有限多重ゼータ値

$\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\dep}{\mathrm{dep}}$ $\newcommand{\wt}{\mathrm{wt}}$ $\newcommand{\ht}{\mathrm{ht}}$ $\newcommand{\rev}{\overleftarrow}$ $\newcommand{\pp}{\boldsymbol{p}}$ $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\bf}{\boldsymbol{f}}$ $\newcommand{\sh}{\mathbin{\text{ш}}}$ $\newcommand{\ue}{\uparrow}$ $\newcommand{\hidari}{\leftarrow}$ $\newcommand{\shita}{\downarrow}$ $\newcommand{\hof}{\mathfrak{H}}$ $\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\SS}{\mathcal{S}}$ $\newcommand{\z}{\mathfrak{z}}$ $\newcommand{\II}{\mathcal{I}}$ $\newcommand{\hA}{\widehat{\AA}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}$ $\newcommand{\bl}{\boldsymbol{l}}$ $\newcommand{\bh}{\boldsymbol{h}}$ $\newcommand{\bep}{\boldsymbol{\epsilon}}$ $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\hS}{\widehat{\mathcal{S}}}$ $\newcommand{\Li}{\mathrm{Li}}$ $\newcommand{\rt}{\mathrm{rt}}$ $\newcommand{\bV}{V_{\bullet}}$ $\newcommand{\wV}{V_{\circ}}$ $\newcommand{\rw}{% \begingroup \setlength{\fboxsep}{1mm}\setlength{\fboxrule}{0.3pt} \fbox{} \endgroup}$ $\newcommand{\rootw}{\raise1.1mm\hbox{\rw}}$ $\newcommand{\rb}{\rule{3.2mm}{3.2mm}}$ $\newcommand{\ttz}{\zeta_{\hS,M}}$ $\newcommand{\sh}{\text{ш}}$

有限多重ゼータ値 (finite multiple zeta values) は多重ゼータ値の有限和における類似である。インデックスおよびHoffman代数に関する基本的な記号は多重ゼータ値と同様のものを使うこととして、ここでは省略する。また、有限多重ゼータ値の精密化の一つである $\pp$ 進有限多重ゼータ値についてもここで述べる。

有限多重ゼータ値の定義

定義 1 (有限多重調和和)

素数 $p$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{<p}(\bk)=\sum_{1\le n_1<\cdots<n_r\le p-1} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},$$ $$\zeta^{\star}_{<p}(\bk)=\sum_{1\le n_1\le\cdots\le n_r\le p-1} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ とおく。

定義 2 (法 $\pp$ 整数環)

環 $\AA$ を $$\AA={\left(\prod_p \ZZ/p\ZZ\right)}\Biggm/{\left(\bigoplus_p \ZZ/p\ZZ\right)}$$ で定める。ここで $p$ はすべての素数を渡る。有限個の素数 $p$ を除いて $a_p\in\ZZ/p\ZZ$ が与えられているとき、例外となる素数 $p$ に対しては $a_p=0$ など適当な値を割り振っておくことで、$(a_p)_p\in\AA$ が一意に定まる。

$\AA$ の元 $a_{\pp},~b_{\pp}$ が等しい必要十分条件は有限個の素数 $p$ を除いて $a_p=b_p$ が成り立つことである。
有理数 $r/s$ に対し $s$ を割り切らない素数 $p$ には $a_p=r~\mathrm{mod}~p$ を、割り切る素数 $p$ には $a_p=0~\mathrm{mod}~p$ を割り当てることで単射準同型 $r/s\mapsto(a_p)_p\in\AA$ を構成できて、これにより $\AA$ は $\mathbb{Q}$ 代数の構造を持つ。

定義 3 (有限多重ゼータ値)

インデックス $\bk$ に対し $\AA$ の元 $$\zeta_{\AA}(\bk)=(\zeta_{<p}(\bk)~\mathrm{mod}~p)_p,\qquad\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=(\zeta^{\star}_{<p}(\bk)~\mathrm{mod}~p)_p$$ を定め、それぞれ有限多重ゼータ値 ($\AA$-finite multiple zeta value, FMZV) もしくは $\AA$-多重ゼータ値 ($\AA$-multiple zeta value)、有限多重ゼータスター値 (finite multiple zeta star value, FMZSV) もしくは $\AA$-多重ゼータスター値 ($\AA$-multiple zeta star value) と呼ぶ。

多重ゼータスター値で定義されている記号を用いれば $\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=\zeta_{\AA}(\bk^{\star})$ と書くことができる。

定義 4 (有限多重ゼータ値の空間)

正整数 $k$ に対し $$\mathcal{Z}_{\AA,k}=\mathrm{span}_{\mathbb{Q}}\{\zeta_{\AA}(\bk)\mid\mathrm{wt}(\bk)=k\}$$ とおく。また $\mathcal{Z}_{\AA,0}=\mathbb{Q}$ とし、形式的な直和 $$\mathcal{Z}_{\AA}=\sum_{k\ge 0}\mathcal{Z}_{\AA,k}$$ を定めておく。

予想 5 (次元予想)

正整数列 $\{d_k\}_{k\ge -3}$ を $$\begin{aligned}d_{-3}=1,\quad d_{-2}=0,\quad d_{-1}=0,\\ d_{k+3}=d_{k+1}+d_k\qquad(k\ge -3)\end{aligned}$$ で定めたとき $\mathrm{dim}_{\mathbb{Q}}\mathcal{Z}_{\AA,k}=d_{k-3}$ が成り立つ。

この予想に現れる数列 $\{d_k\}$ は通常の多重ゼータ値の次元予想に現れる予想次元 $d_k$ と等しい。

予想 6

空でないあるインデックス $\bk$ について $\zeta_{\AA}(\bk)\neq 0$ である。

代数的定式化

Hoffman代数の記号を用いて、$\QQ$ 線形写像 $Z_{\AA}\colon\hof^1\to\AA$ を $z_{\bk}\mapsto\zeta_{\AA}(\bk)$ から定める。インデックスの $\QQ$ 線形和に対して写像 $\zeta_{\AA}$ も拡張しておく。

有限多重ゼータ値の関係式

定理 7 (Hoffman [H2, Theorem 4.3], Zhao [Z, Lemma 2.2])

任意の正整数 $k$ に対し $\zeta_{\AA}(k)=0$ である。

$3$ 以上の素数 $p$ に対して成り立つ有名な定理 $$\frac{1}{1}+\cdots+\frac{1}{p-1}\equiv 0~\mathrm{mod}~p$$ は本質的にこの系の $k=1$ の場合である。

証明

素数 $p$ であって $k$ が $p-1$ の倍数でないものをとる。このとき $c\in(\ZZ/p\ZZ)^{\times}$ に対し \[c^k\zeta_{<p}(k)=\sum_{a\in(\ZZ/p\ZZ)^{\times}}(c^{-1}a)^{-k}=\zeta_{<p}(k)\] であるから $(c^k-1)\zeta_{<p}(k)=0$ となり、$1$ でない $c$ をとることで定理を得る。

□

定理 8 (対称和公式; Hoffman [H2, Theorem 4.4])

$r$ を正整数、$S_r$ を $r$ 次の対称群としたときインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\AA}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\AA}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$$ が成り立つ。

証明

Hoffman代数のレベルで成り立つ等式 (Hoffman代数: 命題4) の両辺に $\zeta_{\AA}$ を適用することで調和関係式 (定理 ) よりわかる。

□

系 9 (Hoffman [H2, (15)], Zhao [Z, Theorem 2.13])

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{k\}^r)=\zeta^{\star}_{\AA}(\{k\}^r)=0$$ である。ここで $\{X\}^r$ は $X$ の $r$ 個並んだ列を意味する。

証明

定理 8 において $\bk=\{k\}^r$ とすればよい。

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定理 10 (Hoffman [H2, Theorem 6.1], Zhao [Z, Theorem 1.7])

正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(k_1,k_2)=\zeta^{\star}_{\AA}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\left(\frac{B_{p-k_1-k_2}}{k_1+k_2}~\mathrm{mod}~p\right)_p$$ である。ここで $B_n$ は $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$$ で定まる有理数列 (Bernoulli数) である。

証明

一つ目の等号はスター値の定義と定理 7 よりわかる。さて $p$ を十分に大きい素数としたときFermatの小定理とFaulhaberの公式より \[\zeta_{<p}(k_1,k_2)\stackrel{\mathrm{mod}~p}{\equiv}\sum_{n_{2}=1}^{p-1}\frac{1}{n_{2}^{k_{2}}}\sum_{n_{1}=1}^{n_{2}-1}n_{1}^{p-1-k_{1}}=\sum_{n_{2}=1}^{p-1}\frac{1}{n_{2}^{k_{2}}}\frac{1}{p-k_{1}}\sum_{j=0}^{p-1-k_{1}}\binom{p-k_{1}}{j}B_jn_{2}^{p-k_{1}-j}\] となるが、$n_1$ に関する和について考えると定理 7 と同様の議論により $p-k_1-k_2-j=0$ のケースを除いて $0$ となる。したがって $j=p-k_1-k_2$ の項だけを取ると \[\zeta_{<p}(k_1,k_2)\equiv\frac{1}{k_{1}}\binom{p-k_{1}}{k_{2}}B_{p-k_1-k_2}\equiv\frac{(-1)^{k_{2}}}{k_1+k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}B_{p-k_1-k_2}~\mathrm{mod}~p\] を得る。

□

定理 11 (Zhao [Z, Theorem 3.18 (ii)])

正整数 $r$ と正の奇数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{k_1,k_2\}^r)=\zeta^{\star}_{\AA}(\{k_1,k_2\}^r)=0$$ である。

定理 12 (Hoffman [H2, Theorem 6.2], Zhao [Z, Theorem 3.5])

正の奇数 $k$ と和が $k$ になる正整数 $k_1,k_2,k_3$ に対し \[\zeta_{\AA}(k_1,k_2,k_3)=-\zeta^{\star}_{\AA}(k_1,k_2,k_3)=\frac{1}{2}\left((-1)^{k_1}\binom{k}{k_1}-(-1)^{k_3}\binom{k}{k_3}\right)\left(\frac{B_{p-k}}{k}~\mathrm{mod}~p\right)_p\] である。

証明

Hoffman代数:命題9 で $\bk=(k_1,k_2,k_3)$ とすることで \[\zeta^{\star}_{<p}(k_3,k_2,k_1)=\zeta_{<p}(k_1,k_2,k_3)-\zeta_{<p}(k_1)\zeta_{<p}(k_2,k_3)-\zeta_{<p}(k_1,k_2)\zeta_{<p}(k_3)+\zeta_{<p}(k_1)\zeta_{<p}(k_2)\zeta_{<p}(k_3)\] が成り立つ。これを $\AA$ で考え定理 7 と系を用いることで一つ目の等号がわかる。一方でスター値の定義から $\zeta^{\star}_{\AA}(k_1,k_2,k_3)$ を分解して定理 7 と定理 10 を使うと \[\zeta^{\star}_{\AA}(k_1,k_2,k_3)=\zeta_{\AA}(k_1,k_2,k_3)+\left((-1)^{k_2+k_3}\binom{k}{k_1}+(-1)^{k_3}\binom{k}{k_1+k_2}\right)\left(\frac{B_{p-k}}{k}~\mathrm{mod}~p\right)\] であるため $k$ が奇数であることとたった今示した一つ目の等号から残りの主張を得る。

□

定理 13 (Bowman-Bradley型定理; Saito-Wakabayashi [SW1, Theorem 1.4])

$a,b$ を正の奇数、$c$ を正の偶数、$(k_1,k_2)$ を同時に $0$ にはならない非負整数の組としたとき $$\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta_{\AA}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta^{\star}_{\AA}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\cdots \{c\}^{n_{2m-1}},a,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=0$$ である。

定理 14 (Hessami-Pilehrood-Hessami-Pilehrood-Tauraso [HHT, Theorem 4.3])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し \[\zeta_{\AA}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\AA}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2+2}{k_1+1}\left(\frac{B_{p-k_1-k_2-2}}{k_1+k_2+2}~\mathrm{mod}~p\right)_p\] である。

定理 15 (Hessami-Pilehrood-Hessami-Pilehrood-Tauraso [HHT, Theorem 4.2])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\AA}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=4(-1)^{k_1+k_2}\frac{k_1-k_2}{2k_1+1}\left(1-\frac{1}{4^{k_1+k_2}}\right)\binom{2k_1+k_2+1}{2k_2+1}\left(\frac{B_{p-2k_1-2k_2-1}}{2k_1+2k_2+1}~\mathrm{mod}~p\right)_p$$ である。

定理 16 (Hessami-Pilehrood-Hessami-Pilehrood-Tauraso [HHT, Theorem 4.1])

非負整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\AA}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=2(-1)^{k_1+k_2}\frac{k_1-k_2}{k_1+1}\binom{2k_1+2k_2+3}{2k_2+3}\left(\frac{B_{p-2k_1-2k_2-3}}{2k_1+2k_2+3}~\mathrm{mod}~p\right)_p$$ である。

定理 17 (Le-村上/青木-大野型関係式; Kaneko-Oyama-Saito [KOS, Theorem 1.1])

正整数 $k,s$ に対し $$I_0(k,*,s)=\{\bk\in\II'\mid\mathrm{wt}(\bk)=k,~\mathrm{ht}(\bk)=s\}$$ とおくと $k\ge 2s$ に対し $$\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}(-1)^{\mathrm{dep}(\bk)}\zeta_{\AA}(\bk)=\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)={\left(2-\frac{1}{2^{k-2}}\right)}\binom{k-1}{2s-1}\left(\frac{B_{p-k}}{k}~\mathrm{mod}~p\right)$$ である。

定理 18 (Li型定理; Sakurada)

正整数 $k,r,s$ に対し $$X_{\AA,0}(k,r,s)=\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{\AA}(\bk)$$ とおき、右辺で $\zeta_{\AA}$ を $\zeta^{\star}_{\AA}$ に換えたものを $X^{\star}_{\AA,0}(k,r,s)$ と書く。このとき正整数 $s$ と $s$ 以上の正整数 $m,n$ に対し $$X_{\AA,0}(m+n+1,n+1,s)=X_{\AA,0}(m+n+1,m+1,s),$$ $$(-1)^mX^{\star}_{\AA,0}(m+n+1,n+1,s)=(-1)^nX^{\star}_{\AA,0}(m+n+1,m+1,s)$$ である。

定理 19 (調和関係式)

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\AA}(\bk)\zeta_{\AA}(\bl)$$ が成り立つ。

証明

調和積と有限多重調和和の定義より帰納的に確かめられるが、ここではそれを明示的に連結和法で記述したSeki [S2, §4] の証明を述べる。インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s),~\bh=(h_1,\ldots,h_p)$ ($r,s\ge 1,~p\ge 0$) と正整数 $N$ に対し $$Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh)=\sum_{\substack{0<r_1<\cdots<r_p\\r_p=m_1<\cdots<m_r\le N\\r_p=n_1<\cdots<n_s\le N}} \left(\prod_{i=1}^r \frac{1}{m_i^{k_i}}\right)\cdot m_1n_1\left(\prod_{f=1}^p \frac{1}{r_f^{h_f}}\right)\cdot\left(\prod_{j=1}^s \frac{1}{n_j^{l_j}}\right)$$ とおくと、簡単な計算により $$\begin{aligned}Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\ast}_N(\bl;\bk;\bh),\\Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;{}_{\hidari}\bl;\bh)=Z^{\ast}_N(\bk;{}_{\hidari}\bl;\bh_{\to})&~+Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;\bl;\bh_{\to})+Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh_{\to\ue}),\\Z^{\ast}_N({}_{\ue}\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\ast}_N(\bk;\bl;\bh_{\ue})\end{aligned}$$ が成り立つ。$Z^{\ast}_N({}_{\hidari}\bk;{}_{\hidari}\bl;\emp)$ から始めてこれらを繰り返し使うことで証明が完成する。

□

系 20

空でないインデックス $\bk$ に対し \[\sum_{i=0}^{\dep(\bk)}(-1)^{i}\zeta_{\AA}(\bk_{[i]})\zeta^{\star}_{\AA}(\overleftarrow{\bk^{[i]}})=0\] が成り立つ。

定理 21 (シャッフル関係式; Kaneko-Zagier, Ono [On, Corollary 4.1], Seki [S2, Proposition 3.2])

インデックス $\bk,~\bl$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk~\sh~\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\AA}(\bk,\overleftarrow{\bl})$$ が成り立つ。

証明1 (by Seki)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s),~\bh=(h_1,\ldots,h_p)$ ($r,s\ge 1,~p\ge 0$) と正整数 $N$ に対し $$Z^{\sh}_N(\bk;\bl;\bh)=\sum_{\substack{0<m_1<\cdots<m_r\\0<n_1<\cdots<n_s\\m_r+n_s=r_1<\cdots<r_p\le N}} \left(\prod_{i=1}^r \frac{1}{m_i^{k_i}}\right)\cdot m_rn_sr_1\left(\prod_{f=1}^p \frac{1}{r_f^{h_f}}\right)\cdot\left(\prod_{j=1}^s \frac{1}{n_j^{l_j}}\right)$$ とおくと、部分分数分解 $$\frac{1}{mn}={\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)}\frac{1}{m+n}$$ によって $$\begin{aligned}Z^{\sh}_N(\bk;\bl;\bh)&~=Z^{\sh}_N(\bl;\bk;\bh),\\Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl_{\ue};\bh)=Z^{\sh}_N(\bk;&~\bl_{\ue};\bh_{\ue})+Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl;\bh_{\ue}),\\Z^{\sh}_N(\bk_{\to};\bl;{}_{\ue}\bh)&~=Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl;{}_{\hidari}\bh)\end{aligned}$$ が成り立つ。$Z^{\sh}_N(\bk_{\ue};\bl_{\ue};1)$ から始めてこれらを繰り返し使い、境界条件 \[Z^{\sh}_{p-1}(\bk_{\ue};\bl_{\ue};1)\equiv (-1)^{\wt(\bl)}\zeta_{<p}(\bk,\rev{\bl})~(\mathrm{mod}~p)\] を適用することで証明が完成する。

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証明2 (by Kaneko-Zagier)

一変数の多重ポリログ関数 $$\mathrm{Li}_{k_1,\ldots,k_r}(z)=\sum_{0<n_1<\cdots<n_r}\frac{z^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$ は積分表示 $$\mathrm{Li}_{k_1,\ldots,k_r}(z)=I_z(1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_1-1},\ldots,1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_r-1})$$ を持ち (ただし $$I_z(e_1,\ldots,e_k)=\int_{0<t_1<\cdots<t_k<z} \prod_{i=1}^k \omega_{e_i}(t_i)\qquad(\omega_i(t)=(-1)^idt/(t-i))$$ と書いた)、したがってシャッフル関係式 $\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z)=\mathrm{Li}_{\bk}(z)\mathrm{Li}_{\bl}(z)$ を満たす。一方で、冪級数 $f(x)$ の $x^i$ の係数を $C(f(x);x^i)$ と書くことにすれば、 $\zeta_{\AA}(\bk~\sh~\bl)$ の $p$ 成分は $\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z);z^i)$ に他ならない。インデックスを $\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s)$ と成分表示しておくと $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk~\sh~\bl}(z);z^i)&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}} C(\mathrm{Li}_{\bk}(z);z^i)C(\mathrm{Li}_{\bl}(z);z^j)\\&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}{\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}\right)}{\left(\sum_{0<n_1<\cdots<n_{s-1}<j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{s-1}^{l_{s-1}}j^{l_s}}\right)}\end{aligned}$$ と変形できる。ここで $j\mapsto p-j$ と、各 $1\le u\le s-1$ に対し $n_u\mapsto p-n_{s-u}$ という変換を施すと、右辺は $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}{\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}\right)}{\left(\sum_{0<n_1<\cdots<n_{s-1}<j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{s-1}^{l_{s-1}}j^{l_s}}\right)}\\&\quad=\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}{\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}\right)}{\left(\sum_{0<p-n_{s-1}<\cdots<p-n_1<p-j} \frac{1}{(p-n_{s-1})^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_{s-1}}(p-j)^{l_s}}\right)}\end{aligned}$$ となり、簡単な事実 $1/(p-b)^a\equiv (-1)^a/b^a~\mathrm{mod}~p$ より $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}{\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}}\right)}{\left(\sum_{0<p-n_{s-1}<\cdots<p-n_1<p-j} \frac{1}{(p-n_{s-1})^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_{s-1}}(p-j)^{l_s}}\right)}\\&\quad\equiv(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{0<m_1<\cdots<m_{r-1}<i<j<n_1<\cdots<n_{s-1}\le p-1} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}i^{k_r}j^{l_s}n_1^{l_{s-1}}\cdots n_{s-1}^{l_1}}\end{aligned}$$ と計算できるが、この右辺は $(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\zeta_{\AA}(\bk,\overleftarrow{\bl})$ の $p$ 成分に他ならない。

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系 22 (反転公式)

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bk)}\zeta_{\AA}(\overleftarrow{\bk})$$ である。

定理 23 (導分関係式; Murahara [M, Theorem 2.1], Horikawa-Murahara-Oyama [HMO, §5])

正整数 $h$ に対し、$\mathfrak{H}$ 上の導分 $\partial_h$ を $$\partial_h(x)=y(y+x)^{h-1}x,\qquad\partial_h(y)=-y(y+x)^{h-1}x$$ で定めると、任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し $$(Z_{\AA}\circ\partial_h)(w)=-Z_{\AA}(wy(y+x)^{h-1})$$ となる。

証明 (by Horikawa-Murahara-Oyama)

$w'\in\hof$ に対し、$\QQ$ 線形写像 $R_{w'}\colon\hof\to\hof$ を $w\mapsto ww'$ で定めると、示すべき等式は $(Z_{\AA}\circ R_x^{-1}\circ\partial_h\circ R_x)(w)=0$ となる。$\hof$ 上の自己同型 $\phi$ を $x\mapsto x+y$ と $y\mapsto -y$ から定めると、Hoffman双対性の同値な言い換え (注意 ) によって任意の $w\in\hof^1$ に対し $Z_{\AA}(w)=Z_{\AA}(\phi(w))$ であることがわかる。ここで $w$ を $(R_x^{-1}\circ\partial_h\circ R_x)(w)$ に置き換えることで、結局 $(Z_{\AA}\circ\phi\circ R_x^{-1}\circ\partial_h\circ R_x)(w)=0$ を示せば十分となる。ここで正整数 $h$ に対し $\hof$ 上の導分 $\delta_h$ を $x\mapsto 0$ と $y\mapsto z_h(y+x)$ で定めると、調和積の定義より $w\in\hof^1$ に対し \[(R_{y+x}^{-1}\circ\delta_h\circ R_{y+x})(w)=w\ast z_h\] が成り立つことがわかる。実際 $w=z_{k_1,\ldots,k_r}$ とすれば左辺は \[R_{y+x}^{-1}(wz_h(y+x)+\delta_h(w)(y+x))=wz_h+\sum_{i=1}^r z_{\bk_{[i-1]}}z_h(y+x)x^{k_i-1}z_{\bk^{[i]}}=wz_h+\sum_{i=1}^r z_{\bk_{[i-1]}}z_{h+k_i}z_{\bk^{[i]}}+\sum_{i=1}^r z_{\bk_{[i-1]}}z_hz_{k^{[i-1]}}=z_{\bk}\ast z_h\] となる。さて $\phi$ が自己同型、$\delta_h$ が導分なので $\phi\circ\delta_h\circ\phi$ は導分であり、生成元の移り先を調べることでこれが $-\partial_h$ に一致することがわかる。この事実と $\phi^2$ が恒等写像であること、等式 $\phi\circ R_x^{-1}=R_{y+x}^{-1}\circ\phi$ から $w\in\hof^1$ に対し \[(\phi\circ R_x^{-1}\circ\partial_h\circ R_x)(w)=-(R_{y+x}^{-1}\circ\delta_h)(\phi(w)(y+x))=-\phi(w)\ast z_h\] となり、両辺に $Z_{\AA}$ を適用することで系より $0$ になることがわかる。

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定理 24 (大野型関係式; Oyama [Oy, Theorem 1.4])

インデックス $\bk$ に対し $\mathrm{dep}(\bk)=r,~\mathrm{dep}(\bk^{\vee})=s~(=1+\mathrm{wt}(\bk)-r)$ とおくと、非負整数 $h$ に対し \[\sum_{\substack{\be\in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be)=h}} \zeta_{\AA}(\bk\oplus\be)=\sum_{\substack{\bf\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta_{\AA}((\bk^{\vee}\oplus\bf)^{\vee})\] が成り立つ。

Horikawa-Murahara-Oyama [HMO, Theorem 3.4] がこれと定理 23 の同値性を示している。

定理 25 (スター大野型関係式; Hirose-Imatomi-Murahara-Saito [HIMS, Theorem 1.4], Seki-Yamamoto [Corollary 2.3])

インデックス $\bk$ に対し $\mathrm{dep}(\bk)=r,~\mathrm{dep}(\bk^{\vee})=s~(=1+\mathrm{wt}(\bk)-r)$ とおくと、非負整数 $h$ に対し \[\sum_{\substack{\be\in\ZZ^r_{\ge 0}\\\mathrm{wt}(\be)=h}} b_2(\bk;\be)\zeta^{\star}_{\AA}(\bk\oplus\be)=-\sum_{\substack{\bf\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf)=h}} \zeta^{\star}_{\AA}(\bk^{\vee}\oplus\bf)\]が成り立つ。ここで $$b_2(k_1,\ldots,k_r;e_1,\ldots,e_r)=\prod_{i=1}^r\binom{k_i+e_i+\delta_{i,1}+\delta_{i,2}-2}{e_i},\qquad \binom{n-1}{n}=\delta_{n,0}$$ とおいた ($\delta_{i,j}$ はKroneckerのデルタである)。

系 26 (Hoffman双対性; Hoffman [H2, Theorem 4.6], Bachmann-Takeyama-Tasaka [BTT, Theorem 2.15], Yamamoto [Y, Theorem 1.1], Seki-Yamamoto [SY, Corollary 2.3])

インデックス $\bk$ に対し $$\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=-\zeta^{\star}_{\AA}(\bk^{\vee})$$ が成り立つ。

証明

有限多重ゼータスター値の大野型関係式 (定理 25) からも従うが、Hoffman恒等式と呼ばれる等式 \[\sum_{0<m_{1}\le\cdots\le m_{r}\le N}\frac{1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{r}^{k_{r}}}=\sum_{0<n_{1}\le\cdots\le n_{s}\le N}\frac{(-1)^{n_{s}-1}}{n_{1}^{l_{1}}\cdots n_{s}^{l_{s}}}\binom{N}{n_{s}}\] からも従う (ここで $N$ は正整数、$\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ はインデックス、$\bk^{\vee}=(l_{1},\ldots,l_{s})$ はそのHoffman双対)。この等式は次のようにして示される: 左辺の母関数は、多重スターポリログを用いて \begin{align} \sum_{N=1}^{\infty}\left(\sum_{0<m_{1}\le\cdots\le m_{r}\le N}\frac{1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{r}^{k_{r}}}\right)z^{N} &=\sum_{0<m_{1}\le\cdots\le m_{r}}\frac{1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{r}^{k_{r}}}\sum_{N=m_{r}}^{\infty}z^{N}\\ &=\frac{1}{1-z}\Li^{\star}_{\bk}(z) \end{align} となる。一方で右辺の母関数は \begin{align} \sum_{N=1}^{\infty}\left(\sum_{0<n_{1}\le\cdots\le n_{s}\le N}\frac{(-1)^{n_{s}-1}}{n_{1}^{l_{1}}\cdots n_{s}^{l_{s}}}\binom{N}{n_{s}}\right)z^{N} &=\sum_{0<n_{1}\le\cdots\le n_{s}}\frac{(-1)^{n_{s}-1}}{n_{1}^{l_{1}}\cdots n_{s}^{l_{s}}}\sum_{N=n_{s}}^{\infty}\binom{N}{n_{s}}z^{N}\\ &=-\frac{1}{1-z}\Li^{\star}_{\bk^{\vee}}\left(\frac{z}{z-1}\right) \end{align} と計算できるから、Landen接続公式の言い換え (同定理の証明を参照) よりわかる。

□

注意 27

Hoffmanはこの双対性が次の主張と同値であることを示している: インデックス $\bk$ を縮約インデックスに持つようなインデックスすべての形式的線型和を $u(\bk)$ と書く、つまり $$u(\bk)=\sum_{\bk\preceq\bl} \bl$$ と書くとき $$\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^{\mathrm{dep}(\bk)}\zeta_{\AA}(u(\bk) )$$ である。この事実はHoffman代数レベルでの計算よりわかる。

系 28 (和公式; Saito-Wakabayashi [SW2, Theorem 1.4])

正整数 $k,r,i$ に対し $$I_{k,r,i}=\{\bk=(k_1,\ldots,k_r)\in\ZZ^r_{\ge 1}\mid\mathrm{wt}(\bk)=k,~k_i\ge 2\}$$ とおくと $1\le i\le r<k$ に対し $$\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\AA}(\bk)=(-1)^r\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\AA}(\bk)=(-1)^{i}{\left(\binom{k-1}{i-1}+(-1)^r\binom{k-1}{r-i}\right)}\left(\frac{B_{p-k}}{k}~\mathrm{mod}~p\right)_p$$ が成り立つ。

定理 29 (巡回和公式; Kawasaki-Oyama [KO, Theorem 1.2])

$1$ でない成分を含むインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\AA}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=\sum_{i=1}^r \left(\zeta_{\AA}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_i+1)+\zeta_{\AA}(k_i+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]})+\zeta_{\AA}(1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})\right),\] \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta^{\star}_{\AA}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=\sum_{i=1}^r\zeta^{\star}_{\AA}(1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})\] が成り立つ。

定理 30 (重み付き和公式; Kamano [Kam, Main Theorem])

正整数 $k,r$ と不定元 $x_1,x_2,y_1,y_2$ に対し $$\sum_{\substack{0\le i\le k\\0\le j\le r}}((-1)^{k+r-i-j}x_1^ix_2^{k-i}y_1^jy_2^{r-j}+(x_1^iy_1^j+x_2^iy_2^j)(x_1+x_2)^{k-i}(y_1+y_2)^{r-j})\sum_{\substack{\bk\in I_{i+1}\\\mathrm{wt}(\bk)=i+j+1\\\bl\in I_{k-i+1}\\\mathrm{wt}(\bl)=k+r-i-j+1}}\zeta_{\AA}(\bk,\bl)=0$$ である。

定理 31 (制限付き和公式; Murahara-Murakami [MM, Theorem 1.6])

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し $$\sum_{\substack{\boldsymbol{m}=(m_i)_i\in\ZZ_{\ge 1}^r\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=r+h}}\sum_{\substack{\boldsymbol{a}_i\in\ZZ_{\ge 1}^{m_i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{a})=k_i+m_i-1\\ (1\le i\le r)}}\zeta_{\AA}(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_r)=\sum_{i=0}^h\sum_{\substack{\boldsymbol{e}=(e_i)_i\in\ZZ_{\ge 0}^{r-1}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-i}}\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in\ZZ_{\ge 0}^{h+r-i}\\\mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=i}}\zeta_{\AA}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\boldsymbol{f})$$ である。ここで $r=1$ のとき右辺は $\zeta_{\AA}(k_1+h)$ だと解釈する。

定理 32 (金子-坂田型和公式; Murahara-Sakata [Theorem 1.3])

深さ $r$ のインデックス $\bk$ と正整数 $h\ge r$ に対し $$\sum_{\substack{\be\in\ZZ_{\ge 0}^{r+1}\\\mathrm{wt}(\be)=h-r}}\zeta_{\AA}(\{1\}^{e_1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{e_r},k_r+1,\{1\}^{e_{r+1}})=\sum_{\substack{\mathrm{dep}(\bl)\le h\\\bl\succeq\bk\\}}\sum_{\substack{\bf\in \ZZ_{\ge 1}^{\mathrm{dep}(\bl)}\\\mathrm{wt}(\bf)=h}}(-1)^{\mathrm{dep}(\bl)-r}\zeta_{\AA}(\bl\oplus\bf)$$ である。

定理 33 (二重大野関係式; Hirose-Murahara-Onozuka-Sato [HMOS, Theorem 2.7])

非負整数 $d,n_0,\ldots,n_{2d}$ に対し $$\bk=(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\{2\}^{n_2},\ldots,\{2\}^{n_{2d-2}},1,\{2\}^{n_{2d-1}},3,\{2\}^{n_{2d}})$$ とおき、$r=\mathrm{dep}(\bk),~s=\mathrm{wt}(\bk)-r$ と書く。このとき非負整数 $h_1,h_2$ に対し $$\sum_{\substack{\be_1\in\ZZ_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be_1)=h_1\\\be_2\in\ZZ_{\ge 0}^r\\\mathrm{wt}(\be_2)=h_2}} \zeta_{\AA}(\bk_{\downarrow}\oplus\be_1\oplus\be_2)=\sum_{\substack{\bf_1\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf_1)=h_1\\\bf_2\in\ZZ_{\ge 0}^s\\\mathrm{wt}(\bf_2)=h_2}} \zeta_{\AA}(((\bk_{\downarrow})^{\vee}\oplus\bf_1\oplus\bf_2)^{\vee})$$ が成り立つ。

金子-Zagier予想

対称多重ゼータ値との類似性が次のように予想されている。

予想 34 (金子-Zagier予想)

$\QQ$-代数としての同型 $$\mathcal{Z}_{\AA}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$$ であって $\zeta_{\AA}(\bk)$ を $\zeta_{\SS}(\bk)$ に写すものが存在する。

$\boldsymbol{p}$ 進多重ゼータ値の定義

有限多重ゼータ値の定義において、$\mathrm{mod}~p$ としている部分をより高次の剰余 $\mathrm{mod}~p^n$ ($n\ge 1$) で考えたゼータ値も意味を持つことがわかる。さらにこれらを全ての $n$ についてまとめて考えた $\pp$ 進有限多重ゼータ値 に関してもいくつか関係式が発見されている。以下ではその定義と知られている結果を述べる。

定義 35 ($\pp$ 進整数環)

正整数 $n$ に対し環 $\AA_n$ を $$\AA_n={\left(\prod_p \ZZ/p^n\ZZ\right)}\Biggm/{\left(\bigoplus_p \ZZ/p^n\ZZ\right)}$$ で定め、$m<n$ に対し成分ごとに $\mathrm{mod}~p^m$ を取る写像 $\AA_n\to\AA_m$ による逆系の射影極限を $\hA$ と書く。

自然な全射 $\pi:\prod_p \ZZ_p\to\hA$ によって任意の $\hA$ の元は $p$ 進整数の族 $(a_p)_p$ を用いた表示 $\pi((a_p)_p)$ を持つ。これを $a_{\pp}$ と書く。
自然な全射 $\pi_n:\hA\to\AA_n$ は同型 $\hA/\pp^n\hA\simeq\AA_n$ を誘導する。これを用いて $\pi_n(a_{\pp})$ も誤解の恐れがなければ $a_{\pp}$ と書くこととする。

定義 36 ($\pp$ 進有限多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\hA}(\bk)=\zeta_{<\pp}(\bk)\in\hA,$$ $$\zeta^{\star}_{\hA}(\bk)=\zeta^{\star}_{<\pp}(\bk)\in\hA$$ とおき、それぞれ $\pp$ 進有限多重ゼータ値 ($\pp$-adic finite multiple zeta value) もしくは $\hA$-多重ゼータ値 ($\hA$-multiple zeta value)、$\pp$ 進有限多重ゼータスター値 ($\pp$-adic multiple zeta star value) もしくは $\hA$-多重ゼータスター値 ($\hA$-multiple zeta star value) と呼ぶ。写像 $\zeta_{\hA}$ は必要に応じて $\QQ$ 線形に拡張して考える。

定義 37 ($\AA_n$-多重ゼータ値)

インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\zeta_{\AA_n}(\bk)=\pi_n(\zeta_{\hA}(\bk)),\quad\zeta^{\star}_{\AA_n}(\bk)=\pi_n(\zeta^{\star}_{\hA}(\bk))$$ とおき、それぞれ $\AA_n$-多重ゼータ値 ($\AA_n$-multiple zeta value, $\AA_n$-MZV)、$\AA_n$-多重ゼータスター値 ($\AA_n$-multiple zeta star value, $\AA_n$-MZSV) と呼ぶ。このとき従来の有限多重ゼータ値は $\zeta_{\AA_1}(\bk)$ とも書ける。

以下では正整数 $k,n$ に対し \[\z_{\AA_n}(k)=\left(\frac{B_{p^n-(k-1+p^{n-1})}}{k-1+p^{n-1}}~\mathrm{mod}~p^n\right)_p\in\AA_n\] と書く。

命題 38

正整数 $n,k,l$ ($l<n$) に対し $\AA_n$ における等式 \[\z_{\AA_n}(k+l)\pp^l=\sum_{j=1}^{n-l}(-1)^j\binom{n-l}{j}\left(\frac{B_{j(p-1)-k-l+1}}{j(p-1)-k-l+1}p^l~\mathrm{mod}~p^n\right)_p\] が成り立つ。とくに $l=n-1$ として \[\z_{\AA_n}(k+n-1)\pp^{n-1}=\left(\frac{B_{p-(k+n-1)}}{k+n-1}p^{n-1}~\mathrm{mod}~p^n\right)_p\] である。

$\boldsymbol{p}$ 進関係式

$\pp$ 進と書いたが、ここでは $\AA_2$ や $\AA_3$ に限定して知られている結果も記載する。

定理 39 ($\AA_n$-対称和公式; Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.1])

正整数 $n$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\AA_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\AA_n}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right),\] \[\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\AA_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^l (|B_i|-1)!\zeta_{\AA_n}\left(\sum_{j\in B_i}k_j\right)\] が成り立つ。ここで右辺の和は $\{1,\ldots,r\}=\bigsqcup_{i=1}^l B_i$ を満たす空でない集合 $B_1,\ldots,B_l$ 全体を渡る。

証明

Hoffman代数: 命題4 と定理よりわかる。

□

定理 40 (Washington [W, Theorem 1], Sakugawa-Seki)

正整数 $k$ に対し $$\zeta_{\AA_n}(k)=(-1)^k\sum_{l=1}^{n-1}\binom{k+l-1}{l}{\left(\sum_{j=1}^{n-l}(-1)^j\binom{n-l}{j}\frac{B_{j(\pp-1)-k-l+1}}{j(\pp-1)-k-l+1}\right)}\pp^l$$ である。

定理 41 (Zhao [Z, Theorem 3.2])

正の偶数 $k$ と和が $k$ になる正整数 $k_1,k_2$ に対し $$\zeta_{\AA_2}(k_1,k_2)=\zeta^{\star}_{\AA_2}(k_1,k_2)-\frac{k}{k+1}B_{\pp-k-1}\pp=\frac{1}{2}{\left((-1)^{k_1}k_2\binom{k+1}{k_1}-(-1)^{k_2}k_1\binom{k+1}{k_2}-k\right)}\frac{B_{\pp-k-1}}{k+1}\pp$$ である。

定理 42 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 3.6 (3,10), (3.11)])

正整数 $k,r$ に対し \[\zeta_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^{rk+r-1}\left(k\z_{\AA_3}(rk+1)\pp+\left(\frac{k(rk+1)}{2}\z_{\AA_3}(rk+2)-k^2\sum_{l=1}^{r-1}\z_{\AA_3}(lk+1)\z_{\AA_3}((r-l)k+1)\right)\pp^2\right),\] \[\zeta^{\star}_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^{rk}\left(k\z_{\AA_3}(rk+1)\pp+\left(\frac{k(rk+1)}{2}\z_{\AA_3}(rk+2)+k^2\sum_{l=1}^{r-1}\z_{\AA_3}(lk+1)\z_{\AA_3}((r-l)k+1)\right)\pp^2\right)\] が成り立つ。

系 43 (Zhou-Cai [ZC, Remark])

積が奇数となる正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\AA_3}(\{k\}^r)=(-1)^r\frac{k(rk+1)}{2(rk+2)}B_{\pp-rk-2}\pp^2$$ である。

系 44 (Zhou-Cai [ZC, Remark])

正整数 $k,r$ に対し $$\zeta_{\AA_2}(\{k\}^r)=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\AA_2}(\{k\}^r)=(-1)^{rk+r-1}k\frac{B_{\pp-rk-1}}{rk+1}\pp$$ である。

定理 45 (Hessami-Pilehrood-Hessami-Pilehrood-Tauraso [HHT, Theorem 4.5], Sakugawa-Seki [SS, Theorem 3.18])

和が偶数となる非負整数 $k_1,k_2$ に対し \[\zeta_{\AA_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac{1}{2}\left(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_2+2}\right)\frac{B_{\pp-k_1-k_2-3}}{k_1+k_2+3}\pp,\] \[\zeta^{\star}_{\AA_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac{1}{2}\left(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_1+2}\right)\frac{B_{\pp-k_1-k_2-3}}{k_1+k_2+3}\pp\] が成り立つ。

定理 46 (Bowman-Bradley型定理; Murahara-Onozuka-Seki [MOS, Theorem 1.3])

$(k_1,k_2)$ を同時に $0$ にはならない非負整数の組としたとき \[\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta_{\AA_2}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\cdots \{2\}^{n_{2m-1}},1,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=(-1)^{k_2}\left((-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}-4\binom{2k_1+k_2}{2k_1}\right)\frac{B_{\pp-4k_1-2k_2-1}}{4k_1+2k_2+1}\pp,\] \[\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_{2k_1+1}\ge 0\\n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}} \zeta^{\star}_{\AA_2}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\cdots \{2\}^{n_{2m-1}},1,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=(-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}\frac{B_{\pp-4k_1-2k_2-1}}{4k_1+2k_2+1}\pp\] が成り立つ。

定理 47 (Ono-Sakurada-Seki [OSS, Theorem 5.2])

正整数 $k,r$ ($k\ge r$) に対し重さ $k$, 深さ $r$ のインデックス全体の集合を $I(k,r)$ と書き、 \[T_{k,r}=\sum_{\substack{B_1\sqcup B_2=\{1,\ldots,r\}\\ B_i\neq\emp}}\sum_{\substack{b_1+b_2=k\\ b_i\ge |B_i|}}\frac{b_1!b_2!}{(b_1-|B_1|)!(b_2-|B_2|)!}\z_{\AA_3}(b_1+1)\z_{\AA_3}(b_2+1)\] としたとき \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\AA_3}(\bk)=(-1)^{k+r-1}\left(\binom{k}{r}\z_{\AA_3}(k+1)\pp+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\z_{\AA_3}(k+2)-\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)\pp^2\right),\] \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\AA_3}(\bk)=(-1)^k\left(\binom{k}{r}\z_{\AA_3}(k+1)\pp+\left(\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\z_{\AA_3}(k+2)+\frac{1}{r!}T_{k,r}\right)\pp^2\right)\] が成り立つ。

系 48 (Seki-Yamamoto [SY, Theorem 2.5])

正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\AA_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\AA_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\binom{k}{r}\frac{B_{\pp-k-1}}{k+1}\pp\] が成り立つ。さらに $kr$ が奇数ならば \[\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta_{\AA_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\sum_{\bk\in I(k,r)}\zeta^{\star}_{\AA_3}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{k+1}{2}\binom{k}{r}\frac{B_{\pp-k-2}}{k+2}\pp^2\] が成り立つ。

定理 49 (Seki-Yamamoto [SY, Theorem 2.5])

正整数 $r,i$ と偶数 $k$ ($i\le r<k$) に対し \[b_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{r-i}\left((k-r)\binom{k}{i-1}+\binom{k-1}{i-1}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{r-i}\right),\] \[b^{\star}_{k,r,i}=\binom{k-1}{r}+(-1)^{i-1}\left((k-r)\binom{k}{r-i}+\binom{k-1}{r-i}+(-1)^{r-1}\binom{k-1}{i-1}\right),\] とおくと \[\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta_{\AA_2}(\bk)=(-1)^{r-1}\frac{b_{k,r,i}}{2}\frac{B_{\pp-k-1}}{k+1}\pp,\] \[\sum_{\bk\in I_{k,r,i}}\zeta^{\star}_{\AA_2}(\bk)=\frac{b^{\star}_{k,r,i}}{2}\frac{B_{\pp-k-1}}{k+1}\pp\] が成り立つ。

定理 50 ($\pp$ 進調和関係式)

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し $$\zeta_{\hA}(\bk\ast\bl)=\zeta_{\hA}(\bk)\zeta_{\hA}(\bl)$$ が成り立つ。

証明

定理 19 より有限和のレベルで調和関係式 $\zeta_{<p}(\bk)\zeta_{<p}(\bl)=\zeta_{<p}(\bk\ast\bl)$ が成り立つ。

□

定理 51 ($\pp$ 進シャッフル関係式; Seki [S1, Theorem 6.4], Jarossay [J, Proposition 3.4.3 (ii)])

任意のインデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta_{\hA}(\bk\sh\bl)=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{\be=(e_1,\ldots,e_s)\in\ZZ^s_{\ge 0}}b(\bl;\be)\zeta_{\hA}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl\oplus\be}\right)}\pp^{\mathrm{wt}(\be)}\] が成り立つ。ここで $s$ は $\bl$ の深さであり、インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数の組 $\be=(e_1,\ldots,e_r)$ に対し \[b(\bk;\be)=\prod_{i=1}^r \binom{k_i+e_i-1}{e_i}\] とおいた。

証明 (by Seki)

$\bk=(k_1,\ldots,k_r),~\bl=(l_1,\ldots,l_s)$ と書く。冪級数 $f(x)$ の $x^i$ の係数を $C(f(x);x^i)$ と書くことにすれば、定義より $$\zeta_{<p}(\bk\sh\bl)=\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk\sh\bl}(z);z^i)$$ が成り立つ。この左辺は $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{p-1} C(\mathrm{Li}_{\bk\sh\bl}(z);z^i)&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}} C(\mathrm{Li}_{\bk}(z);z^i)C(\mathrm{Li}_{\bl}(z);z^j)\\&=\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<n_1<\cdots< n_s=j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}\right)\end{aligned}$$ と変形できる。ここで $j\mapsto p-j$ と、各 $1\le v\le s-1$ に対し $n_v\mapsto p-n_{s+1-v}$ という変換を施すと、右辺は $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,j\\ i+j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots<m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<n_1<\cdots< n_s=j} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}}\right)\\&\quad=\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<p-n_s<\cdots< p-n_1=p-j} \frac{1}{(p-n_s)^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_s}}\right)\end{aligned}$$ となり、$0<n<p$ で $p$ 進的に収束する級数 $$\frac{1}{(p-n)^l}=(-1)^l\sum_{e\ge 0} \binom{l+e-1}{e}\frac{p^e}{n^{l+e}}$$ より $$\begin{aligned}&\sum_{\substack{1\le i,p-j\\ i+p-j\le p-1}}\left(\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\right)\left(\sum_{0<p-n_s<\cdots< p-n_1=p-j} \frac{1}{(p-n_s)^{l_1}\cdots (p-n_1)^{l_s}}\right)\\&\quad=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{\be=(e_1,\ldots,e_s)\in\ZZ^s_{\ge 0}}b{\left({\bl\atop\be}\right)}\sum_{0<m_1<\cdots< m_r=i<j=n_1<\cdots< n_s\le p-1} \frac{p^{e_1+\cdots+e_s}}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}n_1^{l_s+e_s}\cdots n_s^{l_1+e_1}}\\&\quad=(-1)^{\mathrm{wt}(\bl)}\sum_{h=0}^{\infty}\sum_{\substack{\be=(e_1,\ldots,e_s)\in\ZZ^s_{\ge 0}\\e_1+\cdots+e_s=h}}b(\bl;\be)\zeta_{<p}{\left(\bk,\overleftarrow{\bl\oplus\be}\right)}p^h\end{aligned}$$ と計算できる。

□

定理 52 ($\pp$ 進双対性; Seki [S2, Theorem 1.3], Takeyama-Tasaka [TT, Corollary 6.8])

任意のインデックス $\bk$ に対し \[\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\star}_{\hA}(\bk,\{1\}^n)\pp^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\star}_{\hA}(\bk^{\vee},\{1\}^n)\pp^n\] が成り立つ。

定理 53 ($\pp$ 進巡回和公式; Kawasaki [Kaw, Theorem 5.7], Takeyama-Tasaka [TT, Corollary 6.11])

$1$ でない成分を含むインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\hA}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}&, k_i-j)=\sum_{i=1}^r \zeta_{\hA}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_i+1)\\&+\sum_{i=1}^r \sum_{n=0}^{\infty} (\zeta_{\hA}(k_i+n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]})+\zeta_{\hA}(n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i]}))\pp^n,\end{aligned}$$ \[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i-2} \zeta_{\hA}^{\star}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}, k_i-j)=k\zeta_{\hA}(k+1)+\sum_{i=1}^r \zeta_{\hA}^{\star}(n+1,\bk^{[i]},\bk_{[i]})\pp^n\] が成り立つ。ここで $k$ は $\bk$ の重さである。

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