Hausdorff測度とarea coarea formula

[math] \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_{\ge 1}} \newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}_{\ge 0}} \newcommand{\M}{\mathbb{M}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\n}{\mathbf{n}} \newcommand{\Rnp}{\mathbb{R^n_+}} \newcommand{\Rnn}{\mathbb{R^n_-}} \newcommand{\pRnp}{\mathbb{\partial R^n_+}} \newcommand{ae}{\mathrm{a.e.}\ } \newcommand{\inn}{\ \mathrm{in}\ } \newcommand{\on}{\ \mathrm{on}\ } \newcommand{\for}{\ \mathrm{for}\ } \newcommand{\jf}{\ \mathrm{if }\ } \newcommand{\det}{\operatorname{det}} \newcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diam}{\operatorname{diam}} \newcommand{\dist}{\operatorname{dist}} \newcommand{\supp}{\operatorname{supp}} \newcommand{\avg}{\sout{\int}} \newcommand{\rcpt}{\subset\subset} \newcommand{\loc}{\rm{loc}} \newcommand{\implies}{\ \Rightarrow\ } \newcommand{\iff}{\ \Leftrightarrow\ } \newcommand{\pardif}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Ombar}{\overline{\Omega}} \newcommand{\OmT}{\Omega\cup T} \newcommand{\pOm}{\partial\Omega} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \DeclareMathOperator*{\osc}{osc} \DeclareMathOperator*{\essosc}{ess\, osc} \DeclareMathOperator*{\esssup}{ess\, sup} \DeclareMathOperator*{\essinf}{ess\, inf} [/math]

ここでは $\R^n$ の部分多様体の面積測度(Riemann測度)の拡張概念であるHausdorff測度と、「曲面版の変数変換公式」であるarea formulaと「曲がった座標でのFubiniの定理」であるcoarea formulaを取り扱う。Hausdorff測度により、多様体としての構造を用いずに曲面の面積を与えることができ、たとえば多面体のように「角」のある曲面など正則性を欠いた曲面も統一的に取り扱うことができるようになる。

以下では距離空間上の点 $x$ と $r\gt 0$ について $B_r(x)$、$\Bb_r(x)$ でそれぞれ半径が $r$ で中心が $x$ の開球と閉球を表す。また $s\gt 0$ について $$\omega_s\colon=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}$$ とする。とくに $s\in\Zp$ のとき $\omega_s$ は $s$ 次元単位球のLebesgue測度と一致する。

外測度の基本事項

定義 1 (外測度)

$X$ を集合とする。次をみたす $\mu\colon 2^X\to[0,\infty]$ を $X$ 上の外測度という:

• $\mu(\emptyset)=0.$
• $A,B_i\subset X\ (i\in\Zp)$ が $A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ をみたすとすると

$$\mu (A)\le\sum_{i=1}^\infty \mu(B_i).$$

命題 2

$\mu$ を $X$ 上の外測度とする。 $$\mathfrak{M}(\mu)\colon=\left\{E\subset X\colon \mu(A\cap E)+\mu(A\backslash E)=\mu(A)\ (\forall A\subset X)\right\}$$ は $\sigma$ -加法族で、$\mu$ を $\mathfrak{M}(\mu)$ に制限したものは $X$ 上の測度となる。

Proof.

$\emptyset\in\mathfrak{M}(\mu)$ と $A\in\mathfrak{M}(\mu)\implies X\backslash A\in\mathfrak{M}(\mu)$ は明らか。 $A_1,A_2\in\mathfrak{M}(\mu)$ とすると $A\subset X$ について $$\mu(A\cap(A_1\cup A_2))=\mu((A\cap A_1)\cup((A\backslash A_1)\cap A_2))\le\mu(A\cap A_1)+\mu((A\backslash A_1)\cap A_2)$$ と $$\mu(A\backslash(A_1\cup A_2))=\mu((A\backslash A_1)\backslash A_2)$$ より $$\mu(A\cap(A_1\cup A_2))+\mu(A\backslash(A_1\cup A_2))\le\mu(A\cap A_1)+\mu((A\backslash A_1)\cap A_2)+\mu((A\backslash A_1)\backslash A_2)=\mu(A\cap A_1)+\mu(A\backslash A_1)=\mu(A).$$ よって $A_1,A_2\in\mathfrak{M}(\mu)\implies A_1\cup A_2\in\mathfrak{M}(\mu)$ であり、 $A_1,...,A_k\in\mathfrak{M}(\mu)\implies A_1\cup...\cup A_k\in\mathfrak{M}(\mu)$。

$A_i\in\mathfrak{M}\ (i\in\Zp)$ が $i\neq j\implies A_i\cap A_j=\emptyset$ をみたすとする。$k\in\Zp$ について $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\cap\bigcup_{i=1}^k A_i\right)+\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\backslash\bigcup_{i=1}^k A_i\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right)+\mu(A_{k+1}).$$ 帰納的に $$\sum_{i=1}^k\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)$$ であり $k\to\infty$ として $$\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)$$ である。これより $A_i\subset X\ (i\in\Zp),i\neq j\implies A_i\cap A_j=\emptyset$ であれば $$\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathfrak{M}(\mu),\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i).$$ 最後に $A_i\in\mathfrak{M}(\mu)\ (i\in\Zp)$ とすると $k\in\Zp$ について $B_k\colon=A_k\backslash\bigcup_{i=1}^{k-1}A_i\in\mathfrak{M}(\mu)$ で $k\neq l\implies B_k\cap\B_l=\emptyset$ であるから $$\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\bigcup_{k=1}^\infty\left(A_k\backslash\bigcup_{i=1}^{k-1}A_i\right)\in\mathfrak{M}(\mu).$$ 以上で主張が示された。

□

定義 3 (可測集合、可測関数)

$E\in\mathfrak{M}(\mu)$ を $\mu$ -可測集合という。また $\mathfrak{M}(\mu)$ -可測関数を単に $\mu$ -可測関数という。

定義 4 (Borel外測度、Borel正則外測度、Radon外測度)

$X$ を位相空間とし、$\mu\colon 2^X\to[0,\infty]$ を $X$ 上の外測度とする。$\B_X\subset\mathfrak{M}(\mu)$ であるとき $\mu$ はBorel外測度であるという。

また $\mu$ がBorel外測度で、任意の $A\subset X$ についてBorel集合 $B\subset X$ が存在して $A\subset B$、$\mu(A)=\mu(B)$ となるとき $\mu$ はBorel正則外測度という。

また $\mu$ がBorel正則外測度で、任意のコンパクト集合 $K\subset X$ について $\mu(K)\lt\infty$ となるとき $\mu$ はRadon外測度であるという。

注意

$\mathfrak{M}(\mu)$ は $\sigma$ -加法族で、$X$ の開集合をすべて含む $\sigma$ -加法族は $X$ のBorel集合もすべて含むので、任意の $X$ の開集合が $\mu$ -可測集合であれば $\mu$ はBorel外測度である。閉集合についても同様。

$X$ 上のBorel外測度の $\B_X$ への制限は $X$ 上のBorel測度となる。また、$B\subset X$ をBorel集合とすると、$X$ 上のBorel外測度(Borel正則外測度)の $2^B$ への制限 $\mu_B$ は $B$ 上のBorel外測度(Borel正則外測度)である。とくに、$\mu$ がBorel正則外測度で任意のコンパクト集合 $K\subset B$ について $\mu(K)\lt\infty$ となるとき $\mu_B$ はRadon外測度である。

命題 5 (距離空間上のBorel外測度の正則性)

$X$ を距離空間とし、$\mu$ を $X$ 上のBorel外測度とする。以下が成り立つ:

• (1) Borel集合 $B\subset X$ が $\mu(B)\lt\infty$ をみたすとすると $\varepsilon\gt 0$ について閉集合 $C\subset X$ が存在して $C\subset B$、$\mu(B\backslash C)\lt\varepsilon$。
• (2) Borel集合 $B\subset X$ と開集合 $V_i\subset X\ (i\in\Zp)$ が $B\subset\bigcup_{i=1}^\infty$、$\mu(V_i)\lt\infty\ (i\in\Zp)$ をみたすとすると、$\varepsilon\gt 0$ について開集合 $U\subset X$ が存在して $B\subset U$、$\mu(U\backslash B)\lt\varepsilon$。

Proof.

(1) を示す。 $$\F\colon=\{A\subset X\colon \varepsilon\gt 0\ について閉集合\ C\subset X\ が存在して\ C\subset A、\mu((A\backslash C)\cap B)\lt\varepsilon\}$$ とする。明らかに $F$ は $X$ の閉集合をすべて含む。

$A_i\in\F\ (i\in\Zp)\implies\bigcap_{i=1}^\infty A_i,\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\F$ を示す。$A_i\in\F\ (i\in\Zp)$、$\varepsilon\gt 0$ とし、閉集合 $C_i\subset X$ を $C_i\subset A_i$、$\mu((A_i\backslash C_i)\cap B)\lt 2^{-i}\varepsilon$ となるようにとる。$\bigcap_{i=1}^\infty C_i$ は閉集合で $\mu\left(\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\backslash\bigcap_{i=1}^\infty C_i\right)\cap B\right)\le\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty (A_i\backslash C_i)\cap B\right)\lt\varepsilon.$ また $n\in\Zp$ について $\bigcup_{i=1}^n C_i$ は閉集合で $$\lim_{n\to\infty}\mu\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\backslash\bigcup_{i=1}^n C_i\right)\cap B\right)=\mu\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\backslash\bigcup_{i=1}^\infty C_i\right)\cap B\right)\le\mu\bigcup\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A_i\backslash C_i)\cap B\right)\lt\varepsilon.$$ よって十分大きな $n$ をとれば $\mu\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\backslash\bigcup_{i=1}^n C_i\right)\cap B\right)\lt\varepsilon$ となる。これより $A_i\in\F\ (i\in\Zp)\implies\bigcap_{i=1}^\infty A_i,\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\F$。

$U\subset X$ を開集合とすると $U=\bigcup_{i=1}^\infty C_i$、$C_i\colon=\{x\colon \dist(x,X\backslash U)\lt 2^{-i}\}$ で各 $i\in\Zp$ について $C_i$ は閉集合であるから $U\in\F$。 $$\G\colon=\{A\in X\colon X\backslash A\in \F\}$$ とする。明らかに $A\in\G\iff X\backslash A\in \G$ で、$A_i\in\F\ (i\in\Zp)\implies\bigcap_{i=1}^\infty A_i,\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\F$ より $A_i\in\G\ (i\in\Zp)\implies\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\G$。また $\F$ は $X$ の閉集合と開集合をすべて含むので $\G$ は $X$ の開集合をすべて含む。従って $\G$ は $X$ の開集合をすべて含む $\sigma$ -加法族であり、$X$ のBorel集合をすべて含む。とくに $B\in\F$ となり、(1)が従う。

(2)を示す。各 $i\in\Zp$ について $\mu(V_i\backslash B)\lt\infty$ であるから(1)より閉集合 $C_i\subset X$ が存在して $C_i\subset V_i\backslash B$、$\mu((V_i\backslash B)\backslash C_i)\lt 2^{-i}\varepsilon$。$U_i\colon=V_i\backslash C_i$ とすると $U_i\subset X$ は開集合で $U_i\subset B\cap V_i$、$\mu(U_i\backslash(B\cap V_i))=\mu((V_i\backslash B)\backslash C_i)\lt 2^{-i}\varepsilon$。これより $B=\bigcup_{i=1}^\infty B\cap V_i\subset\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ で $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty U_i\backslash B\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty U_i\backslash\left(\bigcup_{i=1}^\infty B\cap V_i\right)\right)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty U_i\backslash(B\cap V_i)\right)\lt\varepsilon$$ となる。

□

定義 6 ($\sigma$ -有限集合、$\sigma$ -有限関数)

$\mu$ を $X$ 上の外測度とし、$A\subset X$、$f\colon X\to[-\infty,+\infty]$ とする。$\mu$ -可測集合 $A_i\subset X\ (i\in\Zp)$ が存在して $\mu(A_i)\lt\infty\ (i\in\Zp)$、$A=\bigcup_{i=1}^\infty A_i$ となるとき $A$ は $\mu$ について $\sigma$ -有限であるという。また、$f$ が $\mu$ -可測かつ $\{x\in X\colon f(x)\neq 0\}$ が $\mu$ について $\sigma$ -有限であるとき $f$ は $\mu$ について $\sigma$ -有限であるという。

注意

$A$ が $\mu$ について $\sigma$ -有限であるとき、$B\subset A$ なる $\mu$ -可測集合 $B$ も $\mu$ について $\sigma$ -有限である。実際、$B_i=B\cap A_i$ とすればよい。

命題 7 (Borel正則外測度の正則性)

$X$ を位相空間とし、$\mu$ を $X$ 上のBorel正則外測度とする。以下が成り立つ:

• (1)$A_1\subset A_2\subset...\subset X$ について(各 $A_i$ が $\mu$ -可測でなくても) $\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\lim_{i\to\infty}\mu(A_i)$。
• (2)$\mu$ について $\sigma$ -有限な集合 $A\subset X$ についてBorel集合 $B,D\subset X$ が存在して $D\subset A\subset B$、$\mu(B\backslash D)=0$。
• (3)$\mu$ について $\sigma$ -有限な関数 $f\colon X\to[-\infty,+\infty]$ についてBorel可測関数 $\overline{f},\underline{f}\colon X\to[-\infty,+\infty]$ が存在して $\underline{f}\le f\le\overline{f}\on X$ かつ $\overline{f}=\underline{f}\ \mu-\ae\on X$。
• (4)$X$ が距離空間のとき、$\mu$ -可測集合 $A\subset X$ が $\mu(A)\lt\infty$ をみたすとすると $\varepsilon\gt 0$ について閉集合 $C\subset X$ が存在して $C\subset A$、$\mu(A\backslash C)\lt\varepsilon$。
• (5)$X$ が距離空間のとき、$\mu$ -可測集合 $A\subset X$ と開集合 $V_i\subset X\ (i\in\Zp)$ が $A\subset\bigcup_{i=1}^\infty V_i$、$\mu(V_i)\lt\infty\ (i\in\Zp)$ をみたすとすると、$\varepsilon\gt 0$ について開集合 $U\subset X$ が存在して $A\subset U$、$\mu(U\backslash A)\lt\varepsilon$。

Proof.

(1)を示す。各 $i\in\Zp$ について $A_i\subset B_i$、$\mu(A_i)=\mu(B_i)$ をみたすBorel集合 $B_i\subset X$ をとると $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ で $$\lim_{i\to\infty}\mu(A_i)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\lim_{i\to\infty}\mu(B_i)=\lim_{i\to\infty}\mu(A_i).$$

(2)を示す。$\mu(A)\lt\infty$ の場合に示せば十分。$\mu$ はBorel正則外測度よりBorel集合 $B$ で $A\subset B$、$\mu(B)=\mu(A)$ となるものをとると $A$ と $B$ は $\mu$ -可測で $\mu(A)\lt\infty$ より $\mu(B\backslash A)=\mu(B)-\mu(A)=0$。Borel集合 $N$ で $B\backslash A\subset N$、$\mu(N)=\mu(B\backslash A)=0$ となるものをとって $D\colon=B\backslash N$ とすれば $D\subset A$、$\mu(B\backslash D)=0$ が成り立つ。

(3)を示す。$f$ が非負値の場合を示せば十分。$t\gt 0$ とすると $E_t\colon=\{x\in X\colon f(x)\ge t\}\subset\{x\in X\colon f(x)\neq 0\}$ は $\mu$ について $\sigma$ -有限である。(2)よりBorel集合 $B_t$、$D_t$ が存在し $D_t\subset E_t\subset B_t$、$\mu(B_t\backslash D_t)=0$。 $x\in X$ について $$\overline{f}(x)\colon=\sup\{q\in(0,+\infty)\cap\Q\colon x\in B_q\},\underline{f}(x)\colon=\sup\{q\in(0,+\infty)\cap\Q\colon x\in D_q\}$$ とする(ただし $\sup\emptyset=0$ とする。)。$t\gt 0$ とすると $$B^*_t\colon=\{x\in X\colon\overline{f}(x)\gt t\}=\sup_{q\in(t,+\infty)\cap\Q}B_q,D^*_t\colon=\{x\in X\colon\underline{f}(x)\gt t\}=\sup_{q\in(t,+\infty)\cap\Q}D_q.$$ また $E_t$ の定義から $E_t=\sup_{q\in(t,+\infty)\cap\Q}E_q$。よって $$D^*_t\subset E_t\subset B^*_t,\mu(B^*_t\backslash D^*_t)\le\sum_{q\in(t,+\infty)\cap\Q}\mu(B_q\backslash D_q)=0.$$ $D^*_t\subset E_t\subset B^*_t$ より$\underline{f}\le f\le\overline{f}$。また $$\mu(\{x\in X\colon \underline{f}\lt\overline{f}\})=\mu\left(\bigcup_{q\in(0,+\infty)\cap\Q}B^*_q\backslash D^*_q\right)=0.$$

(4)は(1)の $B$、$D$ をとり命題 5の(1)を $D$ に適用すればよい。 (5)は(1)の $B$、$D$ をとり命題 5の(2) を $B\cap\bigcup_{i=1}^\infty V_i$ に適用すればよい。

□

注意

命題 5と命題 7の(3)、(4)は $X$ が距離空間でなくても任意の開集合がF σ集合であれば成り立つ。

命題 7の(2)より $\mu$ がBorel正則外測度であるとき、$\mu$-a.e.で等しい関数を同一視できる状況では $\mu$ について $\sigma$ -有限な関数はBorel可測であると見做してよい。

$X$ が距離空間で、$A\subset X$ が $\mu$ について $\sigma$ -有限で、$A$ がBorel集合または $\mu$ がBorel正則外測度であれば $$\mu(A)=\sup\{\mu(C)\colon C\subset X\ は閉で C\subset A\}$$ が成り立つ。実際、$A=\bigcup_{i=1}^\infty A_i$、$\mu(A_i)\lt\infty$ と表すと、閉集合 $C_k\subset X\ (k\in\Zp)$ で $C_k\subset\bigcup_{i=1}^k A_i$、$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\backslash C_k\right)\lt\varepsilon$ をみたすものをとると $\lim_{k\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\mu(A)$ であるから $\lim_{k\to\infty}\mu(C_k)=\mu(A)$ となる。

命題 8 (Radon外測度の正則性)

$X$ が $\sigma$ -コンパクトな距離空間で $\mu$ がRadon外測度であるとき $\mu$ -可測集合 $A\subset X$ について $$\mu(A)=\sup\{\mu(K)\colon K\subset A\ はコンパクト\}.$$ また $X$ が局所コンパクトのとき $$\mu(A)=\inf\{\mu(U)\colon U\subset X\ は開で\ A\subset U\}.$$

Proof.

$X$ をコンパクト集合 $K_i\ (i\in\Zp)$ を用いて $X=\bigcup_{i=1}^\infty K_i$ と表すと各 $i\in\Zp$ について $\mu(A\cap K_i)\lt\infty$。命題 7の注意で $A_i=A\cap K_i$ とすると $C_k\subset\bigcup_{i=1}^k K_i$ となり $C_k$ もコンパクトである。これより一つ目の等式が成り立つ。

また $X$ が局所コンパクトであるとすると各 $x\in X$ について十分小さい $r_x\gt 0$ をとれば $\Bb_{r_x}(x)$ はコンパクトとなり $\mu(B_{r_x}(x))\lt\infty$。$X$ は $\sigma$ -コンパクトよりとくにLindlöfであるから $x_i\in X\ (i\in\Zp)$ を選んで $X=\bigcup_{i=1}^\infty\mu(B_{r_{x_i}}(x_i))$ となるようにできる。$V_i=B_{r_{x_i}}(x_i)$ として命題 7の(4)を用いれば二つ目の等式も成り立つ。

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具体的な外測度がBorel外測度であることを示すには次の十分条件が便利である:

命題 9 (距離空間上の外測度がBorel外測度であることの十分条件)

$X$ を距離空間とし、$\mu$ を $X$ 上の外測度とする。$\mu$ が $$A,B\subset X,\dist(A,B)\gt 0\implies\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$$ をみたすなら $\mu$ はBorel外測度である。

Proof.

閉集合 $C\subset X$ が $\mu$ -可測であることを示せばよい。

$A\subset X$、$\mu(A)\lt\infty$ とする。$i\in\Zz$ について $$A_0\colon=\{x\in A\backslash C\colon\dist(x,C)\ge 1\},A_i\colon=\{x\in A\backslash C\colon 2^{-i}\le\dist(x,C)\lt 2^{1-i}\}\ (i\in\Zp)$$ とする。$A_i$ は $A\backslash C=\bigcup_{i=0}^\infty A_i$、$\dist\left(C,\bigcup_{i=0}^k A_i\right),\dist\left(A_{k+2},\bigcup_{i=0}^k A_i\right)\gt 0\ (k\in\Zz)$ をみたす。

仮定より $k\in\Zz$ について \begin{align*} \mu(A\cap C)+\mu(A\backslash C)&\le\mu(A\cap C)+\mu\left(\bigcup_{i=0}^{2k}A_i\right)+\mu\left(\bigcup_{i=2k+1}^\infty A_i\right)\\ &\le\mu\left(A\cup\bigcup_{i=0}^{2k}A_i\right)+\mu\left(\bigcup_{j=k}^\infty A_{2j+1}\right)+\mu\left(\bigcup_{j=k+1}^\infty A_{2j}\right)\\ &\le\mu(A)+\sum_{j=k}^\infty \mu(A_{2j+1})+\sum_{j=k+1}^\infty \mu(A_{2j}). \end{align*} ここで $l\in\Zz$ について仮定より $\mu\left(\bigcup_{i=0}^{l+1}A_{2j+1}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=0}^l A_{2j+1}\right)+\mu(A_{2l+3})$ であるから $$\sum_{i=0}^l\mu(A_{2j+1})=\mu\left(\bigcup_{i=0}^l A_{2j+1}\right)\le\mu(A)\lt\infty.$$ よって $\sum_{i=0}^\infty\mu(A_{2j+1})\lt\infty$ となるので $$\lim_{k\to\infty}\sum_{j=k}^\infty \mu(A_{2j+1})=0.$$ 同様に $$\lim_{k\to\infty}\sum_{j=k+1}^\infty \mu(A_{2j})=0$$ も成り立つので $$\mu(A\cap C)+\mu(A\backslash C)\le\mu(A)$$ となる。

$\mu(A)=\infty$ のときは $\mu(A\cap C)+\mu(A\backslash C)\le\mu(A)$ は明らかであるから、$C\in\mathfrak{M}(\mu)$ となる。

□

Hausdorff測度の定義と初等的性質

定義 10 (Hausdorff外測度、Hausdorff測度)

$X$ を距離空間とし、$s\gt 0$ とする。$A\subset X$ と $\delta\gt 0$ について $$\H^s_\delta(A)\colon=\inf\left\{2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\colon C_i\subset\R^n,\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp),A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i\right\}$$ とし、 $$\H^s(A)\colon=\sup_{\delta\gt 0}\H^s_\delta(A)=\lim_{\delta\to+0}\H^s_\delta(A)$$ とする( $H^s_\delta(A)$ は $\delta$ について単調減少であることに注意。)。

明らかに $\H^s(\emptyset)=0$。また $A\subset X$、$B_i\subset X\ (i\in\Zp)$、$A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ とし、$\delta\gt 0$、$\varepsilon\gt 0$ として $C_{i,j}\subset X\ (i,j\in\Zp)$ を $$\diam C_{i,j}\lt\delta\ (i,j\in\Zp),B_i\subset\bigcup_{j=1}^n C_{i,j}\ (i\in\Zp),2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^s\lt\H^s_\delta(B_i)+2^{-i}\varepsilon$$ となるようにとると $A\subset\bigcup_{i,j=1}^\infty C_{i,j}$ であるから $$H^s_\delta(A)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{i,j=1}^\infty (\diam C_{i,j})^s\lt\sum_{i=1}^\infty(\H^s_\delta(B_i)+2^{-i}\varepsilon)=\sum_{i=1}^\infty\H^s_\delta(B_i)+\varepsilon$$ となり $\varepsilon\to+0,\delta\to+0$ として $$\H^s(A)\le \sum_{i=1}^\infty\H^s(B_i)$$ を得る。これより $\H^s$ は $X$ 上の外測度となる。$\H^s$ を $X$ 上の $s$ 次元Hausdorff外測度という。$\H^s$ の $\mathfrak{M}(\H^s)$ への制限として得られる $X$ 上の測度を $X$ 上の $s$ 次元Hausdorff測度という。

注意

必要であれば $\H^s_\delta$ の定義の $C_i$ はその閉包におきかえることで閉集合であるとしてよい。また、$\varepsilon\gt 0$ とし、$C_i$ を $C_i\subset U_i$、$(\diam U_i)^s\lt\delta$、$(\diam U_i)^s\le(\diam C_i)^s+2^{-i}\varepsilon$ をみたす開集合 $U_i$ におきかえることで $C_i$ は開集合であるとしてよい。

$\delta\gt 0$ について $\H^s_\delta$ も $X$ 上の外測度である。

一般の距離空間上のHausdorff測度を扱う場合は、$\H^s_\delta$ の定義の係数の「$2^{-s}\omega_s$」はつけないことが多い。しかし、「面積測度の拡張」としてはつけた方がより適切なものとなる。

定理 11 ($\H^s$ はBorel正則外測度)

$X$ を距離空間とし、$s\gt 0$ とする。$X$ 上の $s$ 次元Hausdorff外測度 $\H^s$ はBorel正則外測度である。

Proof.

まず $\H^s$ がBorel測度であることを示す。$A,B\subset X$ が $\delta_0\colon=\dist(A,B)\gt 0$ をみたすとする。$\delta\in(0,\delta_0)$、$\varepsilon\gt 0$ とし、$C_i\subset X\ (i\in\Zp)$ を $$\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp),A\cup B\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i,2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\dist C_i)^s\lt\H^s_\delta(A\cup B)+\varepsilon$$ となるようにとる。$i\in\Zp$ について $\diam C_i\lt\delta\lt\dist(A\cup B)$ より $C_i\cap A\neq\emptyset\implies C_i\cap B=\emptyset$ であるから $$A\subset\bigcup_{\substack{i\in\Zp,\\ C_i\cap A\neq\emptyset}}C_i,B\subset\bigcup_{\substack{i\in\Zp,\\ C_i\cap A=\emptyset}}C_i.$$ よって $$\H^s_\delta(A)+\H^s_\delta(B)\le 2^{-s}\omega_s\left(\sum_{\substack{i\in\Zp,\\ C_i\cap A\neq\emptyset}}(\diam C_i)^s+\sum_{\substack{i\in\Zp,\\ C_i\cap A=\emptyset}}(\diam C_i)^s\right)=2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\lt\H^s_\delta(A\cup B)+\varepsilon.$$ $\varepsilon\to+0,\delta\to+0$ として $$\H^s(A)+\H^s(B)\le\H^s(A\cup B)$$ を得る。命題 9より $\H^s$ はBorel外測度である。

$\H^s$ がBorel正則外測度であることを示す。$A\subset X$ とし、閉集合 $C_{i,j}\subset X\ (i,j\in\Zp)$ を $$\diam C_{i,j}\lt 2^{-i}\ (i,j\in\Zp),A\subset\bigcup_{j=1}^\infty C_{i,j}\ (i\in\Zp),2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\dist C_{i,j})^s\lt\H^s_{2^{-i}}(A)+2^{-i}\ (i\in\Zp)$$ となるようにとる。 $$B\colon=\bigcap_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^\infty C_{i,j}$$ とする。$B\subset X$ はBorelで、$C_{i,j}$ のとりかたより $A\subset B$。また各 $i\in\Zp$ について $B\subset\bigcup_{j=1}^\infty C_{i,j}$ であるから $$\H^s_{2^{-i}}(B)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\dist C_{i,j})^s\lt\H^s_{2^{-i}}(A)+2^{-i}.$$ $i\to\infty$ として $\H^s(B)\le\H^s(A)$ となる。これより $\H^s$ はBorel正則外測度である。

□

命題 12 (Lipschitz写像の像のHausdorff測度)

$X,Y$ を距離空間とし、$\psi\colon X\to Y$、$s\gt 0$ とする。次が成り立つ:

• $\psi$ がLipschtz写像であるとき $A\subset X$ について

$$\H^s(\psi(A))\le L(\psi)^s\H^s(A).$$

• $\psi$ が等長である(全射ではなくてもよい)とき $A\subset X$ について

$$\H^s(\psi(A))=\H^s(A).$$

Proof.

• $\psi$ が $L$ -Lipschitz写像であるとする。$C\subset X$ について $\diam\psi(C)\le L\diam C$ となる。$\delta\gt 0$、$\varepsilon\gt 0$ とし、$C_i\subset X\ (i\in\Zp)$ を

$$\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp),A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i,2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\dist C_i)^s\lt\H^s_\delta(A)+\varepsilon$$ となるようにとると $$\diam\psi(C_i)\lt L\delta\ (i\in\Zp),\psi(A)\subset\bigcup_{i=1}^\infty \psi(C_i),2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\dist C_i)^s\le2^{-s}\omega_sL^s\sum_{i=1}^\infty(\dist C_i)^s\le L^s(\H^s_\delta(A)+\varepsilon)$$ となるので $$\H^s_{L\delta}(\psi(A))\le L^s(\H^s_\delta(A)+\varepsilon).$$ $\varepsilon\to +0$、$\delta\to +0$ として $$\H^s(\psi(A))\le L^s\H^s(A)$$ を得る.

• $\psi$ が等長写像であるとする。$A\subset X$ とすると $\psi$ は $1$ -Lipschitzより $\H^s(\psi(A))\le\H^s(A)$。一方、$C\subset Y$ について $\diam\psi^{-1}(C)=\diam(C\cap\psi(X))\le\diam C$ であり、$\delta\gt 0$、$\varepsilon\gt 0$ とし、$C_i\subset Y\ (i\in\Zp)$ を

$$\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp),\psi(A)\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i,2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\lt\H^s_\delta(\psi(A))+\varepsilon$$ となるようにとると $$\diam\psi^{-1}(C_i)\lt\delta\ (i\in\Zp),A\subset\bigcup_{i=1}^\infty\psi^{-1}(C_i)2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam\psi^{-1}(C_i))^s\le2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\lt\H^s_\delta(\psi(A))+\varepsilon$$ となるので $$\H^s_\delta(A)\le\H^s_\delta(\psi(A))+\varepsilon.$$ $\varepsilon\to +0$、$\delta\to +0$ として $$\H^s(A)\le \H^s(\psi(A))$$ を得る。

□

次に、$\H^s$ は $\H^s(E)\lt\infty$ なる集合 $E$ に「面積測度に近い」測度を定めることを見る。以下では距離空間 $X$ の部分集合 $E\subset X$ について $$\widehat{E}\colon=\{x\in X\colon\dist(x,E)\le 2\diam E\}$$ とする。

補題 13 (閉集合による充填)

$X$ を可分距離空間とし、$s\gt 0$ とする。$A\subset X$ とし、$\F$ は $X$ の閉集合の族で、任意の $C\in\F$ について $\diam C\gt 0$ かつ任意の $\varepsilon\gt 0$ と $x\in A$ について $C\in\F$ が存在して $x\in C$、$\diam C\lt\varepsilon$ となるとする。このとき高々可算な $\G\subset\F$ が存在し、$D,D'\in\G,D\neq D'\implies D\cap D'=\emptyset$ で、 $$\H^s\left(A\backslash\bigcup_{D\in\G}D\right)=0$$ または $$\sum_{D\in\G}(\diam D)^s=\infty$$ をみたす。

Proof.

$\sup_{C\in\F}\diam C\lt\infty$ としてよい。

Vitaliの被覆定理より $\G\subset\F$ が存在し、$D,D'\in\G,D\neq D'\implies D\cap D'=\emptyset$ かつ任意の有限部分集合 $\G'\subset\G$ について $A\backslash\bigcup_{D\in\G'}D\subset\bigcup_{D\in\G\backslash\G'}\widehat{D}$。

$\G$ が非可算のときは $m\in\Zp$ が存在し $\diam D\gt m^{-1}$ となる $D\in\G$ が非可算個存在するので $\G$ をそのうちの可算個からなる族にとりかえれば $\sum_{D\in\G}(\diam D)^s=\infty$ となる。

$\G$ が可算で $\sum_{D\in\G}(\diam D)^s\lt\infty$ となるとする。$\G$ を $\{D_i\}_{i=1}^\infty$ と番号づけると $\sum_{i=1}^\infty(\diam D_i)^s\lt\infty$ より $\diam D_i\to 0\ (i\to\infty)$ となる。

$\delta\gt 0$ とする。十分大きな $k\in\Zp$ について $\diam\widehat{D_i}\le 5\diam D_i\lt\delta\ (i\gt k)$ で $A\backslash\bigcup_{i=1}^k D_i\subset\bigcup_{i=k+1}^\infty\widehat{D_i}$ となるので $$\H^s_{5\delta}\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)\le\H^s_{5\delta}\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^k D_i\right)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{i=k+1}^\infty(5\diam D_i)^s\to 0\ (k\to\infty).$$ $\delta\to +0$ として $\H^s\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)\le 0$ を得る。

□

定理 14 (Hausdorff測度の密度)

$X$ を可分距離空間とし、$s\gt 0$ とする。$E\subset X$ は $\H^s$ -可測集合で $\H^s(E)\lt\infty$ をみたすとする。$x\in X$ について $$\theta^*_{s,\delta}(E;x)\colon=\sup\left\{\frac{\H^s(C\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam C)^s}\colon C\subset X\ は閉集合で\ x\in C,0\lt\diam C\lt\delta\right\}\ (\delta\gt 0),\theta^*_s(E;x)\colon=\lim_{\delta\to +0}\theta^*_{s,\delta}(E;x)$$ とする( $\theta^*_{s,\delta}(E;x)$ は $\delta$ について単調増加であることに注意。)。以下が成り立つ:

• (1) $\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)\ (\delta\gt 0)$、$\theta^*_s(E;\cdot)$ はBorel可測である。
• (2)$$\theta^*_s(E;x)=0\ \H^s-\ae x\in X\backslash E.$$
• (3)$$\theta^*_s(E;x)=1\ \H^s-\ae x\in E.$$

Proof.

(1) を示す。

$\delta\gt 0$、$x\in X$ について $$\eta^*_{s,\delta}(E;x)\colon=\sup\left\{\frac{\H^s(U\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam U)^s}\colon U\subset X\ は開集合で\ x\in U,0\lt\diam U\lt\delta\right\}$$ として $\eta^*_{s,\delta}(E;x)=\theta^*_{s,\delta}(E;x)$ を示す。

$\varepsilon\gt 0$ とし、閉集合 $C\subset X$ を $0\lt\diam C\lt\delta$、$\frac{\H^s(C\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam C)^s}\gt\theta^*_{s,\delta}(E;x)-\varepsilon$ となるようにとる。$U_i\colon=\{x\in X\colon \dist(x,C)\lt 2^{-i}\}\ (i\in\Zp)$ と定める。$U_i$ は $C$ を含む開集合で、$\diam C\le\diam U_i\le\diam C+2^{1-i}$ となるので $\diam U_i\to \diam C\ (i\to\infty)$ で、$i$ を十分大きくとれば $\diam U_i\lt\delta$。また、$U_1\supset U_2\supset...$ かつ $\bigcap_{i=1}^\infty U_i=\{x\in X\colon \dist(x,C)=0\}=C$ であり、$\H^s(U_1\cap E)\le\H^s(E)\lt\infty$ であるから $\H^s(U_i\cap E)\to\H^s(C)\ (i\to\infty)$。よって $$\eta^*_{s,\delta}(E;x)\ge\limsup_{i\to\infty}\frac{\H^s(U_i\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam U_i)^s}=\frac{\H^s(C\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam C)^s}\gt\theta^*_{s,\delta}(E;x)-\varepsilon.$$ $\varepsilon\to +0$ として $\eta^*_{s,\delta}(E;x)\ge\theta^*_{s,\delta}(E;x)$ を得る。

一方 $\varepsilon\gt 0$ とし、開集合 $U\subset X$ を $0\lt\diam U\lt\delta$、$\frac{\H^s(U\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam U)^s}\gt\eta^*_{s,\delta}(E;x)-\varepsilon$ となるようにとる。$C_i\colon=\{x\in X\colon \dist(x,X\backslash U)\ge 0\}\ (i\in\Zp)$ と定める。$C_i$ は $U$ に含まれる閉集合で、$\diam C_i\le\diam U\lt\delta$ をみたす。また、$C_1\supset C_2\supset...$ かつ $\bigcap_{i=1}^\infty C_i=\{x\in X\colon \dist(x,X\backslash C)\gt 0\}=U$ であるから十分大きい $i$ について $C_i$ は2つ以上の点を含み $\diam C_i\gt 0$ となり、また $\H^s(C_i\cap E)\to\H^s(U)\ (i\to\infty)$。よって $$\theta^*_{s,\delta}(E;x)\ge\limsup_{i\to\infty}\frac{\H^s(C_i\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam C_i)^s}\ge\frac{\H^s(U\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam U)^s}\gt\eta^*_{s,\delta}(E;x)-\varepsilon.$$ $\varepsilon\to +0$ として $\eta^*_{s,\delta}(E;x)\le\theta^*_{s,\delta}(E;x)$ を得る。

$\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)=\eta^*_{s,\delta}(E;\cdot)=\sup\left\{\frac{\H^s(U\cap E)}{2^{-s}\omega_s(\diam U)^s}\chi_U\colon U\subset X\ は開集合で\ 0\lt\diam U\lt\delta\right\}$ で各 $\chi_U$ は下半連続であるから $\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)$ も下半連続でありとくにBorel可測である。$\theta^*_s(E;\cdot)=\lim_{\delta\to +0}\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)$ もBorel可測である。

(2) を示す。$t\gt 0$ とし、 $$A_t\colon=\left\{x\in X\backslash E\colon\theta^*_s(E;x)\gt t\right\}$$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、命題 7の(4)により相対閉集合 $F'\subset E$ を $\H^s(E\backslash F')\lt\varepsilon$ となるようにとる。閉集合 $F\subset X$ を $F\cap E=F'$ となるようにとり、$U\colon=X\backslash F$ とする。$U\subset X$ は開で $X\backslash E\subset U$、$U\cap E=E\backslash F'$ が成り立つ。

$\delta\gt 0$ とし、 $$\F\colon=\left\{C\subset U\colon C\subset X\ は内点をもつ閉集合で\ \diam C\lt\delta,\H^s(C\cap E)\gt t2^{-s}\omega_s(\diam C)^s\right\}$$ とする。$A_t$ の定義より各 $x\in A_t$ と $r\gt 0$ について閉集合 $C\subset X$ で $x\in C$、$\diam C\lt\min\{\delta,r,\dist(x,U)\}$ かつ $\H^s(C\cap E)\gt t2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$ となるものが存在する。$C\subset U$ となるので、十分小さい $r'\gt 0$ をとって $C'\colon=C\cup\Bb_{r'}(x)$ とすれば $x$ は $C'$ の内点で、$\diam C'\le\diam C+r'\lt\min\{\delta,r\}$、$C'\subset U$、$\H^s(C'\cap E)\ge\H^s(C\cap E)\gt t2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$ となり $C'\in\F$ となる。

Vitaliの被覆定理より $\{D_i\}_{i=1}^J\subset\F$、$J\in\Zp\cup\{\infty\}$ で $i\neq j\implies D_i\cap D_j=\emptyset$ かつ $A_t\subset\bigcup_{i=1}^J\widehat{D_i}$ をみたすものが存在する。これより $$\H^s_{5\delta}(A_t)\le2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^J(5\diam D_i)^s\le 5^st^{-1}\sum_{i=1}^J\H^s(D_i\cap E)\le 5^st^{-1}\H^s(U\cap E)=5^st^{-1}\H^s(E\backslash F')\le5^st^{-1}\varepsilon.$$ $\varepsilon,\delta\to +0$ として $\H^s(A_t)\le 0$ を得る。これより $\theta^*_s(E;x)=0\ \H^s-\ae x\in X\backslash E$。

(3)を示す。$t\gt 1$ とし、 $$B_t\colon=\left\{x\in E\colon\theta^*_s(E;x)\gt t\right\}$$ とする。また $\varepsilon\gt 0$ とし、命題 7の(4)により相対開集合 $V'\subset E$ を $B_t\subset V'$ かつ $\H^s(V'\backslash B_t)\lt\varepsilon$ となるようにとる。開集合 $V\subset X$ を $V'=V\cap E$ となるようにとる。

$\delta\gt 0$ とし、 $$\G\colon=\left\{C\subset V\colon C\ は内点をもつ閉集合で\ \diam C\lt\delta,\H^s(C\cap E)\gt t2^{-s}\omega_s (\diam C)^s\right\}$$ とする。$\F$ と同様に各 $x\in B_t$ と $r\gt 0$ について $C\in\G$ が存在して $x\in C$、$\diam C\lt r$ となるので、補題 13より $\{D_i\}_{i=1}^\infty\subset\G$ が存在し、$i\neq j\implies D_i\cap D_j=\emptyset$ で、$\H^s\left(B_t\backslash\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)=0$ または $\sum_{i=1}^\infty(\diam D_i)^s=\infty$ が成り立つ。 $$\sum_{i=1}^\infty(\diam D_i)^s\le t^{-1}2^s\omega_s^{-1}\H^s(D_i\cap E)\le t^{-1}2^s\omega_s^{-1}\H^s(E)\lt\infty$$ より $\H^s\left(B_t\backslash\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)=0$。$\H^s(B_t)\le\H^s(E)\lt\infty$、$D_i\cap E\subset V'$ より $$\H^s_{\delta}(B_t)\le\H^s_{\delta}\left(\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)+\H^s_{\delta}\left(B_t\backslash\bigcup_{i=1}^\infty D_i\right)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam D_i)^s+0\lt t^{-1}\sum_{i=1}^\infty\H^s(D_i\cap E)\le t^{-1}\H^s(V')\lt t^{-1}\H^s(B_t)+\varepsilon.$$ $\delta,\varepsilon\to +0$ として $\H^s(B_t)\le t^{-1}\H^s(B_t)$。$t\gt 1$、$\H^s(B_t)\lt\infty$ より $\H^s(B_t)=0$。これより$\theta^*_s(E;x)\le 1\ \H^s-\ae x\in E$。

一方、$\delta\gt 0$、$\tau\in(0,1)$ について $$E(\delta,\tau)\colon=\{x\in E\colon \theta^*_{s,\delta}(E;x)\le\tau\}$$ とする。$\varepsilon\gt 0$ とし、$C_i\subset X\ (i\in\Zp)$ を $$\diam C_i\lt\delta,C_i\cap E(\delta,\tau)\neq\emptyset\ (i\in\Zp),E(\delta,\tau)\le\bigcup_{i=1}^\infty C_i,2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\lt\H^s_\delta(E(\delta,\tau))+\varepsilon$$ をみたすようにとる。$E(\delta,\tau)$ の定義より $i\in\Zp$ について $\H^s_\delta(C_i\cap E)\le 2^{-s}\omega_s\tau(\diam C_i)^s$ であるから $$\H^s_\delta(E(\delta,\tau))\le\sum_{i=1}^\infty\H^s_\delta(C_i\cap E)\le 2^{-s}\omega_s\tau\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^s\lt\tau(\H^s_\delta(E(\delta,\tau))+\varepsilon).$$ $\varepsilon\to +0$ として $\H^s_\delta(E(\delta,\tau))\le\tau\H^s_{\delta}(E(\delta,\tau))$。$\H^s_\delta(E(\delta,\tau))\le\H^s_\delta(E)\le\H^s(E)\lt\infty$ より $\H^s_{\delta}(E(\delta,\tau))=0$。また各 $i\in\Zp$ について $$2^{-s}\omega_s(\diam C_i)^s\lt\varepsilon$$ であるから $\H^s_{2\omega_s^{-\frac{1}{s}}\varepsilon^\frac{1}{s}}(E(\delta,\tau))\lt\varepsilon$。$\varepsilon\to +0$ として $\H^s(E(\delta,\tau))=0$ を得る。これより任意の $\delta\gt 0$ について $\theta^*_{s,\delta}(E;x)\ge 1\ \H^s-\ae x\in X$ であり、従って $\theta^*_s(E;x)\ge 1\ \H^s-\ae x\in X$ である。

□

参考

$M\subset\R^n$ を $m$ 次元部分多様体とし、$\theta^*(E,\mu_M;x)$ を $\theta^*_m(M;x)$ の定義の $\H^m$ をRiemann測度 $\mu_M$ にとりかえたものとすると $$\theta^*(E,\mu_M;x)=0\ (x\in\R^n\backslash M)$$ と $$\theta^*(E,\mu_M;x)=1\ (x\in M)$$ が成り立つ。

系 15

定理 14の仮定の下、任意の $\varepsilon\gt 0$ と $t\gt 1$ について 閉集合 $F\subset X$ と $\delta\gt 0$ が存在し、$F\subset E$、$\H^s(E\backslash F)\lt\varepsilon$ かつ $C\cap F\neq\emptyset$、$\diam C\lt\delta$ なる閉集合 $C\subset X$ について $\H^s(C\cap E)\le t2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$。

Proof.

$\delta\gt 0$、$t\gt 1$ について $D(\delta,t)\colon=\{x\in E\colon\theta^*_{s,\delta}(E;x)\gt t\}$ とする。$\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)$ は下半連続より $D(\delta,t)\subset E$ は相対開集合。また $\theta^*_{s,\delta}(E;\cdot)$ は $\delta$ について単調増加より $0\lt\delta'\le\delta\implies D(\delta',t)\subset D(\delta,t)$ で $\H^s(E)\lt\infty$ で、$B_t$ を定理 14の証明のようにとると $\bigcap_{\delta\gt 0}D(\delta,t)=B_t$ であるから $\H^s(D(\delta,t))\to\H^s(B_t)=0\ (\delta\to +0)$。よって十分小さく $\delta\gt 0$ をとれば $\H^s(D(\delta,t))\lt\frac{\varepsilon}{2}$ となる。

命題 5より閉集合 $F\subset X\backslash D(\delta,t)$ を $\H^s((E\backslash D(\delta,t))\backslash K)\lt\frac{\varepsilon}{2}$ となるようにとれる。このとき $\H^s(E\backslash F)\le\H^s((E\backslash D(\delta,t))\backslash F)+\H^s(D(\delta,t))\lt\varepsilon$ で、$F\cap D(\delta,t)=\emptyset$ より $x\in F$ について $\theta^*_{s,\delta}(E;x)\le t$。$C\cap F\neq\emptyset$、$\diam C\lt\delta$ なる閉集合 $C\subset X$ について $x\in C\cap F$ とすると $\theta^*_{s,\delta}(E;x)\le t$ より $\H^s(C\cap E)\le t2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$ となる。

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一般の距離空間におけるarea coarea不等式

一般の距離空間においてはLipschitz写像の微分が定義できないため等式としてのarea coarea formulaは得ることができないが、それと近い形の不等式を得ることができる。

補題 16 ($\H^s$ に関する $\sigma$ -有限集合のLipschitz写像による像は $\H^s$ -可測)

$X$ を $\sigma$ -コンパクトな距離空間とし、$Y$ を距離空間とする。$s\gt 0$ とし、$A\subset X$ は $\H^s$ に関して $\sigma$ -有限であるとする。$\psi\colon X\to Y$ をLipschitz写像とすると $\psi(A)\subset Y$ は $\H^s$ -可測。

Proof.

$\H^s(A)\lt\infty$ の場合を示せば十分。

$\H^s$ の $E$ への制限はRadon外測度であるから、命題 8よりコンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset...$ で $K_i\subset A\ (i\in\Zp)$、$\H^s\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^\infty K_i\right)=0$ となるものが存在する。各 $i$ について $\psi(K_i)$ はコンパクトであり、$\H^s$ はBorel外測度であるから $\psi(K_i)$ は $\H^s$ -可測。また命題 12より $\H^s\left(\psi\left(\bigcup_{i=1}^\infty K_i\right)\right)\le L(f)^s\H^s\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^\infty K_i\right)=0$。$E\subset Y$ について $\H^s(E)=0\implies E\in\mathfrak{M}(\H^s)$ は明らかであるから、$\psi\left(\bigcup_{i=1}^\infty K_i\right)$ も $\H^s$ -可測である。従って $\psi(A)=\bigcup_{i=1}^\infty\psi(K_i)\cup\psi\left(A\backslash\bigcup_{i=1}^\infty K_i\right)$ は $\H^s$ -可測である。

□

定義 17 (重複度関数)

$X,Y$ を集合とし、$\psi\colon X\to Y$、$A\subset X$とする。$X$ 上の関数 $y\mapsto\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$ を$\psi$ の $A$ 上での重複度関数という。

注意

$\psi$ の $A$ 上での重複度関数は $X\backslash\psi(A)$ 上では $0$ である。$\psi|_A$ が単射のときは $\psi$ の $A$ 上での重複度関数は $\chi_{\psi(A)}$ と一致する。

補題 18 (重複度関数の性質)

$X$ を距離空間、$Y$ を集合とし、$\psi\colon X\to Y$、$A\subset X$ とする。$\{E_{j,k}\}_{j,k=1}^\infty$ は $X$ の部分集合の族で次をみたすとする:

• 各 $j\in\Zp$ について $A=\bigcup_{k=1}^\infty E_{j,k}$、$k\neq l\implies E_{j,k}\cap E_{j,l}=\emptyset$。
• $j,k,l\in\Zp$ とすると $E_{j,k}\cap E_{j+1,l}\implies E_{j+1,l}\subset E_{j,k}$。
• $\sup_{k\in\Zp}\diam E_{j,k}\to 0\ (j\to\infty)$。

このとき各 $y\in Y$ について $$\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{1,k})}(y)\le\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{2,k})}(y)\le ...\to \#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A).$$

Proof.

$y\in Y$ とする。$j,k\in\Zp$ が $y\in \psi(E_{j,k})$ をみたすとすると $\psi^{-1}(\{y\})\cap E_{j,k}\neq\emptyset$。$x_k\in \psi^{-1}(\{y\})\cap E_{j,k}$ とすると、$E_{j,k}\subset A=\bigcup_{l=1}^\infty E_{j+1,l}$ より $l=l_k$ で $x_k\in E_{j+1,l_k}$ となるものが存在し $x_k\in E_{j,k}\cap E_{j+1,l_k}$ であるから仮定より $E_{j+1,l_k}\subset E_{j,k}$。また、$y\in \psi(E_{j,k'})$、$k'\neq k$ とすると仮定より $E_{j,k}\cap E_{j,k'}=\emptyset$ であり、$E_{j+1,l_k}\subset E_{j,k}$、$E_{j+1,l_{k'}}\subset E_{j,k'}$ であるから $E_{j+1,l_k}\cap E_{j+1,l_{k'}}=\emptyset$ となり $l_k\neq l_{k'}$。これより $$\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)=\sum_{\substack{k\in\Zp,\\y\in \psi(E_{j,k})}}\chi_{\psi(E_{j,k})}(y)=\sum_{\substack{k\in\Zp,\\y\in \psi(E_{j,k})}}\chi_{\psi(E_{j+1,l_k})}(y)\le\sum_{\substack{l\in\Zp,\\y\in \psi(E_{j+1,l})}}\chi_{\psi(E_{j+1,l})}(y)=\sum_{l=1}^\infty\chi_{\psi(E_{j+1,l})}(y).$$ $\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\to \#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)\ (k\to\infty)$ を示す。各 $j\in\Zp$ について、$E_{j,k}\subset A$ かつ $k\neq l\implies E_{j,k}\cap E_{j,l}=\emptyset$ より $\psi^{-1}\cap E_{j,k}\{y\}\neq\emptyset$、すなわち $y\in\psi(E_{j,k})$ となる $k$ は $\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$ 個以下である。これより各 $j$ について $\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\le\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$となり、 $$\limsup_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\le\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A).$$ $\psi^{-1}(\{y\})\cap A=\emptyset$ のときはこれで示された。

一方、$\psi^{-1}(\{y\})\cap A\neq\emptyset$、$N\le\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$、$N\lt\infty$ とし、$N$ 個の元をもつ $\psi^{-1}(\{y\})\cap A$ の部分集合 $S=\{x_1,...,x_N\}$ をとると、仮定より十分大きい $j$ をとれば $$\diam E_{j,k}\lt \min\{d_X(x_{i},x_{i'})\colon 1\le i\lt i'\le N\}\ (\forall k\in\Zp).$$ このとき $1\le i\lt i'\le N$ について $x_i\in E_{j,{k_i}},x'\in E_{j,{k_{i'}}}\implies k_i\neq k_{i'}$ となる。各 $i$ について $x_i\in E_{j,{k_i}}$ となる $k_i$ は丁度1つ存在し、$\psi(x_i)=y$ より $y\in\psi(E_{j,k_i})$ であるから $$\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\ge \sum_{i=1}^N\chi_{\psi(E_{j,k_i})}(y)=N.$$ 従って $$\liminf_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\ge N.$$ $N\lt\infty$ のときは $N=\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$、$N=\infty$ のときは $N\to\infty$ として $$\liminf_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}(y)\ge \#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$$ を得る。

□

定理 19 (area不等式)

$X$ を可分距離空間、$Y$ を距離空間とし、$s\gt 0$ とする。$\psi\colon X\to Y$ をLipschitz写像とし、$A\subset X$ を $\H^s$ -可測集合とする。$\psi$ の $A$ 上での重複度関数は $\H^s$ -可測で $$\int_Y\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^s(y)\le L(\psi)^s\H^s(A).$$

Proof.

$Q=\{q_k\}_{k=1}^\infty\subset X$ を可算稠密部分集合とし、$G_{j,k}\colon=B_{2^{-j-1}}(q_k)\backslash\bigcup_{l=1}^{k-1}B_{2^{-j-1}}(q_l)\ (j,k\in\Zp)$ とする。$G_{j,k}$ は開集合で、 $\bigcup_{k=1}^\infty G_{j,k}=\bigcup_{k=1}^\infty B_{2^{-j-1}}(q_k)=X$、$k\neq k'\implies G_{j,k}\cap G_{j,k'}=\emptyset$、$\diam G_{j,k}\le 2^{-j}$ をみたす。 $$F_{j,k_1,...,k_j}\colon=A\cap\bigcap_{i=1}^j G_{i,k_i}\ (j\in\Zp,(k_1,...,k_j)\in\Zp^j)$$ とする。$F_{j,k_1,...,k_j}$ は $\H^s$ -可測で、$\bigcup_{k_1,...,k_j=1}^\infty F_{j,k_1,...,k_j}=A$、$(k_1,...,k_j)\neq(l_1,...,l_j)\implies F_{j,k_1,...,k_j}\cap F_{j,l_1,...,l_j}=\emptyset$、$F_{j+1,l_1,...,l_{j+1}}\cap F_{j,k_1,...,k_j}\neq\emptyset\implies (l_1,...,l_j)=(k_1,...,k_j)\implies F_{j+1,l_1,...,l_{j+1}}\subset F_{j,k_1,...,k_j}$、$\diam F_{j,k_1,...,k_j}\le 2^{-j}$ をみたす。よって、$\{F_{j,k_1,...,k_j}\}_{k_1,...,k_j=1}^\infty$ を番号づけて $\{E_{j,k}\}_{k=1}^\infty$ とすればこの $\{E_{j,k}\}_{j,k=1}^\infty$ は補題 18の仮定をみたす。

各 $j,k\in\Zp$ について補題 16より $\psi(E_{j,k})$ は $\H^s$ -可測であるから $\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}$ は $\H^s$ -可測関数である。補題 18 より $\#(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap A)=\lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \chi_{\psi(E_{j,k})}$ は $\H^s$ -可測である。また単調収束定理より $$\int_Y\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^s(y)=\lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \H^s(\psi(E_{j,k}))\le L(\psi)^s\liminf_{j\to\infty}\sum_{k=1}^\infty\H^s(E_{j,k})=L(\psi)^s\H^s(A).$$

□

次にcoarea不等式を示す。

補題 20

$s\gt 0$ とする。$X,Y$ を距離空間とし、$\psi\colon X\to Y$ をLipschitz写像とする。$E\subset X$ を $\sigma$ -コンパクト集合とすると $Y$ 上の関数 $y\mapsto\H^s(\psi^{-1}(\{y\})\cap E)$ はBorel可測である。

Proof.

$E=K$ がコンパクト集合の場合を示せばよい。

$\delta\gt 0$ とする。$\mathfrak{U}_\delta$ を $\diam U_i\lt\delta\ (i\in\Zp)$ なる開集合 $U_i\subset X$ の列 $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ からなる族とすると $A\subset X$ について $$\H^s_\delta(A)=\inf\left\{2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam U_i)^s\colon\{U_i\}_{i=1}^\infty\in\mathfrak{U}_\delta,A\subset\bigcup_{i=1}^\infty U_i\right\}.$$ $\mathcal{U}=\{U_i\}_{i=1}^\infty\in\mathfrak{U}_\delta$ について $$V_\mathcal{U}\colon=\left\{y\in Y\colon \psi^{-1}(\{y\})\cap K\subset\bigcup_{i=1}^\infty U_i\right\}$$ とし、 $$ g_\mathcal{U}(y)\colon= \begin{cases} 2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^\infty(\diam U_i)^s&\colon y\in V_\mathcal{U}\\ +\infty&\colon y\notin V_\mathcal{U} \end{cases} $$ とすると $\H^s_\delta(\psi^{-1}(\{y\})\cap K)=\inf_{\mathcal{U}\in\mathfrak{U}_\delta}g_\mathcal{U}(y)$。

$V_\mathcal{U}\subset Y$ が開であることを示す。$y_k\in Y\backslash V_\mathcal{U}\ (k\in\Zp)$、$y_k\to y\ (k\to\infty)$ とすると、各 $k\in\Zp$ について $\psi^{-1}(\{y_k\})\cap K\backslash\bigcup_{i=1}^\infty U_i\neq\emptyset$。$x_k\in\psi^{-1}(\{y_k\})\cap K\backslash\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ をとると、$K\backslash\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ はコンパクトになるので部分列 $\{x_{k_j}\}_{j=1}^\infty$ と $x\in K\backslash\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ が存在して $x_{k_j}\to x\ (j\to\infty)$。$x_k$ のとりかたより $\psi(x_{k_j})=y_{k_j}$ であるから $j\to\infty$ として $\psi(x)=y$。よって $x\in\psi^{-1}(\{y\})\cap K\backslash\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ となり $y\notin V_\mathcal{U}$。これより $Y\backslash V_\mathcal{U}$ は閉であり、$V_\mathcal{U}$ は開である。

このことから $g_\mathcal{U}$ は上半連続であり、$\H^s_\delta(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap K)=\inf_{\mathcal{U}\in\mathfrak{U}_\delta}g_\mathcal{U}$ も上半連続である。$\delta=2^{-m}$ として $m\to\infty$ とすれば $\H^s(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap K)$ がBorel可測であることが従う。

□

補題 21

$X$ をコンパクト距離空間とし、$\{C_k\}_{k=1}^\infty$ を $X$ の空でない閉集合からなる列とする。次をみたす部分列 $\{C_{k_j}\}_{j=1}^\infty$ と空でない閉集合 $D\subset X$ が存在する: $$\sup_{x\in C_{k_j}}\dist(x,D)\to 0\ (j\to\infty),\sup_{x\in D}\dist(x,C_{k_j})\to 0\ (j\to\infty).$$

Proof.

次のように $\{C_k\}_{k=1}^\infty$ の部分列 $\{C_{k_{j,l}}\}_{l=1}^\infty\ (j\in\Zz)$ と $X$ の空でない閉集合からなる空でない有限な族 $\F_j\ (j\in\Zp)$ をとって $$C_{j,l}\subset\bigcup_{F\in\F_j}F\ (j,l\in\Zp)$$ となるようにする:

$C_{k_{0,l}}\colon=C_l$、$\F_0\colon=\{X\}$ とする。

$\{C_{k_{j,l}}\}_{l=1}^\infty$ と $\F_j$ がとれたとする。各 $F\in\F_j$ は空でなく全有界であるから $F$ に含まれる空でない閉集合からなる空でない有限な族 $\G_F$ が存在し $\diam G\lt 2^{-j-1}\ (G\in\G_F)$、$\bigcup_{G\in\G_F}G=F$ となる。

$l\in\Zp$ について $C_{j,l}\subset\bigcup_{F\in\F_j}F$ より $F\in\F_j$ が存在して $C_{j,l}\cap F\neq\emptyset$ で、$G\in\G_F$ が存在して $C_{j,l}\cap G\neq\emptyset$ となるので $$\left\{G\in\bigcup_{F\in\F_j}\G_F\colon C_{j,l}\cap G\neq\emptyset\right\}\neq\emptyset.$$ 一方各 $F\in\F_j$ について $\G_F$ は空でなく有限であるから $$1\le\#\left(\prod_{F\in\F_j}\left(2^{\G_F}\backslash\{\emptyset\}\right)\right)\lt\infty.$$ よって空でない $\G'_F\subset\G_F\ (F\in\F_j)$ で $$\left\{G\in\G_F\colon C_{j,l}\cap G\neq\emptyset\right\}=\G'_F\ (\forall F\in\F_j)$$ となる $l\in\Zp$ が無限個存在するものをとれる。このような $l$ に関する $C_{k_{j,l}}$ からなる $\{C_{k_{j,l}}\}_{l=1}^\infty$ の部分列 $\{C_{k_{j+1,l}}\}_{l=1}^\infty$ をとる。 $$\F_{j+1}\colon=\bigcup_{F\in\F_j}\G'_F$$ とする。$\F_j$ は空でなく有限で、各 $F\in\F_j$ について $\G'_F$ は空でなく有限であるから $\F_{j+1}$ も空でなく有限である。

$l\in\Zp$ について $C_{k_{j+1,l}}\subset\bigcup_{F\in\F_j}F=\bigcup_{F\in\F_j}\bigcup_{G\in\G_F}G$ となるので $\F_{j+1}$ と $C_{k_{j+1,l}}$ のとりかたより $$C_{k_{j+1,l}}\subset\bigcup_{F\in\F_j}\bigcup_{G\in\G'_F}G=\bigcup_{F\in\F_{j+1}}F$$ が成り立つ。

$\F_j$ のとりかたより $j\in\Zp$ について $$\bigcup_{F\in\F_{j+1}}F=\bigcup_{F\in\F_j}\bigcup_{G\in\G'_F}G\subset\bigcup_{F\in\F_j}\bigcup_{G\in\G_F}G=\bigcup_{F\in\F_j}F\neq\emptyset$$ で、$\F_j$ は有限で各 $F\in\F_j$ は閉集合であるから $\bigcup_{F\in\F_j}F$ も閉集合。$X$ はコンパクトであるから $$D\colon=\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{F\in\F_j}F$$ は空でない閉集合である。また各 $j\in\Zp$、$F\in\F_j$ について $\G'_F\neq\emptyset$ より $F'\in\F_{j+1}$ で $F'\subset F$ となるものが存在し、帰納的に $l\ge j$ について $F'\in\F_{l}$ で $F'\subset F$ となるものが存在するので再び $X$ のコンパクト性より $$D\cap F\supset\bigcap_{l=j}^\infty\bigcup_{\substack{F'\in\F_l,\\F'\subset F}}F'\neq\emptyset.$$ また、$j,l\in\Zp$、$x\in C_{k_{j,l}}$ とすると $F\in\F_j$ で $x\in F$ となるものが存在し、$\diam F\lt 2^{-j}$ であるから $y\in D\cap F$ とすれば $d(x,y)\lt 2^{-j}$。よって $\dist(x,D)\le 2^{-j}$。

一方 $x\in D$、$j\in\Zp$ とすると $D$ のとりかたより $F\in\F_j$ が存在して $x\in F$。また $F\in\G_H$ なる $H\in\F_{j-1}$ をとると $C_{k_{j,l}}$ のとりかたより $C_{k_{j,l}}\cap G\neq\emptyset\ (G\in\G_H)$ であるから $C_{k_{j,l}}\cap F\neq\emptyset$。$\diam F\lt 2^{-j}$ であるから $y\in C_{k_{j,l}}\cap F$ とすれば $d(x,y)\lt 2^{-j}$。よって $\dist(x,C_{k_{j,l}})\le 2^{-j}$。

従って $C_{k_j}\colon=C_{k_{j,j}}$ とすれば $\{C_{k_j}\}_{j=1}^\infty$ は $\{C_k\}_{k=1}^\infty$ の部分列になっていて、$\sup_{x\in C_{k_j}}\dist(x,D)\le 2^{-j}$、$\sup_{x\in D}\dist(x,C_{k_j})\le 2^{-j}$ となる。

□

補題 22

$s\gt 0$、$\delta\gt 0$ とし、$X$ をコンパクト距離空間とする。$A_1\subset A_2\subset...\subset X$ とすると $$\H^s_{\delta}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\lim_{i\to\infty}\H^s_\delta(A_i).$$

Proof.

$A\colon=\bigcup_{i=1}^\infty A_i$ とする。$\H^s_\delta(A)\lt\infty$ としてよい。

空でない閉集合 $C_{i,j}\subset X$ を $$\dist C_{i,j+1}\le\dist C_{i,j}\le\delta\ (i,j\in\Zp),A_i\subset\bigcup_{j=1}^\infty C_{i,j}\ (i\in\Zp),2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^s\lt\H^s_{\delta}(A_i)$$ となるようにとる。補題 21と対角線論法により部分列に移って空でない閉集合 $D_j\subset X\ (j\in\Zp)$ が存在して $$\sup_{x\in C_{i,j}}\dist(x,D_j)\to 0,\sup_{x\in D_j}\dist(x,C_{i,j})\to 0\ (i\to\infty)$$ が各 $j\in\Zp$ について成り立つとしてよい。

$i,j\in\Zp$、$\varepsilon\gt 0$ について、$x,y\in D_j$ を $d_X(x,y)\gt\diam D_j-\varepsilon$ となるようにとり、$x',y'\in C_{i,j}$ を $d_X(x,x')\lt\dist(x,C_{i,j})+\varepsilon$、$d_X(y,y')\lt\dist(y,C_{i,j})+\varepsilon$ となるようにとれば $$\diam D_j\lt d_X(x,y)+\varepsilon\le d_X(x,x')+d_X(x',y')+d_X(y',y)+\varepsilon\lt\dist(x,C_{i,j})+\diam C_{i,j}+\dist(y,C_{i,j})+3\varepsilon$$ で $D_j$ のとりかたより $i\to\infty$、$\varepsilon\to+0$ とすれば $$\diam D_j\le\liminf_{i\to\infty}\diam C_{i,j}$$ を得る。これより $$T\colon=2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\diam D_j)^s\le2^{-s}\omega_s\liminf_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^s=\lim_{i\to\infty}\H^s_\delta(A_i)=\colon S.$$ 一方 $i,j\in\Zp$、$\varepsilon\gt 0$ について、$x,y\in C_{i,j}$ を $d_X(x,y)\gt\diam C_{i,j}-\varepsilon$ となるようにとり、$x',y'\in D_j$ を $d_X(x,x')\lt\dist(x,D_j)+\varepsilon$、$d_X(y,y')\lt\dist(y,D_j)+\varepsilon$ となるようにとれば $$\diam C_{i,j}\lt\dist(x,D_j)+\diam D_j+\dist(y,D_j)+3\varepsilon$$ で $i\to\infty$、$\varepsilon\to+0$ とすれば $\limsup_{i\to\infty}\diam C_{i,j}\le\diam D_j$ となる。これより $\lim_{j\to\infty}\diam C_{i,j}=\diam D_j$ となり $$T=\lim_{k\to\infty}\lim_{i\to\infty}2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^k(\diam C_{i,j})^s=\lim_{k\to\infty}\lim_{i\to\infty}\left(2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^s-2^{-s}\omega_s\sum_{j=k+1}^\infty(\diam C_{i,j})^s\right)=S-2^{-s}\omega_s\lim_{k\to\infty}\lim_{i\to\infty}\sum_{j=k+1}^\infty(\diam C_{i,j})^s.$$

任意の $D_j$ を含む開集合 $V_j\ (j\in\Zp)$ について $$\H^s\left(A\backslash\bigcup_{j=1}^\infty V_j\right)\le S-T$$ を示す。$i\in\Zp$ $\varepsilon\gt 0$ とする。$2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^\infty(\diam D_j)^s\le S\le\H^s_\delta(A)\lt\infty$ より十分大きい $n\in\Zp$ をとれば $\diam D_j\lt\varepsilon\ (j\ge n)$ となる。また、各 $j\in\Zp$ について $D_j$ はコンパクトであるから $\dist(D_j,X\backslash V_j)\gt 0$。$D_j$ のとりかたより十分大きい $l\in\Zp$ をとれば $A_i\subset A_l$、$C_{l,j}\subset V_j\ (j=1,...,n)$、$\diam C_{l,n}\lt\varepsilon$ となる。$C_{i,j}$ のとりかたより $\diam C_{l,j}\lt\varepsilon\ (j\ge n)$ であり $$\H^s_\varepsilon\left(A_i\backslash\bigcup_{j=1}^\infty V_j\right)\le\H^s_\varepsilon\left(A_l\backslash\bigcup_{j=1}^\infty V_j\right)\le\H^s_\varepsilon\left(\bigcup_{j=1}^\infty C_{l,j}\backslash\bigcup_{j=1}^n V_j\right)\le\H^s_\varepsilon\left(\bigcup_{j=n+1}^\infty C_{l,j}\right)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{j=n+1}^\infty (\diam C_{l,j})^s.$$ $l\to\infty$、$n\to\infty$、$\varepsilon\to+0$、$i\to\infty$ として $\H^s\left(A\backslash\bigcup_{j=1}^\infty V_j\right)\le S-T$ を得る。

また $n\in\Zp$ について \begin{align*} A\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_j\cup\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)&=\left(\bigcap_{j=1}^n\{x\in A\colon\dist(x,D_j)\gt 0\}\right)\backslash\left(\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\\ &=\bigcup_{m=1}^\infty\left(\bigcap_{j=1}^n\{x\in A\colon\dist(x,D_j)\ge 2^{-m}\}\right)\backslash\left(\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\\ &=\bigcup_{m=1}^\infty\left(A\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n\{x\in X\colon\dist(x,D_j)\lt 2^{-m}\}\cup\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\right) \end{align*} であるから \begin{align*} \H^s\left(A\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_j\cup\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\right)=\lim_{m\to\infty}\H^s\left(A\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n\{x\in X\colon\dist(x,D_j)\lt 2^{-m}\}\cup\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\right)\le S-T. \end{align*} 最後に $\varepsilon\gt 0$ とし、$n\in\Zp$ を $\diam D_n\lt\delta$、$2^{-s}\omega_s\sum_{j=n+1}^\infty(\diam D_j)^s\lt\varepsilon$ となるようにとり、$j\gt n$ について開集合 $V_j$ を $D_j\subset V_j$、$\diam V_j\lt\delta$、$2^{-s}\omega_s\sum_{j=n+1}^\infty(\diam V_j)^s\lt\varepsilon$ となるようにとれば \begin{align*} \H^s_\delta(A)&\le\H^s\left(A\backslash\left(\bigcup_{j=1}^n D_j\cup\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\right)+\H^s_\delta\left(\bigcup_{j=n+1}^\infty V_j\right)\\ &\le S-T+2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^n(\diam D_j)^s+2^{-s}\omega_s\sum_{j=n+1}^\infty(\diam V_j)^s\\ &\le S-T+T+\varepsilon=S+\varepsilon. \end{align*} $\varepsilon\to 0$ として結論が従う。

□

補題 23

$s\gt 0$ とし、$X$ を コンパクト距離空間とする。$\delta\gt 0$ とし、$C_i\subset X\ (i\in\Zp)$ は $\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp)$ をみたすとする。また $a_i\gt 0\ (i=1\in\Zp)$ とする。$t\gt 0$ について $$\H^s_{5\delta}\left(\left\{x\in X\colon \sum_{i=1}^\infty a_i\chi_{C_i}(x)\gt t\right\}\right)\le 5^s2^{-s}\omega_st^{-1}\sum_{i=1}^\infty a_i(\diam C_i)^s.$$

Proof.

$N\in\Zp$ について $$\H^s_{5\delta}\left(\left\{x\in X\colon \sum_{i=1}^N a_i\chi_{C_i}(x)\gt t\right\}\right)\le 5^s2^{-s}\omega_st^{-1}\sum_{i=1}^N a_i(\diam C_i)^s$$ となることを示せば補題 22より $N\to\infty$ として結論が従う。

$a_i\in\Q\ (i=1,...,N)$ の場合を示す。$k\in\Zp$ を $b_i\colon=ka_i\in\Z\ (i\in\Zp)$ となるようにとる。$m\colon=\lfloor kt\rfloor+1$ とし、 $$h\colon=\sum_{i=1}^N b_i\chi_{C_i},A\colon=\left\{x\in X\colon h(x)\ge m\right\}$$ とする。このとき $x\in X$ について $\sum_{i=1}^N a_i\chi_{C_i}(x)\gt t\iff h(x)\gt kt\iff h(x)\ge m\iff x\in A$ である。

$H_0,...,H_m\subset\{C_1,...,C_N\}$ と $c_{i,j}\in\Zz\ (i=1,...,N,\ j=0,...,m)$ を次のようにとって $$C_i,C_{i'}\in H_j,i\neq i'\implies C_i\cap C_{i'}\ (j=1,...,m),\ A\subset\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\c_{i,j}\ge 1}}C_i\ (j=0,...,m-1)$$ となるようにする:

$H_0\colon=\emptyset$、$c_{i,0}\colon=b_i\ (i=1,...,N)$ とする。$x\in A$ について $h(x)\ge m$ より $x\in C_i$ かつ $b_i\ge 1$ となる $i\in\{1,...,N\}$ が存在するので $$A\subset\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\b_i\ge 1}}C_i$$ が成り立つ。

ある $j\in\{0,...,m-1\}$ について $H_j$、$c_{i,j}$ がとれたとする。Vitaliの被覆定理より $H_{j+1}\subset\{C_i\colon c_{i,j}\ge 1\}$ を $$C_i,C_{i'}\in H_{j+1},i\neq i'\implies C_i\cap C_{i'},\ A\subset\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\C_i\in H_{j+1}}}\widehat{C_i}$$ となるようにとれる。 $$c_{i,j+1}\colon= \begin{cases} c_{i,j}-1&\colon C_i\in H_{j+1}\\ c_{i,j}&\colon C_i\notin H_{j+1} \end{cases}$$ とする。$x\in A$ について、$x\in C_i$ かつ $C_i\in H_{j+1}$ となる $i$ は高々1つであるから $$\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\x\in C_i}}c_{i,j+1}\ge\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\x\in C_i}}c_{i,j}$$ となり $$\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\x\in C_i}} c_{i,j+1}\ge\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\x\in C_i}} b_i-(j+1)\ge m-(j+1).$$ とくに $j\neq m-1$ のとき $x\in A$ について $$\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\x\in C_i}} c_{i,j+1}\ge 1$$ となるので、$x\in C_i$ かつ $c_{i,j+1}\ge 1$ となる $i$ が存在する。これより $$A\subset\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\c_{i,j+1}\ge 1}}C_i.$$ 各 $j=1,...,m$ について $$A\subset\bigcup_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\C_i\in H_j}}\widehat{C_i}$$ より $$\H^s_{5\delta}(A)\le 2^{-s}\omega_s\sum_{\substack{i\in\{1,...,N\},\\C_i\in H_j}}(5\diam C_i)^s=5^s2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^m(c_{i,j-1}-c_{i,j})(\diam C_i)^s.$$ また $j=0,...,m-1$ について $H_{j+1}\subset\{C_i\colon c_{i,j}\ge 1\}$ であることから $i=1,...,N$、$j=1,...,m$ について $c_{i,j}\ge 0$。従って $$m\H^s_{5\delta}(A)\le 5^s2^{-s}\omega_s\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^N(c_{i,j-1}-c_{i,j})(\diam C_i)^s=5^s2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^N(c_{i,0}-c_{i,m})(\diam C_i)^s\le 5^s2^{-s}\omega_s\sum_{i=1}^N b_i(\diam C_i)^s$$ となり $$\H^s_{5\delta}\left(\left\{x\in X\colon \sum_{i=1}^N a_i\chi_{C_i}(x)\gt t\right\}\right)\le 5^s2^{-s}\omega_sm^{-1}\sum_{i=1}^N b_i(\diam C_i)^s\le 5^s2^{-s}t^{-1}\sum_{i=1}^N a_i(\diam C_i)^s.$$ 一般の場合は各 $a_i$ を有理数で上から近似することで得られる。

□

定理 24 (coarea不等式)

$0\lt s\lt t\lt\infty$ とする。$X$ を $\sigma$ -コンパクトな距離空間とし、$Y$ を距離空間とする。$\psi\colon X\to Y$ をLipschitz写像とし、$A\subset X$ は $\H^t$ について $\sigma$ -有限であるとする。以下が成り立つ:

• $\H^s$ -a.e. $y\in Y$ について $\psi^{-1}(\{y\})\cap A$ は $\H^{t-s}$ -可測。
• $Y$ 上の関数 $y\mapsto\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)$ は $\H^s$ -可測。
• $$\int_Y\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^s(y)\le\frac{\omega_s\omega_{t-s}}{\omega_t}L(\psi)^s\H^t(A).$$

Proof.

$X$ がコンパクトかつ $\H^t(A)\lt\infty$ の場合を示せば十分。このとき $\psi(X)\subset Y$ もコンパクトであるから $Y$ もコンパクトであるとしてよい。

$A\subset X$ について Borel可測関数 $g_A\colon Y\to [0,\infty]$ が存在し $$\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap A)\le g_A\on Y,\int_Y g_Ad\H^s\le\frac{\omega_s\omega_{t-s}}{\omega_t}L(\psi)^s\H^t(A)\tag{*}\label{coalem}$$ となることを示す。

閉集合 $C_{i,j}\subset X\ (i,j\in\Zp)$ を $$\diam C_{i,j}\lt 2^{-i}\ (i,j\in\Zp),A\subset\bigcup_{j=1}^\infty C_{i,j}\ (i\in\Zp),2^{-t}\omega_t\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^t\lt\H^t_{2^{-i}}(A)+2^{-i}$$ となるようにとる。 $$g_A\colon=2^{s-t}\omega_{t-s}\liminf_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^{t-s}\chi_{\psi(C_{i,j})}\ (y\in Y)$$ とする。$X$ は コンパクトより各 $C_{i,j}$ は コンパクトであるから、補題 20より $g_A$ はBorel可測である。また $y\in Y$、$i\in\Zp$ について $\{C_{i,j}\colon j\in\Zp,C_{i,j}\cap\psi^{-1}(\{y\})\neq\emptyset\}$ は $\psi^{-1}(\{y\})\cap A$ を被覆しているので $$\H^{t-s}_{2^{-i}}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)\le 2^{s-t}\omega_{t-s}\sum_{\substack{j\in\Zp,\\ C_{i,j}\cap\psi^{-1}(\{y\})\neq\emptyset}}(\diam C_{i,j})^{t-s}=\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^{t-s}\chi_{\psi(C_{i,j})}(y).$$ $i\to\infty$ として $\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)\le g_A(y)$ を得る。

一方、各 $i,j\in\Zp$ について $\diam\psi(C_{i,j})\le L(\psi)2^{-i}$ であるから $i\in\Zp$、$\tau\gt 0$ について $$B_{i,\tau}\colon=\left\{y\in Y\colon \sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^{t-s}\chi_{\psi(C_{i,j})}(y)\gt\tau\right\}$$ とすると補題 23より $$\H^s_{5L(\psi)2^{-i}}\left(B_{i,\tau}\right)\le 5^s2^{-s}\omega_s\tau^{-1}\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^{t-s}(\diam \psi(C_{i,j}))^s\le 5^s2^{-s}\tau^{-1}L(\psi)^s\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^t\lt 5^s2^{-s}\tau^{-1}L(\psi)^s(\H^t_{2^{-i}}(A)+2^{-i}).$$ また $$B_{\tau}\colon=\left\{y\in Y\colon g_A(y)\gt\tau\right\}$$ とすると $B_{\tau}=\bigcup_{k\in\Zp}\bigcap_{i\ge k}B_{i,\tau}$。$k\in\Zp$、$j\ge k$ について $$\H^s_{5L(\psi)2^{-j}}\left(\bigcap_{i\ge k}B_{i,\tau}\right)\le\H^s_{5L(\psi)2^{-j}}(B_{j,\tau})\le 5^s2^{-s}\tau^{-1}L(\psi)^s(\H^t_{2^{-j}}(A)+2^{-j}).$$ $j\to\infty$ として $$\H^s\left(\bigcap_{i\ge k}B_{i,\tau}\right)\le 5^s2^{-s}\tau^{-1}L(\psi)^s\H^t(A)$$ で、$k\to\infty$ とすれば $$\H^s(B_\tau)\le 5^s2^{-s}\tau^{-1}L(\psi)^s\H^t(A)\lt\infty$$ となる。

系 15より閉集合 $F_k\subset Y\ (k=1,2,...)$ と $\delta_k\gt 0$ が存在し、$F_k\subset\psi(A)$、$\H^s(B_{2^{-k}}\backslash F_k)\lt 2^{-k-1}$ かつ $C\cap F_k\neq\emptyset$、$\diam C\lt\delta_k$ なる閉集合 $C\subset Y$ について $\H^s(C\cap F_k)\le(1+2^{-k})2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$。$G_k\colon=\bigcap_{j=i}^\infty F_k$ とすると $G_1\subset G_2\subset...\subset Y$、$G_k\subset B_{2^{-k}}$、$\H^s(B_{2^{-k}}\backslash G_k)\lt 2^{-k}$ かつ$C\cap G_k\neq\emptyset$、$\diam C\lt\delta_k$ なる閉集合 $C\subset Y$ について $\H^s(C\cap G_k)\le(1+2^{-k})2^{-s}\omega_s(\diam C)^s$。各 $k\in\Zp$ について、$i$ が十分大きいとき $\diam\psi(C_{i,j})\le L(\psi)\diam C_{i,j}\lt\delta_k\ (j\in\Zp)$ となるので \begin{align*} \int_{G_k} g_Ad\H^s&\le 2^{s-t}\omega_{t-s}\liminf_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty (\diam C_{i,j})^{t-s}\H^s(\psi(C_{i,j})\cap G_k)\\ &\le2^{s-t}\omega_{t-s}\liminf_{i\to\infty}\sum_{\substack{j\in\Zp,\\ \psi(C_{i,j})\cap G_k\neq\emptyset}}(\diam C_{i,j})^{t-s}(1+2^{-k})2^{-s}\omega_s(\diam\psi(C_{i,j}))^s\\ &\le(1+2^{-k})2^{-t}\omega_s\omega_{t-s}L(\psi)^s\liminf_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty(\diam C_{i,j})^t\\ &\le(1+2^{-k})\frac{\omega_s\omega_{t-s}}{\omega_t}L(\psi)^s\H^t(A). \end{align*} また $$B\colon=\{y\in Y\colon g_A(y)\gt 0\}=\bigcup_{k=1}^\infty B_{2^{-k}}$$ とすると $G_k\subset B\ (k\in\Zp)$ かつ $$\H^s\left(B\backslash\bigcup_{k=1}^\infty G_k\right)=\lim_{j\to\infty}\H^s\left(B_{2^{-j}}\backslash\bigcup_{k=1}^\infty G_k\right)\le\liminf_{j\to\infty}\H^s\left(B_{2^{-j}}\backslash G_j\right)=0.$$ よって $j,k\to\infty$ とすれば単調収束定理により $$\int_Y g_Ad\H^s=\int_B g_Ad\H^s\le\frac{\omega_{t-s}\omega_s}{\omega_t}L(\psi)^s\H^t(A)$$ が従う。よってこの $g_A$ は(\ref{coalem})をみたす。

またこれより $\H^s(N)=0$ なる $N\subset X$ について $\int_Y g_N(y)d\H^s(y)=0$ となり $0\le\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap N)\le g_N=0\ \H^s-\ae y\in Y$。

命題 8より $A$ はコンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset...\subset X$ と $\H^s(N)=0$ なる $N\subset X$ を用いて $A=\bigcup_{i=1}^\infty K_i\cup N$ と表せる。各 $y\in Y$ について $\psi^{-1}(\{y\})\cap K_i$ はコンパクトで、$\H^s$ -a.e. $y\in Y$ について $\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap N)=0$ であるから $$\psi^{-1}(\{y\})\cap A=\bigcup_{i=1}^\infty(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)\cup(\psi^{-1}(\{y\})\cap N)$$ は $\H^s$ -a.e. $y\in Y$ について $\H^{t-s}$ -可測である。

また補題 20より各 $i\in\Zp$ について $\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap(C_i\cap K_i))$ は $\H^s$ -可測で、 $$\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap A)=\lim_{i\to\infty}\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap K_i)\ \H^s-\ae\on Y$$ より $\H^{t-s}(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap A)$ も $\H^s$ -可測である。また $$\int_Y \H^{t-s}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^s(y)\le\int_Y g_Ad\H^s\le\frac{\omega_{t-s}\omega_s}{\omega_t}L(\psi)^s\H^t(A).$$

□

$\R^n$ 上のHausdorff測度

以下 $n\in\Zp$ とする。

命題 25 ($\R^n$ 上のHausdorff測度の初等的性質)

$s\gt 0$ とする。以下が成り立つ:

• $\R^n$ 上のHausdorff外測度は平行移動と回転について不変である。すなわち $A\subset\R^n$、$v\in\R^n$ と直交変換 $O$ について $\H^s(A+v)=\H^s(OA)=\H^s(A)$。
• $A\subset\R^n$ と $t\in\R\backslash\{0\}$ について $\H^s(tA)=|t|^s \H^s(A)$。

Proof.

平行移動および回転不変性はこれらの変換が等長であることから従う。また $t\neq 0$ とすると $\R^n$ 上の変換 $v\mapsto tv$ と $v\mapsto t^{-1}v$ がそれぞれ $|t|$ -Lipschitz、$|t|^{-1}$ -Lipschitzであることから $\H^s(A)\le |t|^{-s}\H^s(A)$、$\H^s(tA)\le |t|^s\H^s(A)$ となり $\H^s(tA)=|t|^s\H^s(A)$。

□

命題 26 ($s\gt n$ のとき $\H^s\equiv 0$)

$s\gt n$ のとき任意の $A\subset\R^n$ について $\H^s(A)=0$。

Proof.

$\H^s(\R^n)=0$ を示せばよい。

$Q\colon=(0,1]^n$ とする。$x\in\R^n$ と $l\gt 0$ について $Q_{x,l}\colon=(x_1,x_1+l]\times...\times(x_n,x_n+l]$ とすると $\diam Q_{x,l}=n^\frac{1}{2}l$ で、$N\in\Zp$ について $$Q=\bigcup_{x\in\{0,\frac{1}{N},...,\frac{N-1}{N}\}^n}Q_{x,\frac{1}{N}}$$ であるから $$\H^s_{n^\frac{1}{2}N^{-1}}(Q)\le 2^{-s}\omega_sN^n(n^\frac{1}{2}N^{-1})^s=2^{-s}n^\frac{s}{2}\omega_sN^{n-s}.$$ $N\to\infty$ として $$\H^s(Q)\le 0.$$ 平行移動不変性より任意の $x\in\R^n$ について $\H^s(Q_{x,1})=\H^s(Q)=0$。$\R^n$ は $Q_{x,1},x\in\Z^n$ に分割されるので $$\H^s(\R^n)=\sum_{x\in\Z^n}\H^s(Q_{x,1})=0.$$

□

次に $\R^n$ 上の $n$ 次元Hausdorff測度はLebesgue測度と一致することを示す。Borel集合 $B\subset\R^n$ のLebesgue測度を $|B|$ で表す。

補題 27

Borel集合 $A\subset\R^n$ と $i=1,...,n$ について $$S_i(A)\colon=\{x+te_i\in\R^n\colon x\in \pi_i,|t|\lt l_i(x)\},\pi_i\colon=\{x\in\R^n\colon x_i=0\},l_i(x)\colon=\frac{1}{2}|\{t\in\R\colon x+te_i\in A\}|\ (x\in\pi_i)$$ とする(測度と積分3：測度論の基本定理(1)の補題14.3より $\{t\in\R\colon x+te_i\in A\}$ はBorel集合であることに注意。)。$S_i(A)$ は次をみたす:

• $S_i(A)$ は平面 $\pi_i$ について対称である。すなわち $x\in \pi_i$ と $t\in\R$ について $x+te_i\in S_i(A)\iff x-te_i\in S_i(A)$。
• $j=1,...,n$、$j\neq i$ とする。$A$ が平面 $\pi_j$ について対称であれば $S_i(A)$ も平面 $\pi_j$ について対称である。
• $S_i(A)$ はBorel集合で

$$\diam S_i(A)\le \diam A,|S_i(A)|=|A|.$$

Proof.

$S_i(A)$ は平面 $\pi_i$ について対称であることは明らか。

$j=1,...,n$、$j\neq i$ とし、$A$ が平面 $\pi_j$ について対称であるとする。$x\in\pi_j$ は $y\in\pi_i\cap\pi_j$ と$t\in\R$ を用いて $x=y+te_i$ と一意的に表され、$A$ の対称性より $s\in\R$ について $$l_i(y+se_j)=\frac{1}{2}|\{t'\in\R\colon y+se_j+t'e_i\in A\}|=\frac{1}{2}|\{t'\in\R\colon y-se_j+t'e_i\in A\}|=l_i(y-se_j)$$ であるから $$x+se_j\in S_i(A)\iff |t|\lt l_i(y+se_j)\iff |t|\lt l_i(y-se_j)\iff x-se_j\in S_i(A).$$ よって $S_i(A)$ も平面 $\pi_j$ について対称である。

$\diam S_i(A)\le\diam A$ を示す。$\varepsilon\gt 0$ とし、$x,x'\in S_i(A)$ を $|x-x'|\gt\diam S_i(A)-\varepsilon$ となるようにとる。$x,x'$ を $y,y'\in\pi_i$ と $t,t'\in\R$ を用いて $x=y+te_i,x'=y'+t'e_i$ と表す。$|t|\lt l_i(y)$ より $$\sup\{s\colon y+se_i\in A\}-\inf\{s\colon y+se_i\in A\}\ge|\{s\colon y+se_i\in A\}|\ge 2l_i(y)\gt 2|t|.$$ 同様に $2|t'|\lt\sup\{s\colon y'+se_i\in A\}-\inf\{s\colon y'+se_i\in A\}$。

$a,b,a',b'\in\R$ を $$y+ae_i,y+be_i,y'+a'e_i,y'+b'e_i\in A,$$ $$a\lt\inf\{s\colon y+se_i\in A\}+\varepsilon,b\gt\sup\{s\colon y+se_i\in A\}-\varepsilon,$$ $$a'\lt\inf\{s\colon y'+se_i\in A\}+\varepsilon,b'\gt\sup\{s\colon y'+se_i\in A\}-\varepsilon$$ となるようにとると $b-a\gt 2|t|-2\varepsilon$、$b'-a'\gt 2|t'|-2\varepsilon$ より $$\max\{b-a',b'-a\}\ge\frac{1}{2}(b-a'+b'-a)\gt |t|+|t'|-2\varepsilon.$$ よって \begin{align*} \diam A+2\varepsilon&\ge\max\{|(y+be_i)-(y'+a'e_i)|,|(y'+b'e_i)-(y+ae_i)|\}+2\varepsilon\\ &\ge\max\{|(y-y')+(b-a'+2\varepsilon)e_i|,|(y'-y)+(b'-a+2\varepsilon)e_i|\}\\ &=\max\{(|y-y'|^2+|b-a'+2\varepsilon|^2)^\frac{1}{2},(|y'-y|^2+|b'-a+2\varepsilon|^2)^\frac{1}{2}\}\\ &\ge(|y-y'|^2+\max\{b-a'+2\varepsilon,b'-a+2\varepsilon\}^2)^\frac{1}{2}\\ &\ge(|y-y'|^2+(|t|+|t'|)^2)^\frac{1}{2}\\ &\ge(|y-y'|^2+(|t-t'|)^2)^\frac{1}{2}\\ &=|x-x'|\gt\diam S_i(A)-\varepsilon. \end{align*} $\varepsilon\to +0$ として $\diam S_i(A)\le\diam A$ を得る。

最後にTonelliの定理(測度と積分3：測度論の基本定理(1)の補題14.3と定理14.4)より $l_i\colon\pi_i\to[0,\infty]$ はBorel可測であるから $S_i(A)$ はBorel集合で、$\pi_i$ と $\R^{n-1}$ の標準的な同一視により $\pi_i$ にLebesgue測度を入れれば $$|S_i(A)|=\int_{\pi_i} 2l_i(y)dy=\int_{\pi_i} |\{t\in\R\colon y+te_i\in A\}|dt=|A|.$$

□

補題 28 (等径不等式(isodiametric inequality))

任意のBorel集合 $A\subset\R^n$ について $$|A|\le 2^{-n}\omega_n(\diam A)^n.$$

Proof.

$$A^*\colon=S_n(...S_2(S_1(A))...)$$ とする。補題 27より $A^*$ は平面 $\pi_1,...,\pi_n$ について対称なBorel集合で、$\diam A^*\le\diam A$、$|A^*|=|A|$ をみたす。 $x\in\R^n$ について $$x\in A^*\iff (-x_1,x_2,...,x_n)\in A^*\iff...\iff (-x_1,...,-x_n)\in A^*$$ であるから $x\in A^*\iff -x\in A^*$。

$x\in A^*$ について $-x\in A^*$ より $$|x|=\frac{1}{2}|x-(-x)|\le\frac{1}{2}\diam A^*\le\frac{1}{2}\diam A.$$ よって $A^*\subset \Bb_{\frac{1}{2}\diam A}(0)$ で $$|A|=|A^*|\le|\Bb_{\frac{1}{2}\diam A}(0)|=2^{-n}\omega_n(\diam A)^n.$$

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定理 29 ($\H^n$ とLebesgue測度の一致)

Borel集合 $A\subset\R^n$ について $\H^n(A)=|A|$。

Proof.

$\delta\gt 0$、$\varepsilon\gt 0$ として $C_i\subset\R^n\ (i\in\Zp)$ を $$\diam C_i\lt\delta\ (i\in\Zp),A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i,2^{-n}\omega_n\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^n\lt\H^n_\delta(A)+\varepsilon$$ となるようにとる。補題 28より $$|A|\le\sum_{i=1}^\infty |C_i|\le 2^{-n}\omega_n\sum_{i=1}^\infty(\diam C_i)^n\lt\H^n_\delta(A)+\varepsilon$$ となり $\delta,\varepsilon\to +0$ として $|A|\le\H^n(A)$ を得る。

$\H^n(A)\le|A|$ を示す。$|A|\lt\infty$ としてよい。$\varepsilon\gt 0$ とし、開集合 $U\subset\R^n$ を $A\subset U$、$|U|\lt|A|+\varepsilon$ となるようにとる。補題 13を $\F=\{\Bb(r)\colon \Bb(r)\subset U,r\lt\frac{\delta}{2}\}$ として用いると、高々可算な閉球の族 $\G\subset\F$ で、 $C,C'\in\G,C\neq C'\implies C\cap C'=\emptyset$ で $\H^n(U\backslash\bigcup_{C\in\G}C)=0$ または $\sum_{C\in\G}(\diam C)^n=\infty$ となるものがとれ、 $$\sum_{C\in\G}(\diam C)^n\le 2^n\omega_n^{-1}\sum_{C\in\G}|C|\le 2^n\omega_n^{-1}|U|\lt\infty$$ より $\H^n\left(U\backslash\bigcup_{C\in\G}C\right)=0$ となり $$\H^n_\delta(A)\le\H^n_\delta(U)\le\H^n_\delta\left(\bigcup_{C\in\G}C\right)+\H^n\left(U\backslash\bigcup_{C\in\G}C\right)\le 2^{-n}\omega_n\sum_{C\in\G}(\diam C)^n+0=\sum_{C\in\G}|C|\le|U|\lt|A|+\varepsilon.$$ $\delta,\varepsilon\to +0$ として $\H^n(A)\le|A|$ を得る。

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定義 30 (Lebesgue外測度)

$\R^n$ 上の $n$ 次元Hausdorff外測度をLebesgue外測度といい、$\L^n$ と表す。

注意

Borel集合と同様に $\L^n$ -可測集合 $A$ について $\L^n(A)$ を $|A|$ で表す。

定理 11より $\L^n=\H^n$ はBorel正則外測度でかつコンパクト集合 $K$ について $|K|\lt\infty$ であるから、$\L^n$ はRadon外測度である。

Lebesgue外測度についても等径不等式は有効である。実際、$\L^n$ はRadon外測度であるから $A\subset\R^n$ についてBorel集合 $B\subset\R^n$ が存在し $A\subset B$ かつ $\L^n(A)=|B|$ で、$C\colon=B\cap\overline{A}$ とすると $C$ はBorel集合で $A\subset C$、$\L^n(A)=|C|$、$\diam A=\diam C$ をみたすので $C$ に関する等径不等式から $\L^n(A)\le 2^{-n}\omega_n(\diam A)^n$ が従う。

命題 31 (Lebesgue外測度の別の表示)

$A\subset\R^n$ について $$\L^n(A)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty\prod_{i=1}^n(b^{(k)}_i-a^{(k)}_i)\colon R_k=[a^{(k)}_1,b^{(k)}_1)\times...\times[a^{(k)}_n,b^{(k)}_n)\ (k\in\Zp),A\subset\bigcup_{k=1}^\infty R_k\right\}.$$

Proof.

$\le$ は $|R_k|=\prod_{i=1}^n(b^{(k)}_i-a^{(k)}_i)$ から直ちに従う。

$\ge$ を示す。$\L^n$ はRadon外測度であるから、命題 5より $\varepsilon\gt 0$ について開集合 $U\subset\R^n$ で $A\subset U$、$|U|\le\L^n(A)+\varepsilon$ となるものが存在する。$U$ を直方体 $R_k=[a^{(k)}_1,b^{(k)}_1)\times...\times[a^{(k)}_n,b^{(k)}_n)\ (k\in\Zp)$ の非交和に分割すると $$\sum_{k=1}^\infty\prod_{k=1}^\infty(b_k-a_k)=\left|\bigcup_{k=1}^\infty R_k\right|=|U|\le\L^n(A)+\varepsilon$$ となる。これより $\ge$ も従う。

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Rademacherの定理

補題 32 (区間上の単調増加連続関数のa.e.微分可能性)

$I=(a,b)$ を開区間とする。$f\colon I\to\R$ を単調増加連続関数で、$|N|=0$ なるBorel集合 $N\subset I$ について $|f(N)|=0$ となるとすると $f$ は $I$ 上 $\L^n$ -a.e.で微分可能である。

Proof.

$x\in I$ について $$\overline{D}f(x)\colon=\limsup_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\underline{D}f(x)\colon=\liminf_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ として $|\{x\in I\colon\underline{D}f(x)\lt\overline{D}f(x)\}|=0$ を示せばよい。

必要であれば $f$ を $x\mapsto f(x)+x$ にとりかえて $\underline{D}f\gt 0$ としてよい。とくに $f$ は狭義単調増加となり、$f$ は単射で $f^{-1}\colon f(I)\to I$ も連続である。また $I$ は有界であるとしてよい。

$$\overline{D}f(x)=\inf_{k\in\Zp}\sup_{\substack{0<|h|<k^{-1},\\h\in\Q}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\underline{D}f(x)=\sup_{k\in\Zp}\inf_{\substack{0<|h|<k^{-1},\\h\in\Q}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ より $\overline{D}f$ と $\underline{D}f$ はBorel可測関数である。

$0\lt p\lt q\lt\infty$ について $$N_{p,q}\colon=\{x\in I\colon\underline{D}f(x)\lt p\lt q\lt\overline{D}f(x)\}$$ とすると $N_{p,q}$ はBorel集合であり、$f^{-1}$ は連続より $f(N_{p,q})$ もBorel集合となる。$\varepsilon\gt 0$ とし、開集合 $V\subset I$ と $W\subset f(I)$ を $N_{p,q}\subset V$、$|V\backslash N_{p,q}|\lt\varepsilon$、$f(N_{p,q})\subset W$、$|V\backslash f(N_{p,q})|\lt\varepsilon$ となるようにとって $U\colon=V\cap f^{-1}(W)$ として開集合 $U\subset I$ を定める。このとき $N_{p,q}\subset U$。 \begin{align*} \mathcal{J}^+\colon&=\left\{[x,x+h]\subset U\colon x\in N_{p,q},h\gt 0,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\gt q\right\}\cup\left\{[x+h,x]\subset U\colon x\in N_{p,q},h\lt 0,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\gt q\right\},\\ \mathcal{J}^-\colon&=\left\{[x,x+h]\subset U\colon x\in N_{p,q},h\gt 0,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lt p\right\}\cup\left\{[x+h,x]\subset U\colon x\in N_{p,q},h\lt 0,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lt p\right\} \end{align*} とする。$f$ は単調増加かつ連続より $[c,d]\subset I$ について $f([c,d])=[f(c),f(d)]$ となるので $|f([c,d])|=f(d)-f(c)$。これより $$|f(J^+)|\gt q|J^+|,|f(J^-)|\lt p|J^-|\ (J^+\in\mathcal{J}^+,J^-\in\mathcal{J}^-).$$ $x\in N_{p,q}$ について、$\underline{D}f(x)\lt p\lt q\lt\overline{D}f(x)$ より任意の $\varepsilon\gt 0$ について $h^+,h^-\in\R\backslash \{0\}$ が存在して $|h^+|,|h^-|\lt\delta$ かつ $\frac{f(x+h^+)-f(x)}{h^+}\gt q$、$\frac{f(x+h^-)-f(x)}{h^-}\lt p$。よって $[x,x+h^+]\in\mathcal{J}^+$ か $[x+h^+,x]\in\mathcal{J}^+$ のいずれかが成り立ち、$[x,x+h^-]\in\mathcal{J}^-$ か $[x+h^-,x]\in\mathcal{J}^-$ のいずれかも成り立つ。

これより高々可算な $\mathcal{I}^+\subset\mathcal{J}^+$ が存在し、$I,I'\in\mathcal{I}^+,I\neq I'\implies I\cap I'=\emptyset$ で、$|N_{p,q}\backslash\bigcup_{I\in\mathcal{I}^+}I|=0$ または $\sum_{I\in\mathcal{I}^+}\diam I=\infty$ が成り立つ。$\sum_{I\in\mathcal{I}^+}\diam I=\sum_{I\in\mathcal{I}^+}|I|\le|(a,b)|\lt\infty$ より $$\left|N_{p,q}\backslash\bigcup_{I\in\mathcal{I}^+}I\right|=0.$$ 同様に $\mathcal{I}^-\subset\mathcal{J}^-$ が存在し、$I,I'\in\mathcal{I}^-,I\neq I'\implies I\cap I'=\emptyset$ かつ $|N_{p,q}\backslash\bigcup_{I\in\mathcal{I}^-}I|=0$。

このとき $J\in \mathcal{J}^+$ について $J\subset U$ より $f(J)\subset W$ となることと $f$ は単射より $I,I'\in\mathcal{I}^+,I\neq I'\implies f(I)\cap (I')=\emptyset$ となることに注意すると $$|f(N_{p,q})|+\varepsilon\gt |W|\ge \left|f\left(\bigcup_{I\in\mathcal{I}^+}I\right)\right|=\sum_{I\in\mathcal{I}^+}|f(I)|\ge q\sum_{I\in\mathcal{I}^+}|I|=q\left|\bigcup_{I\in\mathcal{I}^+}I\right|\ge q|N_{p,q}|.$$ 一方 $|N_{p,q}\backslash\bigcup_{I\in\mathcal{I}^-}I|=0$ と仮定より $$|f(N_{p,q})|=\left|f\left(N_{p,q}\cap\bigcup_{I\in\mathcal{I}^-}I\right)\right|+\left|f\left(N_{p,q}\backslash\bigcup_{I\in\mathcal{I}^-}I\right)\right|\le \left|f\left(\bigcup_{I\in\mathcal{I}^-}I\right)\right|+0=\sum_{I\in\mathcal{I}^-}|f(I)|\le{I\in\mathcal{I}^-}p|I|\le p|V|\lt p(|N_{p,q}+\varepsilon|).$$ であるから 従って $$q|N_{p,q}|-\varepsilon\lt |f(N_{p,q})|\lt p(|N_{p,q}|+\varepsilon)$$ となり $\varepsilon\to+0$ として $$q|N_{p,q}|\le p|N_{p,q}|$$ を得る。一方 $p\lt q$ であり、$|N_{p,q}|\le|I|\lt\infty$。よって $|N_{p,q}|=0$。

$$\{x\in I\colon\underline{D}f(x)\lt\overline{D}f(x)\}=\bigcup_{\substack{0\lt p\lt q\\p,q\in\Q}}N_{p,q}$$ より $|\{x\in I\colon\underline{D}f(x)\lt\overline{D}f(x)\}|=0$ が成り立つ。

□

定理 33 (Rademacherの定理)

$\Omega\subset\R^n$ を開集合とし、$f\in C^{0,1}(\Omega)$ とすると $f$ は $\Omega$ 上 $\L^n$ -a.e.で微分可能である。

Proof.

$\Omega$ が凸かつ $f\in C^{0,1}(\Ombar)$ の場合を示せばよい。

1次元の場合を示す。$M\gt[f]_{0,1\colon \Omega}=L(f)$ とすると $g(x)=f(x)+Mx$ は $\Omega$ 上単調増加かつLipschitz連続であり、$|N|=0$ なるBorel集合 $N\subset\R^n$ について命題 12より$|g(N)|=0$。補題 32より $g$ は $\Omega$ 上a.e.で微分可能であり、$f$ も $\Omega$ 上a.e.で微分可能である。

一般の場合を示す。$v\in\R^n$、$|v|=1$ と $x\in\pi_v\colon=\{x\in\R^n\colon v\cdot x=0\}$ について $I_{v,x}\colon=\{t\colon x+tv\in\Omega\}$ とすると $\Omega$ は開かつ凸より $I_{v,x}$ は開区間であり、$g_{v,x}(t)\colon=f(x+tv)\ (t\in I_{v,x})$ とすると $g_{v,x}\in C^{0,1}(\overline{I_{v,x}})$ となり $g_{v,x}$ は $I_{v,x}$ 上 $\L^n$ -a.e.で微分可能である。Tonelliの定理より $f$ は $\Omega$ 上 $\L^n$ -a.e.で $v$-方向微分可能である。また $v=e_1,...,e_n$ ととることにより $f$ は $\Omega$ 上 $\L^n$ -a.e.で偏微分可能である。

$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ を任意にとる。$f$ の $v$-方向微分を $D_vf$ と表すと $$\int_\Omega D_vf\varphi=\lim_{h\to 0}\int_\Omega \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}\varphi(x)dx=\lim_{h\to 0}\int_\Omega f(x)\frac{\varphi(x-hv)-\varphi(x)}{h}dx=-\int_{\Omega} fv\cdot D\varphi.$$ ここで $|\frac{f(x+hv)-f(x)}{h}|\le L$、$|\frac{\varphi(x-hv)-\varphi(x)}{h}|\le [\varphi]_{1\colon \Omega}$ によりLebesgueの収束定理を用いた。$v=e_1,...,e_n$ ととることにより $\int_\Omega D_if\varphi=-\int_\Omega fD_i\varphi$ となるので $$\int_\Omega D_vf\varphi=\int (v\cdot Df)\varphi.$$ 変分学の基本補題(超関数の定義と基本操作の命題5.3)より $$D_vf=v\cdot Df\quad \L^n-\ae\on\Omega.$$ 最後に、$k\in\Zp$ として $\{v\in\R^n\colon|v|=1\}$ の有限部分集合 $S_k$ を任意の $w\in\R^n$、$|w|=1$ について $v\in S_\varepsilon$ で $|v-w|\lt k^{-1}$ となるものが存在するようにとり $S\colon=\bigcup_{k=1}^\infty S_k$ とすると $D_vf=v\cdot Df\ (\forall v\in S)$ が $\Omega$ 上 $\L^n$ -a.e.で成り立ち、そのような $x\in\Omega$ について $w\in\R^n$、$k\in\Zp$ として $v\in S_k$ を $|v-w|\lt k^{-1}$ となるようにとると十分小さい $r\gt 0$ と $h\in\R\backslash\{0\}$、$|h|\lt r$ について \begin{align*} |\frac{f(x+hw)-f(x)-hw\cdot Df(x)}{h}|&\le|\frac{f(x+hv)-f(x)-hv\cdot Df(x)}{h}|+|\frac{f(x+hw)-f(x+hv)}{h}|+|(w-v)\cdot Df(x)|\\ &\le|\frac{f(x+hv)-f(x)-hv\cdot Df(x)}{h}|+(L+|Df(x)|)k^{-1}. \end{align*} 従って \begin{align*} \limsup_{w\to 0}\frac{|f(x+w)-f(x)-hw\cdot Df(x)|}{|w|}&=\limsup_{h\to 0}\sup_{|w|=1}|\frac{f(x+hv)-f(x)-hv\cdot Df(x)}{h}|\\ &\le\limsup_{h\to 0}\max_{v\in S_k}|\frac{f(x+hv)-f(x)-hv\cdot Df(x)}{h}|+(L+|Df(x)|)k^{-1}\\ &\le(L+|Df(x)|)k^{-1}. \end{align*} $k\to\infty$ として $\limsup_{w\to 0}\frac{|f(x+w)-f(x)-hw\cdot Df(x)|}{|w|}\le 0$ となる。これより $f$ は $\Omega$ 上a.e.で微分可能である。

□

参考

$C^{0,1}(\Omega)=W^{1,\infty}_{\loc}(\Omega)$ を示し、$p\gt n$ のとき $f\in W^{1,p}_{\loc}(\Omega)$ が $\L^n$ -a.e.で微分可能であることを示すことによってもRademacherの定理を証明することができる。

area coarea formula

補題 34 (Binet-Cauchyの公式)

$m\le n$ とする。$A=(a_{i,j})_{1\le i\le n,1\le j\le m},B=(b_{i,j})_{1\le i\le n,1\le j\le m}\in M_{n,m}(\R)$ について $$\det{}^t\!AB=\sum_{\lambda\in\Lambda(m,n)}(\det(a_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m})(\det(b_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}).$$ ここで $\Lambda(m,n)\colon=\{\lambda\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}\ \colon\ 1\le i\lt j\le m\implies\lambda(i)\lt\lambda(j)\}$ である。

Proof.

$S_m$ で $m$ 次対称群を表す。 $${}^t\!AB=\left(\sum_{k=1}^n a_{k,i}b_{k,j}\right)_{1\le i,j\le m}$$ であるから \begin{align*} \det{}^t\!AB&=\sum_{\sigma\in S_m}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^m\sum_{k=1}^n a_{k,i}b_{k,\sigma(i)}\\ &=\sum_{\sigma\in S_m}\sgn(\sigma)\sum_{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}}\prod_{i=1}^m a_{k(i),i}b_{k(i),\sigma(i)}\\ &=\sum_{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}}\sum_{\sigma\in S_m}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^m a_{k(i),i}b_{k(i),\sigma(i)}\\ &=\sum_{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}}\sum_{\sigma\in S_m}\sgn(\sigma)\left(\prod_{i=1}^m a_{k(i),i}\right)\left(\prod_{i=1}^m b_{k(i),\sigma(i)}\right)\\ &=\sum_{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}}\left(\prod_{i=1}^m a_{k(i),i}\right)\sum_{\sigma\in S_m}\sgn(\sigma)\left(\prod_{i=1}^m b_{k(i),\sigma(i)}\right)\\ &=\sum_{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}}\left(\prod_{i=1}^m a_{k(i),i}\right)\det(b_{k(i),j})_{1\le i,j\le m}. \end{align*} ここで、$k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}$ が単射でなければ $\det(b_{k(i),j})_{1\le i,j\le m}=0$。また $k$ が単射であるとき $k$ は $\tau\in S_m$ と $\lambda\in\Lambda(n,m)$ を用いて $k=\lambda\circ\tau$ と一意的に表せ 、逆に $\tau\in S_m$ と $\lambda\in\Lambda(n,m)$ について $\lambda\circ\tau$ は単射である。これより \begin{align*} \det{}^t\!AB&=\sum_{\substack{k\colon\{1,...,m\}\to\{1,...,n\}\\ 単射}}\left(\prod_{i=1}^ma_{k(i),i}\right)\det(b_{k(i),j})_{1\le i,j\le m}\\ &=\sum_{\lambda\in\Lambda(m,n)}\sum_{\tau\in S_n}\left(\prod_{i=1}^m a_{\lambda(\tau(i)),i}\right)\det(b_{\lambda(\tau(i)),j})_{1\le i,j\le m}\\ &=\sum_{\lambda\in\Lambda(m,n)}\sum_{\tau\in S_n}\left(\prod_{i=1}^m a_{\lambda(\tau(i)),i}\right)\sgn(\tau)\det(b_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}\\ &=\sum_{\lambda\in\Lambda(m,n)}\det(a_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}\det(b_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}. \end{align*}

□

注意

$m\ge n$ のときは転置により $$\det A{}^t\!B=\sum_{\lambda\in\Lambda(n,m)}(\det(a_{i,\lambda(j)})_{1\le i,j\le n})(\det(b_{i,\lambda(j)})_{1\le i,j\le n})$$ となる。

定義 35 (Jacobian)

Binet-Cauchyの公式より $A\in M_{n,m}(\R)$ について $m\le n$ のときは $$\det{}^t\!AA=\sum_{\lambda\in\Lambda(m,n)}(\det(a_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m})^2\ge 0,$$ $m\ge n$ のときは $$\det A{}^t\!A=\sum_{\lambda\in\Lambda(n,m)}(\det(a_{i,\lambda(j)})_{1\le i,j\le n})^2\ge 0$$ となる。そこで $$JA\colon= \begin{cases} (\det{}^t\!AA)^\frac{1}{2}&\colon m\le n\\ (\det A{}^t\!A)^\frac{1}{2}&\colon m\ge n \end{cases} $$ と定め、$A$ のJacobianという。

$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ は $x\in\Omega$ で微分可能であるとする。このとき $$J\psi(x)\colon=JD\psi(x)$$ と定め、$\psi$ の $x$ におけるJacobianという。

注意

$m=n$ のときは $\det{}^t\!AA=\det A{}^t\!A=(\det A)^2$ より $JA=|\det A|$ である。また一般に $JA=J{}^t\!A$ が成り立つ。

命題 36

$A\in M_{n,m}(\R)$ とする。$\operatorname{rank}A=\min\{m,n\}$ であることは $JA\gt 0$ と同値である。

Proof.

• $m\le n$ のとき、$JA\gt 0$ はある $\lambda\in\Lambda(a,b)$ が存在して $\det(a_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}\neq 0$ となることと同値である。$(a_{\lambda(i),j})_{1\le i,j\le m}$ は $P_\lambda A$、$P_\lambda\colon=(\delta_{\lambda(i),j})_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ と表され、$\operatorname{rank}A\ge\operatorname{rank}P_\lambda A$ となるので $\operatorname{rank}P_\lambda A=m\implies \operatorname{rank}A=m$。一方、$\operatorname{rank}A=m$ とすると、$\Im A$ はどの $\R^n$ の $m-1$ 次元部分空間にも含まれない。とくに少なくとも $m$ 個の $i=1,...,n$ について $\Im A\not\subset\{x\in\R^n\colon x_i=0\}$。$\lambda\in\Lambda(m,n)$ を $i=1,...,m$ がすべて $\Im A\not\subset\{x\in\R^n\colon x_{\lambda(i)}=0\}$ をみたすようにとれば $i=1,...,m$ について $\Im P_\lambda A\not\subset\{x\in\R^m\colon x_i=0\}$。よって $\Im P_\lambda A=\R^m$となり $\det P_\lambda A\neq 0$。これより $JA\gt 0$。
• $m\ge n$ のときは $JA=J{}^t\!A$ と $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}{}^t\!A$ より ${}^t\!A$ を考えることで $m\le n$ の場合に帰着する。

□

補題 37 (線型写像の像のHausdorff測度)

$m\le n$ とする。$M\in M_{n,m}(\R)$、$JM\gt 0$ とする。$\L^m$ -可測集合 $A\subset\R^m$ について $$\H^m(M(A))=JM|A|.$$

Proof.

$A$ がBorel集合の場合を示す。

$O(\Im M)=\{(x_1,...,x_n)\in\R^n\colon x_{m+1}=...=x_n=0\}$ なる直交行列 $O\in O(n)$ をとる。このとき $OM$ は $OM=\left(\begin{array}{ccc}N\\ 0\end{array}\right)$、$N\in M_m(\R)$ と表され、 $(\det N)^2=\det({}^t\! N\quad 0)\left(\begin{array}{ccc}N\\ 0\end{array}\right)=\det{}^t\! O{}^t\! MMO=(JM)^2$ となり $JM=|\det N|$。また、$\{(x_1,...,x_n)\in\R^n\colon x_{m+1}=...=x_n=0\}$ から $\R^m$ への等長写像 $i(x_1,...,x_m,0,...,0)=(x_1,...,x_m)$ により $OM(A)$ は $N(A)$ に移るので命題 12より $$|N(A)|=\H^m(OM(A))=\H^m(M(A)).$$ $|N(A)|=|\det N||A|=JM|A|$ より $JM|A|=\H^m(M(A))$ となる。

一般の場合を示す。Borel集合 $B\subset\R^n$ で $B\subset A$、$|A\backslash B|=0$ となるものが存在し、$\H^m(M(B))=JM|B|=JM|A|$ かつ $M$ はLipschitz写像より $\H^m(M(A\backslash B))=0$ であるから $$JM|A|=\H^m(M(B))\le\H^m(M(A))\le\H^m(M(B))+\H^m(M(A\backslash B))=JM|A|.$$

□

補題 38 (Lipschitz「媒介変数定理」)

$m\le n$ とする。$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ をLipschitz写像とする。 $$A\colon=\{x\in\Omega\colon \psi\ は\ x\ で微分可能で\ J\psi(x)\gt 0\}$$ とする( $J\psi$ はBorel可測関数であるから $A$ はBorel集合である。)。任意の $t\gt 1$ についてBorel集合 $E_k\subset A\ (k\in\Zp)$ と $M_k\in M_{n,m}(\R)\ (k\in\Zp)$ が存在して次をみたす:

• $A=\bigcup_{k=1}^\infty E_k$。
• $$t^{-m}JM_k\lt\ J\psi(y)\lt t^mJM_k\on E_k.$$

とくに $\operatorname{rank}M_k=m$。

• $\psi|_{E_k}$ は単射で、$(\psi|_{E_k})^{-1}$ もLipschitz写像である。
• $$L(\psi|_{E_k}\circ M_k^{-1})\lt t,L(M_k\circ(\psi|_{E_k})^{-1})\lt t.$$

Proof.

$$\delta(M)\colon=\inf_{x\in\R^m\backslash\{0\}}\frac{|Mx|}{|x|}=\inf_{\substack{x\in\R^m,\\|x|=1}}|Mx|$$ とする。$JM\gt 0$ であれば $\{x\in\R^m\colon|x|=1\}$ がコンパクトであることから $\delta(M)\gt 0$。また各 $x\in\R^m$ について $(M,x)\mapsto Mx$ は $M_{n,m}(\R)\times\{x\in\R^m\colon|x|=1\}$ 上で連続であるから、$\delta$ は $M_{n,m}(\R)$ 上で連続である。

$\varepsilon\gt 0$ を十分小さくとり $1+\varepsilon\lt t$、$1-\varepsilon\gt t^{-1}$ となるようにする。$x\in\Omega$ と $M\in M_{n,m}(\R)$、$JM\gt 0$ と $j\in\Zp$ について $$E(x,M,j)\colon=\{y\in A\colon y\in B_{2^{-j-1}}(x),t^{-m}JM\le J\psi(y)^m\le tJM,|\psi(z)-\psi(y)-M(z-y)|\le \varepsilon\delta(M)|z-y|\ (\forall z\in B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega\cap\Q^n)\}$$ とする。$E(x,M,j)$ はBorel集合であり、$y\in E(x,M,j)$ について $B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega\cap\Q^n\subset B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega$ は稠密であるから任意の $z\in B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega$ について $|\psi(z)-\psi(y)-M(z-y)|\le \varepsilon\delta(M)|z-y|$ が成り立つ。また $y\in B_{2^{-j-1}}(x)$ より $E(x,M,j)\subset B_{2^{-j-1}}(x)\cap A\subset B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega$。よって $$|\psi(y)-\psi(z)-M(y-z)|\le \varepsilon\delta(M)|y-z|\ (\forall y,z\in E(x,M,j)).$$

$y,z\in M(E(x,m,j))$ について $\delta(M)|M^{-1}y-M^{-1}z|\le|y-z|$ で、 $$|\psi(M^{-1}y)-\psi(M^{-1}z)-(y-z)|\le\varepsilon\delta(M)|M^{-1}y-M^{-1}z|\le\varepsilon|y-z|\label{lipparineq}\tag{*}$$ であるから $$(1-\varepsilon)|y-z|\le|\psi(M^{-1}y)-\psi(M^{-1}z)|\le(1+\varepsilon)|y-z|.$$ よって $\psi\circ M^{-1}\colon M(E(x,m,j))\to\R^n$ は単射であり、$\psi$ も単射である。またこの不等式より $$L(\psi|_{E(x,M,j)}\circ M^{-1})\le 1+\varepsilon\lt t,L(M\circ(\psi|_{E(x,M,j)})^{-1})\ge 1-\varepsilon\gt t^{-1}.$$ また $L(M^{-1})=\frac{1}{\delta(M)}\lt\infty$ であるから $(\psi|_{E(x,M,j)})^{-1}=M^{-1}\circ(M\circ(\psi|_{E(x,M,j)})^{-1})$ もLipschitz写像である。

$$\mathcal{E}\colon=\{E(x,M,j)\colon x\in\Omega\cap\Q^m,M\in M_{n,m}(\Q),JM\gt 0,j\in\Zp\}$$ とする。$M_{n,m}(\Q)\subset M_{n,m}(\R)$ は稠密で、$M\mapsto JM$ と $M\mapsto\delta(M)$ は $M_{n,m}(\R)$ 上で連続であるから、$y\in A$ について $M\in M_{n,m}(\Q)$ を $$|M-D\psi(y)|\lt\frac{1}{4}\varepsilon\delta(D\psi(y)),t^{-m}J\psi(y)\lt JM\lt t^mJ\psi(y),\delta(M)\gt\frac{1}{2}\delta(D\psi(y))$$ となるようにとれる。このとき $t^{-m}J\psi(y)\lt JM\lt t^mJ\psi(y)$。また $|M-D\psi(y)|\lt\frac{1}{2}\varepsilon\delta(M)|y-z|$ で、$j\in\Zp$ を十分大きくとると $$|\psi(z)-\psi(y)-D\psi(y)(z-y)|\le\frac{1}{2}\varepsilon\delta(M)|y-z|\ (\forall z\in B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega)$$ となり、$z\in B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega$ について \begin{align*} |\psi(z)-\psi(y)-M(z-y)|&\le|\psi(z)-\psi(y)-D\psi(y)(z-y)|+|D\psi(y)-M||y-z|\\ &\le\frac{1}{2}\varepsilon\delta(M)|y-z|+\frac{1}{2}\varepsilon\delta(M)|y-z|\\ &=\varepsilon\delta(M)|y-z|. \end{align*} $\Omega\cap\Q^n\subset\Omega$ は稠密であるから $x\in\Omega\cap\Q^n$ を $|x-y|\lt 2^{-j-1}$ となるようにとれば $y\in E(x,M,j)$。従って $$A\subset\bigcup_{E\in\mathcal{E}}E.$$ 以上より $\mathcal{E}$ を $\{E_k\}_{k=1}^\infty$、$E_k=E(x_k,M_k,j_k)\ (k\in\Zp)$ と番号づければこの $E_k$ と $M_k$ が条件をみたす。

□

定理 39 (area formula)

$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ をLipschitz写像とし、$A\subset\Omega$ を $\L^m$ -可測集合とする。 $$\int_{\R^n}\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^m(y)=\int_A J\psi.$$ とくに $\L^m$ -可測集合 $E\subset A$ が存在して $|A\backslash E|=0$ かつ $\psi|_E$ が単射となるとき $$\H^m(\psi(A))=\int_A J\psi.$$

Proof.

$J\psi\gt 0\on A$ の場合を示す。

$t\gt 1$ として補題 38の $E_k\subset A$ と $M_k\in M_{n,m}(\R)$ をとる。$E_k$ を $E_k\backslash\bigcup_{l=1}^{k-1}E_l$ にとりかえて $k\neq l\implies E_k\cap E_l=\emptyset$ としてよい。 定理 19の証明の $G_{j,k}$ をとり $j\in\Zp$ について $$\left\{\left(A\cap E_k\cap\bigcap_{k_1,...,k_j=1}^\infty G_{j,k_j},M_k\right)\right\}_{k,k_1,...,k_j\in\Zp,x\in 2^{-j}\Z^m}$$ を番号づけて $\{(F_{j,k},N_{j,k})\}_{k=1}^\infty$ とする。$\{(F_{j,k},N_{j,k})\}_{k=1}^\infty$ は次をみたす:

• $$j\in\Zp\ について\ A=\bigcup_{k=1}^\infty F_{j,k}。\ \tag{1}\label{1}$$
• $$j,k\in\Zp\ について\ t^{-m}JN_k\lt J\psi\lt t^mJN_k\on F_{j,k}。\ \tag{2}\label{2}$$
• $$j,k\in\Zp\ について\ \psi|_{F_{j,k}}\ は単射で、\ (\psi|_{F_{j,k}})^{-1}\ も\rm{Lipschitz}写像。\tag{3}\label{3}$$
• $$j,k\in\Zp\ について\ L(\psi|_{F_{j,k}}\circ N_{j,k}^{-1})\lt t,L(N_{j,k}\circ(\psi|_{F_{j,k}})^{-1})\lt t。\tag{4}\label{4}$$
• $$j\in\Zp\ について\ k\neq k'\implies F_{j,k}\cap F_{j,k'}=\emptyset。\tag{5}\label{5}$$
• $$j,k,l\in\Zp\ について\ F_{j,k}\cap F_{j+1,l}\neq\emptyset\implies F_{j+1,l}\subset F_{j,k}。\tag{6}\label{6}$$
• $$j,k\in\Zp\ について\ \diam F_{j,k}\le m^\frac{1}{2}2^{-j}。\tag{7}\label{7}$$

$j,k\in\Zp$ とする。補題 37より $\H^m(N_{j,k}(F_{j,k}))=|JN_{j,k}||F_{j,k}|$ で、(\ref{2})より $$t^{-m}\H^m(N_{j,k}(F_{j,k}))\le t^m|JN_{j,k}||F_{j,k}|\le\int_{F_{j,k}}J\psi\le t^m|JN_{j,k}||F_{j,k}|=t^m\H^m(N_{j,k}(F_{j,k})).$$ (\ref{4})と命題 12より \begin{align*} t^{-2m}\H^m(\psi(F_{j,k}))&=t^{-2m}\H^m((N_{j,k}\circ(\psi|_{F_{j,k}}))(N_{j,k}(F_{j,k})))\\ &\le t^{-m}\H^m(N_{j,k}(F_{j,k}))\\ &\le \int_{F_{j,k}}J\psi\\ &\le t^m\H^m(N_{j,k}(F_{j,k}))\\ &=t^m\H^m((N_{j,k}\circ(\psi|_{F_{j,k}})^{-1})(\psi(F_{j,k})))\\ &\le t^{2m}\H^m(\psi(F_{j,k})). \end{align*} (\ref{1})と(\ref{5})より $k$ について加えれば $$t^{-2m}\sum_{k=1}^\infty\H^m(\psi(F_{j,k}))\le\int_A J\psi\le t^{2m}\sum_{k=1}^\infty\H^m(\psi(F_{j,k})).$$ (\ref{5})、(\ref{6})、(\ref{7})と補題 18と単調収束定理により $$\sum_{k=1}^\infty\H^m(\psi(F_{j,k}))=\int_{\R^n}\sum_{k=1}^\infty\chi_{\psi(F_{j,k})}d\H^m\to\int_{\R^n}\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^m(y)\ (j\to\infty).$$ よって $j\to\infty$、$t\to 1+0$ とすれば $$\int_A J\psi =\int_{\R^n}\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)d\H^m(y).$$ $J\psi=0\on A$ の場合を示す。$\varepsilon\in (0,1)$ とすると $x\in A$ について $$D(\psi,\varepsilon I)(x)=\left(\begin{array}{ccc}D\psi(x)\\ \varepsilon I\end{array}\right)$$ であるからBinet-Cauchyの公式より $$0\lt J(\psi,\varepsilon I)\le (J\psi+C\varepsilon^2)^\frac{1}{2}\le C\varepsilon\on A.$$ $(\psi,\varepsilon I)$ は単射であるから $\#((\psi,\varepsilon I)(\{\cdot\})\cap A)=\chi_{(\psi,\varepsilon)(A)}$ であり、$D\psi\gt 0$ の場合より $$\H^m((\psi,\varepsilon I)(A))=\int_{A}J(\psi,\varepsilon)\le C\varepsilon|A|$$ で、$\psi(A)=P((\psi,\varepsilon I)(A))$、$P(x,y)\colon=x\ (x\in\R^n,y\in\R^m)$ であるから命題 12より $$\H^m(\psi(A))\le\H^m((\psi,\varepsilon I)(A))\le C\varepsilon|A|.$$ $\varepsilon\to +0$ として $\H^m(\psi(A))=0$ を得る。$\#(\psi(\{\cdot\})\cap A)=0\on\R^n\backslash\psi(A)$ であるから $\#(\psi(\{\cdot\})\cap A)=0\ \H^m-\ae\on\R^m$。これより $$\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A)d\H^m(y)=0=\int_A J\psi.$$ 一般の場合は $A$ を $A_1\colon=\{x\in A\colon J\psi\gt 0\}$ と $A_2\colon=\{x\in A\colon J\psi=0\}$ と $A_3\colon=A\backslash(A_1\cup A_2)=\{x\in A\colon \psi\ は\ x\ で微分不可能\}$ に分割すると $$\int_{A_1}J\psi=\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_1)d\H^m(y),\int_{A_2}J\psi=0=\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_2)d\H^m(y)$$ で、Rademacherの定理より $|A_3|=0$ であるから定理 19より $$\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_3)d\H^m(y)\le L(\psi)^m|A_3|=0$$ となり $$\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_3)d\H^m(y)=0=\int_{A_3}J\psi.$$ 従って \begin{align*} \int_A J\psi&=\int_{A_1}J\psi+\int_{A_2}J\psi+\int_{A_3}J\psi\\ &=\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_1)d\H^m(y)+\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_2)d\H^m(y)+\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A_3)d\H^m(y)\\ &=\int_{\R^n}\#(\psi(\{y\})\cap A)d\H^m(y). \end{align*}

$\L^m$ -可測集合 $E\subset A$ が存在して $|A\backslash E|=0$ かつ $\psi|_E$ が単射になるとする。命題 12より $$\H^m(\psi(A\backslash E))\le L(\psi)^m|A\backslash E|=0.$$ $y\in\R^n\backslash\psi(A\backslash E)$ とすると $x\in A\backslash E$ で $\psi(x)=y$ となるものは存在しないので $\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)=\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap E)$。よって $\#(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap A)=\#(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap E)\ \H^m-\ae\on\R^n$ であり、$\psi|_E$ は単射であるから $\#(\psi^{-1}(\{\cdot\})\cap E)=\chi_{\psi(E)}$。よって $$\int_A J\psi=\int_E J\psi=\H^m(\psi(E))=\H^m(\psi(A)).$$

□

系 40 (変数変換公式)

$f$ を $\Omega$ 上の非負値 $\L^m$ -可測関数とすると $\R^n$ 上の関数 $y\mapsto\sum_{x\in\psi^{-1}(\{y\})}f(x)$ は $\H^m$ -可測で $$\int_{\R^n} \sum_{x\in\psi^{-1}(\{y\})}f(x)d\H^m(y)=\int_\Omega fJ\psi.$$ とくに $A\subset\Omega$ が$\L^n$ -可測集合で $\psi|_A$ が単射となるとき $$\int_{\psi(A)} f(\psi^{-1}(y))d\H^m(y)=\int_A fJ\psi.$$

Proof.

前半を示す。$E\subset\R^m$ を $\L^m$ -可測集合として $f=\chi_E$ について示せば十分。area formulaより $$\int_E J\psi=\int_{\R^n}\#(\psi^{-1}(\{y\})\cap E)dy=\int_{\R^n}\sum_{x\in\psi^{-1}(\{y\})}\chi_E(x)dy.$$ 後半を示す。$f=0\on \Omega\backslash A$ としてよい。このとき $\sum_{x\in\psi^{-1}(\{\cdot\})}f(x)=0\ \on\R^n\backslash \psi(A)$。また $y\in \psi(A)$ について $\sum_{x\in\psi^{-1}(\{y\})}f(x)=f(\psi^{-1}(y))$。これより $$\int_{\psi(A)}f(\psi^{-1}(y))d\H^m(y)=\int_\Omega fJ\psi=\int_A fJ\psi.$$

□

補題 41 (Lipschitz陰関数定理)

$m\ge n$ とする。$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ をLipschitz写像とする。 $$A\colon=\{x\in\Omega\colon \psi\ は\ x\ で微分可能で\ J\psi(x)\gt 0\}$$ とする。任意の $t\ge 1$ についてBorel集合 $D_k\subset A\ (k\in\Zp)$ と $L_k\in M_{n,m}(\R)\ (k\in\Zp)$ と $P_k\in M_{m-n,m}(\R)\ (k\in\Zp)$ が存在して次をみたす:

• $A=\bigcup_{k=1}^\infty D_k$。
• $M_k\colon=\left(\begin{array}{ccc}L_k\\ P_k\end{array}\right)\in GL_m(\R)$。とくに $JL_k\gt 0$。
• $P_k{}^t\! P_k=I_{m-n}$。とくに $JP_k=1$。
• $L_k{}^t\! P_k=0$。
• $$t^{-m}J\psi\lt\left|\det\left(\begin{array}{ccc}D\psi\\ P\end{array}\right)\right|\lt t^mJ\psi\on D_k.$$
• $(\psi,P_k)|_{D_k}$ は単射で、$((\psi,P_k)|_{D_k})^{-1}$ もLipschitz写像である。
• $$L(M_k^{-1}\circ(\psi,P_k)|_{D_k})\lt t,L(((\psi,P_k)|_{D_k})^{-1}\circ M_k)\lt t.$$

Proof.

$\varepsilon$ を補題 38の証明と同様にとる。

$$\mathcal{M}\colon=\left\{(L,P)\in M_{n,m}(\R)\times M_{m-n,m}(\R)\colon JL\gt 0,P{}^t\! P=I_{m-n},L{}^t\! P=0\right\}$$ とする。$(L,P)\in\mathcal{M}$ について $M\colon=\left(\begin{array}{ccc}L\\ P\end{array}\right)$ とすると $$(\det M)^2=\det\left(\begin{array}{ccc}L\\ P\end{array}\right)({}^t\! L\quad {}^t\! P)=\det\left(\begin{array}{ccc} L{}^t\! L & 0\\0 & I_{m-n}\end{array}\right)=(JL)^2\gt 0.\label{jacobeq}\tag{**}$$ よって $M\in GL_m(\R)$。

$x\in A_P\colon=\left\{x\in A\colon\left(\begin{array}{ccc}D\psi(x)\\ P\end{array}\right)\in GL_m(\R)\right\}$、$j\in\Zp$ について $$D(L,P,x,j)\colon=\left\{y\in A_P\colon y\in B_{2^{-j-1}}(x),t^{-m}J\psi(y)\le\left|\det\left(\begin{array}{ccc}D\psi(y)\\ P\end{array}\right)\right|\le t^mJ\psi(y),|\psi(z)-\psi(y)-L(z-y)|\le \varepsilon\delta(M)|z-y|\ (\forall z\in B_{2^{-j}}(y)\cap\Omega\cap\Q^n)\right\}$$ とする。$y\in D(L,P,x,j)$ について $|(\psi(z),Pz)-(\psi(y),Py)-M(z-y)|\le \varepsilon\delta(M)|z-y|\ (\forall z\in B_{2^{-j}}\cap\Omega)$ となるので、補題 38の証明の(\ref{lipparineq})より $$|M^{-1}(\psi(y),Py)-M^{-1}(\psi(z),Pz)-(y-z)|\le\frac{1}{\delta(M)}|(\psi(y),Py)-(\psi(z),Pz)-M^{-1}(y-z)|\le\varepsilon|y-z|\ (\forall y,z\in D(L,P,x,j))$$ となり $$(1-\varepsilon)|y-z|\le|M^{-1}(\psi(y),Py)-M^{-1}(\psi(z),Pz)|\le(1+\varepsilon)|y-z|\ (\forall y,z\in D(L,P,x,j)).$$ よって $M^{-1}\circ(\psi,P)|_{D(L,P,x,j)}$ は単射で、 $$L(M^{-1}\circ(\psi,P)|_{D(L,P,x,j)})\le 1+\varepsilon\lt t,L(((\psi,P)|_{D(L,P,x,j)})^{-1}\circ M)\le (1-\varepsilon)^{-1}\lt t.$$ これより $(\psi,P)|_{D(L,P,x,j)}$ も単射で $(\psi,P)|_{D(L,P,x,j)}$ と $((\psi,P)|_{D(L,P,x,j)})^{-1}$ もLipschitz写像である。

$\mathcal{M'}\subset\mathcal{M}$ を可算稠密部分集合とし、$\D\colon=\{D(L,P,x,j)\colon(L,P)\in\mathcal{M'},x\in\Omega\cap\Q^m,j\in\Zp\}$ とする。

$y\in A$ とする。$J\psi(y)\gt 0$ より $\dim\Ker D\psi(y)=m-n$。$O_y(\Ker D\psi(y))=\{(x_1,...,x_m)\colon x_1=...=x_n=0\}$ なる直交行列 $O_y\in O(m)$ をとり、$Q\colon=(\delta_{i+n,j})\in M_{m-n,m}(\R)$ として $P_y\colon=QO_y$ とする。

$Q{}^t\! Q=I_{m-n}$ であるから $$P_y{}^t\! P_y=QO_y{}^t\! O_y{}^t\! Q=Q{}^t\! Q=I_{m-n}.$$ また $\Im{}^t\! Q=\{(x_1,...,x_m)\colon x_1=...=x_n=0\}=O_y(\Ker D\psi(y))$ であるから $$\Im D\psi(y){}^t\! P_y=\Im D\psi(y){}^t\! O_y{}^t\! Q=D\psi(y){}^t\! O_y(\{(x_1,...,x_m)\colon x_1=...=x_n=0\})=D\psi(y)(\Ker D\psi(y))=\{0\}.$$ よって $(D\psi(y),P_y)\in\mathcal{M}$。

(\ref{jacobeq})より $J\psi(y)=\left|\det\left(\begin{array}{ccc}D\psi(y)\\ P_y\end{array}\right)\right|$ となることに注意すると、$(L,P)\in\mathcal{M}'$ を $$|L-D\psi(y)|\lt\frac{1}{4}\varepsilon\delta\left(\left(\begin{array}{ccc}D\psi(y)\\ P_y\end{array}\right)\right),t^{-m}J\psi(y)\lt\left|\det\left(\begin{array}{ccc}D\psi(y)\\ P\end{array}\right)\right|\lt t^mJ\psi(y),\delta\left(\left(\begin{array}{ccc}L\\ P\end{array}\right)\right)\gt\frac{1}{2}\delta\left(\left(\begin{array}{ccc}D\psi(y)\\ P_y\end{array}\right)\right)$$ となるようにとれる。このとき $y\in A_P$ で、補題 38の証明と同様に $j$ を十分大きくとって $x\in\Omega\cap\Q^m$ を $y$ に十分近くとれば $y\in D(L,P,x,j)$ となる。従って $$A\subset\bigcup_{D\in\D}D.$$ 以上より $\D$ を $\{D_k\}_{k=1}^\infty=\{D(L_k,P_k,x_k,j_k)\}_{k=1}^\infty$ と番号づければこの $\{D_k\}_{k=1}^\infty$ と $\{L_k\}_{k=1}^\infty$ と $\{P_k\}_{k=1}^\infty$ が条件をみたす。

□

定理 42 (coarea formula)

$m\gt n$ とする。$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ をLipschitz写像とする。$A\subset\Omega$ を$\L^m$ -可測集合とすると $$\int_A J\psi=\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)dy.$$

Proof.

$Jf\gt 0\on A$ の場合を示す。

$t\gt 1$ として補題 41の $D_k$、$L_k$、$P_k\ (k\in\Zp)$ をとる。$j\neq k\implies D_j\cap D_k=\emptyset$ としてよい。

各 $k\in\Zp$ について $$\left(\begin{array}{c}L_k\\P_k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{}^t\! L_k(L_k{}^t\! L_k)^{-1} & {}^t\! P_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I_n & 0\\0 & I_{m-n}\end{array}\right)=I_m$$ より $M_k^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{}^t\! L_k(L_k{}^t\! L_k)^{-1} & {}^t\! P_k\end{array}\right)$ となるので \begin{align*} |(\psi,P_k)(D_k)|&=\int_{\R^n}|\{z\in\R^{m-n}\colon (y,z)\in(\psi,P_k)(D_k)\}|dy\\ &=\int_{\R^n}|\{z\in\R^{m-n}\colon\exists x\in D_k\ \psi(x)=y,z=P_kx\})|dy\\ &=\int_{\R^n}\frac{1}{|J{}^t\! P_k|}|P_k(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)|dy\\ &=\int_{\R^n}\H^{m-n}({}^t\! P_kP_k(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k))dy\\ &=\int_{\R^n}\H^{m-n}({}^t\! L_k(L_k{}^t\! L_k)^{-1}y+{}^t\! P_kP_k(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k))dy\\ &=\int_{\R^n}\H^{m-n}(M_k^{-1}(\{y\}\times P_k(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)))dy\\ &=\int_{\R^n}\H^{m-n}((M_k^{-1}\circ(\psi,P_k))(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k))dy \end{align*} で $L(M_k^{-1}\circ(\psi,P_k)|_{D_k})\lt t$、$L(((\psi,P_k)|_{D_k})^{-1}\circ M_k)\lt t$ であるから $$t^{n-m}\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)dy\le|(\psi,P_k)(D_k)|\le t^{m-n}\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)dy$$ 一方area formulaより $$|(\psi,P_k)(D_k)|=\int_{D_k}\left|\det\left(\begin{array}{c}D\psi\\P_k\end{array}\right)\right|$$ であるから $t^{-m}J\psi\lt\left|\det\left(\begin{array}{ccc}D\psi\\ P\end{array}\right)\right|\lt t^mJ\psi$ より $$t^{-m}|(\psi,P_k)(D_k)|\le\int_{D_k}J\psi\le t^m|(\psi,P_k)(D_k)|.$$ 従って $$t^{n-2m}\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)dy\le\int_{D_k}J\psi\le t^{2m-n}\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap D_k)dy.$$ $k$ について加えて $t\to 1+0$ とすれば $$\int_A J\psi=\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)dy$$ を得る。

$J\psi=0\on A$ の場合を示す。$\varepsilon\in(0,1)$ とし、$\psi_\varepsilon\colon\Omega\times\R^n\to\R^n$ を $\psi_\varepsilon(x,y)=\psi(x)+\varepsilon y$ によって定める。また $P\colon=\left(0\quad I_n\right)\in M_{n,m+n}(\R)$ とする。

$$D\psi_\varepsilon=\left(D\psi\quad \varepsilon I_n\right)$$ であるからBinet-Cauchyの公式より $$0\lt J\psi_\varepsilon\le ((\det D\psi)^2+C\varepsilon^2)^\frac{1}{2}\le C\varepsilon.$$ であるから $J\psi\gt 0\on A$ の場合より $$\int_{\R^n}\H^m(\psi_\varepsilon^{-1}(\{y\})\cap (A\times B_1(0)))dy=\int_{A\times B_1(0)}J\psi_\varepsilon\le C\varepsilon.$$ とくに $\L^n$ -a.e. $y\in\R^n$ について $\H^m(\psi_\varepsilon^{-1}(\{y\})\cap (A\times B_1(0)))\lt\infty$。

$y\in\R^n$、$z\in B_1(0)\subset\R^n$ について $$P^{-1}(\{z\})\cap\psi_\varepsilon^{-1}(\{y\})\cap(A\times B_1(0))=\{(x,z)\colon x\in A,\psi(x)+\varepsilon z=y\}=(\psi^{-1}(\{y-\varepsilon z\})\cap A)\times\{z\}.$$ であるから、定理 24より $\L^n$ -a.e. $y\in\R^n$ について $$\int_{B_1(0)}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y-\varepsilon z\})\cap A)dz\le C\H^m(\psi_\varepsilon^{-1}(\{y\})\cap(A\times B_1(0))).$$ 従って \begin{align*} \int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)dy&=\omega_n^{-1}\int_{\R^n}\left(\int_{B_1(0)}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y-\varepsilon z\})\cap A)dy\right)dz\\ &\le C\int_{\R^n}\H^m(\psi_\varepsilon^{-1}(\{y\})\cap(A\times B_1(0)))dy\le C\varepsilon. \end{align*} $\varepsilon\to+0$ として $$\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A)dy=0=\int_A J\psi$$ を得る。

一般の場合は $A$ を $A_1\colon=\{x\in A\colon J\psi(x)\gt 0\}$ と $A_2\colon=\{x\in A\colon J\psi(x)=0\}$ と $A_3\colon=\{x\in A\colon\psi\ は\ x\ で微分不可能\}$ に分割すればRademacherの定理と定理 24より $$\int_{\R^n}\H^{m-n}(\psi^{-1}(\{y\})\cap A_3)dy=0=\int_{A_3} J\psi$$ となることから結論が従う。

□

系 43 (変数変換公式)

$m\gt n$ とする。$\Omega\subset\R^m$ を開集合とし、$\psi\colon\Omega\to\R^n$ をLipschitz写像とする。$f\colon\Omega\to[0,\infty]$ を$\L^m$ -可測関数とすると $\L^n$ -a.e. $y\in\R^n$ について $f|_{\psi^{-1}(\{y\})\cap A}$ は $\H^{m-n}$ -可測で、$\R^n$ 上の関数 $y\mapsto\int_{\psi^{-1}(\{y\})\cap A}fd\H^{m-n}$ は $\L^n$ -可測で

$$\int_A fJ\psi=\int_{\R^n}\left(\int_{\psi^{-1}(\{y\})\cap A}fd\H^{m-n}\right)dy.$$

Proof.

単関数近似とcoarea formulaから従う。

□

参考文献

• Lawrence C.Evans,Ronald F.Gariepy「Measure Theory and Fine Properties of Functions,Revised Edition」
• Herbert Federer「Geometric Measure Theory」
• Gerald B.Folland「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」
• Lawrence C. Evans「Partial Differential Equations,Second Edition」