Marcinkiewiczの補間定理

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$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}} \newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}} \newcommand{\M}{\mathbb{M}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\n}{\mathbf{n}} \newcommand{\Rnp}{\mathbb{R^n_+}} \newcommand{\Rnn}{\mathbb{R^n_-}} \newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R^n_+}} \newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ } \newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ } \newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ } \newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ } \newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ } \newcommand{\det}{\operatorname{det}} \newcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\wid}{\operatorname{wid}} \newcommand{\diam}{\operatorname{diam}} \newcommand{\dist}{\operatorname{dist}} \newcommand{\supp}{\operatorname{supp}} \newcommand{\avg}{\sout{\int}} \newcommand{\rcpt}{\subset\subset} \newcommand{\loc}{\rm{loc}} \newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ } \newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ } \newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}} \newcommand{\OmT}{\Omega\cup T} \newcommand{\pOm}{\partial\Omega} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \DeclareMathOperator*{\osc}{osc} \DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc} \DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup} \DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf} $$

Marcinkiewiczの補間定理は、線型ないし非線形の作用素のノルムの評価に用いられる実解析学の定理である。

弱 $L^p$ 空間

$p\in[1,\infty)$ とする。測度空間 $X=(X,\mu)$ について関数空間 $L^{p,w}(X)$ を $$L^{p,w}(X)\colon=\left\{f\colon X\to \R\ \colon\ [f]_{p;X}\colon=\sup_{t\gt 0} t\mu(\{x\in X\colon |f(x)|\gt t\})^\frac{1}{p}\lt\infty\right\}$$ と定め、弱 $L^p$ 空間という。$[\cdot]_{p;X}$ を弱 $L^p$ 準ノルムという。

$p=\infty$ のときは $L^{\infty,w}(X)\colon=L^\infty(X)$、$[\cdot]_{\infty;X}\colon=||\cdot||_{\infty;X}$ と定める。

主張

$1\le p\le q\le\infty$、$p',q'\in[1,\infty]$、$p'\neq q'$、$p\le p'$、$q\le q'$ とする。$X=(X,\mu),Y=(Y,\nu)$ を測度空間とする。$E$ は $L^p(X)+L^q(Y)$ の線形部分空間であって、任意の $f\in E$ と $s\gt 0$ について、 $$h(x)\colon=\begin{cases} -s&\colon f(x)\lt -s\\ f(x)&\colon |f(x)|\le s\\ s&\colon f(x)\gt s \end{cases}$$ とすると $h\in E$ となるとする。

$T$ は $E$ から $Y$ 上の可測関数の空間への作用素で次をみたすとする:

  • (1) $f,g\in E$ について $|T(f+g)|\le |Tf|+|Tg|\ \nu-\ae\on Y$。
  • (2) $T(E\cap L^p(X))\subset L^{p',w}(Y)$ で、正の定数 $A_1$ が存在し $f\in E\cap L^p(X)$ について $[Tf]_{p',Y}\le A_1||f||_{p;X}.$
  • (3) $T(E\cap L^q(X))\subset L^{q',w}(Y)$ で、正の定数 $A_2$ が存在し $f\in E\cap L^q(X)$ について $[Tf]_{q',Y}\le A_2||f||_{q;X}.$

$\theta\in(0,1)$ とし、$r\colon=((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})^{-1}$、$r'\colon=((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})^{-1}$ とすると、 $$T(E\cap L^r(X))\subset L^{r'}(Y),||Tf||_{r';X}\le C_{p,q,p',q',\theta}A_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_{r;X}\ (f\in E\cap L^r(X)).$$

証明

Proof.

(i) $p\lt q$ かつ $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。このとき $p\lt q\lt\infty$ である。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、$\mu$ -可測関数 $g,h$ を $$g(x)\colon=\begin{cases} f(x)+s&\colon f(x)\lt -s\\ 0&\colon |f(x)|\le s\\ f(x)-s&\colon f(x)\gt s \end{cases},h\colon=f-g=\begin{cases} -s&\colon f(x)\lt -s\\ f(x)&\colon |f(x)|\le s\\ s&\colon f(x)\gt s \end{cases}$$ とする。仮定より $g,h\in E$ で、 $$|g|=\max\{|f|-s,0\},|h|=\min\{|f|,s\}$$ となることに注意する。$p\lt r$ より \begin{align*} \int_X |g|^pd\mu&=p\int_0^\infty \mu(\{|g|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\\ &=p\int_0^\infty\mu(\{|f|\gt \tau+s\})\tau^{p-1}d\tau\\ &=p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})(\tau-s)^{p-1}d\tau\\ &\le p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\\ &\le ps^{p-r}\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{r-1}d\tau\\ &\le \frac{p}{r}s^{p-r}\int_X |f|^rd\mu \end{align*} であるから仮定より $t\gt 0$ について $$\nu(\{|Tg|\gt t\})\le A_1^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$ また $q\gt r$ より \begin{align*} \int_X |h|^qd\mu&=q\int_0^\infty\mu(\{|g|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\\ &=q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\\ &=qs^{q-r}\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{r-1}d\tau\\ &\le\frac{q}{r}s^{q-r}\int_X |f|^rd\mu \end{align*} であるから仮定より $t\gt 0$ について $$\nu(\{|Th|\gt t\})\le A_2^{q'}\left(q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$ $f=g+h$ より $|Tf|\le|Tg|+|th|$。 $t\gt 0$ について、一般に $a,b\ge 0$、$a+b\gt t$ であれば $a\gt\frac{t}{2}$ あるいは $b\gt\frac{t}{2}$ となることに注意すると \begin{align*} \nu(\{|Tf|\gt t\})&\le\nu(\{|Tg|+|Th|\gt t\})\\ &\le\nu\left(\left\{|Tg|\gt\frac{t}{2}\right\}\cup\left\{|Th|\gt\frac{t}{2}\right\}\right)\\ &\le(2A_1)^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^s \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}. \end{align*} ここで $L\ge 0$ とし、$\sigma\in\R$ を $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ となるようにとる。$s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ ととると $$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le(2A_1)^{p'}\left(p\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}+(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}.$$ よって \begin{align*} \int_Y |Tf|^{r'}d\nu&=r'\int_0^\infty \nu(\{|Tf|\gt t\})t^{r'-1}dt\\ &\le C\Biggl(A_1^{p'}\int_0^\infty\left(p\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\Biggr.\\ &\quad \Biggl.+A_2^{q'}\int_0^\infty\left(q\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\Biggr). \end{align*} $p'\lt q'$ のとき、$\sigma\gt 0$、$\frac{p'}{p},\frac{q'}{q}\le 1$、$p'\lt r'\lt q'$ に注意すると積分形のMinkowskiの不等式(Sobolev空間とSobolevの不等式の補題13)より \begin{equation} \begin{aligned} \int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_0^{L\tau^\sigma} t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{r'-p'}(L\tau^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &=\frac{1}{r'-p'}L^{r'-p'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &\le CL^{r'-p'}\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu,\\ \int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_{L\tau^\sigma}^\infty t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{q'-r'}(L\tau^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^qd\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &=\frac{1}{q'-r'}L^{r'-q'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &\le CL^{r'-q'}\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu. \end{aligned} \tag{*}\label{mi1}\end{equation} $p'\gt q'$ のときは $\sigma\lt 0$、$q'\lt r'\lt p'$ に注意すると \begin{equation} \begin{aligned} \int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_{L\tau^\sigma}^\infty t^{r'-p'-1}dt\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{p'-r'}(L\tau^\sigma)^{r'-p'}\right)^\frac{p}{p'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &=\frac{1}{p'-r'}L^{r'-p'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}\\ &\le CL^{r'-p'}\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu,\\ \int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt&\le\left(\int_0^\infty\left(\int_0^{L\tau^\sigma} t^{r'-q'-1}dt\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &=\left(\int_0^\infty \left(\frac{1}{r'-q'}(L\tau^\sigma)^{r'-q'}\right)^\frac{q}{q'}\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^qd\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &=\frac{1}{r'-q'}L^{q'-r'}\left(\int_0^\infty \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}\\ &\le CL^{r'-q'}\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu. \end{aligned} \tag{**}\label{mi2}\end{equation} ここで $$\frac{p'(r-p)}{p(r'-p')}=\frac{r'^{-1}(p'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(p^{-1}-r^{-1})}=\frac{r'^{-1}\theta(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}\theta(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(1-\theta)(q'^{-1}-p'^{-1})}{r^{-1}(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})}=\frac{r'^{-1}(q'^{-1}-r'^{-1})}{r^{-1}(q^{-1}-r^{-1})}=\frac{q'(r-q)}{q(r'-q')}$$ となる。この値を $\sigma$ とすれば $p'\lt q'$ のときは $\sigma\in(0,\frac{q'}{q'-r'}]$、$p'\gt q'$ のときは $\sigma\in[\frac{q'}{q'-r'},0)$ で $$\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p=\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q=r$$ となり $$\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'+1}dt\le CL^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}$$ かつ $$\int_0^\infty\left(\int_0^{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}} \mu(\{|f|\gt \tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'+1}dt\le CL^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$ よって $$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le C\left(A_1^{p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{p'}{p}+A_2^{q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{q'}{q}\right).$$ \begin{gather} \frac{\frac{r'}{r}-\frac{p'}{p}}{r'-p'}=\frac{p'^{-1}r^{-1}-p^{-1}r'^{-1}}{p'^{-1}-r'^{-1}}=\frac{p'^{-1}((1-\theta)p^{-1}+\theta q^{-1})-p^{-1}((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p'^{-1}-((1-\theta)p'+\theta q')}=\frac{p'^{-1}q^{-1}-p^{-1}q'^{-1}}{p'^{-1}-q'^{-1}}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'},\\ \frac{\frac{r'}{r}-\frac{q'}{q}}{r'-q'}=\frac{\frac{p'}{p}-\frac{q'}{q}}{p'-q'}=\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'} \end{gather} であるから $$L=\left(\frac{A_2^{q'}}{A_1^{p'}}\right)^\frac{1}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{\frac{q'}{q}-\frac{p'}{p}}{q'-p'}$$ とすれば \begin{align*} \int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le CA_1^\frac{p'(q'-r')}{q'-p'}A_2^\frac{q'(r'-p')}{q'-p'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}. \end{align*} \begin{equation} \begin{gathered} \frac{p'(q'-r')}{r'(q'-p')}=\frac{r'^{-1}-q'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})-q^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=1-\theta,\\ \frac{q'(r'-p')}{r'(q'-p')}=\frac{p'^{-1}-r'^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}=\frac{p'^{-1}-((1-\theta)p'^{-1}+\theta q'^{-1})}{p^{-1}-q^{-1}}=\theta \end{gathered} \tag{***}\label{***}\end{equation} であるから $$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^\theta||f||_r$$ が成り立つ。

(ii) $p\lt q$ かつ $p'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\lt q\le q'\lt\infty$。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $$||Tg||_\infty\le \frac{p}{r}A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$$ であるから $$\nu(\{|Tg|\gt t\})=0\ \jf\ t\ge \frac{p}{r}A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$ $\nu(\{|Th|\gt t\})$ の評価は(i) と同様である。よって $$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le \frac{q}{r}(2A_2)^{q'}\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}\ \jf t\ge \frac{p}{r}(2A_1)s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}.$$ $t\gt 0$ について、$\sigma\colon=\frac{p-r}{p}$、$L\colon=2A_1\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ として $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば $t=Ls^\sigma=2A_1s^\frac{p-r}{p}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{1}{p}$ となる。これより $$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le CA_2^{q'}\left(\int_0^{Ls^\sigma}\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{-q'}$$ となり $$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_2^{q'}\int_0^\infty\left(\int_0^{Ls^\sigma}\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1} d\tau\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt.$$ $\sigma\lt 0$ であるから(\ref{mi2})と同様の評価により $$\int_0^\infty\left(\int_{\{|f|\le (L^{-1}t)^{-\sigma}\}}|f|^qd\mu\right)^\frac{q'}{q}t^{r'-q'-1}dt\le CL^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$ よって $$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_2^{q'}L^{r'-q'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}.$$ ここで $r'^{-1}=\theta q'^{-1}$ に注意すると $$\frac{r'-q'}{p}+\frac{q'}{q}=p^{-1}(r'-q')+q^{-1}q'=p^{-1}(r'-\theta r')+q^{-1}r'=((1-\theta)p^{-1}+q^{-1})r'=\frac{r'}{r}.$$ また $$\sigma(r'-q')\frac{q}{q'}=(r^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=\theta(q^{-1}-p^{-1})r(\theta^{-1}-1)q=(1-\theta)(q^{-1}-p^{-1})qr=(q^{-1}-r^{-1})qr=r-q.$$ 従って $$\int_Y|Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{r'-q'}A_2^{q'}\left(\int_X|f|^rd\mu\right)^\frac{r'-q'}{p}\left(\int_X |f|^{(r-q)+q}d\mu\right)^\frac{q'}{q}=(A_1^{1-\theta}A_2^{\theta})^{r'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$ となり $$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$ が成り立つ。

(iii) $p\lt q$ かつ $q'=\infty$ の場合を示す。このとき $p\le p'\lt\infty$。

$f\in (E\cap L^r(X))\backslash\{0\}$、$s\ge 0$ とし、(i)と同様に $g,h$ を定めると仮定より $||Th||_\infty\le A_2||h||_q$ であり、 $$\begin{cases} ||h||_q=\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{q-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}\le s^\frac{q-r}{q}\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{r-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\ ||h||_q\le s&\colon q=\infty \end{cases}$$ であるから $$L\colon=\begin{cases} 2A_2\left(q\int_0^s\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{r-1}d\tau\right)^\frac{1}{q}&\colon q\lt\infty\\ 2A_2&\colon q=\infty \end{cases},\sigma\colon=\begin{cases} \frac{q-r}{q}&\colon q\lt\infty\\ 1&\colon q=\infty \end{cases}$$ とすれば $||Th||_\infty\le \frac{1}{2}Ls^\sigma$ となり $$\nu(\{|Th|\gt t\})=0\ \jf t\ge\frac{1}{2}Ls^\sigma.$$ $\nu(\{|Tg|\gt t\})$ の評価は (i) と同様である。よって $$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le (2A_1)^{p'}\left(p\int_s^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}\ \jf t\ge Ls^\sigma$$ となり $s=(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}$ とすれば $$\nu(\{|Tf|\gt t\})\le CA_1^{p'}\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{-p'}.$$ これより $$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt.$$ $\sigma\gt 0$ であるから(\ref{mi1})と同様の評価により $$\int_0^\infty\left(\int_{(L^{-1}t)^{\sigma^{-1}}}^\infty\mu(\{|f|\gt\tau\})\tau^{p-1}d\tau\right)^\frac{p'}{p}t^{r'-p'-1}dt\le CL^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$ よって $$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}L^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{\sigma(r'-p')\frac{p}{p'}+p}d\mu\right)^\frac{p'}{p}.$$ $q\lt\infty$ のときは $p,q,p',\theta,A_1,A_2$ をそれぞれ $q,p,q',1-\theta,A_2,A_1$ におきかえて(ii)と同様の計算をすれば $$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$ が従う。$q=\infty$ のときは $L=2A_2$、$\sigma=1$ で、$r=(1-\theta)^{-1}p$、$r'=(1-\theta)^{-1}p$ より $\frac{r}{r'}=\frac{p}{p'}$ となるので $$\int_Y |Tf|^{r'}d\nu\le CA_1^{p'}A_2^{r'-p'}\left(\int_X |f|^{(r-p)+p}d\mu\right)^\frac{r'}{r}=C(A_1^{1-\theta}A_2^\theta)^{r'}\left(\int_X |f|^rd\mu\right)^\frac{r'}{r}$$ となり $$||Tf||_{r'}\le CA_1^{1-\theta}A_2^{\theta}||f||_r$$ が成り立つ。

  • (iv) $p=q$ かつ $p',q'\lt\infty$ の場合を示す。$p'\lt q'$ として一般性を失わない。任意の $f\in (E\cap L^p(X))\backslash\{0\}$ について

$$ \|Tf\|_{r'}\le C[Tf]_{p'}^{1-\theta}[Tf]_{q'}^\theta $$ となることを示せばよい。

任意の $t\gt 0$ について $$ \nu(\{|Tf|\gt t\})\le\min\{[Tf]_{p'}t^{-p'},[Tf]_{q'}t^{-q'}\}=\begin{cases} [Tf]_{p'}^{p'}t^{-p'}&\colon t\le t_0\\ [Tf]_{q'}^{q'}t^{-q'}&\colon t\gt t_0 \end{cases}.$$ ここで $$ t_0\colon=[Tf]_{p'}^{-\frac{p'}{q'-p'}}[Tf]_{q'}^\frac{q'}{q'-p'}. $$ 従って \begin{align*} \int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le r'\left(\int_0^{t_0}[Tf]_{p'}^{p'}t^{r'-p'-1}dt+\int_{t_0}^\infty [Tf]_{q'}^{q'}t^{r'-q'-1}dt \right)\\ &\le \frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{p'}t_0^{r'-p'}+\frac{r'}{q'-r'}[Tf]_{q'}^{q'}t_0^{r'-q'}\\ &=C[Tf]_{p'}^{(1-\theta)r'}[Tf]_{q'}^{\theta r'}. \end{align*} ここで(\ref{***})を用いた。

  • (v) $p=q$ かつ $p'$ と $q'$ のいずれかが $\infty$ の場合を示す。$p'\lt\infty$、$q'=\infty$ として一般性を失わない。任意の $f\in L^p(X)\backslash\{0\}$ について

$$ \|Tf\|_{r'}\le C[Tf]_{p'}^{1-\theta}\|Tf\|_{\infty}^\theta $$ となることを示せばよい。

任意の $t\gt 0$ について $$ \nu(\{|Tf|\gt t\})\le\begin{cases} [Tf]_{p'}^{p'}t^{-p'}&\colon t\lt\|Tf\|_{\infty}\\ 0&\colon t\ge\|Tf\|_{\infty} \end{cases}.$$ $p'=(1-\theta) r'$ であるから \begin{align*} \int_Y |Tf|^{r'}d\nu&\le r'\int_0^{\|Tf\|_\infty} [Tf]_{p'}^{p'}t^{r'-p'-1}dt\\ &\le\frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{p'}\|Tf\|_\infty^{r'-p'}\\ &=\frac{r'}{r'-p'}[Tf]_{p'}^{(1-\theta)r'}\|Tf\|_\infty^{\theta r'}. \end{align*}

□

注意

  • $p\in[1,\infty)$ について $L^p(X)\subset L^{p,w}(X)$、$[f]_{p;X}\le||f||_{p;X}\ (f\in L^p(X))$ となる。弱 $L^1$ であるが $L^1$ でない関数としては $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$ が挙げられる。実際、$f\notin L^1(0,1)$ であるが、$[f]_1=1$ である。
  • 弱 $L^p$ 準ノルムは $[f+g]_{p;X}\le 2([f]_{p;X}+[g]_{q;X})$ をみたし、とくに $L^{p,w}(X)$ はベクトル空間になる。一方 $[f+g]_{p;X}\le [f]_{p;X}+[g]_{q;X}$ は成り立たない。例えば $X=(0,1)$、$f(x)=\frac{1}{x}$、$g(x)=\frac{1}{1-x}$ とすると $[f]_1=[g]_1=1$ であるが、$f+g$ の最小値は $4$ であることから $[f+g]_1\ge 4$ である。(実際には上の不等式より $[f+g]_1=4$。)
  • 仮定をみたす $E$ としては次のようなものがある:
    • $L^p(X)+L^q(X)$。
    • $L^p(X)\cap L^q(X)$。
    • $X$ が位相空間で $\mu$ がRadon測度の場合、台がコンパクトな連続関数の空間 $C_c(X)$。
    • $X$ が距離空間で $\mu$ がRadon測度の場合、台がコンパクトなLipschtz連続関数の空間$\operatorname{Lip}_c(X)$。
    • $X$ が多様体で $\mu$ がRadon測度の場合、$C^\infty_c(X)$ は仮定をみたしていない。しかし、任意の $f\in C^\infty_c(X)$ と $s\gt 0$ と $\varepsilon\in(0,1)$ について $h_\varepsilon\in C^\infty_c(X)$ であって

$$|h_\varepsilon|\le|f|\inn X, h_\varepsilon(x)=f(x)\jf |f(x)|\le(1-\varepsilon)s,h_\varepsilon(x)=s\jf f(x)\le -s, h_\varepsilon(x)=s\jf f(x)\ge s$$ をみたすものが存在する。$h$ の代わりに $h_\varepsilon$ を用いて証明を修正することにより $E=C^\infty_c(X)$ の場合も同じ結果を示すことができる。

  • 仮定(2)を「 $T$ は弱 $(p,p')$ 型である」ということがある。これと対比し、$T$ が $L^p(X)$ から $L^{p'}(Y)$ への有界線型作用素となっているとき「 $T$ は強 $(p,p')$ 型である」という。

応用例

Marcinkiewiczの補間定理の簡単な応用例として、Hardy-Littlewoodの極大関数 $$Mf(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}|f|\ (f\in L^1_{\loc}(\R^n))$$ が $r\in(1,\infty]$、$f\in L^r(\R^n)$ について $$Mf\in L^r(\R^n), ||Mf||_r\le C_{n,r}||f||_r$$ をみたすことを示す。

明らかに $f,g\in L^1_{\loc}(\R^n)$ について $|M(f+g)|\le|Mf|+|Mg|\ \ae\inn\R^n$。また、$f\in L^\infty(\R^n)$ とすると明らかに $Mf\in L^\infty(\R^n)$、$||Mf||_\infty\le ||f||_\infty$。一方測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の命題38.4より $f\in L^1(\R^n)$ とすると $Mf\in L^{1,w}(\R^n)$、$[Mf]_1\le 3^n||f||_1$。Marcinkiewiczの補間定理を $p=1$、$q=\infty$、$E=L^1(\R^n)+L^\infty(\R^n)$ として用いれば $r\in(1,\infty)$、$f\in L^r(\R^n)$ についても $Mf\in L^r(\R^n)$、$||Mf||_r\le C_{n,r}||f||_r$ が示される。

参考文献

  • David Gilbarg , Neil S. Trudinger「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」
  • Gerald B. Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
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