対称多重ゼータ値

$\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\shift}{\mathrm{shift}}$ $\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}$ $\newcommand{\pp}{\boldsymbol{p}}$ $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\bf}{\boldsymbol{f}}$ $\newcommand{\sh}{\mathbin{\text{ш}}}$ $\newcommand{\ue}{\uparrow}$ $\newcommand{\hidari}{\leftarrow}$ $\newcommand{\shita}{\downarrow}$ $\newcommand{\hof}{\mathfrak{H}}$ $\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\SS}{\mathcal{S}}$ $\newcommand{\z}{\mathfrak{z}}$ $\newcommand{\II}{\mathcal{I}}$ $\newcommand{\hA}{\widehat{\AA}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}$ $\newcommand{\bl}{\boldsymbol{l}}$ $\newcommand{\bh}{\boldsymbol{h}}$ $\newcommand{\bep}{\boldsymbol{\epsilon}}$ $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\hS}{\widehat{\mathcal{S}}}$ $\newcommand{\rt}{\mathrm{rt}}$ $\newcommand{\bV}{V_{\bullet}}$ $\newcommand{\wV}{V_{\circ}}$ $\newcommand{\rw}{% \begingroup \setlength{\fboxsep}{1mm}\setlength{\fboxrule}{0.3pt} \fbox{} \endgroup}$ $\newcommand{\rootw}{\raise1.1mm\hbox{\rw}}$ $\newcommand{\rb}{\rule{3.2mm}{3.2mm}}$ $\newcommand{\ttz}{\zeta_{\hS,M}}$ $\newcommand{\sh}{\text{ш}}$ $\newcommand{\dep}{\mathrm{dep}}$ $\newcommand{\wt}{\mathrm{wt}}$

対称多重ゼータ値 (symmetric multiple zeta values) は、Kaneko-Zagierが提唱した有限多重ゼータ値の実数における類似である。インデックスおよびHoffman代数に関する基本的な記号は多重ゼータ値と同様のものを使うこととして、ここでは省略する。また、対称多重ゼータ値の精密化のひとつである $t$ 進対称多重ゼータ値についてもここで述べる。

対称多重ゼータ値の定義

定義 1 (調和/シャッフル対称多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};T)\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};T)$$ とおく。ここで $\zeta^{\bullet}(\bk)$ は正規化多項式である。

定理 2

任意のインデックス $\bk$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)$ は $T$ に依存せず、 \[\zeta^{\ast}_{\SS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\SS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}\] が成り立つ。ここで $\mathcal{Z}$ は $\mathbb{Q}$ 上で $1$ とすべての多重ゼータ値 $\zeta(\bk)$ が張る空間である。

証明

$\phi^{\bullet}(x,y;T)=\sum_{\bk\in\II_0}\zeta^{\bullet}(\bk;T)z_{\bk}\in\RR[T]\langle\langle{x,y\rangle\rangle}$ とおく。$\RR[T]\langle\langle{x,y\rangle\rangle}$ 上の反自己同型 $\ep$ を \[\ep(x)=-x,\qquad\ep(y)=-y,\qquad\ep(T)=T\] から定め、$\phi^{\bullet}_{\Ad}(x,y;T)=\phi^{\bullet}(x,y;T)y\ep(\phi^{\bullet}(x,y;T))$ とおくと、定義より \[\phi^{\bullet}_{\Ad}(x,y)=\sum_{\bk\in\II_0}\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)z_{\bk}y\] が成り立つ。そのため $\phi^{\bullet}_{\Ad}$ が $T$ に依存しないことと $\mathrm{mod}~\zeta(2)$ で $\bullet$ に依存しないことをいえば十分である。さて写像 \[\II'_0\times\ZZ_{\ge 0}\to\II_0;(\bk;n)\mapsto (\bk,\underbrace{1,\ldots,1}_n)\] は全単射となるため、正規化多項式の明示式より \begin{align} \phi^{\bullet}(x,y;T) &=\sum_{\bk\in\II'_0}\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\bullet}(\bk,\{1\}^n;T)z_{\bk}y^n\\ &=\sum_{\bk\in\II'_0}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^n\zeta^{\bullet}(\bk,\{1\}^{n-i})\frac{T^i}{i!}z_{\bk}y^n\\ &=\sum_{\bk\in\II'_0}\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\zeta^{\bullet}(\bk,\{1\}^m)\frac{T^i}{i!}z_{\bk}y^{m+i}\\ &=\phi^{\bullet}(x,y;0)\exp(Ty) \end{align} と計算できる。したがって \[\phi^{\bullet}_{\Ad}(x,y;T)=\phi^{\bullet}(x,y;0)e^{yT}ye^{-yT}\ep(\phi^{\bullet}(x,y;0))=\phi^{\bullet}_{\Ad}(x,y;0)\] となり、定理の前半が言えた。また、正規化定理より \[\phi^{\sh}(x,y;T)=\rho(\phi^{\ast}(x,y;0)e^{yT})=\phi^{\ast}(x,y;0)\Gamma_0(-y)e^{yT}=\phi^{\ast}(x,y;T)\Gamma_0(-y)\] であり (ここで $\rho$ は $x,y$ 冪の係数ごとに作用していることに注意) ため \[\phi^{\sh}(x,y;T)=\phi^{\ast}(x,y;T)\Gamma_0(-y)y\Gamma_0(y)\ep(\phi^{\ast}(x,y;T))\] がわかる。一方で有名な結果 $\zeta(2n)\in\pi^{2n}\QQ$ より \[\Gamma_0(-y)\Gamma_0(y)=\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(2k)}{k}y^{2k}\right)\equiv 1~(\mathrm{mod}~\zeta(2))\] となるので、残りの部分も示せた。

□

定理 3 (対称多重ゼータ値)

定理 3.2 によって空間 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ において一致するこれらの値を $\zeta_{\SS}(\bk)$ と書き、対称多重ゼータ値 (symmetric multiple zeta value, SMZV)、もしくは $\SS$-多重ゼータ値 ($\SS$-multiple zeta value) という。また $$\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=\sum_{\bl\preceq\bk}\zeta_{\SS}(\bl)$$ とおき、対称多重ゼータスター値 (symmetric multiple zeta star value, SMZSV)、もしくは $\SS$-多重ゼータスター値 ($\SS$-multiple zeta star value) という。

定理 4 (truncated対称多重ゼータ値; Yasuda, Zagier, Ono-Seki-Yamamoto)

正整数 $M$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta^{\ast}_{\SS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i<M\\ -M<n_{i+1}<\cdots<n_r<0}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},$$ $$\zeta^{\sh}_{\SS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i\\ n_{i+1}<\cdots<n_r<0\\ n_i-n_{i+1}<M}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ とおくと $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\lim_{M\to\infty} \zeta^{\bullet}_{\SS,M}(\bk)$$ である。

代数的定式化

Hoffman代数の記号を用いて、$\QQ$ 線形写像 $Z_{\SS}\colon\hof^1\to\SS$ を $z_{\bk}\mapsto\zeta_{\SS}(\bk)$ から定める。インデックスの $\QQ$ 線形和に対して写像 $\zeta_{\SS}$ も拡張しておく。

対称多重ゼータ値の関係式

定理 5 (対称和公式; Murahara [M2, Theorem 1.1])

$r$ を正整数、$S_r$ を $r$ 次の対称群としたとき $$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\SS}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\SS}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$$ が成り立つ。

系 6

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\SS}(\{k\}^r)=\zeta^{\star}_{\SS}(\{k\}^r)=0$$ である。ここで $\{X\}^r$ は $X$ の $r$ 個並んだ列を意味する。 とくに深さ $1$ の対称多重ゼータ値はすべて $0$ である。

定理 7 (Kaneko [Kan, Example 9.4 (2)])

正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\SS}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(k_1+k_2)$$ である。

定理 8 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.5])

正の奇数 $k$ と和が $k$ になる正整数 $k_1,k_2,k_3$ に対し \[\zeta_{\SS}(k_1,k_2,k_3)=-\zeta^{\star}_{\SS}(k_1,k_2,k_3)=\frac{1}{2}\left((-1)^{k_1}\binom{k}{k_1}-(-1)^{k_3}\binom{k}{k_3}\right)\zeta(k)\] である。

定理 9 (Bowman-Bradley型定理; Ono [On2, p.22])

$a,b$ を正の奇数、$c$ を正の偶数、$(k_1,k_2)$ を同時に $0$ にはならない非負整数の組としたとき $$\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta_{\SS}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta^{\star}_{\SS}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=0$$ である。

定理 10 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.8])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し \[\zeta_{\SS}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\SS}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2+2}{k_1+1}\zeta(k_1+k_2+2)\] である。

定理 11 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.11])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\SS}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\SS}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=4(-1)^{k_1+k_2}\frac{k_1-k_2}{2k_1+1}\left(1-\frac{1}{4^{k_1+k_2}}\right)\binom{2k_1+k_2+1}{2k_2+1}\zeta(2k_1+2k_2+1)$$ である。

定理 12 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.10])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\SS}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\SS}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=2(-1)^{k_1+k_2}\frac{k_1-k_2}{k_1+1}\binom{2k_1+2k_2+3}{2k_2+3}\zeta(2k_1+2k_2+3)$$ である。

定理 13 (Li型定理; Sakurada)

正整数 $k,r,s$ に対し $$X_{\SS,0}(k,r,s)=\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{\SS}(\bk)$$ とおき、右辺で $\zeta_{\SS}$ を $\zeta^{\star}_{\SS}$ に換えたものを $X^{\star}_{\SS,0}(k,r,s)$ と書く。このとき正整数 $s$ と $s$ 以上の正整数 $m,n$ に対し $$X_{\SS}(m+n+1,n+1,s)=X_{\SS}(m+n+1,m+1,s),$$ $$(-1)^mX^{\star}_{\SS}(m+n+1,n+1,s)=(-1)^nX^{\star}_{\SS}(m+n+1,m+1,s)$$ である。

定理 14 (調和関係式; Kaneko [Kan, Proposition 9.2], Jarossay [J1, Proposition 1.5 (i)], Hirose [Hi, Theorem 7])

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\SS}(\bk)\zeta_{\SS}(\bl)$$ が成り立つ。

系 15

空でないインデックス $\bk$ に対し \[\sum_{i=0}^{\dep(\bk)}(-1)^{i}\zeta_{\SS}(\bk_{[i]})\zeta^{\star}_{\SS}(\overleftarrow{\bk^{[i]}})=0\] が成り立つ。

定理 16 (シャッフル関係式; Kaneko [Kan, Theorem 9.6], Hirose [Hi, Theorem 8] Jarossay [J1, Théorème 1.7 (i)], Hirose [Theorem 7], Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Corollary 3.11])

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk~\sh~\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\SS}(\bk,\overleftarrow{\bl})$$ が成り立つ。

系 17 (反転公式; Bachmann-Takeyama-Tasaka [BTT, Corollary 2.17])

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta_{\SS}(\bk)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bk)}\zeta_{\SS}(\overleftarrow{\bk})$$ である。

定理 18 (導分関係式; Murahara [M1, Theorem 2.1])

正整数 $h$ に対し、$\mathfrak{H}$ 上の導分 $\partial_h$ を $$\partial_h(x)=y(y+x)^{h-1}x,\qquad\partial_h(y)=-y(y+x)^{h-1}x$$ で定めると、任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し $$(Z_{\SS}\circ\partial_h)(w)=-Z_{\SS}(wy(y+x)^{h-1})$$ となる。

定理 19 (大野型関係式; Oyama [Oy, Remark 1.5])

インデックス $\bk$ に対し $\mathrm{dep}(\bk)=r,~\mathrm{dep}(\bk^{\vee})=s~(=1+\mathrm{wt}(\bk)-r)$ とおくと、非負整数 $h$ に対し \[\sum_{\substack{\be\in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} \zeta_{\SS}(\bk\oplus\be)=\sum_{\substack{\bf\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta_{\SS}((\bk^{\vee}\oplus\bf)^{\vee})\] が成り立つ。

• Horikawa-Murahara-Oyama [HoMuOy, Theorem 3.4] がこれと 定理 18 の同値性を示している。

定理 20 (スター大野型関係式; Hirose-Imatomi-Murahara-Saito [HIMS, Theorem 1.4])

インデックス $\bk$ に対し $\mathrm{dep}(\bk)=r,~\mathrm{dep}(\bk^{\vee})=s~(=1+\mathrm{wt}(\bk)-r)$ とおくと、非負整数 $h$ に対し \[\sum_{\substack{\be\in\ZZ^r_{\ge 0}\\\mathrm{wt}(\be)=h}} b_2(\bk;\be)\zeta^{\star}_{\SS}(\bk\oplus\be)=-\sum_{\substack{\bf\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta^{\star}_{\SS}(\bk^{\vee}\oplus\bf)\]が成り立つ。ここで $$b_2(k_1,\ldots,k_r;e_1,\ldots,e_r)=\prod_{i=1}^r\binom{k_i+e_i+\delta_{i,1}+\delta_{i,2}-2}{e_i},\qquad \binom{n-1}{n}=\delta_{n,0}$$ とおいた ($\delta_{i,j}$ はKroneckerのデルタである)。

系 21 (Hoffman双対性; Jarossay [J1, Corollaire 1.12], Hirose [Hi, Theorem 8], Bachmann-Takeyama-Tasaka [BTT, Corollary 2.17])

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=-\zeta^{\star}_{\SS}(\bk^{\vee})$$ が成り立つ。

• Hoffman双対インデックスの言い換えによって $\zeta_{\SS}$ に関する主張に書き直せることは有限多重ゼータ値の場合と同様である。

定理 22 (和公式; Murahara [M2, Theorem 1.2])

正整数 $1\le i\le r<k$ に対し $$\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\SS}(\bk)=(-1)^r\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\SS}(\bk)=(-1)^{i}{\left(\binom{k-1}{i-1}+(-1)^r\binom{k-1}{r-i}\right)}\zeta(k)$$ が成り立つ。

定理 23 (巡回和公式; Hirose-Sato, Hirose-Murahara-Ono [HiMuOn, Theorem 2.4, 6.1])

$1$ でない成分を含むインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\SS}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=\sum_{i=1}^r \left(\zeta_{\SS}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_i+1)+\zeta_{\SS}(k_i+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]})+\zeta_{\SS}(1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})\right),\] \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta^{\star}_{\SS}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=\sum_{i=1}^r\zeta_{\SS}^{\star}(1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})\] が成り立つ。

定理 24 (制限付き和公式; Murahara-Murakami [MM, Theorem 1.6])

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\boldsymbol{m}=(m_i)_i\in\ZZ_{\ge 1}^r\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=r+h}}\sum_{\substack{\boldsymbol{a}_i\in\ZZ_{\ge 1}^{m_i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{a})=k_i+m_i-1\\ (1\le i\le r)}}\zeta_{\SS}(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_r)=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\boldsymbol{e}=(e_i)_i\in\ZZ_{\ge 0}^{r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-i}}\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in\ZZ_{\ge 0}^{h+r-i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=i}}\zeta_{\SS}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\boldsymbol{f})$$ である。ここで $r=1$ のとき右辺は $\zeta_{\SS}(k_1+h)$ だと解釈する。

定理 25 (金子-坂田型和公式; Murahara-Sakata [Theorem 1.3])

深さ $r$ のインデックス $\bk$ と正整数 $h\ge r$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in\ZZ_{\ge 0}^{r+1}\\\mathrm{wt}(\be)=h-r}}\zeta_{\SS}(\{1\}^{e_1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{e_r},k_r+1,\{1\}^{e_{r+1}})=\sum_{\substack{\mathrm{dep}(\bl)\le h\\\bl\succeq\bk\\}}\sum_{\substack{\be\in \ZZ_{\ge 1}^{\mathrm{dep}(\bl)}\\\mathrm{wt}(\bf)=h}}(-1)^{\mathrm{dep}(\bl)-r}\zeta_{\SS}(\bl\oplus\bf)$$ である。

定理 26 (二重大野関係式; Hirose-Murahara-Onozuka-Sato [HMOS, Theorem 2.7])

非負整数 $d,n_0,\ldots,n_{2d}$ に対し $$\bk=(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\{2\}^{n_2},\ldots,\{2\}^{n_{2d-2}},1,\{2\}^{n_{2d-1}},3,\{2\}^{n_{2d}})$$ とおき、$r=\mathrm{dep}(\bk),~s=\mathrm{wt}(\bk)-r$ と書く。このとき非負整数 $h_1,h_2$ に対し $$\sum_{\substack{\be_1\in\ZZ_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be_1)=h_1\\\be_2\in\ZZ_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be_2)=h_2}} \zeta_{\SS}(\bk_{\downarrow}\oplus\be_1\oplus\be_2)=\sum_{\substack{\bf_1\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf_1)=h_1\\\bf_2\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf_2)=h_2}} \zeta_{\SS}(((\bk_{\downarrow})^{\vee}\oplus\bf_1\oplus\bf_2)^{\vee})$$ が成り立つ。

金子-Zagier予想

有限多重ゼータ値との類似性が次のように予想されている。

予想 27 (金子-Zagier予想)

$\QQ$-代数としての同型 $$\mathcal{Z}_{\AA}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$$ であって $\zeta_{\AA}(\bk)$ を $\zeta_{\SS}(\bk)$ に写すものが存在する。

$t$ 進対称多重ゼータ値の定義

金子-Zagier予想の思想に則り、$\pp$ 進有限多重ゼータ値の対応物としてJarossay [J3] によって考案されたのが $t$ 進対称多重ゼータ値 である。

定義 28

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し \[\zeta^{t,\bullet}_{\shift}(\bk;T)=\sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0}b(\bk;e_1,\ldots,e_r)\zeta^{\bullet}(k_1+e_1,\ldots,k_r+e_r;T)t^{e_1+\cdots+e_r}\in\mathcal{Z}[T][ [t] ]\] とおく。ここで $$b(\bk;\be)=\prod_{i=1}^r \binom{k_i+e_i-1}{e_i}$$ と書いた。

定義 29

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};T)\zeta^{t,\bullet}_{\shift}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};T)$$ とおく。

補題 30

準同型 $\sigma^t\colon\hof^1[ [t] ]\to\hof^1[ [t] ]$ を \[\sigma^t(x)=x(1-xt)^{-1},\qquad \sigma^t(y)=y(1-xt)^{-1},\qquad \sigma^t(t)=t\] で定め、調和積を $t$ の冪ごとに作用するものとして $\hof^1[ [t] ]$ 上の積に拡張すると、$\sigma^t$ は調和積に関して準同型となる。

証明

インデックス $\bk,\bl$ に対し $\sigma^t(z_{\bk}\ast z_{\bl})=\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl})$ を示せば十分である。これを $N=\dep(\bk)+\dep(\bl)$ の帰納法で示す。$N=0,1$ のときはそれぞれ $\sigma^t(1\ast 1)=1$ と $\sigma^t(1\ast z_k)=\sigma^t(z_k\ast 1)=\sigma^t(z_k)$ ($k$ は正整数) より明らかで、$N-1$ 以下で主張が成り立っていることを仮定したとき深さの和 $N-2$ のインデックス $\bk,\bl$ と正整数 $k,l$ に対し \[\sigma^t(z_{\bk,k}\ast z_{\bl,l})=(\sigma^t(z_{\bk,k})\ast\sigma^t(z_{\bl}))\sigma^t(z_l)+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl,l}))\sigma^t(z_k)+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl}))\sigma^t(z_{k+l})\] である一方 \begin{align} &\sigma^t(z_{\bk,k})\ast\sigma^t(z_{\bl,l})\\ &=\sum_{e,f=0}^{\infty} \binom{k+e-1}{e}\binom{l+f-1}{f}(\sigma^t(z_{\bk})z_{k+e}\ast\sigma^t(z_{\bl})z_{l+f})t^{e+f}\\ &=\sum_{e,f=0}^{\infty} \binom{k+e-1}{e}\binom{l+f-1}{f}((\sigma^t(z_{\bk})z_{k+e}\ast\sigma^t(z_{\bl}))z_{l+f}+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl})z_{l+f})z_{k+e}+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl}))z_{k+e+l+f})t^{e+f}\\ &=(\sigma^t(z_{\bk,k})\ast\sigma^t(z_{\bl}))\sigma^t(z_l)+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl,l}))\sigma^t(z_k)+(\sigma^t(z_{\bk})\ast\sigma^t(z_{\bl}))\cdot\sum_{e,f=0}^{\infty}\binom{k+e-1}{e}\binom{l+f-1}{f}z_{k+e+l+f}t^{e+f} \end{align} となる。最後の級数は \[\sum_{e,f=0}^{\infty}\binom{k+e-1}{e}\binom{l+f-1}{f}z_{k+e+l+f}t^{e+f}=yx^{k+l-1}(1-xt)^{-k}(1-xt)^{-l}=\sigma^t(z_{k+l})\] と計算できて補題を得る。

□

定理 31

任意のインデックス $\bk$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)$ は $T$ に依存せず、 \[\zeta^{\ast}_{\hS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\hS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}[ [t] ]\] が成り立つ。

証明

$\phi^{t,\bullet}(x,y;T)=\sum_{\bk\in\II_0}\zeta^{t,\bullet}_{\shift}(\bk;T)z_{\bk}\in\RR[T][ [t] ]\langle\langle{x,y\rangle\rangle}$ とおく。これを $\mathrm{mod}~t$ すれば 定理 2 の証明で用いた $\phi^{\bullet}(x,y;T)$ に一致する。さて同証明の記号を用いて $\phi^{t,\bullet}_{\Ad}(x,y;T)=\phi^{\bullet}(x,y;T)y\ep(\phi^{t,\bullet}(x,y;T))$ とおくと、定義より \[\phi^{t,\bullet}_{\Ad}(x,y)=\sum_{\bk\in\II_0}\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)z_{\bk}y\] が成り立つから $\phi^{t,\bullet}$ が $T$ に依存しないことと $\mathrm{mod}~\zeta(2)$ で $\bullet$ に依存しないことを示す。さてインデックス $\bk$ に対し $\zeta^{t,\ast}_{\shift}(\bk;T)=Z^{\ast}_T(\sigma^t(z_{\bk}))$ である ($Z^{\ast}_T$ は $t$ 冪の係数ごとに作用) ことから $\zeta^{t,\ast}_{\shift}$ は調和関係式を満たし、したがってHoffman代数:命題5を使うことで許容インデックス $\bk$ と非負整数 $n$ に対し \[\zeta^{t,\ast}_{\shift}(\bk,\{1\}^n;T)=\sum_{i=0}^n\zeta^{t,\bullet}_{\shift}(\bk,\{1\}^{n-i};0)\frac{T^i}{i!}\] が成り立つ。ゆえに 定理 2 の証明における $\phi^{\bullet}(\bk;T)=\phi^{\bullet}(\bk;0)e^{Ty}$ の証明と同様にして $\phi^{t,\ast}(x,y;T)=\phi^{t,\ast}(x,y;0)e^{Ty}$ が証明できる。一方で写像 $\rho$ を $t$ 冪の係数ごとに作用させることで $\RR[T][ [t] ]$ へ拡張することで正規化定理より $\zeta^{t,\sh}_{\shift}(\bk;T)=\rho(\zeta^{t,\ast}_{\shift}(\bk;T))$ が成り立ち、 \[\phi^{t,\sh}(x,y;T)=\phi^{t,\ast}(x,y;0)\rho(e^{Ty})=\phi^{t,\ast}(x,y;0)\Gamma_0(-y)e^{Ty}=\phi^{t,\sh}(x,y;0)e^{Ty}\] がいえる。したがって結局両方の $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $\phi^{t,\bullet}(x,y;T)=\phi^{t,\bullet}(x,y;0)e^{Ty}$ が成り立って \[\phi^{t,\bullet}_{\Ad}(x,y)=\phi^{\bullet}(x,y;0)e^{Ty}ye^{-Ty}\ep(\phi^{t,\bullet}(x,y;0))\] は $T$ に依存しない。また、再び正規化定理より $\phi^{t,\bullet}(x,y;T)=\phi^{t,\ast}(x,y;T)\Gamma_0(-y)$ であるため \[\phi^{t,\sh}_{\Ad}(x,y)=\phi^{\ast}(x,y;T)\Gamma_0(-y)y\Gamma_0(y)\ep(\phi^{s,\ast}(x,y;T))\] と計算できて、これは 定理 2 と同様の議論によって $\mathrm{mod}~\zeta(2)$ で $\bullet$ に依存しない。

□

定義 32 ($t$ 進対称多重ゼータ値)

定理 31 によって空間 $(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[ [t] ]$ において一致するこれらの値を $\zeta_{\hS}(\bk)$ と書き、$t$ 進対称多重ゼータ値 ($t$-adic symmetric multiple zeta value)、もしくは $\hS$-多重ゼータ値 ($\hS$-multiple zeta value) という。また $$\zeta^{\star}_{\hS}(\bk)=\sum_{\bl\preceq\bk}\zeta_{\hS}(\bl)$$ とおき $t$ 進対称多重ゼータスター値 ($t$-adic symmetric multiple zeta star value)、もしくは $\hS$-多重ゼータスター値 ($\hS$-multiple zeta star value) という。写像 $\zeta_{\hS}$ は必要に応じて $\QQ$ 線形に拡張して考える。

定理 33 (truncated $t$ 進対称多重ゼータ値; Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Theorem 1.5])

正整数 $M$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta^{\ast}_{\hS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i<M\\ -M<n_{i+1}<\cdots<n_r<0}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_i^{k_i}(n_{i+1}+t)^{k_{i+1}}\cdots(n_r+t)^{k_r}},$$ $$\zeta^{\sh}_{\hS,M}(\bk)=\sum_{i=0}^r\sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i\\ n_{i+1}<\cdots<n_r<0\\ n_i-n_{i+1}<M}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_i^{k_i}(n_{i+1}+t)^{k_{i+1}}\cdots(n_r+t)^{k_r}}$$ とおくと $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $$\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)=\lim_{M\to\infty} \zeta^{\bullet}_{\hS,M}(\bk)$$ である。ただし極限は $t$ 冪の係数ごとにとる。

定義 34 ($\SS_n$-多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\SS_n}(\bk)=\zeta_{\hS}(\bk)~\mathrm{mod}~t^n,\quad\zeta^{\star}_{\SS_n}(\bk)=\zeta^{\star}_{\hS}(\bk)~\mathrm{mod}~t^n$$ とおき、それぞれ $\SS_n$-多重ゼータ値 ($\SS_n$-multiple zeta value, $\SS_n$-MZV)、$\SS_n$-有限多重ゼータスター値 ($\SS_n$-multiple zeta star value, $\SS_n$-MZSV) と呼ぶ。このとき従来の対称多重ゼータ値は $\zeta_{\SS_1}(\bk)$ とも書ける。

$t$ 進関係式

$t$ 進と書いたが、ここでは $\SS_2$ や $\SS_3$ に限定して知られている結果も記載する。

定理 35 ($\SS_n$-対称和公式; Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.1])

正整数 $n$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\SS_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\SS_n}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right),\] \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\SS_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\SS_n}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right)\] が成り立つ。ここで右辺の和は $\{1,\ldots,r\}=\bigsqcup_{i=1}^l B_i$ を満たす空でない集合 $B_1,\ldots,B_l$ 全体を渡る。

定理 36 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.4])

正の偶数 $k$ と和が $k$ になる正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\SS_2}(k_1,k_2)=\zeta^{\star}_{\SS_2}(k_1,k_2)-k\zeta(k+1)t=\frac{1}{2}{\left((-1)^{k_1}k_2\binom{k+1}{k_1}-(-1)^{k_2}k_1\binom{k+1}{k_2}-k\right)}\zeta(k+1)t$$ である。

定理 37 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.6])

正整数 $k,r$ に対し \[\zeta_{\SS_3}(\{k\}^r)=(-1)^{rk+r-1}\left(k\zeta(rk+1)t+\left(\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)-k^2\sum_{l=1}^{r-1}\zeta(lk+1)\zeta((r-l)k+1)\right)t^2\right),\] \[\zeta^{\star}_{\SS_3}(\{k\}^r)=(-1)^{rk}\left(k\zeta(rk+1)t+\left(\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)+k^2\sum_{l=1}^{r-1}\zeta(lk+1)\zeta((r-l)k+1)\right)t^2\right)\] が成り立つ。

系 38 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Remark 3.7])

積が奇数となる正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\SS_3}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\SS_3}(\{k\}^r)=(-1)^r\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)t^2$$ である。

系 39 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.6])

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\SS_2}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\SS_2}(\{k\}^r)=(-1)^{rk+r-1}k\zeta(rk+1)t$$ である。

定理 40 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.13])

和が偶数となる非負整数 $k_1,k_2$ に対し \[\zeta_{\SS_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac{1}{2}\left(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_2+2}\right)\zeta(k_1+k_2+3)t,\] \[\zeta^{\star}_{\SS_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac{1}{2}\left(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_1+2}\right)\zeta(k_1+k_2+3)t\] が成り立つ。

定理 41 (Bowman-Bradley型定理; Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 4.1])

$(k_1,k_2)$ を同時に $0$ にはならない非負整数の組としたとき \[\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta_{\SS_2}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\cdots \{2\}^{n_{2m-1}},1,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=(-1)^{k_2}\left((-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}-4\binom{2k_1+k_2}{2k_1}\right)\zeta(4k_1+2k_2+1)t,\] \[\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta^{\star}_{\SS_2}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\cdots \{2\}^{n_{2m-1}},1,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=(-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(4k_1+2k_2+1)t\] が成り立つ。

定理 42 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.2 (5.4), (5.5)])

正整数 $k,r$ ($k\ge r$) に対し 重さ $k$, 深さ $r$ のインデックス全体の集合を $I(k,r)$ と書き、 \[T_{k,r}=\sum_{\substack{B_1\sqcup B_2=\{1,\ldots,r\}\\ B_i\neq\emp}}\sum_{\substack{b_1+b_2=k\\ b_i\ge |B_i|}}\frac{b_1!b_2!}{(b_1-|B_1|)!(b_2-|B_2|)!}\zeta(b_1+1)\zeta(b_2+1)\] としたとき \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\SS_3}(\bk)=(-1)^{k+r-1}\left(\binom{k}{r}\zeta(k+1)t+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\zeta(k+2)-\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)t^2\right),\] \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\SS_3}(\bk)=(-1)^k\left(\binom{k}{r}\zeta(k+1)t+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\zeta(k+2)+\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)t^2\right)\] が成り立つ。

系 43 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.2 (5.3), Remark 5.3])

正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\SS_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\SS_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\binom{k}{r}\zeta(k+1)t\] が成り立つ。さらに $kr$ が奇数ならば \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\SS_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\SS_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\zeta(k+2)t^2\] が成り立つ。

定理 44 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.4])

正整数 $r,i$ と偶数 $k$ ($i\le r<k$) に対し \[b_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{r-i}\left((k-r)\binom{k}{i-1}+\binom{k-1}{i-1}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{r-i}\right),\] \[b^{\star}_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{i-1}\left((k-r)\binom{k}{r-i}+\binom{k-1}{r-i}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{i-1}\right),\] とおくと \[\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\SS_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{b_{k,r,i}}{2}\zeta(k+1)t,\] \[\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\SS_2}(\bk)=\frac{b^{\star}_{k,r,i}}{2}\zeta(k+1)t\] が成り立つ。

定理 45 ($t$ 進調和関係式; Jarossay [J3, Proposition 3.3.2 (ii), 3.4.1 (i)], Ono-Seki-Yamamoto [Corollary 2.8])

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し $$\zeta_{\hS}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\hS}(\bk)\zeta_{\hS}(\bl)$$ が成り立つ。

定理 46 ($t$ 進シャッフル関係式; Jarossay [J3, Proposition 3.3.2 (i), 3.4.1 (ii)], Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Corollary 3.11])

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta_{\hS}(\bk\sh\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{\be=(e_1,\ldots,e_s)\in\ZZ^s_{\ge 0}}b(\bl;\be)\zeta_{\hS}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl\oplus\be}\right)}t^{\mathrm{wt}(\be)}\] が成り立つ。ここで $s$ は $\bl$ の深さである。

証明 (by Ono-Seki-Yamamoto)

定理 33 と次節の 定理 を組み合わせるとわかる。

□

定理 47 ($t$ 進双対性; Hirose, Takeyama-Tasaka [TT, Corollary 6.8])

任意のインデックス $\bk$ に対し \[\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\star}_{\hS}(\bk,\{1\}^n)t^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\star}_{\hS}(\bk^{\vee},\{1\}^n)t^n\] が成り立つ。

定理 48 ($t$ 進巡回和公式; Hirose-Murahara-Ono [HiMuOn, Theorem 2.4, 6.1], Takeyama-Tasaka [TT, Corollary 6.11])

$1$ でない成分を含むインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\hS}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}&, k_i-j)=\sum_{i=1}^r \zeta_{\hS}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_i+1)\\&+\sum_{i=1}^r \sum_{n=0}^{\infty} (\zeta_{\hS}(k_i+n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]})+\zeta_{\hS}(n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i]}))t^n,\end{aligned}$$ \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\hS}^{\star}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=k\zeta_{\hS}(k+1)+\sum_{i=1}^r \zeta_{\hS}^{\star}(n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})t^n\] が成り立つ。ここで $k$ は $\bk$ の重さである。

$2$ 色根付き木

以下ではOno-Seki-Yamamoto [OSY] において $t$ 進シャッフル関係式を示すために利用された $2$ 色根付き木の理論について述べる (理論自体はOno [On1] で構築された)。

まずグラフ理論に関する用語を復習する: 閉路を持たない連結無向グラフ $(V,E)$ を 木 (tree) と呼び、辺 $e\in E$ が頂点 $a,b\in V$ を結んでいるとき $e=\{a,b\}$ と書く。頂点 $v$ に接合する辺の数を $v$ の 次数 (degree) といい、次数 $1$ の頂点を 端点 (terminal)、次数 $3$ 以上の頂点を branched point という。

定義 49 ($2$ 色根付き木; Ono [On1, Definition 1.2])

木 $(V,E)$ において、根 (root) と呼ぶ頂点 $\rt\in V$ を一つ取り、また端点をすべて含む $V$ の部分集合 $\bV$ を一つ取る。このとき組 $(V,E,\rt,\bV)$ を $2$ 色根付き木 ($2$-colored rooted tree) という。以後 $\wV=V\setminus\bV$ と書く。2 色根付き木 $(V,E,\rt,\bV)$ において、異なる頂点 $v,v'\in V$ に対し、$v$ から $v'$ までループを含むことなく辺を辿っていくとき、通過した辺の集合を $P(v,v')$ と書き、$v$ から $v'$ への path という。

$2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ に対し、各辺に割り当てられた非負整数の組 $(k_e)_{e\in E}\in\mathbb{Z}^{|E|}_{\ge 0}$ を $X$ 上の インデックス (index) という。

今後は $2$ 色根付き木を表す際、必要に応じて次のような設定の下で図を用いる: 根でない頂点は $V_{\bullet}$ (resp. $V_{\circ}$) の元のとき $\bullet$ (resp. $\circ$) で表す。これらが根のときはそれぞれ $\rb,~\square$ で書く。また、これらのいずれとも取れる記号として $\times$ を用いる。

以下、$t$ を不定元、$M$ を正整数とする。

$2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ において、辺 $e$ に対し $V^e_{\rt}=\{v\in\bV\mid e\in P(\rt,v)\}$ とおく。

各頂点 $v\in\bV$ に対し整数 $m_v$ が与えられており、さらに辺 $e$ と頂点 $u$ が指定されているとき $$L_e(X,u;(m_v)_{v\in \bV})=\sum_{v\in V^e_{\rt}} (m_v+\delta_{u,v}t)$$ とおく。ここで $\delta$ はKroneckerのデルタである。

定義 50 ($2$ 色根付き木に付随したtruncated $t$ 進対称多重ゼータ値; Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Definition 3.2])

$X=(V,E,\rt,\bV)$ を $2$ 色根付き木、$\bk=(k_e)_{e\in E}$ をその上のインデックスとする。このとき、指定された $u\in\bV$ に対し $$\zeta_M(X,u;\bk)=\sum_{(m_v)_{v\in \bV}\in I_M(\bV,u)}\prod_{e\in E} L_e(X,u;(m_v)_{v\in\bV})^{-k_e}$$ とおく。ここで $$I_M(\bV,u)=\left\{(m_v)_{v\in\bV}~\middle|~\sum_{v\in\bV} m_v=0,~\begin{array}{cc}0<m_v&(u\neq v)\\-M<m_u<0\end{array}\right\}$$ である。これを用いて、$2$ 色根付き木に付随したtruncated $t$ 進対称多重ゼータ値 (truncated $t$-adic symmetric multiple zeta value associated with $2$-colored rooted tree) を $$\ttz(X;\bk)=\sum_{u\in\bV} \zeta_M(X,u;\bk)$$ で定める。

重要な例を一つ挙げる。

例 51 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Example 3.3])

非負整数 $r$ に対し、以下に示す $2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ を考える: $$\begin{xy} {(4,12)*++{v_1}}, {(4,4)*++{v_2}}, {(4,-4)*++{v_r}}, {(6,-14)*++{v_{r+1}}}, {(0,12)*{\bullet} \ar @{-}_{k_1} (0,4)*{\bullet}}, {(0,4)*{\bullet} \ar @{.} (0,-4)*{\bullet}}, {(0,-4)*{\bullet} \ar @{-}_{k_r} (0,-14)*{\rb}} \end{xy}$$ ここで $$V=\{v_1,\ldots,v_{r+1}\},\qquad E=\{e_i\mid i=1,\ldots,r\},\qquad\bV=V$$ であり、$v_{r+1}=\rt$ を根として、各 $i=1,\ldots,r$ に対し $e_i=\{v_i,v_{i+1}\},~k_i=k_{e_i}$ と書いた。各頂点 $v_i\in\bV$ に対し正整数 $m_i=m_{v_i}$ を与え、$j=1,\ldots,r$ を一つ固定すると、$1\le a<j$ に対しては $P(\rt,v_j)$ が $e_a$ を含まないので $$L_{e_a}(X,v_j;(m_v)_{v\in\bV})=m_1+\cdots+m_a$$ である。また、$j\le a\le r$ に対しては $P(\rt,v_j)$ が $e_a$ を含むから $$L_{e_a}(X,v_j;(m_v)_{v\in\bV})=m_1+\cdots+m_a+t$$ となる。したがって $$\begin{align}\zeta_M(X,v_j;\bk)&=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_{j-1},m_{j+1},\ldots,m_{r+1}>0\\-M<m_j<0\\ m_1+\cdots+m_{r+1}=0}}{\left(\prod_{a=1}^{j-1} (m_1+\cdots+m_a)^{-k_a}\right)}\cdot{\left(\prod_{a=j}^r (m_1+\cdots+m_a+t)^{-k_a}\right)}\\&=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_{j-1},m_{j+1},\ldots,m_{r+1}>0\\ m_1+\cdots+m_{j-1}+m_{j+1}+\cdots+m_{r+1}<M}}{\left(\prod_{a=1}^{j-1} (m_1+\cdots+m_a)^{-k_a}\right)}\cdot{\left(\prod_{a=j}^r (-m_{a+1}-\cdots-m_{r+1}+t)^{-k_a}\right)}\end{align}$$ と計算できる。さらに $$n_a=\begin{cases}m_1+\cdots+m_a & (1\le a<j)\\-m_{a+1}-\cdots-m_{r+1} & (j\le a\le r)\end{cases}$$ と書くことにすれば $$\ttz(X;\bk)=\sum_{i=0}^r \sum_{\substack{0<n_1<\cdots<n_i\\ n_{i+1}<\cdots<n_r<0\\n_i-n_{i+1}<M}} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_i^{k_i}(n_{i+1}+t)^{k_{i+1}}\cdots (n_r+t)^{k_r}}$$ がわかる。これは $\sh$-truncated $t$ 進対称多重ゼータ値 $\zeta^{\sh}_{\hS,M}(\bk)$ (定理 33) に等しい。

命題 52 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Proposition 3.4])

$2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ であって、頂点 $v_0,v_1\in V$ が存在して条件

• $v_0\in\wV$ かつ $v_0\neq\rt$
• 辺 $e_0=\{v_0,v_1\}$ が存在し、$k_{e_0}=0$ である

を満たすとき、$X'=(V\setminus\{v_0\},E\setminus\{e_0\},\rt,\bV)$ で与えられる新たな $2$ 色根付き木 $X'$ とその上のインデックス $\bk'=(k_e)_{e\in E\setminus\{e_0\}}$ を考えると $$\ttz(X;\bk)=\ttz(X';\bk')$$ が成り立つ。

証明

命題の仮定にある $X$ と $\bk$ の条件は $(V,E)$ の部分木 $T_1,~T_2$ を用いて $$\begin{xy} {(-15,0)*++[o][F]{T_1} \ar @{-}^{k_{e_0}=0} (15,0)*++[o][F]{T_2}}, {(-9.5,0)*{\times}}, {(9.5,0)*{\circ}}, {(-6.5,-2)*{v_0}}, {(7.5,-2)*{v_1}} \end{xy}$$ と表され、$X'$ は $$\begin{xy} {(-5.5,0)*++[o][F]{T_1}}, {(5.5,0)*++[o][F]{T_2}}, {(0,0)*{\times}} \end{xy}$$ と表されることに注意する。このとき、任意に $u\in\bV$ をとると 定義 50 より $$\zeta_M(X,u;\bk)=\sum_{(m_v)\in I_M(\bV,u)}L_{e_0}(X,u;(m_v))^{-k_{e_0}}\prod_{\substack{e\in E\\e\neq e_0}}L_e(X,u;(m_v))^{-k_e}$$ であるが、$k_{e_0}=0$ よりこれは $$\zeta_M(X',u;\bk')=\sum_{(m_v)\in I_M(\bV,u)}\prod_{\substack{e\in E\\e\neq e_0}}L_e(X',u;(m_v))^{-k_e}$$ に等しい。

□

命題 53 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Proposition 3.5])

$2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ であって、次数 $2$ の頂点 $\rt\neq v_0\in\wV$ を持つものを考える。$v_0$ から出る $2$ 本の辺とその端をそれぞれ $e_i=\{v_i,v_0\}$ ($i=1,2$) と書く。ここから $v_0,e_1,e_2$ を除去し、代わりに $v_1,v_2$ を結ぶ新たな辺 $e_0$ を追加することで、新たな $2$ 色根付き木 $X'=(V\setminus\{v_0\},(E\setminus\{e_1,e_2\})\cup\{e_0\},\rt,\bV)$ を考える。また、 $$k'_e=\begin{cases}k_{e_1}+k_{e_2} & (e=e_0)\\ k_e & (e\neq e_0)\end{cases}$$ とおいて、$X'$ 上のインデックス $\bk'=(k'_e)_{e\in(E\setminus\{e_1,e_2\})\cup\{e_0\}}$ を定める。このとき $$\ttz(X;\bk)=\ttz(X';\bk')$$ が成り立つ。

証明

命題の仮定にある $X$ と $\bk$ の条件は $(V,E)$ の部分木 $T_1,~T_2$ を用いて $$\begin{xy} {(-20,0)*++[o][F]{T_1}}, {(20,0)*++[o][F]{T_2}}, {(-14.5,0)*{\times} \ar @{-}^{k_{e_1}} (0,0)*{\circ}}, {(0,0)*{\circ} \ar @{-}^{k_{e_2}} (14.5,0)*{\times}}, {(-11.5,-2)*{v_1}}, {(12.5,-2)*{v_2}}, {(0,-3)*{v_0}}, \end{xy}$$ と表され、$X'$ は $$\begin{xy} {(-20,0)*++[o][F]{T_1} \ar @{-}^{k'_{e_0}=k_{e_1}+k_{e_2}} (20,0)*++[o][F]{T_2}}, {(-14.5,0)*{\times}}, {(14.5,0)*{\times}}, {(-11.5,-2)*{v_1}}, {(12.5,-2)*{v_2}} \end{xy}$$ と表されることに注意する。$v_0$ が $\wV$ の元かつ根でないことから $V^{e_1}_{\rt}=V^{e_2}_{\rt}$ であり、ゆえに任意の $u\in\bV$ と $(m_v)\in I_M(\bV,u)$ に対し $$L_{e_1}(X,u;(m_v))=L_{e_2}(X,u;(m_v))=L_{e_0}(X',u;(m_v))$$ である。したがって $$\zeta_M(X,u;\bk)=\sum_{(m_v)\in I_M(\bV,u)}L_{e_1}(X,u;(m_v))^{-k_{e_1}}L_{e_2}(X,u;(m_v))^{-k_{e_2}}\prod_{\substack{e\in E\\e\neq\{e_1,e_2\}}}L_e(X,u;(m_v))^{-k_e}$$ は $$\zeta_M(X',u;\bk)=\sum_{(m_v)\in I_M(\bV,u)}L_{e_0}(X',u;(m_v))^{-k_{e_1}-k_{e_2}}\prod_{\substack{e\in E\\e\neq\{e_1,e_2\}}}L_e(X',u;(m_v))^{-k_e}$$ に等しい。

□

命題 54 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Proposition 3.6])

根のみが異なる二つの $2$ 色根付き木 $X_i=(V,E,\rt_i,\bV)$ ($i=1,2$) とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ が与えられたとき $$\ttz(X_1;\bk)=(-1)^{k(P(\rt_1,\rt_2))}\sum_{\bep\in\ZZ^{|P(\rt_1,\rt_2)|}_{\ge 0}}b_{P(\rt_1,\rt_2)}(\bep;\bk)\ttz(X;\bk\oplus\bep)t^{|\bep|}$$ が成り立つ。ここで $|\bep|$ は $\bep$ の成分の総和であり、 $$\begin{align}k(P(\rt_1,\rt_2))&=\sum_{e\in P(\rt_1,\rt_2)} k_e,\\b_{P(\rt_1,\rt_2)}((\ep_v)_{v\in P(\rt_1,\rt_2)};\bk)&=\prod_{e\in P(\rt_1,\rt_2)}\binom{k_e+\ep_e-1}{\ep_e}\end{align}$$ とおいた (ただし $\binom{\ep-1}{\ep}=\delta_{0,\ep}$ と定めている)。

証明

まず各 $u\in\bV$ と $e\in E$ ごとに $(m_v)\in I_M(\bV,u)$ をとり、$L_e(X_i,u;(m_v))$ 同士の関係を計算する。$e\in P(\rt_1,\rt_2)$ のときは $(V,E)$ の部分木 $T_1,T_2$ を用いて $$\begin{xy} {(-15,0)*++[o][F]{T_1} \ar @{-}^{e} (15,0)*++[o][F]{T_2}}, \end{xy}$$ と書ける。ただし $T_i$ は頂点として $\rt_i$ を含んでいるようにとっている ($i=1,2$)。このとき $E_i$ を $T_i$ の頂点の集合とすると、任意の頂点 $v\in\bV$ は $v\in E_1$ないし $v\in E_2$ を満たしており、かつ $v\in E_i$ であることは $e\in P(\rt_i,v)$ であることと同値であるから $\bV=V^e_{\rt_1}\sqcup V^e_{\rt_2}$ が成り立つ。ゆえに $$L_e(X_1,u;(m_v))+L_e(X_2,u;(m_v))=\sum_{v\in\bV} (m_v+\delta_{u,v}t)=t$$ である。次に $e\notin P(\rt_1,\rt_2)$ を仮定すると、$(V,E)$ の部分木 $T_1$ と $\rt_1,~\rt_2$ をともに頂点として含んだ部分木 $T_2$ を用いて $$\begin{xy} {(-15,0)*++[o][F]{T_1} \ar @{-}^{e} (15,0)*++[o][F]{T_2}}, \end{xy}$$ と図示できる。したがって $V^e_{\rt_1}=V^e_{\rt_2}$ であり、ゆえに $L_e(X_1,u;(m_v))=L_e(X_2,u;(m_v))$ である。以上の議論から $$\zeta_M(X,u;\bk)=\sum_{(m_v)\in I_M(\bV,u)}{\left(\prod_{e\notin P(\rt_1,\rt_2)}L_e(X_2,u;(m_v))^{-k_e}\right)}\cdot{\left(\prod_{e\in P(\rt_1,\rt_2)}(t-L_e(X_2,u;(m_v)))^{-k_e}\right)}$$ であり、非負整数 $k$ と $L\in\mathbb{Q}[ [t] ]$ で成り立つ級数展開 $$\frac{1}{(t-L)^k}=\sum_{\ep=0}^{\infty} \binom{k+\ep-1}{\ep}\frac{t^{\ep}}{L^{\ep+k}}$$ より、両辺 $u\in\bV$ で和をとって命題を得る。

□

補題 55 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Lemma 3.7])

$2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$であって、$(V,E)$ の部分木 $T_0,T_1,\ldots,T_s$ ($s\ge 1$) を用いて次のように表されるものを考える:

$$\begin{xy} {(0,20)*++[o][F]{T_0} \ar @{-}_{l_0} (0,0)*{\circ}}, {(0,0)*{\circ} \ar @{-}_{l_1} (-17,-10)*++[o][F]{T_1}}, {(0,0)*{\circ} \ar @{-}^{l_s} (17,-10)*++[o][F]{T_s}}, {(0,0)*{\circ} \ar @{-}^{l_j} (0,-20)*++[o][F]{T_j}}, {(-17,-10)*++[o][F]{T_1} \ar @{.} (0,-20)*++[o][F]{T_j}}, {(0,-20)*++[o][F]{T_j} \ar @{.} (17,-10)*++[o][F]{T_s}}, {(0,25)*{\rb}}, {(2.5,2.5)*{v_0}} \end{xy}$$

ここで、各 $j=0,1,\ldots,s$ に対し $v_0$ と $T_j$ (に含まれる根に最も近い頂点) を結ぶ辺を $e_j$ と書き、$l_j=k_{e_j}$ とおいた。このとき $j=1,\ldots,s$ に対し $X$ 上の新たなインデックス $\bh_j=(h^j_e)_{e\in E}$ を $$h^j_e=\begin{cases}l_j-1 & (e=e_j)\\l_0+1 & (e=e_0)\\k_e & (e\in E\setminus\{\{e_0,e_j\}\})\end{cases}$$ で定めると $$\ttz(X;\bk)=\sum_{j=1}^s \ttz(X;\bh_j)$$ が成り立つ。

証明

任意の頂点 $v\in\bV$ に対し、根から $v$ へ向かうとき $e_0$ を通ることはいずれかの $e_j$ ($j=1,\ldots,s$) を通ることと同値であるから $V^{e_0}_{\rt}=V^{e_1}_{\rt}\sqcup\cdots\sqcup V^{e_s}_{\rt}$ であり、したがって $(m_v)\in I_M(\bV,u)$ と頂点 $u\in\bV$ に対し $L_{e_0}(X,u;(m_v))=L_{e_1}(X,u;(m_v))+\cdots+L_{e_s}(X,u;(m_v))$ である。したがって部分分数分解 $$\frac{1}{L_{e_1}\cdots L_{e_s}}=\frac{1}{L_{e_0}}\sum_{j=1}^s \frac{1}{L_{e_1}\cdots L_{e_{j-1}}L_{e_{j+1}}\cdots L_{e_s}}$$ が成り立ち、補題を得る。

□

定理 56 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Theorem 3.8])

次の図で表される $2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ を考える:

$$\begin{xy} {(0,0)*{\circ}="c"}, {(3,-3)*{w}}, {(0,-38)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,1}} (0,-30)*{\bullet}}, {(4,-38)*{v_{i,1}}}, {(0,-30)*{\bullet} \ar @{.} (0,-20)*{\bullet}}, {(4,-30)*{v_{i,2}}}, {(0,-20)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,r_i-1}} (0,-12)*{\bullet}}, {(7,-20)*{v_{i,r_i-1}}}, {(0,-12)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,r_i}} "c"}, {(28,-17) \ar @{.} (2,-25)}, {(5,-12)*{v_{i,r_i}}}, {(30,-30)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{s,1}} (30,-22)*{\bullet}}, {(34,-30)*{v_{s,1}}}, {(30,-22)*{\bullet} \ar @{.} (30,-12)*{\bullet}}, {(34,-22)*{v_{s,2}}}, {(30,-12)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{s,r_s-1}} (30,-4)*{\bullet}}, {(37,-12)*{v_{s,r_s-1}}}, {(30,-4)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{s,r_s}} "c"}, {(35,-4)*{v_{s,r_s}}}, {(-28,-17) \ar @{.} (-2,-25)}, {(-30,-30)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{1,1}} (-30,-22)*{\bullet}}, {(-34,-30)*{v_{1,1}}}, {(-30,-22)*{\bullet} \ar @{.} (-30,-12)*{\bullet}}, {(-34,-22)*{v_{1,2}}}, {(-30,-12)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{1,r_1-1}} (-30,-4)*{\bullet}}, {(-37,-12)*{v_{1,r_1-1}}}, {(-30,-4)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{1,r_1}} "c"}, {(-35,-4)*{v_{1,r_1}}}, {"c" \ar @{-}^{k'_0} (0,10)*{\bullet}}, {(4,10)*{v_1}}, {(0,10)*{\bullet} \ar @{-}^{k'_1} (0,18)*{\bullet}}, {(4,18)*{v_2}}, {(0,18)*{\bullet} \ar @{.} (0,28)*{\bullet}}, {(4,28)*{v_r}}, {(0,28)*{\bullet} \ar @{-}^{k'_r} (0,38)*{\rb}}, {(6,38)*{v_{r+1}}}, {(-28,-30) \ar @{.} (-2,-38)}, {(28,-30) \ar @{.} (7,-36)} \end{xy}$$

ただし次のような規約を用いている: $$\begin{align}e_{i,j}=\{v_{i,j},v_{i,j+1}\},&\quad k_{i,j}=k_{e_{i,j}} \qquad (1\le i\le s,~1\le j\le r_i-1)\\ e_{i,r_i}=\{v_{i,r_i},w\},&\quad k_{i,r_i}=k_{e_{i,r_i}}\qquad (1\le i\le s),\\e'_i=\{v_i,v_{i+1}\},&\quad k'_i=k_{e'_i}\qquad (1\le i\le r)\\ e'=\{w,v_1\},&\quad k'=k_{e'}\qquad\end{align}$$ であり、$s$ と各 $1\le i\le s,~1\le j\le r_i$ に対し $k_{i,j}$ は正整数、$r$ と $k'$ は非負整数とする。このとき $0\le i\le s$ に対し $$z_{\bk_i}=\begin{cases}yx^{k'_1-1}\cdots yx^{k'_r-1} & (i=0)\\ yx^{k_{1,r_i}-1}\cdots yx^{k_{i,r_i}-1} & (1\le i\le s)\end{cases}$$ とおくと $$\zeta_{\hS,M}(X;\bk)=Z_{\hS,M}((z_{\bk_1}\sh\cdots\sh z_{\bk_s})x^{k'}z_{\bk_0})$$ が成り立つ。ここで $Z_{\hS,M}\colon\hof^1\to(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[ [t] ]$ は対応 $$1\mapsto 1,\qquad yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1}\mapsto \zeta_{\hS,M}(k_1,\ldots,k_r)$$ を $\QQ$ 線型に拡張したものである。

証明

$\ell=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^{r_i} k_{i,j}$ とおき、$\ell$ に関する帰納法で証明する。$\ell=1$ のときは 例 51 よりわかる。次に命題が $\ell-1$ で成り立つと仮定する。このとき $i=1\ldots,s$ と辺 $e\in E$ に対し $$h^i_e=\begin{cases}k_{i,r_i}-1 & (e=e_{i,r_i})\\ k'+1 & (e=e')\\ k_e & (\text{otherwise})\end{cases}$$ とおいて $X$ 上のインデックス $\bh_i=(h^i_e)_e$ を構成すると、補題 55 より $$\zeta_{\hS,M}(X;\bk)=\sum_{i=1}^s \zeta_{\hS,M}(X;\bh_i)$$ が成り立つ。$k_{i,r_i}=1$ となる $i$ があるとき、命題 52 を二回用いて $(X;\bh_i)$ を次のような形に変形する: $$\begin{xy} {(0,0)*{\circ}="c"}, {(3,-3)*{w}}, {(0,-38)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,1}} (0,-30)*{\bullet}}, {(4,-38)*{v_{i,1}}}, {(0,-30)*{\bullet} \ar @{.} (0,-20)*{\bullet}}, {(4,-30)*{v_{i,2}}}, {(0,-20)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,r_i-2}} (0,-12)*{\bullet}}, {(7,-20)*{v_{i,r_i-2}}}, {(0,-12)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{i,r_i-1}} "c"}, {(28,-17) \ar @{.} (2,-25)}, {(7,-12)*{v_{i,r_i-1}}}, {(30,-30)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{s,1}} (30,-22)*{\bullet}}, {(34,-30)*{v_{s,1}}}, {(30,-22)*{\bullet} \ar @{.} (30,-12)*{\bullet}}, {(34,-22)*{v_{s,2}}}, {(30,-12)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{s,r_s-1}} (30,-4)*{\bullet}}, {(37,-12)*{v_{s,r_s-1}}}, {(30,-4)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{s,r_s}} "c"}, {(35,-4)*{v_{s,r_s}}}, {(-28,-17) \ar @{.} (-2,-25)}, {(-30,-30)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{1,1}} (-30,-22)*{\bullet}}, {(-34,-30)*{v_{1,1}}}, {(-30,-22)*{\bullet} \ar @{.} (-30,-12)*{\bullet}}, {(-34,-22)*{v_{1,2}}}, {(-30,-12)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{1,r_1-1}} (-30,-4)*{\bullet}}, {(-37,-12)*{v_{1,r_1-1}}}, {(-30,-4)*{\bullet} \ar @{-}^{k_{1,r_1}} "c"}, {(-35,-4)*{v_{1,r_1}}}, {"c" \ar @{-}^{0} (0,10)*{\bullet}}, {(4,10)*{v_0}}, {(0,10)*{\bullet} \ar @{-}^{k'+1} (0,18)*{\bullet}}, {(4,18)*{v_1}}, {(0,18)*{\bullet} \ar @{-}^{k'_1} (0,26)*{\bullet}}, {(4,26)*{v_2}}, {(0,26)*{\bullet} \ar @{.} (0,36)*{\bullet}}, {(4,36)*{v_r}}, {(0,36)*{\bullet} \ar @{-}^{k'_r} (0,46)*{\rb}}, {(6,46)*{v_{r+1}}}, {(-28,-30) \ar @{.} (-2,-38)}, {(28,-30) \ar @{.} (7,-36)} \end{xy}$$

このとき帰納法の仮定より $$\zeta_{\hS,M}(X;\bh_i)=Z_{\hS,M}((z_{\bk_1}\sh\cdots\sh yx^{k_{i,1}-1}\cdots yx^{k_{i,r_i-1}-1}\sh\cdots\sh z_{\bk_s})yx^{k'}z_{\bk_0})$$ が成り立つ。次に、$k_{i,r_i}\ge 2$ を満たす $i$ に対しては、帰納法の仮定により $$\zeta_{\hS,M}(X;\bh_i)=Z_{\hS,M}((z_{\bk_1}\sh\cdots\sh yx^{k_{i,1}-1}\cdots yx^{k_{i,r_i}-2}\sh\cdots\sh z_{\bk_s})x^{k'+1}z_{\bk_0})$$ が正しい。以上二つの等式を組み合わせると、シャッフル積の定義である帰納的規則より定理を得る。

□

定理 57 (Ono-Seki-Yamamoto [OSY, Theorem 3.10])

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し $$\zeta^{\sh}_{\hS,M}(\bk\sh\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{h=0}^{\infty}\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_s)\in\ZZ^s_{\ge 0}\\e_1+\cdots+e_s=h}}b(\bl;\be)\zeta^{\sh}_{\hS,M}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl\oplus\be}\right)}t^h$$ が成り立つ。ここで $s$ は $\bl$ の深さである。

証明

次のような $2$ 色根付き木 $X=(V,E,\rt,\bV)$ とその上のインデックス $\bk=(k_e)_{e\in E}$ を考える: $$\begin{xy} {(-15,-15)*{\bullet} \ar @{-}_{k_1} (-15,-7)*{\bullet}}, {(-19,-15)*{v_1}}, {(-15,-7)*{\bullet} \ar @{.} (-15,3)*{\bullet}}, {(-19,-7)*{v_2}}, {(-15,3)*{\bullet} \ar @{-}_{k_{r-1}} (-15,11)*{\bullet}}, {(-21,3)*{v_{r-1}}}, {(-15,11)*{\bullet} \ar @{-}_{k_r} (0,16)*{\rb}}, {(-19,11)*{v_r}}, {(15,-15)*{\bullet} \ar @{-}^{l_1} (15,-7)*{\bullet}}, {(19,-15)*{v'_1}}, {(15,-7)*{\bullet} \ar @{.} (15,3)*{\bullet}}, {(19,-7)*{v'_2}}, {(15,3)*{\bullet} \ar @{-}^{l_{s-1}} (15,11)*{\bullet}}, {(21,3)*{v'_{s-1}}}, {(15,11)*{\bullet} \ar @{-}^{l_s} (0,16)*{\rb}}, {(19,11)*{v'_s}}, {(0,19)*{v}} \end{xy}$$

これに付随するtruncated $t$ 進対称多重ゼータ値は 定理 56 より $\zeta^{\sh}_{\hS,M}((k_1,\ldots,k_r)\sh (l_1,\ldots,l_s))$ に等しい。また、上図で根を $v$ から $v'_1$ に移したものを考えると、これは 例 51 より対応するtruncated $t$ 進対称多重ゼータ値 $\zeta^{\sh}_{\hS,M}(k_1,\ldots,k_r,l_s,\ldots,l_1)$ である。ゆえに 命題 54 より定理を得る。

□

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