Hilbert空間上の作用素論11：トレースクラスとHilbert-Schmidtクラス、積分作用素

この章では、コンパクト作用素の重要なクラスであるトレースクラスとHilbert-Scmidtクラスの基礎的事項について論じ、Hilbert-Schmidtクラス作用素の典型例であるHilbert-Schmidt型積分作用素について論じる。またHilbert空間上の作用素論10：自己共役作用素の離散スペクトルと真性スペクトルの内容と併せた応用として中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素のごく初歩的なことについて触れる。

16. トレースクラス、Hilbert-Schmidtクラス、積分作用素

命題16.1

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$, $(f_i)_{i\in I}$ をそれぞれ $\mathcal{H}$ の添字付けられたCONSとする。このとき、

• $(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、

$$ \sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid TT^*e_j) $$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の非負有界自己共役作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、

$$ \sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j)=\sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i) $$ が成り立つ。

Proof.

• $(1)$　$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。また任意の $j,j'\in J$ に対し、

$$ \alpha_{j,j'}\colon=(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})=(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\geq0 $$ とおく。すると、 $$ \begin{aligned} \sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)&=\sum_{j\in J}(Te_j\mid Te_j) =\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})\\ &=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{(j,j')\in J\times J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}\alpha_{j,j'}\\ &=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'}) =\sum_{j'\in J}(T^*e_{j'}\mid T^*e_{j'})=\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid TT^*e_{j'}) \end{aligned} $$ （非負数の総和については位相線形空間1：ノルムと内積の定義5.4を参照）となる。

• $(2)$　測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定理25.10より全単射 $\gamma\colon J\rightarrow I$ が取れ、測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定理25.6より $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素 $U$ で、

$$ Ue_j=f_{\gamma(j)}\quad(\forall j\in J) $$ を満たすものが取れる。任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、 $$ \sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(f_{\gamma(j)}\mid Tf_{\gamma(j)}) =\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j) $$ であり、$U^*TU=(\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)$ であることと $(1)$ より、 $$ \sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)e_j\right) =\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)(\sqrt{T}U)^*e_j\right) =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) $$ であるから、 $$ \sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) $$ である。

□

定義16.2（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレース）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。$\mathcal{H}$ 上の非負有界自己共役作用素に対するトレース $$ {\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow [0,\infty] $$ を、$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し、 $$ {\rm Tr}(T)\colon =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) $$ として定義する。命題16.1の $(2)$ よりこの定義は $\mathcal{H}$ のCONSの取り方によらない。

命題16.3（$\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ 上のトレースの基本的性質）

トレース ${\rm Tr}\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})_+\rightarrow[0,\infty]$ に対し次が成り立つ。

• $(1)$　$S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が $S\leq T$ を満たすならば ${\rm Tr}(S)\leq {\rm Tr}(T)$.
• $(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し ${\rm Tr}(S+T)={\rm Tr}(S)+{\rm Tr}(T)$.
• $(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $\alpha\in [0,\infty)$ に対し ${\rm Tr}(\alpha T)=\alpha {\rm Tr}(T)$.
• $(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ と $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(V^*TV)\leq \lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T)$.
• $(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.

Proof.

$(1),(2),(3)$ は自明である。$(4)$ を示す。$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し命題16.1の $(1)$ より、 $$ \begin{aligned} {\rm Tr}(V^*TV)&={\rm Tr}\left(\left(\sqrt{T}V\right)\left(\sqrt{T}V\right)^*\right) ={\rm Tr}\left(\sqrt{T}VV^*\sqrt{T}\right)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid \sqrt{T}VV^*\sqrt{T}e_j\right)\\ &=\sum_{j\in J}\lVert V^*\sqrt{T}e_j\rVert^2 \leq\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}\lVert \sqrt{T}e_j\rVert^2=\lVert V\rVert^2\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) =\lVert V\rVert^2{\rm Tr}(T) \end{aligned} $$ である。$(5)$ を示す。 $$ \lVert T\rVert^2=\lVert T^*T\rVert=\lVert \lvert T\rvert^2\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert^2 $$ より、 $$ \lVert T\rVert=\lVert \lvert T\rvert\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}^2\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2 $$ である。そして、 $$ \lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{\lVert \sqrt{T}e\rVert^2:e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\} =\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\} $$ であるから、 $$ \lVert T\rVert=\lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert^2=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\lVert e\rVert=1\}\quad\quad(*) $$ が成り立つ。任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の命題25.9より $e$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが存在するので、 $$ (e\mid \lvert T\rvert e)\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert) $$ が成り立つ。よって $(*)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。

□

定義16.4（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。 $$ \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty\} $$ を $\mathcal{H}$ 上のトレースクラス、 $$ \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\colon=\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):{\rm Tr}(T^*T)<\infty\} $$ を $\mathcal{H}$ 上のHilbert-Schmidtクラスと言う。

命題16.5（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）

トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は、 $$ \mathbb{B}^1(\mathcal{H})={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\} $$ と表せる。そして $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。

Proof.

$$ \mathcal{T}\colon={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\} $$ とおく。まず $\mathcal{T}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルであることを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$、任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定義25.2）と命題16.3の $(4)$ より、 $$ \begin{aligned} ST&=(\sqrt{T}S^*)^*\sqrt{T}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)^*\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)\\ &=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+1)^*T(i^kS^*+1)\in \mathcal{T}, \end{aligned} $$ よって、 $$ ST\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T}) $$ が成り立つ。また $\mathcal{T}$ は明らかに $*$-演算で閉じているので、 $$ TS=(S^*T^*)^*\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T}) $$ も成り立つ。これより $\mathcal{T}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。次に $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つことを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（定理9.4）とすると、$\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから $T=V\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ である。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathcal{T}$ が成り立つ。任意の $T\in \mathcal{T}$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解とすると、$\lvert T\rvert=V^*V\lvert T\rvert=V^*T$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから、$\lvert T\rvert\in\mathcal{T}$ である。よって ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty$ であるから $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つ。

□

命題16.6（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアル）

Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。

Proof.

任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し命題16.1の $(1)$ より ${\rm Tr}(TT^*)={\rm Tr}(T^*T)<\infty$ であるから $T^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し命題16.3の $(4)$ より、 $$ {\rm Tr}((TS)^*TS)={\rm Tr}(S^*T^*TS)\leq \lVert S\rVert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty $$ であるから、$TS\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立ち、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $*$-演算で閉じているから $ST=(T^*S^*)^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、 $$ {\rm Tr}((\alpha T)^*\alpha T)={\rm Tr}(\lvert\alpha\rvert^2T^*T)=\lvert\alpha\rvert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty $$ であるから $\alpha T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、 $$ (S+T)^*(S+T)\leq (S+T)^*(S+T)+(S-T)^*(S-T)=2(S^*S+T^*T) $$ であることと命題16.3の $(1),(2)$ より、 $$ {\rm Tr}((S+T)^*(S+T))\leq 2({\rm Tr}(S^*S)+{\rm Tr}(T^*T))<\infty $$ であるから $S+T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。

□

命題16.7（$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$, $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。

• $(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$.
• $(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$.

Proof.

• $(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素を $P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおき、${\rm Ran}(T)$ のCONSを $(e_1,\ldots,e_n)$ とおく。測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の命題25.9より $\{e_1,\ldots,e_n\}$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが取れるので、

$$ {\rm Tr}(P)=\sum_{j=1}^{n}(e_j\mid Pe_j)<\infty $$ である。よって $P\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はイデアルである（命題16.5）から、$T=PT\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が成り立つ。
$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（定理9.4）とする。このとき、 $$ {\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}^2)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty $$ であるから $\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のイデアルである（命題16.6）から、$T=V\lvert T\rvert=V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。
$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。そして、 $$ P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$ とおく。命題16.3の $(5)$ より任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、 $$ \begin{aligned} \lVert T-TP_F\rVert^2&=\lVert(1-P_F)T^*T(1-P_F)\rVert\leq {\rm Tr}((1-P_F)T^*T(1-P_F))\\ &=\sum_{j\in J}(e_j\mid (1-P_F)T^*T(1-P_F)e_j)\\ &={\rm Tr}(T^*T)-\sum_{j\in F}(e_j\mid T^*Te_j) \end{aligned} $$ であり、右辺は $F\rightarrow J$ で収束するので $\lim_{F\rightarrow J}\lVert T-P_FT\rVert=0$ が成り立つ。よって、 $$ T=\lim_{F\rightarrow J}P_FT\in \overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}=\mathbb{B}_0(\mathcal{H}) $$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定義25.2）より、

$$ ST=S^{**}T=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T) $$ であり、命題16.6より、 $$ {\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))<\infty\quad(k=0,1,2,3) $$ であるから $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。

□

定義16.8（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレース）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、命題16.5より、 $$ T=T_{1,+}-T_{1,-}+i(T_{2,+}-T_{2,-}) $$ を満たす $T_{1,\pm},T_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ が取れる。そこで $T$ のトレースを、 $$ {\rm Tr}(T)\colon={\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})+i({\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-})) $$ として定義する。
この定義はwell-definedである。実際、$S_{1,\pm},S_{2,\pm}\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ も、 $$ T=S_{1,+}-S_{1,-}+i(S_{2,+}-S_{2,-}) $$ を満たすならば、 $$ \begin{aligned} &T_{1,+}-T_{1,-}=\frac{1}{2}(T+T^*)=S_{1,+}-S_{1,-},\\ &T_{2,+}-T_{2,-}=\frac{1}{2i}(T-T^*)=S_{2,+}-S_{2,-} \end{aligned} $$ であるから、 $$ T_{1,+}+S_{1,-}=S_{1,+}+T_{1,-},\quad T_{2,+}+S_{2,-}=S_{2,+}+T_{2,-} $$ である。よって非負有界自己共役作用素に対するトレースの加法性より、 $$ \begin{aligned} &{\rm Tr}(T_{1,+})+{\rm Tr}(S_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})+{\rm Tr}(T_{1,-}),\\ &{\rm Tr}(T_{2,+})+{\rm Tr}(S_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})+{\rm Tr}(T_{2,-}) \end{aligned} $$ であり、 $$ \begin{aligned} &{\rm Tr}(T_{1,+})-{\rm Tr}(T_{1,-})={\rm Tr}(S_{1,+})-{\rm Tr}(S_{1,-}),\\ &{\rm Tr}(T_{2,+})-{\rm Tr}(T_{2,-})={\rm Tr}(S_{2,+})-{\rm Tr}(S_{2,-}) \end{aligned} $$ である。ゆえにwell-definedである。

命題16.9（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のトレースの基本的性質）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、トレースクラス上のトレース ${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(T)\in \mathbb{C}$ に対し次が成り立つ。

• $(1)$　$\mathcal{H}$ の任意のCONS $(e_j)_{j\in J}$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、

$$ {\rm Tr}(T)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j). $$

• $(2)$　${\rm Tr}\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C}$ は線形汎関数である。
• $(3)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.
• $(4)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(TS)$.

Proof.

• $(1)$　定義16.8より $T_0,T_1,T_2,T_3\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ で $T=\sum_{k=0}^{3}i^kT_k$ なるものに対し、${\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)$ であるから、

$$ {\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)=\sum_{k=0}^{3}i^k\sum_{j\in J}(e_j\mid T_ke_j) =\sum_{j\in J}\sum_{k=0}^{3}i^k(e_j\mid T_ke_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j). $$

• $(2)$　$(1)$ より明らかである。
• $(3)$　命題16.7の $(2)$ より任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。$(2)$ と偏極恒等式（測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間の定義25.2）、および命題16.1の $(1)$ より、

$$ \begin{aligned} {\rm Tr}(ST)&={\rm Tr}(S^{**}T)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))\\ &=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)(i^kS^*+T)^*) =\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((S+i^kT^*)^*(S+i^kT^*))\\ &={\rm Tr}(T^{**}S)={\rm Tr}(TS). \end{aligned} $$

• $(4)$　$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の極分解（定理9.4）を $T=V\lvert T\rvert$ とすると、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、$(3)$ より、

$$ \begin{aligned} {\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}) ={\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}SV\sqrt{\lvert T\rvert}) ={\rm Tr}(V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}S)={\rm Tr}(TS). \end{aligned} $$

□

定義16.10（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積）

Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、命題16.9より、 $$ (S\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(S^*T)\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})) $$ として準双線形汎関数 $$ (\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}\colon \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\times \mathbb{B}^2(\mathcal{H})\rightarrow\mathbb{C} $$ が定義できる。命題16.3の $(5)$ より、 $$ (T\mid T)_{\rm HS}={\rm Tr}(T^*T)\geq\lVert T^*T\rVert=\lVert T\rVert^2\quad(\forall T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H}))\quad\quad(*) $$ であるから、$(\cdot\mid \cdot)_{\rm HS}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の内積である。この内積をHilbert-Schmidt内積と呼び、Hilbert-Schmidt内積の定めるノルム $$ \lVert T\rVert_{\rm HS}\colon=\sqrt{(T\mid T)_{\rm HS}}=\sqrt{{\rm Tr}(T^*T)}\quad(\forall T\in\mathbb{B}^2(\mathcal{H})) $$ をHilbert-Schmidtノルムと言う。以後、Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ にはこのHilbert-Schmidt内積が標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにHilbert-SchmidtクラスはHilbert空間である。

命題16.11（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間）

Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert-Schmidt内積によりHilbert空間である。

Proof.

$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。定義16.10 の $(*)$ より $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は作用素ノルムによるBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが定まる。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\sum_{j\in F}(e_j\mid (T-T_m)^*(T-T_m)e_j)=\sum_{j\in F}\lVert (T-T_m)e_j\rVert^2 =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\lVert (T_n-T_m)e_j\rVert^2\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_n-T_m)^*(T_n-T_m)e_j) =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)\\ &\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_k-T_m)e_j) =\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2 \end{aligned} $$ であるから、 $$ {\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\quad(\forall m\geq \mathbb{N})\quad\quad(*) $$ が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、 $$ \lVert T_n-T_m\rVert_{\rm HS}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$ を満たすものが取れるので、$(*)$ より任意の $m\geq n_0$ に対し、 $$ {\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm HS}^2\leq\epsilon^2 $$ となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、 $$ \lVert T-T_m\rVert_{\rm HS}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間である。

□

命題16.12

$\mathcal{H}$ をHilbert空間とする。次が成り立つ。

• $(1)$　任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ と任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$.
• $(2)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上のノルムである。

Proof.

• $(1)$　$T$ の極分解（定理9.4）を $T=V\lvert T\rvert$ とおくと、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、Hilbert-Schmidt内積に関するSchwarzの不等式と命題16.3の $(4)$ より、

$$ \begin{aligned} \lvert {\rm Tr}(ST)\rvert^2&=\lvert {\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})\rvert^2 =(\sqrt{\lvert T\rvert}\mid SV\sqrt{\lvert T\rvert})_{\rm HS}^2 \leq \lVert \sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\lVert SV\sqrt{\lvert T\rvert}\rVert_{\rm HS}^2\\ &={\rm Tr}(\lvert T\rvert){\rm Tr}(SV\lvert T\rvert V^*S^*)\leq \lVert SV\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2\leq\lVert S\rVert^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2 \end{aligned} $$ である。よって $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \lVert S\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。

• $(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$, $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\lvert\alpha T\rvert=\sqrt{(\alpha T)^*(\alpha T)}=\sqrt{\lvert \alpha\rvert^2T^*T}=\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert$ であるから、

$$ {\rm Tr}(\lvert \alpha T\rvert)={\rm Tr}(\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert)=\lvert\alpha\rvert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}),\forall \alpha\in \mathbb{C}) $$ である。また命題16.3の $(5)$ より $\lVert T\rVert\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ であるから、$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)=0$ を満たすならば $T=0$ である。任意の $S,T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $S+T$ の極分解（定理9.4）を $S+T=W\lvert S+T\rvert$ とおくと、$\lvert S+T\rvert=W^*(S+T)=W^*S+W^*T$ であるから $(1)$ より、 $$ {\rm Tr}(\lvert S+T\rvert)={\rm Tr}(W^*S)+{\rm Tr}(W^*T)\leq\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert S\rvert)+\lVert W^*\rVert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\leq {\rm Tr}(\lvert S\rvert)+{\rm Tr}(\lvert T\rvert) $$ となる。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ はノルムである。

□

定義16.13（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のトレースノルム）

トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し、命題16.12より、 $$ \lVert T\rVert_{\rm Tr}\colon={\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in\mathbb{B}^1(\mathcal{H})) $$ とおけば、$\lVert \cdot\rVert_{\rm Tr}\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\rightarrow[0,\infty)$ はノルムである。これをトレースノルムと言う。トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ にはこのトレースノルムが標準的に備わっているものとする。次の命題で見るようにトレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はこのトレースノルムによりBanach空間である。

命題16.14（トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間）

トレースクラス $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムによりBanach空間である。

Proof.

$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。命題16.3の $(5)$ より、 $$ \lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \lVert T_n-T_m\rVert\quad(\forall n,m\in\mathbb{N}) $$ であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert T-T_n\rVert=0$ を満たすものが存在する。$\mathcal{H}$ のCONS $\{e_j\}_{j\in J}$ に対し $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とし、 $$ P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$ とおく（命題13.7を参照）。任意の $m\in \mathbb{N}$, 任意の $F\in \mathcal{F}_J$ を取る。$T-T_m$ の極分解（定理9.4）を $T-T_m=V_m\lvert T-T_m\rvert$（したがって $\lvert T-T_m\rvert=V_m^*(T-T_m)$）とすると、命題16.12の $(1)$ より、 $$ \begin{aligned} &\sum_{j\in F}(e_j\mid \lvert T-T_m\rvert e_j)=\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T-T_m)e_j) =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_n-T_m)e_j)\right\rvert\\ &=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert =\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in J}(V_mP_Fe_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert\\ &=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert {\rm Tr}(P_FV_m^*(T_k-T_m))\right\rvert \leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr} \end{aligned} $$ となるから、 $$ {\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\quad(\forall m\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$ が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、 $$ \lVert T_n-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$ を満たすものが取れ、$(*)$ より、任意の $m\geq n_0$ に対し、 $$ {\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr} \leq \sup_{k\geq n_0}\lVert T_k-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon $$ となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、 $$ \lVert T-T_m\rVert_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間である。

□

命題16.15（Schatten形式とトレース）

Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のSchatten形式（定義13.5）$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto u\odot v\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ とトレースについて次が成り立つ。

• $(1)$　任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し ${\rm Tr}(u\odot v)=(v\mid u)$.
• $(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}=\lVert u\odot v\rVert=\lVert u\rVert\lVert v\rVert$.
• $(3)$　空でない任意の集合 $J$ と任意の $(u_j)_{j\in J}, (v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
• $(4)$　$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。

Proof.

• $(1)$　$v=\lVert v\rVert e$ を満たす単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ を取る。$e$ を含むCONS $(e_j)_{j\in J}$ を取れば、

$$ {\rm Tr}(u\odot v)=\sum_{j\in J}(e_j\mid (u\odot v)e_j)=(e\mid (u\odot v)e)=\lVert v\rVert(e\mid u)=(v\mid u). $$

• $(2)$　命題16.3の $(5)$ より $\lVert u\odot v\rVert\leq \lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}$ である。逆の不等式を示す。$u\odot v=V\lvert u\odot v\rvert$ を $u\odot v$ の極分解（定理9.4）とすると、

$$ \lvert u\odot v\rvert =V^*(u\odot v)=(V^*u)\odot v $$ であるから、$(1)$ より、 $$ \lVert u\odot v\rVert_{\rm Tr}={\rm Tr}(\lvert u\odot v\rvert)={\rm Tr}((V^*u)\odot v) =(v\mid V^*u)\leq\lVert u\rVert\lVert v\rVert=\lVert u\odot v\rVert. $$

• $(3)$　任意の $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $(2)$ とHölderの不等式より、

$$ \sum_{j\in J}\lVert u_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}=\sum_{j\in J}\lVert u_j\rVert\lVert v_j\rVert \leq \lVert (u_j)_{j\in J}\rVert\lVert (v_j)_{j\in J}\rVert<\infty $$ であるから、$\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。

• $(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T$ の極分解を $T=V\lvert T\rvert$ とおく。命題16.7より $\lvert T\rvert\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから定理13.7の $(3)$ より $\lvert T\rvert$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ が取れる。そこで $\lvert T\rvert e_j=\lambda_je_j$ $(\forall j\in J)$ とおくと、

$$ \{\lambda_j\}_{j\in J}\subset \sigma(\lvert T\rvert)\subset [0,\infty),\quad \sum_{j\in J}\lambda_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid \lvert T\rvert e_j)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty $$ である。よって、 $$ v_j\colon=\sqrt{\lambda_j}e_j,\quad u_j\colon=\sqrt{\lambda_j}V e_j\quad (\forall j\in J) $$ とおけば $\sum_{j\in J}\lVert u_j\odot v_j\rVert^2\leq \sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$ であるから、$(3)$ より $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、命題13.7より $1=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ であるから、 $$ T=T\left(\sum_{j\in J}e_j\odot e_j\right) =\sum_{j\in J}(V\lvert T\rvert e_j)\odot e_j=\sum_{j\in J}\lambda_j(Ve_j)\odot e_j =\sum_{j\in J}u_j\odot v_j $$ である。ここで位相線形空間1：ノルムと内積の命題5.3より、 $$ J_0\colon=\{j\in J:\lVert u_j\odot v_j\odot v_j\rVert_{\rm Tr}>0\} $$ は可算集合であり、 $$ T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j=\sum_{j\in J_0}u_j\odot v_j $$ である。よって成り立つ。

□

定理16.16（$(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*=\mathbb{B}(\mathcal{H})$）

任意の $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し $\varphi_A\colon\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ はBanach空間 $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ 上の有界線形汎関数であり、 $$ \mathbb{B}(\mathcal{H})\ni A\mapsto \varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*\quad\quad(*) $$ は等長線形同型写像である。

Proof.

命題16.12の $(1)$ より $(*)$ はノルム減少な線形写像である。$A_1,A_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が $\varphi_{A_1}=\varphi_{A_2}$ を満たすならば、命題16.15の $(1)$ より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、 $$ (u\mid A_1v)={\rm Tr}(A_1v\odot u)=\varphi_{A_1}(v\odot u)=\varphi_{A_2}(v\odot u)={\rm Tr}(A_2v\odot u)=(u\mid A_2v) $$ であるから $A_1=A_2$ である。よって $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射かつ等長であることを示す。任意の $\varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ に対し命題16.15の $(2)$ より、 $$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \varphi(v\odot u)\in \mathbb{C} $$ はノルムが $\lVert \varphi\rVert$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって位相線形空間1：ノルムと内積の定理7.1より $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、 $$ \varphi(v\odot u)=(u\mid Av)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$ を満たすものが定まり、$\lVert A\rVert\leq\lVert \varphi\rVert$ である。命題16.15の $(1)$ より、 $$ \varphi(v\odot u)=(u\mid Av)={\rm Tr}(Av\odot u)=\varphi_{A}(v\odot u)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$ であるから、命題16.15の $(4)$ より $\varphi=\varphi_{A}$ である。そして、 $$ \lVert A\rVert\leq \lVert \varphi\rVert=\lVert \varphi_A\rVert\leq \lVert A\rVert $$ であるから、$(*)$ は全射かつ等長である。

□

命題16.17（Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONS）

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとする。このとき $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。

Proof.

任意の $(i,j),(i',j')\in J\times J$ に対し命題16.15の $(1)$ より、 $$ \begin{aligned} (e_i\odot e_j\mid e_{i'}\odot e_{j'})_{\rm HS}&={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*(e_{i'}\odot e_{j'})) ={\rm Tr}((e_j\odot e_i)(e_{i'}\odot e_{j'}))\\ &=(e_i\mid e_{i'}){\rm Tr}(e_j\odot e_{j'}) =(e_i\mid e_{i'})(e_{j'}\mid e_j) \end{aligned} $$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のONSである。$\{e_i\odot e_j\}_{(i,j)\in J\times J}\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の直交補空間の任意の元 $S$ に対し、 $$ \begin{aligned} (e_i\mid Te_j)={\rm Tr}(Te_j\odot e_i)={\rm Tr}((e_j\odot e_i)T)={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*T) =((e_i\odot e_j)\mid T)_{\rm Tr}=0 \end{aligned} $$ であるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、 $$ (u\mid Tv)=\sum_{i\in J}(u\mid (e_i\mid Tv)e_i)=\sum_{i\in J}(e_i\mid Tv)(u\mid e_i)= \sum_{i\in J}\sum_{j\in J}(e_i\mid Te_j)(e_j\mid v)(u\mid e_i)=0 $$ である。よって $T=0$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。

□

定理16.18（Hilbert-Schmidt積分作用素）

$X$ を第二可算局所コンパクトHausdorff空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ をRadon測度とする。このとき任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)$（$L^2$ 空間のテンソル積については定義12.9を参照）に対し、$\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ で、 $$ ([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}K(x,y)g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu)) $$ を満たすものが一意的に定まり、 $$ L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu)) $$ はユニタリ作用素である。 また任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、 $$ \widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi] $$ （左辺はテンソル積、右辺はSchatten形式）が成り立つ。

Proof.

任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ に対しHölderの不等式とFubiniの定理より、 $$ L^2(X,\mu)\times L^2(X,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\in \mathbb{C} $$ はノルムが $\lVert K\rVert_2$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、位相線形空間1：ノルムと内積の定理7.1より、$\widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))$ で、 $$ ([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu)) $$ を満たすものが定まり、 $$ L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))\quad\quad(*) $$ はノルム減少な有界線形作用素である。定義12.9より、 $$ L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)=\overline{{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}} $$ であり、任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、Fubiniの定理より、 $$ \begin{aligned} &\left([f]\mid (\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]})[g]\right)_2 =\int_{X\times X}\overline{f(x)}\varphi(x)\overline{\psi(y)}g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\\ &=\int_{X}\overline{f(x)}\varphi(x)d\mu(x)\int_{X}\overline{\psi(y)}g(y)d\mu(y) =([f]\mid [\varphi])_2([\psi]\mid [g])_2\\ &=\left([f]\mid \left([\varphi]\odot [\psi]\right)[g]\right)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu)) \end{aligned} $$ であるから、 $$ \widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]\quad(\forall [\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)) $$ が成り立つ。任意の $[\varphi_1],[\psi_1],[\varphi_2],[\psi_2]\in L^2(X,\mu)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\left(\widehat{[\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]}\mid \widehat{[\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}]}\right)_{\rm HS}=([\varphi_1]\odot [\psi_1]\mid [\varphi_2]\odot [\psi_2])_{\rm HS} ={\rm Tr}\left(([\varphi_1]\odot [\psi_1])^*([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)\\ &={\rm Tr}\left(([\psi_1]\odot [\varphi_1])([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right) =([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2{\rm Tr}([\psi_1]\odot [\psi_2]) =([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\psi_2]\mid [\psi_1])_2\\ &=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\overline{\psi_1}]\mid [\overline{\psi_2}])_2 =([\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]\mid [\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}])_2 \end{aligned} $$ であるから、 $$ {\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))\quad\quad(**) $$ は内積を保存する線形作用素であり、その値域 $$ {\rm span}\{[\varphi]\odot [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\subset \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu)) $$ は定理16.17より $\mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ において稠密である。よって $(**)$ を $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ 上に一意拡張したもの $$ U\colon L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\rightarrow \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu)) $$ はユニタリ作用素である。後は任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ に対し $UK=\widehat{K}$ が成り立つことを示せばよい。そこで ${\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}$ の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert K_n-K\rVert_2=0$ を満たすものを取る。すると $(*)$ がノルム減少であることから、 $$ \lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ が成り立ち、作用素ノルムがHilbert-Shcmidtノルム以下であることから、 $$ \lVert UK-\widehat{K_n}\rVert\leq \lVert UK-\widehat{K_n}\rVert_{\rm HS}=\lVert K-K_n\rVert_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ が成り立つ。よって、 $$ \lVert \widehat{K}-UK\rVert\leq \lVert \widehat{K}-\widehat{K_n}\rVert+\lVert \widehat{K_n}-UK\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ であるから $\widehat{K}=UK$ が成り立つ。

□

定理16.18における $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ を $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素と言う。任意の $f\in L^2(X,\mu)$ に対し、$\widehat{K}f\in L^2(X,\mu)$ の代表元は、$\mu$ -a.e. $x\in X$ で、 $$ \int_{X}K(x,y)f(y)d\mu(y) $$ と表される。

17.加藤-Rellichの定理と中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素

命題17.1（$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のラプラシアンのFourier変換による対角化）

$\mathbb{R}^N$ 上のラプラシアン $-\Delta$ は、定義域をSobolev空間 $H^2(\mathbb{R}^N)$とする $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そしてそのスペクトル $\sigma(-\Delta)$ と点スペクトル（固有値全体） $\sigma_{\rm p}(-\Delta)$ は、 $$ \sigma(-\Delta)=[0,\infty),\quad \sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset $$ であり、任意のBorel関数 $f\colon[0,\infty)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し、 $$ f(-\Delta)=\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F} $$ が成り立つ。ただし $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^N)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$ はFourier変換であり、 左辺の $f(-\Delta)$ は自己共役作用素 $-\Delta$ に関するBorel汎関数計算（定義8.5）、右辺の $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ は、Borel関数 $f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\colon\mathbb{R}^N\ni x\mapsto f(\lvert x\rvert^2)\in \mathbb{C}$ による掛け算作用素（定義10.2）である。また、$f$ が連続関数の場合は $f(-\Delta)$ のスペクトルは、 $$ \sigma(f(-\Delta))=\overline{f([0,\infty))} $$ である。

Proof.

緩増加超関数とFourier変換の命題18.3とSobolev空間の基本事項の命題38.1より、 $$ \begin{aligned} H^2(\mathbb{R}^N)&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\} =\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}\\ &=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\mathcal{F}\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\} \end{aligned} $$ であり、 $$ -\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto -\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$ は、$\lvert{\rm id}\rvert^2\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert x\rvert^2\in [0,\infty)$ による掛け算作用素により、 $$ -\Delta =\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F} $$ と表せる。$\lvert {\rm id}\rvert^2$ による掛け算作用素は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素であるので、$(*)$ も $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そして $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)$, $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ である。 命題10.4より $\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ であるから $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ である。$\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ を示せすためには $\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)=\emptyset$ を示せばよい。そこで $\lambda\in \sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素 $\lvert {\rm id}\rvert^2$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を取る（固有ベクトルなので $[g]\neq0$ である）。このとき、 $$ 0=\lVert (\lambda-\lvert{\rm id}\rvert^2)[g]\rVert_2^2=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)\rvert^2 dx $$ であるから、 $$ (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)=0\quad(\text{Lebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$})\quad\quad(**) $$ である。ここで、 $$ \{x\in \mathbb{R}^N:\lambda-\lvert x\rvert^2=0\}\quad\quad(***) $$ は $\lambda=0$ の場合は $\{0\}$ であり、$\lambda>0$ の場合は $\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体（球面）であるので、ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の命題16.10より $(***)$ のLebesgue測度は $0$ である。ゆえにLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、$\lvert x\rvert^2\neq\lambda$ であるから、$(**)$ よりLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で $g(x)=0$ である。これは $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が $0$ であることを意味するので矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ である。
今、$E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ を $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（定義10.2）とすると、 $$ -\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2dE(x)\mathcal{F} $$ であるから、命題6.9より、射影値測度 $\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ に対し、 $$ -\Delta=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x) $$ である。よって命題8.6と命題6.9より、 $$ f(-\Delta)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x) =\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)dE(x)\right)\mathcal{F} =\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F} $$ である。
$f$ が連続関数の場合は命題8.7の $(8)$ より $f(-\Delta)=\overline{f(\sigma(-\Delta))}=\overline{f([0,\infty))}$ である。

□

補題17.2

任意の $V\in L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、 $$ V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ であり、 $$ L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3) $$ はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。特に $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である（命題16.7）。

Proof.

Fourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、命題17.1より、 $$ (-\Delta+1)^{-1}=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F} $$ である。$(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であるから、Hölderの不等式より、 $$ (\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in L^1(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ であり、緩増加超関数とFourier変換の命題15.3の $(5)$ より $\mathcal{F}^{-1}(L^1(\mathbb{R}^3))\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ であるので、 $$ (-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in C_0(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ である。今、急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_2=0$ なるものを取る。すると合成積とFourier変換の定理24.3と命題29.3（Youngの不等式）より $L^2(\mathbb{R}^3)$ において、 $$ \begin{aligned} V(-\Delta+1)^{-1}f&=\lim_{n\rightarrow\infty}V_n(-\Delta+1)^{-1}f =\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}V_n)\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)\mathcal{F}f\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V_n\right)\\ &=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) \end{aligned} $$ となる。そこで $K\in L^2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$ を、 $$ K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\frac{\mathcal{F}V(x-y)}{\lvert y\rvert^2+1}\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3) $$ と定義し、$K$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素（定理16.18）を $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ とおけば、 $$ V(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)=\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$ である。Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ は $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ のイデアル（命題16.6）であるから、 $$ \mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3)) $$ である。よって、 $$ L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3) $$ はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。

□

定理17.3（加藤-Rellichの定理2）

実数値の $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ に対し $L^2(\mathbb{R}^3)$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、 $$ V-V_n\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\lVert V-V_n\rVert_{\infty}=0 $$ を満たすものが取れるとする。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素（定義10.2）は、自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（定義15.3）である。

Proof.

補題17.2より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、 $$ V_n(-\Delta+1)^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V_n(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3) $$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である。 $$ V(-\Delta+1)^{-1}=(V-V_n)(-\Delta+1)^{-1}+V_n(-\Delta+1)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3)) $$ であり、 $$ \lVert V(-\Delta+1)^{-1}-V_n(-\Delta+1)^{-1}\rVert\leq \lVert V-V_n\rVert_{\nfty}\lVert (-\Delta+1)^{-1}\rVert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ であるから $V(-\Delta+1)^{-1}$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素であるよって $V$ は $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。

□

定理17.4（加藤-Rellichの定理3（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））

$\alpha\in (0,\frac{3}{2})$ と $k\in (0,\infty)$ に対し、 $$ V(x)\colon=-\frac{k}{\lvert x\rvert^\alpha}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3) $$ として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^3)$ を定義する。このとき、

• $(1)$　$V$ による $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクト（定義15.3）である。そして $H_V\colon=-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ を定義域とする $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^3)$ は $H_V$ の芯である。また $H_V$ の真性スペクトル（定義14.1）は $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ である。
• $(2)$　$H_V$ は無限個の離散固有値（定義14.1）を持つ。そしてこれらを下から並べたものを $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とおくと、$\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lambda_n=0$ が成り立つ。

Proof.

$(1)$　各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $V_n\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ を、 $$ V_n(x)\colon=\begin{cases}V(x)\quad&(\lvert x\rvert\leq n)\\0&(n<\lvert x\rvert)\end{cases} $$ とおくと、極座標変換（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理18.4）と $2\alpha<3$ より、 $$ \int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_n(x)\rvert^2 dx=\mu_{S_2}(S_2)\int_{0}^{n}r^2\frac{k^2}{r^{2\alpha}}dr=\mu_{S_2}(S_2)\frac{k^2}{3-2\alpha}n^{3-2\alpha}<\infty $$ であるから $V_n\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であり、$0<\alpha$ より、 $$ \lVert V-V_n\rVert_{\infty}\leq \frac{k}{n^{\alpha}}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$ である。よって定理17.3より $V$ は掛け算作用素として $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。ここで命題17.1より $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり $\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$ である。よって定理15.5と定理15.1より $H_V=-\Delta+V\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ も $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯 $D(\mathbb{R}^3)$ は $H_V$ の芯でもあり、$\sigma_{\rm ess}(H_V)=\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=[0,\infty)$ である。

• $(2)$　$(1)$ より $H_V$ は下に有界な自己共役作用素である。そこで $H_V$ の特性レベル（定義14.10）を $(\mu_n(H_V))_{n\in \mathbb{N}}$ とおく。$(1)$ より $(1)$ より $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ であるから定理14.12の $(2)$ より、

$$ \sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(H_V)={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(H_V))=0 $$ である。よって定理14.12の $(3)$ より、 $$ \mu_n(H_V)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$ が成り立つことを示せばよい。今、Urysohnの補題（ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分の定理15.5）により非負値の $\psi\in D(\mathbb{R}^3)$ で、 $$ \lVert \psi\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi)\subset \{x\in \mathbb{R}^2:1<\lvert x\rvert<2\} $$ を満たすものを取る。そして任意の $R\in (0,\infty)$ に対し $\psi_R\in D(\mathbb{R}^3)$ を、 $$ \psi_R(x)\colon=R^{-\frac{3}{2}}\psi(R^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3) $$ として定義する。このとき変数変換より、 $$ \lVert \psi_R\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\psi_R)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:R<\lvert x\rvert<2R\}\quad\quad(**) $$ であり、 $$ (\psi_R\mid -\Delta\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta\psi)_2,\quad (\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-\alpha}(\psi\mid \psi)_2\quad(\forall R\in (0,\infty))\quad\quad(***) $$ である。 $$ 2-\alpha>0,\quad(\psi\mid V\psi)_2<0 $$ であるから、$(***)$ より、十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、 $$ \begin{aligned} (\psi_R\mid H_V\psi_R)_2&=(\psi_R\mid -\Delta \psi_R)_2+(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta \psi)_2+R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\\ &=R^{-2}\left((\psi\mid -\Delta\psi)_2+R^{2-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\right)<0\quad(\forall R\in [R_0,\infty))\quad\quad(****) \end{aligned} $$ となる。そこで、 $$ \varphi_n\colon=\psi_{2^nR_0}\in D(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$ とおくと、$(**)$, $(****)$ より、 $$ \lVert \varphi_n\rVert_2=1,\quad {\rm supp}(\varphi_n), {\rm supp}(H_V\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:2^nR_0<\lvert x\rvert<2^{n+1}R_0\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(*****) $$ $$ (\varphi_n\mid H_V\varphi_n)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(******) $$ が成り立つ。$(*****)$ より特に $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ のONSである。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ によって張られる $L^2(\mathbb{R}^3)$ の $n$ 次元部分空間の上への射影作用素を、 $$ P_n\colon=\varphi_1\odot \varphi_1+\cdots+\varphi_n\odot\varphi_n $$ （命題13.7を参照）とおき、 $$ H_{V,n}\colon {\rm Ran}(P_n)\ni f\mapsto P_nH_Vf\in {\rm Ran}(P_n) $$ なる ${\rm Ran}(P_n)$ 上の自己共役作用素を定義する。このとき $(*****)$ より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in {\rm Ran}(P_n)$ は $H_{V,n}$ の単位固有ベクトルである。よってReyleigh-Ritzの原理（命題14.13）と $(******)$ より、 $$ \mu_n(H_V)\leq \mu_n(H_{V,n})={\rm max}\{(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2:j=1,\ldots,n\}<0 $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

□

定理17.5（加藤-Rellichの定理4（中心力ポテンシャルを持つSchrödinger作用素））

$\alpha\in (0,\frac{3}{2}), k_j,K_{j,k}\in [0,\infty)$ $(j,k\in \{1,\ldots,N\}, j\neq k)$ とし、 $$ V(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\sum_{j=1}^{N}\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}}+\sum_{j\neq k}\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}} $$ として $V\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を定義する。このとき $V$ による $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ 上の掛け算作用素は自己共役作用素 $-\Delta \colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ に対して無限小（定義15.2）である。そして $H_V\colon =-\Delta+V$ は $H^2(\mathbb{R}^{3N})$ を定義域とする下に有界な自己共役作用素であり、$D(\mathbb{R}^{3N})$ を芯として持つ。

Proof.

定理15.1より、掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示せば十分である。 任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ $(j\neq k)$ に対し $V_j,V_{j,k}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を、 $$ V_j(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}},\quad V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\colon=\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}} $$ と定義する。掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示すには、掛け算作用素 $V_j,V_{j,k}$ がそれぞれ $-\Delta$ に対して無限小であることを示せばよい。

• $(1)$　各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_j$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。定理17.4より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{k_j}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、

$$ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_j(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、 $$ \lVert V_j\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(*) $$ が成り立つ。命題17.1より、 $$ -\Delta_{x_j}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F},\quad -\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F} $$ であるから、 $$ \lVert V_j\varphi\rVert_2=\lVert \lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2 \leq \lVert \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}\varphi\rVert_2=\lVert-\Delta\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(**) $$ である。よって $(*),(**)$ より、 $$ \lVert V_j\varphi\rVert_2\leq\epsilon\lVert -\Delta \varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert \varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(***) $$ が成り立つ。ここで $D(\mathbb{R}^{3N})$ は $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ の芯であり、掛け算作用素は閉作用素であるから、$(***)$ より、 $$ \lVert V_jf\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta f\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert f\rVert_2\quad(\forall f\in H^2(\mathbb{R}^{3N})) $$ が成り立つ。よって掛け算作用素 $V_j$ は $-\Delta$ に対して無限小である。

• $(2)$　$j\neq k$ なる任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。定理17.4より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{K_{j,k}}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、

$$ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} =\left(\int_{\mathbb{R}^3}\left\lvert\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j\rvert}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\right\rvert^2\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、 $$ \lVert V_{j,k}\varphi\rVert_2\leq \epsilon\lVert -\Delta_{x_j}\varphi\rVert_2+b_{\epsilon}\lVert\varphi\rVert_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})) $$ であるから、後は $(1)$ と同様にすれば $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることが分かる。

□