距離空間の構成Ⅰ（積と貼り合わせ）
距離空間の構成Ⅰ（積と貼り合わせ）
4.1. 積
定義4.1.1（有限 $\ell^\infty$ 積）
$(X,d_X)$ 、$(Y,d_Y)$ を距離空間とする。このとき $X\times Y$ 上の距離 $d_\infty$ を $$d_\infty( (x_0,y_0),(x_1,y_1) ):=\max\{d_X(x_0,y_0),d_Y(x_1,y_1)\}$$ と定義する。 $d_{\tiny X\times Y}^{\tiny \infty}$ を $\ell^\infty$ 距離、$(X\times Y, d_{\tiny X\times Y}^{\tiny \infty})$ を $\ell^\infty$ 積という。 $\ell^\infty$ 積は射影を $1$-Lipschtzにする最大の距離、つまり距離空間と $1$-Lipschtz写像の圏の直積である。
定義4.1.2（有限 $\ell^p$ 積）
$(X,d_X)$ 、$(Y,d_Y)$ を距離空間 、$p$ を $1\le p<\infty$ を満たす実数とする。このとき $X\times Y$ 上の距離 $d_p$ を $$d_p( (x_0,y_0),(x_1,y_1) ):=\sqrt[p]{d_X(x_0,y_0)^p+d_Y(x_1,y_1)^p}$$ と定義する。$d_p$ を $\ell^p$ 距離、$(X\times Y, d_{\tiny X\times Y}^{\tiny p})$ を $\ell^p$ 積という。
列4.1.3
定義4.1.4（無限 $\ell^p$ 積）
$( (X_\lambda,d_\lambda) )_{\lambda\in\Lambda}$ を距離空間の族とし 、$p$ は $1\le p\le\infty$ を満たすとする。このとき $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ 上の拡張距離 $d_p$ を $$d_p( (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}, (y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}):=\begin{cases} \max\{d_\lambda(x_\lambda,y_\lambda)|\lambda\in\Lambda\} & (p=\infty) \\ \sqrt[p]{\sum_{\lambda\in\Lambda}d_\lambda(x_\lambda,y_\lambda)^p}& (0\le p<\infty) \end{cases}$$ と定義する。
各距離空間 $X_\lambda$ に点 $b_\lambda\in X_\lambda$ が定められているとき $$(\{(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda | d_p( (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}, (b_\lambda)_{\lambda\in\Lambda})<\infty\},d_p)$$ は狭義の距離空間となる。
性質4.1?
定理4.1.?（射影極限と極限）
$1$-Lipschtz写像の圏 $\mathbf{Lip}_1$ は極限を持つ。等長埋め込みの圏 $\mathbf{Isom}$ は射影極限を持つ((これは射影極限を構成する個々の空間の部分空間として実現出来てしまうのでそれほど興味深いものではない))。
4.2. 商
定義4.2.1（商擬距離）
距離空間 $(X,d)$ から集合 $Y$ への全射 $f\colon X\to Y$ が与えられたとき $Y$ 上の擬距離 $d_{/f}$ を $$d_{/f}(y_0,y_1):=\sup\{d'(y_0,y_1) | d'{\small\,は\,} f\colon (X,d)\to (Y,d') {\small\,を\,}1{\text -}{\small Lipschtzにする擬距離\,}\}$$ と定義する。$d_{/f}$ を商擬距離（quotient pseudometric）という。これは商写像を $1$-Lipschtzにするような最大の擬距離である。
定理4.2.2（商擬距離の具体構成）
$f\colon X\to Y$ を距離空間 $(X,d)$ から集合 $Y$ への全射とする。このとき $$d_{/f}(y,y')=\inf\{\sum_{i=0}^{n}d(x_{2i},x_{2i+1}) | n\in\N{\small\, かつ\,}f(x_0)=y,f(x_{2n+1})=y'{\small\,かつ任意の\,}i=0,\cdots,n-1{\small\,にたいし\,}f(x_{2i+1})=f(x_{2i+2})\}$$ となる。
4.3. 直和と貼り合わせ
定義4.3.1（距離空間の直和）
$( (X_\lambda,d_\lambda) )_{\lambda\in\Lambda}$ を距離空間の族とする。このとき直和 $\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ 上には自然な拡張距離 $d_{\tiny\coprod}$ が $$d_{\tiny\coprod}(x,y):=\begin{cases} d_\lambda(x,y) & (x,y\in X_\lambda) \\ \infty & (otherwise) \end{cases}$$ のように入る。これは自然な埋め込みを全て $1$-Lipschtzにするような最大の拡大距離である。
定義4.3.2（貼り合わせ）
$A$ を空でない距離空間、$( (X_\lambda,d_\lambda) )_{\lambda\in\Lambda}$ を距離空間の族、$(f_\lambda :A\to X_\lambda )_{\Lambda\in\Lambda}$ を等長埋め込みとする。このとき直和 $\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ 上の同値関係 $$x\sim y:\Leftrightarrow x=y {\small\, 又は、ある\,}\lambda\in\Lambda{\small\, が存在して\,} f_{\lambda}(x)=f_{\lambda}(y)$$ による $d_{\tiny\coprod}$ の商擬距離 $d_{\tiny\coprod/\sim}$ は $\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda/\sim$ 狭義の距離を定める。$(\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda/\sim,d_{\tiny\coprod/\sim})$ を $\coprod_{f_\lambda}X_\lambda$ や $\coprod_{A}X_\lambda$ と表し、$( (X_\lambda,d_\lambda) )_{\lambda\in\Lambda}$ の $(f_\lambda :A\to X_\lambda )_{\Lambda\in\Lambda}$ による貼り合わせという。
定理4.2.?（帰納極限と余極限）
$1$-Lipschtz写像の圏 $\mathbf{Lip}_1$ は余極限を持つ。等長埋め込みの圏 $\mathbf{Isom}$ は帰納極限を持つ。
