和公式(多重ゼータ値)
$\newcommand{\pp}{\boldsymbol{p}}$ $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\bf}{\boldsymbol{f}}$ $\newcommand{\sh}{\mathbin{\text{ш}}}$ $\newcommand{\ue}{\uparrow}$ $\newcommand{\hidari}{\leftarrow}$ $\newcommand{\shita}{\downarrow}$ $\newcommand{\hof}{\mathfrak{H}}$ $\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\SS}{\mathcal{S}}$ $\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\z}{\mathfrak{Z}}$ $\newcommand{\hA}{\widehat{\AA}}$ $\newcommand{\hS}{\widehat{\SS}}$ $\newcommand{\hF}{\widehat{\FF}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}$ $\newcommand{\bl}{\boldsymbol{l}}$ $\newcommand{\bh}{\boldsymbol{h}}$ $\newcommand{\bep}{\boldsymbol{\epsilon}}$ $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$ $\newcommand{\dep}{\mathrm{dep}}$ $\newcommand{\wt}{\mathrm{wt}}$ $\newcommand{\MT}{\mathrm{MT}}$
主に多重ゼータ値に関連する文脈において、和公式 (sum formula) とは、インデックスのある情報を固定してゼータ値の和を取ったときに、それがある程度簡明な形で書けるという公式の総称である。歴史的にはHoffmanの sum conjecture に始まり、今では様々な変種が知られている。ときおり巡回和公式が和公式の細分化として紹介されることもあるが、ここでは触れない。
多重ゼータ値における和公式
正整数 $k,r$ に対し重さ $k$ かつ深さ $r$ のインデックス全体がなす集合を $I(k,r)$ と書く。その部分集合として、$i$ 番目の成分が $2$ 以上であるような元だけを取ったものを $I_i(k,r)$ と書く。とくに $I_r(k,r)$ は重さと深さを固定した許容インデックス全体の集合であり、$I_0(k,r)$ と書くこともある。
最も古典的な意味での和公式は重さと深さを固定した次の定理である: Hoffman1でsum conjectureとして予想され、Granville2で証明された。
定理 1 (和公式; Granville1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}\zeta(\bk)=\zeta(k)\] が成り立つ。
また、定義を許容インデックスに限らない多重ゼータ値の拡張として正規化があるが、これに関しても和公式の類似がLi3およびKaneko-Sakata4で得られている[1]。
定理 2 (シャッフル正規化和公式; Kaneko-Sakata1)
正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k+r,r)}\zeta^{\sh}(\bk)=(-1)^{r-1}\zeta(\{1\}^{r-1},k+1)\] が成り立つ。
インデックスを一つ固定し、すべての置換を働かせて和を取るような和公式を対称和公式と呼ぶことがある。調和正規化多項式は調和関係式を満たすので、Hoffman代数のレベルでの対称和公式より次がわかる。
定理 3
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\ast}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)};T)=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta^{\ast}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right)\] が成り立つ。ここで $B_1,\ldots,B_l$ は $\{1,\ldots,r\}$ の分割全体を渡り、$S_r$ は $r$ 次の対称群である。
シャッフル正規化多項式は (少なくとも定義からすぐにわかる範囲では) 調和関係式を満たさないため対称和公式の存在をHoffman代数の議論から導くことは難しいように思われるが、実際はMachide5において類似が発見されている。
定理 4 (Machide1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\sh}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^l\chi_i(\bk;B_i)(|B_i|-1)!\zeta^{\sh}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right)\] が成り立つ。ここで $B_1,\ldots,B_l$ は $\{1,\ldots,r\}$ の分割全体を渡り、 \[\chi(\bk;B_i)=\begin{cases} 0 & (|B_i|>1,~j\in B_i\implies k_j=1),\\ 1 & (\text{otherwise})\end{cases}\] とおいた。
以下の二つはKaneko-Sakata型和公式[2]と呼ばれる系列の定理であり、高さを固定した和が特徴である。
定理 5 (Murahara-Sakata1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と整数 $h\ge r$ に対し \[\sum_{(l_1,\ldots,l_r)\in I(h,r)}\zeta(\{1\}^{l_1-1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{l_r-1},k_r+1)=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\bl\in\ZZ_{\ge 1}^i\\\bk\preceq\bl}}\sum_{\bh\in I(h,i)}(-1)^{i-r}\zeta(\bl\oplus\bh)\] が成り立つ。
系 6 (Kaneko-Sakata1)
正整数 $k,r$ に対し \[\zeta(\{1\}^{r-1},k+1)=\sum_{j=1}^{\min\{r,k\}}(-1)^{j-1}\sum_{\substack{\bk\in I(k,j)\\ \bl\in I(r,j)}}\zeta(\bk\oplus\bl)\] が成り立つ。
次に述べるのは制限付き和公式、重み付き和公式と呼ばれる関係式たちである。同じ名称で様々な定理が知られている。
定理 7 (一般化制限付き和公式; Murahara-Murakami1, Eie2)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し \begin{align} &\sum_{\bl=(l_1,\ldots,l_r)\in I(r+h,r)}\sum_{i=1}^r\sum_{\bh_i\in I(k_i+l_i-1,l_i)} \zeta(\bh_1,\ldots,\bh_{r-1},(\bh_r)_{\ue})\\ &=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_{r-1})\in\ZZ_{\ge 0}^{r-1}\\ \wt(\be)=h-i}}\sum_{\substack{\bf\in\ZZ_{\ge 0}^{h+r-i}\\ \wt(\bf)=i}}\zeta((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,k_{r-1},\{1\}^{e_{r-1}},k_r+1)\oplus\bf) \end{align} が成り立つ。
系 8 (Eie-Liaw-Ong1)
非負整数 $h$ と正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}\zeta(\{1\}^h,\bk)=\sum_{\substack{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I(k+h,h+1)\\ k_r>k-r}}\zeta(\bk)\] が成り立つ。
定理 9 (Gangl-Kaneko-Zagier1)
整数 $N\ge 2$ に対し \[\sum_{i=1}^{N-1}\zeta(2i,2N-2i)=\frac{3}{4}\zeta(2N),\qquad\sum_{i=1}^{N-1} \zeta(2i-1,2N-2i+1)=\frac{1}{4}\zeta(2N)\] が成り立つ。
定理 10 (Machide1)
正整数 $N$ に対し \begin{align} &\sum_{i=1}^N \zeta(6i-2,6N-6i+4)=\frac{1}{6}\zeta(6N+2)-\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N}\zeta(2i-1,6N-2i+3),\\ &\sum_{i=1}^N \zeta(6i-5,6N-6i+4)=\frac{1}{6}\zeta(6N-1)-\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N}\zeta(2i-1,6N-2i),\\ &\sum_{i=1}^N(\zeta(6i-3,6N-6i+3)-\zeta(6i-4,6N-6i+4)-\zeta(6i-5,6N-6i+5))\\ &=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N-1}\zeta(2i-1,6N-2i+1),\\ &\sum_{i=1}^N(\zeta(6i-2,6N-6i+3)+\zeta(6i-3,6N-6i+4)-\zeta(6i-4,6N-6i+5)),\\ &\qquad=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N}\zeta(2i-1,6N-2i+2),\\ &\sum_{i=1}^{N-1}(\zeta(6i,6N-6i-3)-\zeta(6i-1,6N-6i-2)-\zeta(6i-2,6N-6i-1))\\ &\qquad=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N-3}\zeta(2i,6N-2i-3),\\ &\sum_{i=1}^{N-1}(\zeta(6i+1,6N-6i-3)+\zeta(6i,6N-6i-2)-\zeta(6i-1,6N-6i-1))\\ &\qquad=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3N-2}\zeta(2i,6N-2i-2) \end{align} が成り立つ。
定理 11 (Komori-Matsumoto-Tsumura1, Chen-Chung-Eie2, Li-Qin3)
正整数 $k,r,a$ ($k\ge r$, $a\ge 2$) に対し \[\sum_{\substack{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I_0(k,r)}}\zeta(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=0}^{k-r}(-1)^i\binom{r+i}{r}\zeta(\{a\}^i)\zeta^{\star}(\{a\}^{r-i})\] が成り立つ。
系 12 (Hoffman1)
正整数 $k,r$ ($k\ge r\ge 1$) に対し \begin{align} \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_r)\in I(k,r)}}\zeta(2k_1,\ldots,2k_r) &=\frac{1}{2^{2(r-1)}}\binom{2r-1}{r}\zeta(2k)\\ &\qquad-\sum_{i=1}^{\lfloor (r-1)/2\rfloor}\frac{1}{2^{2r-3}(2i+1)B_{2i}}\binom{2r-2i-1}{r}\zeta(2i)\zeta(2k-2i) \end{align} が成り立つ。
系 13 (Yuan-Zhao1)
正整数 $k,r$ ($k\ge r\ge 3$) に対し \begin{align} \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_r)\in I(k,r)}}\zeta(4k_1,\ldots,4k_r) &=\sum_{i=0}^{\lfloor (r-1)/2\rfloor}\sum_{j=0}^{2i+1}\frac{(-1)^{\lfloor i/2\rfloor+j+r}2^{i+2}}{(2i+1)!}\binom{2i+1}{j}\binom{(j-2)/4}{r}\zeta(4k-2i)\pi^{2i}\\ &\quad+\sum_{i=0}^{\lfloor (r-2)/4\rfloor}\sum_{j=0}^{4i+2}\frac{(-1)^{k+j+r}2^{2i+4}}{(4i+2)!}\binom{4i+2}{j}\binom{(j-2)/4}{r}\\ &\qquad\cdot\left(\sum_{u=0}^{k-i-1}\zeta(4u)\zeta(4k-4i-4u)-(k-1)\zeta(4k)-\frac{7}{4}\zeta(4k-4i)\right)\pi^{4i} \end{align} が成り立つ。
定理 14 (Nakamura1)
正整数 $N\ge 2$ に対し \[\sum_{i=1}^{N-1}(4^i+4^{N-i})\zeta(2i,2N-2i)=\left(N+\frac{3}{4}+\frac{2}{3}4^{N-1}\right)\zeta(2N)\] が成り立ち, $N\ge 4$ なら \[\sum_{i=2}^{N-2}(2i-1)(2N-2i-1)\zeta(2i,2N-2i)=\frac{3}{4}(N-3)\zeta(2N)\] が成り立つ。
定理 15 (Guo-Xie1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[D(\bk)=2^{k_r-1}+(2^{k_r-1}-1)\sum_{i=0}^{r-2}2^{\delta_{i,0}+\wt(\bk^{[i]})-k_r-r+i+1}\] とおく。 このとき正整数 $k,r$ ($k>r\ge 2$) に対し \[\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I_0(k,r)}D(k_2,\ldots,k_r)\zeta(\bk)=k\zeta(k)\] が成り立つ。
定理 16 (Eie-Liaw-Ong1)
正整数 $k,r$ ($k\ge 2r$) に対し \[\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_{2r})\in I(k,2r)}\sum_{j=1}^r 2^{k_{2j}}\zeta(\bk_{\ue})=\frac{1}{2}(k+2r)\zeta(k+1)\] が成り立つ。
系 17 (Ohno-Zudilin1)
整数 $k\ge 3$ に対し \[\sum_{i=1}^{k-2}2^{k-i}\zeta(i,k-i)=(k+1)\zeta(k)\] が成り立つ。
また、Kaneko-Yamamoto型正規化多重ゼータ値に対する対称和公式の類似もMachide6が指摘している。
定理 18 (Machide1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star,\mathrm{KY}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)};T)=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^l\chi_i(\bk;B_i)(|B_i|-1)!\zeta^{\star,\mathrm{KY}}\left(\sum_{j\in B_i}k_j;T\right)\] が成り立つ。ここで $B_1,\ldots,B_l$ は $\{1,\ldots,r\}$ の分割全体を渡る。
補間多重ゼータ値における和公式
補間多重ゼータ値に対する和公式も原典であるYamamoto7から研究されており、今ではGranvilleの和公式(定理 1)、シャッフル正規化和公式(定理 2)、Kaneko-Sakata型和公式(定理 )、Guo-Xieの和公式(定理 15)、Komori-Matsumoto-Tsumuraの和公式(定理 11)の類似が見つかっている。もちろん $t\to 1$ とすることで多重ゼータスター値に関する公式を得ることもできる。
定理 19 (Yamamoto1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}\zeta^t(\bk)=\left(\sum_{j=0}^{r-1}\binom{k-1}{j}t^j(1-t)^{r-1-j}\right)\zeta(k)\] が成り立つ。
定理 20 (Li1)
正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k+r,r)}\zeta^{t,\sh}(\bk)=\sum_{i=1}^r(-1)^{i-1}t^{r-i}\sum_{\substack{\bk=(k_1,\ldots,k_i)\in I(k+r,i)\\ k_i>k}}\binom{k_i}{k+1}\zeta^t(k_1,\ldots,k_i)\] が成り立つ。
定理 21 (Li1)
正整数 $k,r$ に対し \[\zeta^t(\{1\}^{r-1},k+1)=\sum_{j=1}^{\min\{k,r\}}(-1)^{j-1}\sum_{\substack{\bk\in I(k,j)\\(l,\bl)\in I(r,j)}}\frac{1-t^l}{1-t}\zeta(\bk\oplus(l,\bl))\] が成り立つ。
定理 22 (Li1)
正整数 $k,r$ ($k>r\ge 2$) に対し \begin{align} &\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I_0(k,r)}D(k_2,\ldots,k_r)\zeta^t(\bk)\\ &-t\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_{r-1})\in I_0(k,r-1)}(D(\bk)-(1-\delta_{1,r})D(k_2,\ldots,k_{r-1})+\delta_{1,r}k)\zeta^t(\bk)\\ &+(t-t^2)\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_{r-2})\in I_0(k,r-2)}\sum_{i=1}^{r-2}\binom{k_i-1}{2}\zeta^t(\bk)\\ &\qquad=\left(\sum_{i=1}^{r-2}\left(k\binom{k-1}{i}-(k-r+1)\binom{k-1}{i-1}\right)t^i(1-t)^{r-1-i}+k(1-t)^{r-1}+\binom{k-1}{r-1}t^{r-1}\right)\zeta(k) \end{align} が成り立つ。
定理 23 (Li1)
正整数 $k,r,a$ ($k\ge r$, $a\ge 2$) に対し \[\sum_{\substack{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I(k,r)}}\zeta^t(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\min\{r,i\}}(-1)^{i+j}\binom{k-j}{k-r}\binom{i}{j}t^{r-j}\zeta(\{a\}^{i})\zeta^{\star}(\{a\}^{k-i})\] が成り立つ。
有限・対称多重ゼータ値における和公式
以後 $\FF$ と書けば $\AA$ と $\SS$ のいずれかを意味するものとし、正整数 $k,n$ に対し $\z_{\SS_n}(k)=\zeta(k)\in\overline{\mathcal{Z}}[ [t] ]/(t^n)$ とおく ($\overline{\mathcal{Z}}=\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$)。記号 $\Lambda$ は $\FF=\AA$ なら $\pp$ を、$\FF=\SS$ なら $t$ を意味するものとする。その他に用いる記号の定義は有限多重ゼータ値、対称多重ゼータ値を参照されたい。
定理 24 (Ono-Sakurada-Seki1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\hF}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\hF}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right),\] \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\hF}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\hF}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right)\] が成り立つ。ここで $B_1,\ldots,B_l$ は $\{1,\ldots,r\}$ の分割全体を渡る。
定理 25 (Ono-Sakurada-Seki1)
正整数 $k,r$ ($k\ge r$) に対し \[T_{k,r}=\sum_{\substack{B_1\sqcup B_2=\{1,\ldots,r\}\\ B_i\neq\emp}}\sum_{\substack{b_1+b_2=k\\ b_i\ge |B_i|}}\frac{b_1!b_2!}{(b_1-|B_1|)!(b_2-|B_2|)!}\z_{\FF_3}(b_1+1)\z_{\FF_3}(b_2+1)\] と書いたとき \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\FF_3}(\bk)=(-1)^{k+r-1}\left(\binom{k}{r}\z_{\FF_3}(k+1)\Lambda+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\z_{\FF_3}(k+2)-\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)\Lambda^2\right),\] \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\FF_3}(\bk)=(-1)^k\left(\binom{k}{r}\z_{\FF_3}(k+1)\Lambda+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\z_{\FF_3}(k+2)+\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)\Lambda^2\right)\] が成り立つ。
系 26 (Seki-Yamamoto1, Ono-Sakurada-Seki2)
正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\FF_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\FF_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\binom{k}{r}\z_{\FF_2}(k+1)\Lambda\] が成り立つ。さらに $kr$ が奇数ならば \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\FF_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\FF_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\z_{\FF_3}(k+2)\Lambda^2\] が成り立つ。
定理 27 (Seki-Yamamoto1, Ono-Sakurada-Seki2)
正整数 $r,i$ と偶数 $k$ ($i\le r<k$) に対し \[b_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{r-i}\left((k-r)\binom{k}{i-1}+\binom{k-1}{i-1}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{r-i}\right),\] \[b^{\star}_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{i-1}\left((k-r)\binom{k}{r-i}+\binom{k-1}{r-i}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{i-1}\right),\] とおくと \[\sum_{\bk\in I_i(k,r)}\zeta_{\FF_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{b_{k,r,i}}{2}\z_{\FF_2}(k+1)\Lambda,\] \[\sum_{\bk\in I_i(k,r)}\zeta^{\star}_{\FF_2}(\bk)=\frac{b^{\star}_{k,r,i}}{2}\z_{\FF_2}(k+1)\Lambda\] が成り立つ。
系 28 (Saito-Wakabayashi1, Murahara2)
正整数 $r,i$ と偶数 $k$ ($i\le r<k$) に対し \[\sum_{\bk\in I_i(k,r)}\zeta_{\FF}(\bk)=(-1)^r\sum_{\bk\in I_i(k,r)}\zeta^{\star}_{\FF}(\bk)=(-1)^i\left(\binom{k-1}{i-1}+(-1)^r\binom{k-1}{r-i}\right)\z_{\FF_1}(k)\] が成り立つ。
定理 29 (一般化重み付き和公式; Kamano1)
正整数 $k,r$ と不定元 $x_1,x_2,y_1,y_2$ に対し \begin{align} \sum_{\substack{0\le i\le k\\ 0\le j\le r}}((-1)^{k+r-i-j}x_1^ix_2^{k-i}y_1^jy_2^{r-j}+(x_1^iy_1^j+x_2^iy_2^j)(x_1+x_2)^{k-i}(y_1+y_2)^{r-j})\qquad&\\ \cdot\sum_{\substack{\bk\in I(i+j+1,i+1)\\ \bl\in I(k+r-i-j+1,k-i+1)}}\zeta_{\AA}(\bk,\bl)=0 \end{align} が成り立つ。
定理 30 (Hirose-Murahara-Saito1)
正整数 $k,r,i$ ($r$ は奇数で $1\le i\le r$) に対し \[\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I(k,r)}2^{k_i}\zeta_{\AA}(\bk)=\sum_{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in I(k,r)}2^{k_i}\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=0\] が成り立つ。
予想 31 (Hirose-Murahara-Saito1)
正整数 $k,r$ と有理数 $a,b$ に対し \begin{align} &\sum_{\bk=(k_0,\ldots,k_r)\in I(k,r)}\left((b^{k_0}-a^{k_0})\prod_{i=1}^r(a+bi)^{k_i}\right)\zeta_{\AA}(\bk)\\&\qquad=\sum_{\bk=(k_0,\ldots,k_r)\in I(k,r)}\left((b^{k_0}-a^{k_0})\prod_{i=1}^r(a+bi)^{k_i}\right)\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=0 \end{align} が成り立つであろう。
定理 32 (一般化制限付き和公式; Murahara-Murakami1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し \begin{align} &\sum_{\bl=(l_1,\ldots,l_r)\in I(r+h,r)}\sum_{\substack{\bh_i\in I(k_i+l_i-1,l_i)\\ (1\le i\le r)}} \zeta_{\FF}(\bh_1,\ldots,\bh_r)\\ &=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_{r-1})\in\ZZ_{\ge 0}^{r-1}\\ \wt(\be)=h-i}}\sum_{\substack{\bf\in\ZZ_{\ge 0}^{h+r-i}\\ \wt(\bf)=i}}\zeta_{\FF}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,k_{r-1},\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\bf) \end{align} が成り立つ。
定理 33 (Kaneko-Sakata型和公式; Murahara-Sakata1)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と整数 $h\ge r$ に対し \[\sum_{(l_1,\ldots,l_{r+1})\in I(h+1,r+1)}\zeta_{\FF}(\{1\}^{l_1-1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{l_r-1},k_r+1,\{1\}^{l_{r+1}-1})=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\bl\in\ZZ_{\ge 1}^i\\\bk\preceq\bl}}\sum_{\bh\in I(h,i)}(-1)^{i-r}\zeta_{\FF}(\bl\oplus\bh)\] が成り立つ。
また、補間有限多重ゼータ値の和公式がSeki8で発見されている。原論文では $\FF=\AA$ のケースのみ述べられているが、全く同様の証明手法を $\FF=\SS$ にも用いることができる。これの和の範囲を $I_i(k,r)$ ($1\le i\le r$) へ拡張することは未解決問題である。
定理 34 (Seki1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}\zeta^t_{\FF}(\bk)=\sum_{j=0}^{r-1}\left(\binom{k-1}{j}+(-1)^r\binom{k-1}{r-1-j}\right)t^j(1-t)^{r-1-j}\z_{\FF_1}(k)\] が成り立つ。
その他の変種における和公式
多重T値における重み付き和公式がいくつか発見されている:
定理 35 (Takeyama1)
冪級数の等式 \[1-\sum_{1\le r<k}\left(\sum_{s=1}^r\frac{1}{2^s}\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}T(\bk)\right)x^{k-r}y^r=\exp\left(\sum_{k\ge 2}\frac{T(k)}{2k}(x^k+y^k-(x+y)^k)\right)\] が成り立つ。
系 36 (Kaneko-Tsumura1)
整数 $k\ge 3$ に対し \[\sum_{j=1}^{k-2} 2^{k-j-1}T(j,k-j)=(k-1)T(k)\] が成り立つ。
定理 37 (Berger-Chandra-Jain-Xu-Xu-Zhao1)
整数 $k\ge 4$ に対し \[\sum_{\bk=(k_1,k_2,k_3)\in I_0(k,3)}2^{k_2}(3^{k_3-1}-1)T(\bk)=\frac{2}{3}(k-1)(k-2)T(k)\] が成り立つ。
パラメータ付き多重ゼータ値のOhno関係式がIgarashi9によって示されており、その系として和公式を得ることができる。
定理 38 (Igarashi1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) と $\Re(\alpha)>0$ に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}Z(\bk;\alpha)=Z(k;\alpha)\] が成り立つ。
Mordell-Tornheim型多重ゼータ値の和公式も低い深さにおいては発見されているが、深さ $5$ の時点で未解決となっている。
定理 39 (Pallewatta1)
整数 $k\ge 3$ に対し \[\sum_{(k_1,k_2,k_3)\in I(k,3)}\zeta_{\MT}(k_1,k_2;k_3)=(k-1)\zeta(k)\] が成り立つ。
定理 40 (Pallewatta1)
整数 $k\ge 3$ に対し \[\sum_{(k_1,k_2,k_3,k_4)\in I(k,4)}\zeta_{\MT}(k_1,k_2,k_3;k_4)=\frac{(k-1)(k+4)}{4}\zeta(k)\] が成り立つ。
予想 41 (Pallewatta1)
整数 $k\ge 2$ に対し \begin{align} &\sum_{(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5)\in I(2k+1,5)}\zeta_{\MT}(k_1,k_2,k_3,k_4;k_5)\\ &\qquad=k(2k+3)\zeta(2k+1)+\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{k-1}(2i-1)(2i-2)(2-2^{2k+1-2i})\zeta(2i)\zeta(2k+1-2i) \end{align} が成り立つであろう。
脚注
