\Zz$、$\alpha\in[0,1]$、$q\in[1,\infty]$ とする。$\theta\in[0,1]$ について次が成り立つ:

• (1) $\sigma\colon=(1-\theta)(k+\alpha)-\frac{\theta n}{q}\le 0$ のとき $r\colon=\frac{n}{\sigma}$ とすると $u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$\norm{u}_{r;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

• (2) $\sigma\gt 0$ のとき $j\colon=\lceil \sigma\rceil-1$、$\beta\colon=\sigma-j$ とすると　$u\in C^{k,\alpha}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$[u]_{j,\beta;\R^n}\le C_{p,k,\alpha,\tau}[u]_{k,\alpha;\R^n}^{1-\theta}\norm{u}_{q;\R^n}^\theta.$$

Proof.

$$\theta=\frac{(k+\alpha-\sigma)q}{(k+\alpha)q+n}=\left(1+\frac{\sigma q}{n}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}-\frac{\sigma q}{n}=\left(1-\frac{\sigma}{k+\alpha}\right)\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$$ に注意する。

$q=\infty$ の場合はHölder空間の基本事項の定理54で既に示されている。以下 $q\in[1,\infty)$ とする。

まず $k=0$、$\sigma=0$ の場合を示す。$\alpha=0$ のときは明らかであるから $\alpha\in(0,1]$ としてよい。

$[u]_{0,\alpha}=0$ のときは $u$ は定数関数であって $u\in L^q(\R^n)$ であるから $u\equiv 0$。この場合主張は明らかである。以下 $[u]_{0,\alpha}\neq 0$ とする。

$x\in\R^n$、$u(x)\neq 0$ として $R=\left(\frac{|u(x)|}{2[u]_{0,\alpha}}\right)^{\alpha^{-1}}$ とすると $|u|\ge \frac{1}{2}|u(x)|$ on $B_R(x)$ となり $$\norm{u}_q\ge\frac{1}{2}|B_R(x)|^{q^{-1}}|u(x)|=\frac{1}{2}\omega_n^{q^{-1}}|u(x)|^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}.$$ $x$ について $\sup$ をとると $\norm{u}^{1+\frac{n\alpha^{-1}}{q}}[u]_{0,\alpha}^{-\frac{n\alpha^{-1}}{q}}\le C\norm{u}_q$。$\theta=\frac{\alpha q}{\alpha q+n}$ であるから $$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$ を得る。

$k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合を示す。$k=0$ の場合とHölder空間の基本事項の定理54より $$\norm{u}_\infty\le C[u]_{0,1}^\frac{n}{q+n}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_\infty^\frac{(k-1+\alpha)n}{(k+\alpha)(q+n)}\norm{u}_q^\frac{q}{q+n}.$$ $\theta=\frac{(k+\alpha)q}{(k+\alpha)q+n}$ であるから $$\norm{u}_\infty\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$ を得る。

(1)を示す。Hölderの不等式と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より $$\norm{u}_r\le\norm{u}_\infty^{1+\frac{\sigma q}{n}}\norm{u}_q^{-\frac{\sigma q}{n}}\le[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$ を得る。

(2)を示す。Hölder空間の基本事項の定理54と $k\ge 1$、$\sigma=0$ の場合より $$[u]_{j,\beta}\le C[u]_{k,\alpha}^\frac{\sigma}{k+\alpha}\norm{u}_\infty^{1-\frac{\sigma}{k+\alpha}}\le C[u]_{k,\alpha}^{1-\theta}\norm{u}_q^\theta$$ を得る。

□

定理 76 (Gagliardo-Nirenbergの補間不等式)

$j\in\Zz$、$k\in\Zp$、$j\lt k$ とする。$p,q\in[1,\infty)$ とし、 $$\tau\in\begin{cases} \left(0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon p\in(1,\infty),k-j-\frac{n}{p}\in\Zz\\ \left[0,\frac{k-j}{k}\right]&\colon \rm{otherwise} \end{cases}$$ をみたすとする。 $$\sigma\colon=(1-\tau)\left(k-\frac{n}{p}\right)-\frac{\tau n}{q}-j$$ とすると次が成り立つ:

• (1) $\sigma\le 0$ のとき $r\colon=-\frac{n}{\sigma}$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset W^{j,r}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$\norm{D^ju}_{r;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$ また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}_0(\OmT)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について $$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$ $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset W^{j,r}(\Omega)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について $$\norm{D^ju}_{r;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

• (2) $\sigma\gt 0$ のとき $j'\colon=j+\lceil\sigma\rceil-1$、$\alpha\colon=\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)$ とすると $W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)\subset C^{j',\alpha}(\R^n)$ で $u\in W^{k,p}(\R^n)\cap L^q(\R^n)$ について

$$[u]_{j',\alpha;\R^n}\le C_{n,p,q,\tau}\norm{D^ku}_{p;\R^n}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\R^n}^\tau.$$ また $T\subset\pOm$ が(\ref{D'})をみたす相対開集合のとき $W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}_0(\OmT)\cap L^q(\Omega)$ について $$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,T,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$ $\Omega$ が有界なLipschitz領域のとき $W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)\subset C^{j',\alpha}(\Ombar)$ で $u\in W^{k,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ について $$[u]_{j',\alpha;\Omega}\le C_{p,q,\Omega,\tau}\norm{u}_{k,p;\Omega}^{1-\tau}\norm{u}_{q;\Omega}^\tau.$$

Proof.

$\Omega=\R^n$ の場合を示す。その他は拡張作用素により従う。

$u\in C^\infty(\R^n)$ としてよい。表記を簡単にするため次の記号を用いる: $k\in\Zz$、$\sigma\ge k-n$ について $$\langle u\rangle_{k,\sigma}\colon=\begin{cases} \norm{D^ku}_{\frac{n}{k-\sigma}}&\colon \sigma\in[k-n,k]\\ [u]_{\lceil\sigma\rceil-1,\sigma-(\lceil\sigma\rceil-1)}&\colon \sigma\gt k \end{cases}.$$ 定理 67より $j,k\in\Zz$、$j\lt k$ で $\sigma\ge k-n$ が $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$、$\sigma=k$ のいずれかをみたすとき $$\langle u\rangle_{j,\sigma}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}.$$ 定理 72より $j,k\in\Zp$、$j\lt k$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\sigma'\in[-n,0]$ について $$\langle u\rangle_{j,\frac{k-j}{k}\sigma+\frac{j}{k}\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^\frac{k-j}{k}\langle u\rangle_{0,\sigma'}^\frac{j}{k}.$$ 命題 74より $k\in\Zp$、$\sigma\in[k-n,k-1]$、$\sigma\in[k-n,0]$、$\tau\in[0,1)$ について $$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k-1,\sigma'}^\tau.$$ Hölderの不等式と補題 75とHölder空間の基本事項の定理54より $k\in\Zz$、$\sigma,\sigma'\ge k-n$、$\theta\in[0,1]$ について $$\langle u\rangle_{k,(1-\theta)\sigma+\theta\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\theta}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^{\theta}.$$ また主張は次のように表される: $k\in\Zp$、$\sigma\in [k-n,k]$、$\sigma'\in [-n,0]$ とし、 $$\begin{cases} \tau\in\left[\frac{j}{k},1\right)&\colon \sigma\in(k-n,k),\sigma-j\in\Zz\\ \tau\in\left[\frac{j}{k},1\right]&\colon \rm{otherwise} \end{cases}$$ とすると $$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$

$\tau=\frac{k-j}{k}$ の場合および $\sigma-j\notin\Zz$、$\sigma=k-n$ あるいは $\sigma=k$ で $\tau=0$ の場合は定理 、定理 30から直ちに従う。

$\sigma\in\left(k-n,k\right)$、$\sigma-j\in\Zz$、$\tau\in\left(0,\frac{1}{k}\right]$ とする。

$\sigma\in\Z$ より $\sigma\le k-1$ であるから $$\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-k\tau}\langle u\rangle_{k-1,\frac{k-1}{k}\sigma+\frac{1}{k}\sigma'}^{k\tau}\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{k,\sigma'}^\tau$$ となり $j=k-1$ の場合が従う。また $\sigma\ge j\gt 0\le\sigma'$ より十分小さく $\tau$ をとれば $(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'\notin\Z$ となり $j=1,\ldots,k-2$ について $\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{k-1,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}$ となりこの場合も従う。

また $\tau=\tau_1,\tau_2$ について主張が成り立ったとして $\theta\in[0,1]$、$\tau=(1-\theta)\tau_1+\theta\tau_2$ とすると $$(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'=(1-\theta)((1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma')+\theta((1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'),(1-\theta)(1-\tau_1)+\theta(1-\tau_2)=1-\tau$$ であるから $$\langle u\rangle_{j,(1-\tau)\sigma+\tau\sigma'}\le C\langle u\rangle_{j,(1-\tau_1)\sigma+\tau_1\sigma'}^{1-\theta}\langle u\rangle_{j,(1-\tau_2)\sigma+\tau_2\sigma'}^\theta\le C\langle u\rangle_{k,\sigma}^{1-\tau}\langle u\rangle_{\sigma'}^\tau.$$ 以上より主張が従う。

□

トレース作用素

最後に $u\in W^{1,p}(\Omega)$ に「境界値」を定めるトレース作用素について述べる。$n=1$ の場合と $p\in(n,\infty]$ の場合は適切な仮定の下 $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-\frac{n}{p}}(\Ombar)$ であったから $u\in W^{1,p}(\Omega)$ には境界値を定めることができるが、そうでない場合も $\Omega$ が $C^{0,1}$ 以上のなめらかさがある境界部分をもつとき $u\in W^{1,p}(\Omega)$ にその上の「弱い意味の境界値」を定めることができる。

補題 77

$\mu=(\mu_1,...,\mu_n)\in B_1(0)$、$\xi\in\R^n$ とし、$\Omega\colon=\{x\in\R^n\colon \mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$ を半空間とする。$u\in C^{0,1}(\Ombar)$ で $\supp u$ が有界なものについて $$\int_\Omega D_iu=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

Proof.

$\xi=0$ としてよい。Lipschitz連続関数 $x\mapsto \mu\cdot x$ に対してcoarea formulaを用いると \begin{align*} \int_\Omega D_\mu u&=\int_0^\infty\left(\int_{\{\mu\cdot y=t\}}D_\mu u(y)d\H^{n-1}(y)\right)dt\\ &=\int_0^\infty\left(\int_\pOm D_\mu u(x+t\mu)d\H^{n-1}(x)\right)dt\\ &=-\int_\pOm ud\H^{n-1}. \end{align*} 一方 $\mu'\in\R^n\backslash\{0\}$、$\mu'\cdot\mu=0$ とするとcoarea formulaより \begin{align*} \int_\Omega D_{\mu'}u&=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=t\}}D_{\mu'}u(y)d\H^{n-1}(y)\right)|\mu'|^{-1}dt\\ &=\int_\R\left(\int_{\{\mu\cdot y\gt 0,\mu'\cdot y=0\}}D_{\mu'}u(x+t\mu')d\H^{n-1}(x)\right)|\mu'|^{-1}dt\\ &=0. \end{align*} $i=1,...,n$ について $(e_i-\mu_i\mu)\cdot\mu=0$ であるから $$\int_\Omega D_iu=\mu_i\int_\Omega D_\mu u+\int_\Omega D_{e_i-\mu_i\mu}u=-\mu_i\int_\pOm ud\H^{n-1}.$$

□

補題 78

$S\subset\R^n$ が $|S|=0$ をみたすとすると $f\in L^1_\loc(\R^n)$ について $$\lim_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{B_r(x)}|f|=0\ \H^{n-1}-\ae x\in S.$$

Proof.

$S$ は有界であるとしてよい。$\sigma\gt 0$ とし、 $$A_\sigma\colon=\left\{x\in\R^n\colon\limsup_{r\to+0}\frac{1}{r^{n-1}}\int_{\Bb_r(x)}|f|\gt\sigma\right\}$$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)=0$ を示せば十分。

$S$ は有界で $|S|$ をみたすので $S$ の有界な開近傍 $U_1\supset U_2\ldots\supset S$ で $\displaystyle \left|\bigcap_{i=1}^\infty U_i\right|=0$ となるものをとれ、$\displaystyle\int_{U_1}|f|\lt\infty$ より $\displaystyle \lim_{i\to\infty}\int_{U_i}|f|=0$ となる。これより $\varepsilon\gt 0$ とすると $S$ の有界な開近傍 $U$ で $\displaystyle\int_{U}|f|\lt\varepsilon$ となるものをとれる。

$\varepsilon\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$S\subset U$ $$\B\colon=\left\{\Bb=\Bb_r(x)\colon x\in A_\sigma,r\lt\delta,\Bb\subset U,\int_{\Bb}|f|\ge\sigma r^{n-1}\right\}$$ とすると、任意の $x\in A_\sigma$ と $\varepsilon\gt 0$ について $r\in(0,\varepsilon)$ が存在して $B_r(x)\in\B$。

Vitaliの被覆定理より $\{\Bb_i\}_{i=1}^\infty=\{\Bb_{r_i}(x_i)\}_{i=1}^\infty\subset\B$ で $i\neq j\implies \Bb_i\cap\Bb_j=\emptyset$ かつ $\displaystyle A_\sigma\subset\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_{5r_i}(x_i)$ となるものが存在する。これより $$\H^{n-1}_{10\delta}(A_\sigma)\colon=\omega_{n-1}\sum_{i=1}^\infty(5r_i)^{n-1}\le 5^{n-1}\omega_m\sum_{i=1}^\infty\int_{\Bb_i}|f|=5^{n-1}\omega_n\int_{\bigcup_{i=1}^\infty\Bb_i}|f|\le 5^{n-1}\omega_n\int_U|f|\lt\varepsilon.$$ $\delta\to +0$ として $\H^{n-1}(A_\sigma)\lt\varepsilon$ を得る。

□

定理 79 (トレース作用素)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とすると $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $$Tu(\xi)\colon=\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u$$ は収束する。また $Tu\in L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ で相対開集合 $S'\rcpt S$ について $$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le C_{p,S'}\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

Proof.

$\xi\in\overline{S'}$ について開集合 $U_\xi\subset\R^n$ と全単射 $\psi_\xi\colon 2Q\to U_\xi$ が存在して $U_\xi\cap\Omega=\psi_\xi(2Q_+)$、$U_\xi\cap\pOm=\psi_\xi(2Q_0)$ かつ $\psi_\xi$ と $\psi_\xi^{-1}$ はいずれも $C^{0,1}$ 写像となる。$\overline{S'}$ はコンパクトであるから $\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\overline{S'}$ を $\displaystyle\overline{S'}\subset\bigcup_{i=1}^N\psi_\xi(Q)$ となるようにとれる。$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$ と置きなおす。$V_i\colon=\psi_i(Q)$ とする。$i=1,\ldots ,N$ について $L_i\colon=\max\{L(\psi|_Q),L(\psi^{-1}|_{V_i})^{-1}\}$ とする。

$\chi\in C^\infty([0,1])$ を $\chi(0)=1$ かつ $\chi(1)=0$ となるようにとる。Area不等式(Hausdorff測度とarea_coarea_formulaの定理19)より $u\in C^{0,1}(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$ と $p\in[1,\infty)$ について \begin{align*} \int_{V_i\cap\pOm}|u|^pd\H^{n-1}&\le L_i^n\int_{Q_0}|u\circ\psi_i|^pd\H^{n-1}\\ &=-pL_i^n\int_{Q_+}\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\chi(x_n)|u(\psi_i(x',x_n))|^p\right)dx\\ &\le C\int_{Q_+}\left(|u\circ\psi_i|^p+|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi)|\right)\\ &\le C\int_{V_i\cap\Omega}\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right). \end{align*} $i$ について加えて $$\int_{S'} |u|^pd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right)$$ を得る。

系 43より $u\mapsto u|_{S'}$ は $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^p(S',\H^{n-1})$ への有界線型作用素 $T$ に一意的に拡張される。$u_m\in C^\infty(\Omega\cup S')\cap W^{1,p}(\Omega)$、$\norm{u_m-u}_{1,p}\to 0\ (m\to\infty)$ とすると $\int_\pOm|u_m-Tu|^pd\H^{n-1}\to 0\ (m\to\infty)$ であるから部分列に移って $u_m\to Tu\ \H^{n-1}$ -a.e. on $S'$ となるようにできてFatouの補題により $$\int_{S'} |Tu|^pd\H^{n-1}\le\liminf_{m\to\infty}\int_{S'}|u_m|^pd\H^{n-1}\le C\liminf_{m\to\infty}\int_\Omega\left(|u_m|^p+|u_m|^{p-1}|Du_m|\right)=\int_\Omega\left(|u|^p+|u|^{p-1}|Du|\right).$$

$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|=0\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'\tag{*}\label{trace}$$ を示す。

$i=1,\ldots ,N$ とする。Lebesgueの微分定理より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_0$ について $$\lim_{r\to+0}\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}=0.$$ また $y\in Q_+$ を $(y',y_n)\in(-1,1)^{n-1}\times(0,1)$ と表すと $v\in C^\infty(\Omega\cup S)$ と $\eta\in Q_0$、$(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset Q_+$ について \begin{align*} \int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|v(\psi_i(y))-v(\psi_i(y',0))|&=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}\left(\int_0^{y_n}|D_n(v\circ\psi_i)(y',t)|dt\right)dy\\ &=\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}(s-y_n)|D_n(v\circ\psi_i)(y)|dy\\ &\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(v\circ\psi_i)v|. \end{align*} area不等式より $\varphi\mapsto\varphi\circ\psi_i$ は $L^1(V_i\cap\pOm,\H^{n-1})$ から $L^1(Q_0,\H^{n-1})$ へ有界であることに注意すると近似により $$\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le s\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.\tag{**}\label{trace2}$$ $(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)\subset B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+$ と補題 78より $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について $$\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y',0))|dy\le \frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_{\sqrt{2}s}(\eta)\cap Q_+}|D_n(u\circ\psi_i)|\to 0\ (s\to+0).$$ これより $\H^{n-1}$ -a.e. $\eta\in Q_+$ について \begin{align*} &\quad\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|\\ &\le\frac{1}{s^n}\int_{(B_s(\eta)\cap Q_0)\times(0,s)}|u(\psi_i(y))-Tu(\psi_i(y'))|dy+\frac{1}{s^{n-1}}\int_{B_s(\eta)\cap Q_0}|Tu\circ\psi_i-Tu(\psi_i(\eta))|d\H^{n-1}\\ &\to 0\ (s\to +0). \end{align*} また $\xi\in V_i\cap\pOm$ と十分小さい $r\gt 0$ について $\psi_i^{-1}(B_r(\xi)\cap\Omega)\subset B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+\subset (B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)$ かつ $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge L_i^{-1}|B_{L_i^{-1}r}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_+|\ge\frac{1}{2}\omega_nL_i^{-2n}r^n$ となることとArea不等式より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in V_i\cap\pOm$ について $$\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\le \frac{C}{r^n}\int_{(B_{Lr}(\psi_i^{-1}(\xi))\cap Q_0)\times(0,Lr)}|u\circ\psi_i-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to+0).$$ これより(\ref{trace})が成り立ち、とくに $$\lim_{r\to +0}\frac{1}{|B_r(\xi)\cap\Omega|}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u=Tu(\xi)\ \H^{n-1}-\ae \xi\in S'.$$

$S'\rcpt S$ は任意であったから、これにより $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_\loc(S,\H^{n-1})$ が定まる。

□

定義 80

$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素という。

注意

$T$ の表示から明らかに $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\Omega\cup S)$ については $Tu=u|_S$ である。この意味で $Tu$ は $u$ の「弱い意味の境界値」となっている。

$\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のときは $S=\pOm$ ととれる。とくに $\Omega$ が有界な場合は $\pOm$ はコンパクトであるから $S'=\pOm$ ととれ、このとき $T\colon W^{1,p}(\Omega)\to L^p_{\loc}(\pOm,\H^{n-1})=L^p(\pOm,\H^{n-1})$ は有界線型作用素である。

命題 81 (合成関数と積)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。次が成り立つ:

• (1) $u=(u_1,\ldots,u_m)\in W^{1,p}(\Omega)^m$ と $G\in C^1(\R^m)$ が $G(u)\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。ここで $Tu\colon=(Tu_1,\ldots,Tu_m)\in L^p_{\loc}(S,\H^{n-1})^m$ である。

また $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と $G\in W^{1,1}_{\loc}(\R)$ が定理 25の仮定をみたすとき $T(G(u))=G(Tu)$ on $S$。

• (2) $u_1,\ldots,u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ が $u_1\ldots u_m\in W^{1,p}(\Omega)$ をみたすとき $T(u_1\ldots u_m)=Tu_1\ldots Tu_m$ on $S$。

Proof.

(1)を示す。(2)は(1)で $G(t_1,\ldots,t_m)=t_1\ldots t_m$ とすれば従う。

$G'\in L^\infty(\R^m)^m$ の場合を示す。一般の場合は定理 22と定理 25の証明で与えた近似により従う。

このとき $G\in C^{0,1}(\R^m)$ であるから $\H^{n-1}$-a.e.$\xi\in S$ について $$\frac{1}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|G(u)-G(Tu(\xi))|\le\frac{[G]_{0,1}}{r^n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0).$$ これより $T(G(u))=G(Tu)$ が従う。

□

命題 82 (変数変換)

$D,\widetilde{D}\subset\R^n$ を開集合とし、$\psi\colon\widetilde{D}\to D$ は全単射で $\psi$ と $\psi^{-1}$ はともに $C^{0,1}$ 写像であるとする。$\widetilde{\Omega}\rcpt\widetilde{D}$ を開集合として $\widetilde{S}\subset\partial\widetilde{\Omega}$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、 $\Omega\colon=\psi(\widetilde{\Omega})$、$S\colon=\psi(\widetilde{S})$ とする。$T$、$\widetilde{T}$ をそれぞれ $\Omega$、$\widetilde{\Omega}$ におけるトレース作用素とする。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\widetilde{T}(u\circ\psi)=Tu\circ\psi$ on $\widetilde{S}$。

Proof.

$u\in C^\infty(\Omega\cup T)\cap W^{1,p}(\Omega)$ の場合は明らか。一般の場合は近似により従う。

□

定理 83 (トレースの核の特徴づけ)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。 $p\in[1,\infty)$、$u\in W^{1,p}(\Omega)$ について次は同値:

• (1) $Tu=0$ on $S$。
• (2) 任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

とくに $\Omega$ が $C^{0,1}$ 領域のとき $$\left\{u\in W^{1,p}(\Omega)\colon Tu=0\ \on\pOm\right\}=W^{1,p}_0(\Omega).$$

Proof.

(2) $\implies$ (1) を示す。$u\in C^\infty_c(\Omega)$ のときは $Tu=0$ であるから $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ についても $Tu=0$。

任意の $\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ について $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となるとする。$S'\rcpt S$ とし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ を $\zeta=1$ on $S'$ かつ $\supp\zeta\rcpt\Omega\cup S$ となるようにとると $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ より $\zeta Tu=T(\zeta u)=0$。これより $Tu=0$ on $S'$。$S'\rcpt S$ は任意より $Tu=0$ を得る。

(1) $\implies$ (2) を示す。 $u\in W^{1,p}(\Omega)$ が $Tu=0$ をみたすとし、$\zeta\in C^\infty_c((\R^n\backslash\pOm)\cup S)$ とする。$S'\colon=\{\xi\in S\colon \zeta(\xi)\neq 0\}$ とすると $S'\rcpt S$。

定理 79と同様に $U_\xi$、$\psi_\xi$ をとり、$V_\xi$ を定める。また $W_\xi\colon=\psi_\xi(\frac{1}{2}Q)$ とする。$\xi_1,\ldots ,\xi_N\in\pOm$ を $\displaystyle \pOm\subset\bigcup_{i=1}^N W_{\xi_i}$ となるようにとり、$U_{\xi_i}$、$\psi_{\xi_i}$、$V_{\xi_i}$、$W_{\xi_i}$ をそれぞれ $U_i$、$\psi_i$、$V_i$、$W_i$ と置きなおす。

定理 79の証明の(\ref{trace2})と同様の計算により $s\in(0,1)$ について $$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_n(u\circ\psi_i)|.$$ $u$ を $|u|^p$ にとりかえれば \begin{align*} \int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p&\le s\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^{p-1}|D_n(u\circ\psi_i)|\\ &\le s\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)^{1-p^{-1}}\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p\right)^{p^{-1}}. \end{align*} これより $$\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\le s^p\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D_nu\circ\psi_i|^p.$$ $\chi\in C^\infty((0,\infty))$ を $$0\le\chi\le 1,\chi(t)=0\ \jf t\in(0,1),\chi(t)=1\ \jf t\gt 2$$ となるようにとり、$\chi_s(t)\colon=\chi(s^{-1}t)\ (s\gt 1)$ とする。$v_{s,i}\in W^{1,1}(Q_+)$ を $$v_{s,i}(y',y_n)\colon=\chi_s(y_n)u(\psi_i(y))$$ と定めると $\supp v_{s,i}\subset[-1,1]^{n-1}\times[s,1]$ で $$\int_{Q_+}|u\circ\psi_i-v_{s,i}|^p\le\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|u\circ\psi_i|^p\le\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p$$ で、 \begin{align*} \int_{Q_+}|D(u\circ\psi_i-v_{s,i})|^p&\le C\left(\int_{Q_+}(1-\chi_s(y_n))^p|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+\int_{Q_+}s^{-p}\chi'(s^{-1}y_n)^p|u(\psi_i(y))|^pdy\right)\\ &\le C\left(\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy+s^{-p}\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|u\circ\psi_i|^p\right)\\ &\le C\int_{(-1,1)^{n-1}\times(0,s)}|D(u\circ\psi_i)(y)|^pdy. \end{align*} これより $$\norm{u\circ\psi_i-v_{s,i}}_{1,p}\to 0\ (s\to +0).$$ $\R^n$ の開被覆 $\R^n\backslash\pOm,W_1,\ldots ,W_N$ に従属する $1$ の分割 $\varphi_0,\varphi_1,\ldots ,\varphi_N$ をとって $$u_s\colon=\varphi_0\zeta u+\sum_{i=1}^N\varphi_i(\zeta v_{s,i}\circ\psi_i^{-1})$$ とすると $$\supp u_s\subset\bigcup_{i=1}^N \psi_i([-1,1]^{n-1}\times[s,1])$$ となり $u_s\in C^\infty_c(\Omega)$。また $\norm{u_s-\zeta u}_{1,p}\to 0\ (s\to +0)$。これより $\zeta u\in W^{1,p}_0(\Omega)$。

□

命題 84 (トレースSobolev不等式)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$T$ を $\Omega$ におけるトレース作用素とする。$p\in(1,n)$ とすると $T(W^{1,p}(\Omega))\subset L^\frac{(n-1)p}{n-p}_\loc(S,\H^{n-1})$ で $u\in W^{1,p}(\Omega)$ と相対開集合 $S'\rcpt S$ について $$\norm{Tu}_{\frac{(n-1)p}{n-p};S'}\le C_{p,S'}\norm{u}_{1,p;\Omega}.$$

Proof.

$q\in[1,\infty)$ について $$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C\int_\Omega\left(|u|^q+|u|^{q-1}|Du|\right)\le C\norm{u}_{p'(q-1)}^{q-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right).$$ ここで $q=\frac{(n-1)p}{n-p}$ とすると $p'(q-1)=p^*$ となり $$\int_{S'}|Tu|^qd\H^{n-1}\le C \norm{u}_{p^*}^{q-1}\norm{u}_{1,p}\le C\norm{u}_{1,p}^q.$$

□

注意

$p=n$ のときは任意の $q\subset[1,\infty)$ について $\norm{u}_{q;S'}\le C_{q,S'}\norm{u}_{1,n;\Omega}$ が成り立つ。また $p\in(n,\infty]$ のときは $Tu\in C^{0,\alpha}(S)$ である。

命題 85 (トレース作用素のコンパクト性)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、$p\in(1,\infty)$ とする。 $$\begin{cases} r\in\left[1,\frac{(n-1)p}{n-p}\right)&\colon p\in[1,n)\\ r\in[1,\infty)&\colon p=n\\ r\in[1,\infty]&\colon p\in(n,\infty) \end{cases}$$ とすると $\Omega$ におけるトレース作用素 $T$ は相対開集合 $S'\rcpt S$ について $W^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素である。すなわち、$\{u_m\}_{m=1}^\infty\subset W^{1,p}(\Omega)$ が $\displaystyle\sup_m\norm{u_m}_{1,p;\Omega}\lt\infty$ をみたすとすると部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ で $\{Tu_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ が $L^r(S',\H^{n-1})$ において収束するものがとれる。

Proof.

$q\colon=p'(r-1)\ge 1$ の場合を示せば十分。$v\in W^{1,p}(\Omega)$ について $\int_{S'}|Tu|^rd\H^{n-1}\le C\norm{u}_q^{r-1}\left(\norm{u}_p+\norm{Du}_p\right)$ となり、また $q$ は定理 69の仮定をみたす。これより $L^q(\Omega)$ において収束する部分列 $\{u_{m_j}\}_{m=1}^\infty$ をとれば $$\limsup_{i,j\to\infty}\int_{S'}|Tu_{m_i}-Tu_{m_j}|^r\le C\limsup_{i,j\to\infty}\norm{u_{m_i}-u_{m_j}}_q^{r-1}\sup_m\norm{u_m}_{1,p}=0$$ となる。

□

対照的に、$p=1$ の場合は $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ を拡張して $Tu=\varphi$ となる $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を構成することができる。

補題 86

$S$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $\nu(\xi)\in\partial B_1(0)$ であって次をみたすものが一意的に存在する:任意の $\lambda\in(0,1)$ について十分小さい $r\gt 0$ をとると $$\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\lt -\lambda|x|\}\subset\Omega,\{x\in\R^n\colon |x-\xi|\lt r,(x-\xi)\cdot\nu\gt \lambda|x|\}\cap\Omega=\emptyset.$$ とくに $$\chi_{\xi+a(\Omega-\xi)}\to\chi_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu\lt 0\}}\ (a\to+\infty)\ \ae\inn\R^n.$$

Proof.

開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon Q\to U$ が存在し $U\cap\Omega=\psi(Q_+)$、$S=\psi(Q_0)$ かつ $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像となるものが存在するものが存在するとしてよい。

$Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とするとarea formulaとarea不等式より $E\subset Q_0$ について $\H^{n-1}(E)\le C\H^{n-1}\psi(E)\le C\int_E J\psi'$ であるから $J\psi'\gt 0\ \H^{n-1}$ -a.e. on $ Q_0$ であり、$\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in Q_0$ について $D_1\psi(y'),\ldots ,D_{n-1}\psi(y')$ は一次独立である。

$y_0\in Q_0$ を $\psi'$ が微分可能で $D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)$ が一次独立となりかつ $\nu_{j,1}\circ\psi'J\psi',\ldots ,\nu_{j,n}\circ\psi'J\psi'$ のLebesgue点となるような点とし、$\xi\colon=\psi(y_0)\in U\cap\pOm$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $y_0\in Q_0$ はこれらをみたす。

また $\pi\colon=\xi+\operatorname{span}\{D_1\psi(y_0),\ldots ,D_{n-1}\psi(y_0)\}$ とする。また $\mu$ を平面 $\pi$ の単位法線ベクトルの一つとし、半空間 $\pi_+$、$\pi_-$ を $\pi_+\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}$、$\pi_-\colon=\{x\in\R^n,\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}$ と定める。

$\eta\in U\cap\pOm$ について $$\mu\cdot(\eta-\xi)=\mu\cdot D\psi'(\psi^{-1}(\eta))(\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi))+o(|\psi^{-1}(\eta)-\psi^{-1}(\xi)|)$$ よって $\lambda\in(0,1)$ について $C^+_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt \lambda|x-\xi|\}$、$C^-_\lambda\colon=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt-\lambda|x-\xi|\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\pOm=\emptyset$$ となり、 $$C^+_\lambda\cap B_r(\xi),C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm.$$ とくに $r_0\gt 0$ を十分小さくとると線分 $s_+\colon=\{\xi+t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ と $s_-\colon=\{\xi-t\mu\colon t\in(0,r_0)\}$ はともに $U\backslash\pOm$ に含まれる。$U\backslash\pOm=\psi(2Q\backslash 2Q_0)$ は $U\cap\Omega=\psi(2Q_+)$ と $U\backslash\Omega=\psi(2Q_-)$ の2つの連結成分をもち、$s_+$、$s_-$ はいずれもそのいずれか一方に含まれる。また十分小さい $r\gt 0$ について $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$ と $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)$ も $U\backslash\pOm$ に含まれるので $U\cap\Omega$ と $U\backslash\Omega$ のいずれか一方に含まれ、また $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_+\neq\emptyset$、$C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap s_-\neq\emptyset$ であるから $$C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_+\subset U\cap\Omega,C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\cap\Omega\iff s_-\subset U\cap\Omega.$$

$I\colon=\{\sigma\in\{+,-\}\colon s_i\subset U\cap\Omega\}$ とする。$\lambda\in(0,1)$ とし、$r\gt 0$ を十分小さくとって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\subset U\backslash\pOm$ が成り立つようにする。任意の $x\in C^+_\lambda$ について、$a\gt 0$ を十分大きくとれば $$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in C^+_\lambda\cap B_r(\xi)$$ となり $$\xi+a^{-1}(x-\xi)\in U\cap\Omega\iff +\in I.$$ これより $$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)=\chi_{U\cap\Omega}(\xi+a^{-1}(x-\xi))\to\begin{cases} 1&\colon +\in I\\ 0&\colon +\notin I \end{cases}\ (a\to+\infty).$$ $\displaystyle\pi_+=\bigcup_{\lambda\in(0,1)} C^+_\lambda$ であるからこれは任意の $x\in\pi_+$ について成り立つ。

同様に任意の $x\in\pi_-$ について $$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}(x)\to\begin{cases} 1&\colon -\in I\\ 0&\colon -\notin I \end{cases}\ (a\to+\infty).$$ 従って $$\chi_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}\to\chi_{\bigcup_{\sigma\in I}\pi_\sigma}\ (a\to+\infty).$$

また $\xi$ の開近傍 $W\subset U$ をとって $L\colon=\max\{L(\psi|_W),L(\psi^{-1}|_{\psi(W)})\}$ とすると十分小さい $r\gt 0$ について $|B_r(\xi)\cap\Omega|\ge\frac{1}{2}L^{-2n}\omega_nr^n$。$\lambda\in(0,1)$ を十分小さくとると $r\gt 0$ について $|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|,|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|\gt\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}L^{-2n}\right)\omega_nr^n$ となり、十分小さい $r\gt 0$ について $$|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|C^+_\lambda\cap B_r(\xi)|+|B_r(\xi)\cap\Omega|\gt\omega_nr^n.$$ よって $C^+_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ または $C^-_\lambda\cap B_r(\xi)\cap\Omega\neq\emptyset$ が成り立ち、$I\neq\emptyset$。

$B_r(\xi)\cap\Omega$ を $B_r(\xi)\backslash\Omega$ にとりかえると同様に $I\neq\{+,-\}$ も示される。これより $I=\{+\}$ または $I=\{-\}$。

$$\bigcup_{i\in I}\pi_i=\begin{cases} \pi_+=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\gt 0\}&\colon I=\{+\}\\ \pi_-=\{x\in\R^n\colon\mu\cdot(x-\xi)\lt 0\}&\colon I=\{-\} \end{cases}$$ であるから $$\nu=\begin{cases} -\mu&\colon I=\{+\}\\ \mu&\colon I=\{-\} \end{cases}$$ とすればこの $\nu=\nu(\xi)$ は条件をみたす。

□

定義 87 (外向き単位法線ベクトル)

$\nu(\xi)$ を $\xi$ における $S$ の(測度論的)外向き単位法線ベクトルという。

注意

$\Omega$ がLipschitz領域のときは(\ref{Lipdom})をみたす $V_\xi$、$h_\xi$、$O_\xi$、$\gamma_\xi$ をとって $\psi$ を $\psi(y',y_n)=\xi+O_\xi(y',y_n+\gamma_\xi(y'))$ (を適当に制限しスケール変換して $Q\to\R^n$ としたもの)ととって証明中に得られた $\nu(\xi)$ の特徴づけを用いると $\H^{n-1}$ -a.e. $y'\in V_\xi$ について $$\nu_i(\xi+O_\xi(y',\gamma_\xi(y'))=O_\xi\frac{(D\gamma_\xi(y'),-1)}{(|D\gamma_\xi(y')|^2+1)^\frac{1}{2}}$$ なる表示を得る。

とくに $\Omega$ がなめらかな領域の場合、$\nu(\xi)$ は幾何学的な外向き単位法線ベクトル(ベクトル解析5：多様体の向きの定義22.1)と一致する。

補題 86より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S$ について $$r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=|B_1(\xi)\cap(\xi+r^{-1}(\Omega-\xi))|\to|\{x\in B_1(\xi)\colon x\cdot\nu(\xi)\lt 0\}|=\frac{1}{2}\omega_n$$ が成り立つ。

補題 88

$S\subset\Omega$ を $C^{0,1}$ 境界部分として $\nu$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとする。$F_i\rcpt S\ (i\in\Zp)$ で次をみたすものが存在する:

• $$\H^{n-1}\left(S\backslash\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right)=0.$$
• $j_i\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma_i\in\{1,-1\}$ と $F_i\rcpt U_i$ なる開集合 $U_i\subset\R^n$ と $\gamma_i\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ が存在して

$$F_i\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon\sigma_i x_{j_i}=\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}$$ かつ $$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_i\colon\sigma_i x_{j_i}\gt\gamma(x_1,\ldots,x_{j_i-i},x_{j_i+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega.$$

Proof.

(1)の $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ をとる。$\xi\in S$ を $\nu(\xi)$ が定義される点とすると $j\in\{1,\ldots,n\}$ であって $|\nu_j(\xi)|\ge n^{-\frac{1}{2}}$ となるものが存在するので $\lambda\colon=(2n)^{-\frac{1}{2}}$ として $$D_{j,+}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\lt -\lambda \right\},D_{j,-}\colon=\left\{\xi\in S\colon \nu_j(\xi)\gt \lambda\right\}$$ とすると $$\H^{n-1}\left(S\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_{j,+}\cup\bigcup_{j=1}^n D_{j,-}\right)\right)=0.$$ $\xi\in D_{n,+}$ と $x\in\R^n$ について、$x-\xi=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R$ と表すと $$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)y_n+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}|y'|.$$ $\nu_n(\xi)\lt -\lambda$、$(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lt(1-\lambda^2)^\frac{1}{2}=\colon\lambda'$ に注意すると $y_n\gt\lambda'|x-\xi|$ なる $x$ について $$(\xi-x)\cdot\nu(\xi)\le\nu_n(\xi)\lambda'+(1-\nu_n(\xi)^2)^\frac{1}{2}\lambda\lt 0.$$ $\nu$ のとりかたより $r\gt 0$ を十分小さくとれば $$\xi+rC\subset\Omega.$$ ここで $$C\colon=\{y=(y',y_n)\in\R^{n-1}\times\R\colon |y|\lt 1,y_n\gt\lambda'|y'|\}.$$ これより $E_{n,+,k}\colon=\{\xi\in D_{n,+}\colon \xi+2^{-k}C\subset\Omega\}$ とすると $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_{n,+,k}=D_{n,+}$。

$k\in\Zp$ に対し、$F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ を $F_{n,+,k,l}\rcpt S$、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ かつ $\displaystyle\bigcup_{l=1}^\infty F_{n,+,k,l}=E_{n,+,k}$ となるようにとり、$x'\in\R^{n-1}$ について $$\gamma_{n,+,k,l}(x')\colon=\inf_{(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}}(\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|)$$ と定める。

$\gamma_{n,+,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ を示す。$x',y'\in\R^{n-1}$、$\varepsilon\gt 0$ として $\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\varepsilon$ となる $(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ をとると $$\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\xi_n+\lambda'|y'-\xi'|\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|+\lambda'|x'-y'|\lt\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda'|x'-y'|+\varepsilon.$$ これより $\gamma_{n,+,k,l}(y')\le\gamma_{n,+,k,l}(x')+\lambda|x'-y'|$。同様に $\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\gamma_{n,+,k,l}(y')+\lambda|x'-y'|$ も成り立ち、$[\gamma]_{0,1}\le\lambda'$ が従う。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in F_{n,+,k,l}$ とすると $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$ となることを示す。$(x',x_n)\in\xi+2^{-k}C$ とすると $x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-\xi'|$ であるから $$\gamma_{n,+,k,l}(x')\le\xi_n+\lambda'|x'-\xi'|\lt x_n.$$ $\xi\in\overline{\xi+2^{-k}C}$ であるから $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\le \xi_n$。

一方 $\gamma_{n,+,k,l}(\xi)\lt\xi_n$ であったとすると $\eta=(\eta',\eta_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\eta_n+\lambda'|\eta'-\xi'|\lt\xi_n$ となるものが存在する。$\xi_n-\eta_n\gt\lambda'|\eta'-\xi'|$ で、$\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $|\xi-\eta|\lt 2^{-(k+1)}$ となるので $\xi\in\eta+2^{-k}C$。$\eta\in F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}$ より $\eta+2^{-k}C\subset\Omega$ であるから $\xi\in\Omega$ であるが、これは $F_{n,+,k,l}\subset E_{n,+,k}\subset\pOm$ に矛盾。これより $\gamma_{n,+,k,l}(\xi')=\xi_n$。

$$U_{n,+,k,l}\colon=\{x\in\R^n\colon \dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}\}$$ とする。$x=(x',x_n)\in U_{n,+,k,l}$ が $x_n\gt\gamma_{n,+,k,l}(x')$ をみたすとすると $\xi=(\xi',x_n)\in F_{n,+,k,l}$ であって $\xi_n+\lambda'|x'-\xi_n|\lt x_n$ をみたすものが存在する。$x_n-\xi_n\gt\lambda'|x'-x_n|$ で、$\dist(x,F_{n,+,k,l})\lt 2^{-(k+1)}$ と $\diam F_{n,+,k,l}\lt 2^{-(k+1)}$ より $F_{n,+,k,l}\subset B_{2^{-k}}(x)$ であるから $|x-\xi|\lt 2^{-k}$。これより $x\in\xi+2^{-k}C\subset\Omega$。

同様に $j\in\{1,\ldots,n\}$ と $\sigma\in\{+,-\}$ について $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt S$ と $\gamma_{j,\sigma,k,l}\in C^{0,1}(\R^{n-1})$ と $F_{j,\sigma,k,l}\rcpt U_{j,\sigma,k,l}$ なる開集合 $U_{j,\sigma,k,l}$ を $$\bigcup_{k,l=1}^\infty F_{j,\sigma,k,l}=D_{j,\sigma},$$ $$F_{j,\sigma,k,l}\subset\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\colon \sigma_jx_j=\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}$$ かつ $$\{(x_1,\ldots,x_n)\in U_{j,\sigma,k,l}\colon \sigma_jx_j\gt\gamma_{j,\sigma,k,l}(x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_n)\}\subset\Omega$$ となるようにとれる。

$\{(F_{j,\sigma,k,l},\gamma_{j,\sigma,k,l},U_{j,\sigma,k,l})\}_{j,\sigma,k,l}$ を $\{(F_i,\gamma_i,U_i)\}_i$ とおき直せば主張が従う。

□

定理 89 (境界上の関数の拡張)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とし、開集合 $V\subset\R^n$ は $S\cap V\neq\emptyset$ をみたすとする。$\varphi\in L^1(S\cap V,\H^{n-1})$ とし、$\varepsilon\gt 0$ とすると $u\in W^{1,1}(\Omega)$ で次をみたすものが存在する: $$Tu=\varphi\ \on S\cap V,u=0\ \on \Omega\backslash V,\norm{u}_{1;\Omega}\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_\pOm|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon.$$

Proof.

$\Omega,S$ を $V\cap\Omega,V\cap S$ にとりかえた補題 88の $F_i,j_i,\sigma_i,U_i,\gamma_i$ をとる。$F_i$ を $\displaystyle \left(\overline{F_i}\backslash\bigcup_{i'=1}^i\overline{F_{i'}}\right)\cap S$ にとりかえることにより $F_i$ はBorel集合で $i\neq i'\implies F_i\cap F_{i'}$ となるとしてよい。また $F_i\rcpt V\cap S$ より $U_i$ を $U_i\cap V$ にとりかえて $U_i\subset V$ としてよい。

$j_i=n$、$\sigma=1$ となる $i$ をとってfixする。(それ以外の $i$ についても同様である。) $F_i\rcpt U_i$、$F_i\subset\{(x',\gamma_i(x'))\colon x'\in\R^{n-1}\}$ より開集合 $W\subset\R^{n-1}$ と $h\gt 0$ が存在して $$U_i'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon |x_n-\gamma_i(x')|\lt h\}$$ は $F_i\rcpt U_i'\rcpt U_i$ をみたす。また $$U_{i,+}'\colon=\{(x',x_n)\in W\times\R\colon 0\lt x_n-\gamma_i(x')\lt h\}\subset\Omega.$$

$\varphi_i\in L^1(\R^{n-1})$ を $\varphi_i(x')\colon=(\varphi\chi_{F_i})(x',\gamma_i(x'))$ により定める。$F_i\rcpt U_i'$ より $\supp\varphi_i\subset W$。

$\eta'$ を $\R^{n-1}$ におけるmollifierとし、$r_k\gt 0\ (k\in\Zp)$ を単調減少かつ $r_1\lt h$、$\supp(\eta'_{r_k}*\varphi_i)\subset U_i'$ かつ $\norm{\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i}\lt 2^{-k}$ となるようにとる。また $k\in\Zz$ について $\displaystyle t_k\colon=\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-l}r_l$ とする。

$k\in\Zp$ について $ w_k\colon[0,\infty)\to\R$ を $$ w_k(t)\colon=\begin{cases} 0&\colon t\in[0,t_{k+1})\\ 2^{-(k+1)}r_{k+1}(t-t_{k+1})&\colon t\in[t_{k+1},t_k)\\ -2^{-k}r_k(t_{k-1}-t)&\colon t\in[t_k,t_{k-1})\\ 0&\colon t\ge t_{k-1} \end{cases}$$ と定める。$k_0\in\Zp$ とし、 $$v_i(x',x_n)\colon=\sum_{k=k_0}^\infty w_k(x_n)(\eta'_{r_k}*\varphi_i)(x')\ ((x',x_n)\in\R^{n-1}\times(0,\infty))$$ とする。$\supp w_k=[t_{k+1},t_{k-1}]$ より $\{\supp w_k\}_k$ は局所有限であるから $v_i$ はwell-definedで $v_i\in C^\infty(\Rnp)$。また $v_i=0$ on $\R^n\backslash(W\times(0,t_{k_0}))$。また \begin{align*} \int_{\R^n_+}|v_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i|\right)\\ &\le\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-(k+1)}r_{k+1})\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\ &\le C2^{-k_0}t_{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|,\\ \int_{\R^n_+}|D_jv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_0^\infty w_k\left(\int_{\R^{n-1}}|D_j(\eta'_{r_k}*\varphi_i)|\right)\\ &\le C\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-1}(2^{-k}r_k+2^{-k+1}r_{k+1})r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\\ &\le C2^{k_0}\int_{\R^{n-1}}|\varphi_i|\ (j=1,\ldots,n-1),\\ \int_{\R^{n-1}\times(0,t_{k_0})}|D_nv_i|&=\sum_{k=k_0}^\infty\int_{t_{k+1}}^{t_k}\left(2^{k+1}r_{k+1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i|\right)\\ &\le\sum_{k=k_0}^\infty\left(\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_k}*\varphi_i-\varphi_i|+\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k+1}}*\varphi_i-\varphi_i|\right)\\ &\le\sum_{k=k_0}^\infty (2^{-k}+2^{-(k+1)})=C2^{-k_0},\\ \int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|&=\int_{t_{k_0}}^{t_{k_0-1}}2^{k_0}r_k^{-1}\int_{\R^{n-1}}|\eta'_{r_{k_0}}*\varphi_i-\varphi_i|\\ &\le 2^{-k_0}. \end{align*} これより $v_i\in W^{1,1}(\Rnp)$。

$T_0$ を $\Rnp$ におけるトレース作用素とする。$l\ge k_0$ について $v_i(\cdot,2^{-l})=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であるから $T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))=\eta'_{r_l}*\varphi_i$ であり $$\norm{T_0(v_i(\cdot-2^{-l}e_n))-\varphi'}_{1,\pRnp}\to 0\ (l\to\infty).$$ 一方 $L^1$ ノルムの平行移動連続性より $$\norm{v_i(\cdot-2^{-l}e_n)-v_i}_{1,1}\to 0\ (l\to\infty).$$ これより $$T_0v_i=\varphi_i.$$

$\psi_i\colon\R^n\to\R^n$ を $\psi_i(x',x_n)\colon=(x',x_n-\gamma_i(x'))$ により定め、$u_i\colon=v_i\circ\psi_i\in W^{1,1}(\psi_i^{-1}(\Rnp))$ とする。$T_i$ を $\psi_i^{-1}(\Rnp)=\{(x',x_n)\colon x_n\gt\gamma_i(x')\}$ におけるトレース作用素とすると $$T_iu_i=(T_0v_i)\circ\psi_i=\varphi_i\circ\psi_i=\varphi\chi_{F_i}.$$ とくに $T_iu_i=0$ on $\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)\backslash\overline{F_i}$ であるから任意の $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash\overline{F_i})$ について $\zeta u_i\in W^{1,1}_0(\psi^{-1}(\Rnp))$ となり $$\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}(D_j\zeta u_i+\zeta D_ju_i)=\int_{\psi^{-1}(\Rnp)}D_j(\zeta u_i)=0.$$ これより $u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi^{-1}(\Rnp)$ として $u_i$ を $R^n$ 上に拡張すると $u_i\in W^{1,1}(\R^n\backslash\overline{F_i})$ となり、とくに $u_i\in W^{1,1}(\Omega)$。

また $\displaystyle t_{k_0}\lt\sum_{k=k_0}^\infty 2^{-k}h=2^{-k_0}h\le h$ に注意すると $v_i=0$ on $\Rnp\backslash(W\times(0,h))$ で、$\psi^{-1}(W\times(0,h))=U_{i,+}'$ であるから $u_i=0$ on $\Omega\backslash U_{i,+}'$。とくに $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$。

$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}$ $\H^{n-1}$ -a.e. on $S$ を示す。$\xi\in S\backslash\overline{U_{i,+}'}$ については $\xi$ の近傍において $u_i=0$ となるので $Tu_i(\xi)=0$。

$\xi=(\xi',\xi_n)\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ とすると $U_i'\rcpt U_i$ より $\xi\in U_i$ で $\xi\notin\Omega$ であるから $U_i$ のとりかたより $\xi_n=\gamma_i(\xi')$ となり $\xi\in\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)$。$r\gt 0$ を十分小さくとると $B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)\subset\{x\in U_i\colon 0\lt\xi_n-\gamma_i(\xi')\lt h\}\subset\Omega$。$u_i=0$ on $\R^n\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とあわせて $$\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=\int_{B_r(\xi)\cap\psi^{-1}(\Rnp)}u_i.$$ $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ について $$\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\Omega|=\lim_{r\to +0}r^{-n}|B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)|=\frac{1}{2}\omega_n$$ となることから $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in S\cap\overline{U_{i,+}'}$ について $$Tu_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\Omega}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}u_i=\lim_{r\to+0}\frac{1}{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}\int_{B_r(\xi)\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}u_i=T_iu_i=\varphi\chi_{F_i}.$$ $F_i\subset \overline{U_{i,+}'}$ とあわせて $$Tu_i=\varphi\chi_{F_i}\ \H^{n-1}-\ae\on\ S.$$ また $$\int_\Omega|u_i|\le C\int_{\R^n_+}|v_i|\le C2^{-k_0}t_{k_0}\le C4^{-k_0}h.$$ 一方 $x=(x',x_n)\in\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)$ とすると $j=1,\ldots,n-1$ については $D_ju_i(x)=(D_jv_i)(\psi_i(x))-D_nu_i(\psi_i(x))D_j\gamma_i(x')$ で、$D_nu_i(x)=D_nv_i(\psi_i(x))$ であるから $$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i(x)-(-D\gamma_i(x'),1)D_nv_i(\psi_i(x))|dx=\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D'u_i\circ\psi_i|\le C\int_{\R^n_+}|D'v_i|\le C2^{-k_0}$$ となり $$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|Du_i|\le\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx+C2^{-k_0}.$$ $$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))-2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x)|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le C\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},\infty)}|D_nv_i-2^{-k_0}r_k\chi_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}\varphi_i|\le C2^{-k_0}$$ で、$\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))\subset U_{i,+}'\subset\Omega$ に注意すると \begin{align*} \int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|2^{-k_0}r_k\chi_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx&=2^{-k_0}r_k\int_{\psi_i^{-1}(\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1}))}|(\chi_{F_i}\varphi)(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\ &=2^{-k_0}r_k\int_{\R^{n-1}\times(t_{k_0},t_{k_0-1})}|\psi_i(x')|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\\ &=\int_{\partial\R^{n-1}}|\varphi_i(x')||(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}d\H^{n-1}(x')\\ &=\int_{\partial\psi_i^{-1}(\Rnp)}\chi_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}\\ &=\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1} \end{align*} となるので $$\int_{\Omega\cap\psi_i^{-1}(\Rnp)}|D_nv_i(\psi_i(x))|(1+|D\gamma_i(x')|^2)^\frac{1}{2}dx\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}$$ となり $u_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ より $Du_i=0$ on $\Omega\backslash\psi_i^{-1}(\Rnp)$ となることとあわせて $$\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+C2^{-k_0}.$$ 従って $k_0$ を十分大きくとれば $$\int_\Omega|u_i|\lt 2^{-i}\varepsilon,\int_\Omega|Du_i|\le\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon.$$ 最後に $$u\colon=\sum_{i=1}^\infty u_i$$ とすると $$\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|u_i|\lt \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\varepsilon=\varepsilon,\sum_{i=1}^\infty\int_\Omega|Du_i|\le\sum_{i=1}^\infty\left(\int_{F_i}|\varphi| d\H^{n-1}+2^{-i}\varepsilon\right)=\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$ となることからこの無限和は $W^{1,1}(\Omega)$ において収束し $$\int_\Omega|u|\lt\varepsilon,\int_\Omega|Du|\lt\int_S|\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$$ が成り立つ。各 $u_i$ は $u_i=0$ on $\Omega\backslash V$ をみたすので $u=0$ on $\Omega\backslash V$。また $$Tu=\sum_{i=1}^\infty Tu_i=\sum_{i=1}^\infty\chi_{F_i}\varphi=\varphi\ \on S\cap V.$$

□

注意

トレースSobolev不等式により、$p\in(1,\infty)$ の場合は一般には $\varphi\in L^p(S,\H^{n-1})$ を拡張して $u\in W^{1,p}(\Omega)$、$Tu=\varphi$ on $S$ とすることはできない。また、トレース作用素 $T$ は $W^{1,1}(\Omega)$ から $L^1(S',\H^{n-1})$ へのコンパクト作用素にはならない。

最後にトレース作用素の応用として次の $C^{0,1}$ 領域においても成り立つGaussの発散定理を示す。

定理 90 (Gaussの発散定理)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ を $S$ の外向き単位法線ベクトルとすると $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ について $$\int_\Omega D_iu=\int_S Tu\nu_id\H^{n-1}.$$ とくに $\Omega$ が有界な $C^{0,1}$ 領域のとき任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について $$\int_\Omega D_iu=\int_\pOm Tu\nu_id\H^{n-1}.$$

Proof.

$\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を任意にとる。$\varepsilon\gt 0$ とすると $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について定理 89より $u\in W^{1,1}(\Omega)$ を $Tu=\varphi$ on $S$ となるようにとれる。また $v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $Tv=0$ on $S$ をみたすとすると定理 83より $\zeta v\in W^{1,1}_0(\Omega)$ となるので $i=1,\ldots,n$ について $\int_\Omega D_i(\zeta v)=0$。これより $$\langle\tau_i,\varphi\rangle\colon=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$ は $u$ の選択に依存せず、$\tau_i$ はwell-definedな $L^1(S,\H^{n-1})$ 上の線型汎関数である。また $\varepsilon\gt 0$ とすると $u$ は $\displaystyle\int_\Omega|u|\lt\varepsilon$ かつ $\displaystyle\int_\Omega|Du|\lt\int_S |\varphi|d\H^{n-1}+\varepsilon$ となるようにとれるので $\displaystyle|\langle\tau_i,\varphi\rangle|\le \norm{\zeta}_{1,\infty}\int_S |\varphi|d\H^{n-1}$。

測度と積分5：$L^p$_空間の完備性と双対性の定理23.4より $\nu'_1,\ldots ,\nu'_n\in L^\infty(U_j\cap\pOm,\H^{n-1})$ であって任意の $\varphi\in L^1(S,\H^{n-1})$ について $$\langle\tau_i,\varphi\rangle=\int_S\varphi\nu'_id\H^{n-1}$$ をみたすものが存在する。$\nu'_i$ は任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ について $$\int_S Tu\nu'_id\H^{n-1}=\langle\tau_i,Tu\rangle=\int_\Omega D_i(\zeta u)$$ をみたす。

$\nu'_i=\zeta\nu_i$ を示す。開集合 $U\subset\R^n$ と全単射 $\psi\colon 2Q\to U$ が $\psi$ と $\psi^{-1}$ がともに $C^{0,1}$ 写像で $\psi(Q_+)=U\cap\Omega$、$\psi(Q_0)=U\cap\pOm\subset S$ をみたすとして $\nu'_i=\zeta\nu_i$ on $U\cap\pOm$ を示せば十分。

補題 より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)\lt 0\}}D_i(\zeta u)=\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}.\tag{$\dagger$}\label{divthm0}$$

一方、$a$ を十分大きくとって $\supp u\subset \xi+a(U-\xi)$ となるようにすると \begin{align*} \int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)&=a^n\int_\Omega D_i(\zeta u)(\xi+a(x-\xi))dx\\ &=a^{n-1}\int_\pOm u(\xi+a(x-\xi))\nu'_id\H^{n-1}(x)\\ &=a^{n-1}\int_{Q_0} u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)d\H^{n-1}(y). \end{align*} $Q_0\subset\R^{n-1}$ と見做して $\psi'\colon=\psi|_{Q_0}$ とする。$\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $\psi'$ は $y_0\colon=\psi^{-1}(\xi)$ において微分可能であり、なおかつLebesgueの微分定理より $$\int_{B_r(y_0)\cap Q_0}|\nu'_i(\psi(y))J\psi'(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi'(y_0)|d\H^{n-1}=o(r^n)\ (r\to +0)$$ となることに注意する。$R\gt 0$ を十分大きくとると、十分大きい $a\gt 0$ について $\supp u(\xi+a(\psi(\cdot)-\xi))\subset B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0$ であるから \begin{align*} &\quad\int_{Q_0}\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)\right|d\H^{n-1}(y)\\ &\le \int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(\left|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))-u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\right||\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|+|u(\xi+a(\psi(y)-\xi))||\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\ &\le C\int_{B_{a^{-1}R}(y_0)\cap Q_0}\left(a\norm{Du}_\infty\left|\psi(y)-\psi(y_0)-D\psi'(y_0)(y-y_0)\right|+\norm{u}_\infty|\nu'_i(\psi(y))J\psi(y)-\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)|\right)d\H^{n-1}(y)\\ &=o(a^{-(n-1)}). \end{align*} また \begin{align*} a^{n-1}\int_{Q_0}u\left(\xi+aD\psi'(y_0)(y-y_0)\right)\nu'_i(\psi(y_0))J\psi(y_0)d\H^{n-1}(y)&=\int_{\pRnp}u\left(\xi+D\psi'(y_0)(z-y_0)\right)\nu'_i(\xi)J\psi(y_0)d\H^{n-1}\\ &=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}. \end{align*} 従って $$\lim_{a\to+\infty}\int_{\xi+a(U\cap\Omega-\xi)}D_i(\zeta u)=\int_{\xi+D\psi'(y_0)\pRnp}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm. \tag{$\ddagger$}\label{divthm1}$$ (\ref{divthm0})と(\ref{divthm1})より $\H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm$ と任意の $u\in C^\infty_c(\R^n)$ について $$\int_{\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}}\zeta u\nu_id\H^{n-1}=\int_{\xi+D\psi'(y_0)(\pRnp-y_0)}u\nu'_i(\xi)d\H^{n-1}\ \H^{n-1}-\ae\ \xi\in U\cap\pOm.$$ 外向き単位法線ベクトルの構成より $\H^{n-1}$ -a.e. $\xi\in U\cap\pOm$ について $$\{x\in\R^n\colon (x-\xi)\cdot\nu(\xi)=0\}=\xi+D\psi'(y_0)\pRnp$$ となるので $$\nu'_i=\zeta\nu_i.$$ これより任意の $u\in W^{1,1}(\Omega)$ と $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ について $$\int_\Omega D_i(\zeta u)=\int_S \zeta u\nu_id\H^{n-1}.$$ とくに $u\in W^{1,1}_c(\Omega\cap S)$ のときは $\zeta\in C^\infty_c(\R^n\backslash(\pOm\backslash S))$ を $\zeta=1$ on $\supp u$ となるようにとれ、このときは $\zeta u=u$ であるから $$\int_\Omega u=\int_S u\nu_id\H^{n-1}.$$ が成り立つ。

□

系 91 (部分積分)

$S\subset\pOm$ を $C^{0,1}$ 境界部分とする。$u,v\in W^{1,1}(\Omega)$ が $uv\in W^{1,1}_c(\Omega\cup T)$ をみたすとき $$\int_\Omega D_iuv=\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}-\int_\Omega uD_iv.$$

Proof.

定理 90より $$\int_S TuTv\nu_id\H^{n-1}=\int_S T(uv)\nu_id\H^{n-1}=\int_\Omega D_i(uv)=\int_\Omega (D_iuv+uD_iv).$$

□

注意

$S\subset\pOm$ を(\ref{D})をみたす相対開集合とする。(\ref{D})における $S$ を $S'$ と表すと、$u\in W^{1,p}_0(\Omega\cup S)\subset W^{1,p}(D)$ の $\Omega$ におけるトレースを $D$ におけるトレース $Tu\in L^p_\loc(S',\H^{n-1})$ の $S$ への制限として定めることができる。また $\xi\in S$ における $S$ の外向き単位法線ベクトルを $S'$ の外向き単位法線ベクトルとして定めることができ、この節で挙げたトレースの性質は $W^{1,p}(\Omega)$ を $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ にとりかえた上ですべて成り立つ。また $T$ は $W^{1,p}_0(\Omega\cup S)$ から $L^p(S,\H^{n-1})$ への有界線型作用素となり、$\displaystyle \int_S Tud\H^{n-1}\le C_{p,\Omega,T}\int_\Omega (|u|^p+|u|^{p-1}|Du|)$ が成り立つ。トレースSobolev不等式と $T$ のコンパクト性も $S$ を相対コンパクト部分集合にとりかえることなく成り立つ。Gaussの発散定理は $u\in W^{1,1}_0(\Omega\cup S)$ について成り立つ。

また、このようにして定めた $Tu\in L^p(S,\H^{n-1})$ と $\nu\in L^\infty(S,\H^{n-1})$ は $D$ と $S'$ の選択に依存しない。実際、$Tu$ は $\displaystyle r^{-n}\int_{B_r(\xi)\cap\Omega}|u-Tu(\xi)|\to 0\ (r\to +0)$ によって特徴づけられるので $D$ と $S'$ に依存しない。また $\varphi\in L^1_c(S,\H^{n-1})$ とすると $Tu=\varphi$ on $S$、$Tu=0$ on $S'\backslash S$ なる $u\in W^{1,1}(D)$ をとれ、$\eta\in C^\infty_c(\Omega\cup S)$ を $\eta=1$ on $\supp\varphi$ となるようにとって $v=\eta u$ とすることで $Tv=\varphi$ なる $v\in W^{1,1}_c(\Omega\cup S)$ をとれる。これより定理 90の証明で定義した $\tau_i\in(L^1(S',\H^{n-1}))^*$ の $L^1_c(S,\H^{n-1})$ への制限は $D$ と $S'$ に依存せず、従って $\nu_i|_{S}$ も $D$ と $S'$ に依存しない。

参考文献

• Robert A. Adams「Sobolev Spaces」
• David Gilbarg, Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
• Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」
• Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
• Olga A. Ladyzhenskaya,Vsevolod A. Solonnikov,Nina N. Uraltseva「Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type」
• Haim Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」
• Michel Willem「Minimax Theorems」
• Luke G. Rogers「A Degree-Independent Sobolev Extension Operator」
• Giorgio Talenti「Best Constant in Sobolev Inequality」
• 宮島静雄「ソボレフ空間の基礎と応用」