距離空間
距離空間
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距離空間（きょりくうかん、metric space）とは、任意の二点間に距離と呼ばれる値が付与された集合のことである。距離空間は最も身近で感覚的に扱いやすい空間のクラスの一つである（Euclid 空間は特にその顕著なものである）。距離空間は位相空間のような、より一般の構造の具体例であるとともに、（距離の一般化に留まらず）測度の様な様々な構造の交叉点となっている。
定義
距離関数
集合 $X$ にたいし、$X\times X $ 上の関数 $d:X\times X\to \mathbb{R}_{\ge 0}$ が（ $X$ 上の）距離（distance）（計量（metric）((metricも距離と訳されることも多い、なお計量（metric）は関係する別の概念の名前にも使われる。))とも呼ばれる）であるとは、以下の性質を満たすことである。
- $(0)$ $x\in X$ について、$d(x,x)=0$ が成り立つ。
- $(1)$ $x,y\in X$ について、$d(x,y)=0 \Rightarrow x=y$ が成り立つ。
- $(2)$ $x,y\in X$ について、$d(x,y)=d(y,x)$ が成り立つ。
- $(3)$ $x,y,z\in X$ について、$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ が成り立つ。
このとき、集合 $X$ と $X$ 上の距離 $d$ の組 $(X,d)$ を距離空間（metric space）という。文脈上明らかな場合、$(X,d)$ のことを指して $X$ と表記することも多い。条件から $(1)$ を外したものを擬距離、$\mathbb{R}_{\ge 0}\cup \{\infty\}$ に値を取る $X\times X $ 上の関数が同様の公理を満たすとき、拡張距離という。この記事では擬距離でも拡張距離でもないことを強調するとき、距離を狭義の距離と呼ぶ。
距離空間 $(X,d)$ の二点 $x,y\in X$ にたいし $d(x,y)$ を $x$ と $y$ の距離という。
部分距離空間
距離空間 $(X,d)$ とその部分集合 $A\subseteq X$ にたいし、距離空間 $(A,d_{|A\times A})$ を $X$ の部分距離空間という（ただし $d_{|A\times A}$ は $d$ の $A\times A$ への制限） 。
部分集合間の距離
距離空間 $(X,d)$ とその空でない部分集合 $A, B\subseteq X$ について $d(A,B)$ を $$d(A,B):=\inf\{d(a,b)|a\in A, b\in B\}$$ と定義し、$A$ と $B$ の距離と呼ぶ。とくに一点集合について $d(A,y):=d(A,\{y\}), d(x,B):=d(\{x\},B)$ のような略記をする。今 $d(x,y)=d(\{x\},\{y\})$ が成立するため、この略記は混乱を生まない。
広義の距離と狭義の距離
集合 $X$ 上の擬距離 $d$ にたいし $$x\sim y:\Leftrightarrow d(x,y)=0$$ は $X$ 上の同値関係となる。このとき商擬距離 $d_{/\sim}$ は $X/\sim$ 上に狭義の距離を定める。
集合 $X$ 上の拡張距離 $d$ にたいし $$x\sim y:\Leftrightarrow d(x,y)<\infty$$ は $X$ 上の同値関係となる。このとき $A$ が $\sim$ に関する同値類なら、$d_{|A\times A}$ は $A$ 上に狭義の距離を定める。
距離空間の例
ユークリッド空間
$\mathbb{R}^n$ 上に $$d_{\mathbb E}((x_i)_{i\in n}, (y_i)_{i\in n}):=\sqrt{\sum_{i=0}^{n-1}(x_i -y_i)^2}$$ として距離 $d_{\mathbb E} $ を入れた距離空間 $\mathbb{E}^n:=(\mathbb{R}^n,d_{\mathbb{E}})$ をn次元ユークリッド空間という。n次元ユークリッド空間を単に $\mathbb{R}^n$ ともかく。
離散距離
集合 $X$ 上に $$d(x,y):=\begin{cases} 1 & (x\neq y) \\ 0 & (x=y)\end{cases}$$ として入れられた距離 $d$ を離散距離といい、$(X,d)$ を離散距離空間という。((離散距離空間は単に離散位相を備えた距離空間とも解釈できる為注意が必要。))。この距離空間は空間の次元や等長変換群などに関わる。$n:=|X|$ のとき、離散距離空間 $(X,d)$ はユークリッド空間 $\mathbb{E}^{n-1}$ に埋め込める。
ユークリッド空間の部分距離空間として表せない距離空間
任意の三点は距離空間はユークリッド空間に部分距離空間として埋め込めるが（比較三角形）、四点以上の距離空間は一般にはユークリッド空間に埋め込めない、次はそのような例になっている。
集合 $X=\{a,b,c,d\}$ 上の距離として以下のようなものを取る。 $$d(a,b)=d(a,c)=d(a,d)=d(b,c)=1, d(b,d)=d(c,d)=2$$ このようにして定めた構造 $(X,d)$ はユークリッド空間に部分距離空間として埋め込めない。
テキスト
- 0.距離空間の位相の基本的性質
- 1.コンパクト性とAscoli-Arzelàの定理
- 2.Lipschtz写像と関数空間
- 3.曲線の長さとHopf-Rinowの定理
- 4.距離空間の構成Ⅰ（積と貼り合わせ）
- 5.距離空間の構成Ⅱ（Hausdorff距離と空間の極限）
