補間多重ゼータ値
$\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\bf}{\boldsymbol{f}}$ $\newcommand{\sh}{\mathbin{\text{ш}}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}$ $\newcommand{\bl}{\boldsymbol{l}}$ $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\dep}{\mathrm{dep}}$ $\newcommand{\wt}{\mathrm{wt}}$ $\newcommand{\fH}{\mathfrak{H}}$ $\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}$ $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$ $\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}$ $\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{\fz}{\mathfrak{z}}$ $\newcommand{\tast}{\stackrel{t}{\ast}}$ $\newcommand{\tsh}{\stackrel{t}{\sh}}$
補間多重ゼータ値 (interpolated multiple zeta values)、あるいは $t$-多重ゼータ値 ($t$-multiple zeta values)とは、多重ゼータ値と多重ゼータスター値を統一的に扱う枠組みの一つであり、Yamamoto1によって導入された。$t$ というパラメータを含んでおり、$t=0$ にしたときに多重ゼータ値、$t=1$ としたときに多重ゼータスター値が現れるという仕組みになっている。
定義
空でない許容インデックス $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ に対し \[\zeta^{t}(\bk)=\sum_{0<n_{1}\le\cdots\le n_{r}}\frac{t^{r-\#\{n_{1},\ldots,n_{r}\}}}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}\in\bbR[t]\] とおき、補間多重ゼータ値という。便宜上 $\zeta^{t}(\emp)=1$ とおく。明らかに $\zeta^{0}(\bk)=\zeta(\bk)$ と $\zeta^{1}(\bk)=\zeta^{\star}(\bk)$ が成り立つ。$t$ の次数は $n_{1}\le\cdots\le n_{r}$ における等号の個数を表しており、これを分解することで \[\zeta^{t}(\bk)=\sum_{\bl\preceq\bk}\zeta(\bl)t^{\dep(\bk)-\dep(\bl)}\] と表示できる(したがって $\zeta^{t}(\bk)\in\cZ_{\wt(\bk)}[t]$ となる)。
代数的な取り扱い
Hoffman代数の記号を用いて \[\fH_{t}=\fH[t],\qquad \fH^{1}_{t}=\bbQ[t]+y\fH_{t},\qquad\fH^{0}_{t}=\bbQ[t]+y\fH_{t}x\] とおく。$\bbQ[t]$ 代数の準同型 $\widetilde{S}^{t}\colon\fH_{t}\to\fH_{t}$ を $x\mapsto x$ と $y\mapsto y+xt$ から定め、$\bbQ$ 線形写像 $S^{t}\colon\fH^{1}_{t}\to\fH^{1}_{t}$ を $yw\mapsto y\widetilde{S}^{t}(w)$ ($w\in\fH_{t}$) と定義する。このとき定義よりインデックス $\bk$ に対し \[S^{t}(z_{\bk})=\sum_{\bl\preceq\bk}z_{\bl}t^{\dep(\bk)-\dep(\bl)}\] となるため、$Z^{t}=Z\circ S^{t}$ とおくと許容インデックス $\bk$ に対し $Z^{t}(z_{\bk})=\zeta^{t}(\bk)$ が成り立つことがわかる。
命題 1 (Yamamoto1)
$\fH^{1}[s,t]$ 上で $S^{s+t}=S^{s}\circ S^{t}$ が成り立つ。
また、調和積およびシャッフル積の補間も定義しておく。$\fH^{1}_{t}$ 上の $\bbQ[t]$ 双線型な積 $\tast$ を
\begin{gather}
1\tast w=w\tast 1=w,&\\
wz_{k}\tast w'z_{l}=(wz_{k}\tast w')z_{l}+(w\tast w'z_{l})z_{k}+(1-2t)(w\tast w')z_{k+l}+(1-\delta_{1,w}\delta_{1,w'})(t^{2}-t)(w\tast w')x^{k+l}
\end{gather}
と定める。ここで $k,l$ は正整数であり、$w,w'$ は $x,y$ からなるwordである。同様に、$\fH_{t}$ 上の $\bbQ[t]$ 双線型な積 $\tsh$ を
\begin{gather}
1\tsh w=w\tsh 1=w,\\
wu\tsh w'u'=(wu\tsh w')u'+(w\tsh w'u')w-\delta_{1,w'}\delta_{y,u'}wuyt-\delta_{1,w}\delta_{y,u}w'u'yt
\end{gather}
と定める ($w,w'$ は調和積と同様で、$u,u'\in\{x,y\}$)。これらはそれぞれ可換かつ結合的な積であり、$\fH^{i}_{t}$ にこれらを入れた代数 $\fH^{i}_{t,\bullet}$ ($i\in\{0,1\}$) が定まる。多重ゼータスター値で用いた $\overline{\sh}$ と $\stackrel{1}{\sh}$ は異なることに注意する。
命題 2 (Yamamoto1, Li-Qin2)
任意の $w,w'\in\fH^{1}_{t}$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し \[S^{t}(w\stackrel{t}{\bullet}w')=S^{t}(w)\bullet S^{t}(w')\] が成り立つ。
命題 3 (Yamamoto1)
インデックス $\bk$ に対し \[\sum_{i=0}^{\dep(\bk)}(-1)^{i}S^{t}(z_{\bk_{[i]}})\ast S^{1-t}(z_{\overleftarrow{\bk^{[i]}}})=\delta_{\emp,\bk}\] が成り立つ。
関係式族
定理 4 ($t$-調和関係式)
許容インデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta^{t}(\bk\tast\bl)=\zeta^{t}(\bk)\zeta^{t}(\bl)\] が成り立つ。
定理 5 ($t$-シャッフル関係式; Li-Qin1)
許容インデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta^{t}(\bk\tsh\bl)=\zeta^{t}(\bk)\zeta^{t}(\bl)\] が成り立つ。
命題 6 ($t$-和公式; Yamamoto1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_{0}(k,r)}\zeta^{t}(\bk)=\left(\sum_{j=0}^{r-1}\binom{k-1}{j}t^j(1-t)^{r-1-j}\right)\zeta(k)\] が成り立つ。
正整数 $h$ に対し $\fH_{t}$ 上の導分 $\partial^{t}_{h}$ を \[\partial^{t}_h(x)=y((1-t)x+y)^{h-1}x,\qquad\partial^{t}_{h}(y)=-y((1-t)x+y)^{h-1}x\] で定める。
定理 7 ($t$-導分関係式; Li1)
任意の $w\in\fH^{0}_{t}$ に対し $Z^{t}(\partial^{t}_{h}(w))=0$ が成り立つ。
定理 8 ($t$-Ohno型関係式; Hirose-Murahara-Ono1)
許容インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し \begin{align} &\sum_{\bl=(l_{1},\ldots,l_{s})\preceq\bk}(t^2-t)^{r-s}\sum_{\substack{\be=(e_{1},\ldots,e_{s})\in\bbZ_{\ge 0}^{s}\\\wt(\be)=h}}\left(\prod_{i=1}^{s}\sum_{j=0}^{e_{i}}\binom{e_{i}-j}{I_{i}-1}\binom{l_{i}+\delta_{l_{i},1}+e_{i}-I_{i}-1}{j}t^{j}(1-t)^{e-I_{i}-j+1}\right)\zeta^{t}(\bl\oplus\be)\\&=\sum_{\substack{\be\in\bbZ_{\ge 0}^{\dep(\bk^{\dagger})}\\ \wt(\be)=h}}\zeta^{t}((\bk^{\dagger}\oplus\be)^{\dagger}) \end{align} が成り立つ。ここで $I_{i}$ は $\bk$ を縮約して $\bl$ を作る際、足し合わせて $l_{i}$ となった $\bk$ の隣り合う成分の個数である。
系 9 ($t$-Hoffman関係式; Li-Qin1, Wakabayashi2)
空でない許容インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \begin{align} \sum_{i=1}^{r} (1+(k_{i}-2+\delta_{1,i})t)\zeta^{t}(\bk_{[i-1]},k_{i}+1,\bk^{[i]})=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_{i}-2}\zeta^{t}(\bk_{[i-1]},j+1,k_{i}-j,\bk^{[i]})+(t-t^2)\sum_{i=1}^{r-1}\zeta^{t}(\bk_{[i-1]},k_{i}+k_{i+1}+1,\bk^{[i+1]}) \end{align} が成り立つ。
$h$ を正整数とし、$\fH_{t}$ から $\fH^{h+1}_{t}$ への作用 $\odot$ を \begin{align} w\odot (w_{1}\otimes\cdots\otimes w_{h+1})&=w_{1}\otimes\cdots\otimes w_{h}\otimes ww_{h+1},\\ (w_{1}\otimes\cdots\otimes w_{h+1})\odot w&=w_{1}w\otimes w_{2}\otimes\cdots\otimes w_{h+1} \end{align} で定める($w,w_{1},\ldots,w_{h+1}\in\fH_{t}$)。$\bbQ[t]$ 線型写像 $\mathcal{C}_{h,t}\colon\fH_{t}\to\fH^{\otimes (h+1)}_{t}$ を \begin{gather} x\mapsto y\otimes ((1-t)x+y)^{\otimes (h-1)}\otimes x,\qquad y\mapsto -y\otimes ((1-t)x+y)^{\otimes (h-1)}\otimes x,\\ \mathcal{C}_{h,t}(ww')=\mathcal{C}_{h,t}(w)\odot\widetilde{S}^{-t}(W')+\widetilde{S}^{-t}(w)\odot\mathcal{C}_{h,t}(w')\qquad (w,w'\in\fH_{t}) \end{gather} で定め、$\fH^{h+1}_{t}\ni w_{1}\otimes\cdots\otimes w_{h+1}\mapsto w_{1}\cdots w_{h+1}\in\fH_{t}$ による $\mathcal{C}_{h,t}(w)$ のテンソル積を通常の積に差し替えたものを $\rho_{h,t}(w)$ と書く。
定理 10 (Tanaka-Wakabayashi1)
任意の $w\in(\fH^{1}\setminus\bbQ[y])[t]$ と正整数 $h$ に対し $Z^{t}(\rho_{h,t}(w))=0$ が成り立つ。
系 11 ($t$-巡回和公式; Yamamoto1)
重さ $k$ のインデックス $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ が $1$ でない成分を持つとき \[\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_{i}-2}\zeta^{t}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_{i}-j)=(1-t)\sum_{i=1}^{r} \zeta^{t}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_{i}+1)+t^rk\zeta(k+1)\] が成り立つ。
定理 12 ($t$-正規化複シャッフル関係式; Li-Qin1, Wakabayashi2)
同型 $\fH^{1}_{t,\bullet}\simeq\fH^{0}_{t}[y]$ (Li2) によって、準同型 $Z^{t,\bullet}_T\colon\fH^{1}_{t,\bullet}\to\bbR[T]$ であって $\fH^{0}_{t}$ への制限が $Z^{t}$ に一致し、$y$ を $T$ に送るものが一意に存在する。このとき $\bbQ[t]$ 線型写像 $\zeta^{t,\bullet}(-;T)\colon\mathcal{R}[t]\to\bbR[T]$ を $\bk\mapsto Z^{t,\bullet}_{T}(z_{\bk})$ で定めれば、インデックス $\bk$ および許容インデックス $\bl$ に対し \[\zeta^{t,\bullet}(\bk\tast\bl;T)=\zeta^{t,\bullet}(\bk\tsh\bl;T)\] が成り立つ。
定理 13 ($t$-シャッフル正規化和公式; Li1)
正整数 $k,r$ に対し \[\sum_{\bk\in I(k+r,r)}\zeta^{t,\sh}(\bk)=\sum_{i=1}^{r}(-1)^{i-1}t^{r-i}\sum_{\substack{\bk=(k_{1},\ldots,k_{i})\in I(k+r,i)\\ k_{i}>k}}\binom{k_{i}}{k+1}\zeta^{t}(k_{1},\ldots,k_{i})\] が成り立つ。
定理 14 ($t$-Kaneko-Sakata型和公式; Li1)
正整数 $k,r$ に対し \[\zeta^{t}(\{1\}^{r-1},k+1)=\sum_{j=1}^{\min\{k,r\}}(-1)^{j-1}\sum_{\substack{\bk\in I(k,j)\\(l,\bl)\in I(r,j)}}\frac{1-t^l}{1-t}\zeta(\bk\oplus(l,\bl))\] が成り立つ。
定理 15 ($t$-Guo-Xie型和公式; Li1)
正整数 $k,r$ ($k>r\ge 2$) に対し \begin{align} &\sum_{\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})\in I_{0}(k,r)}D(k_{2},\ldots,k_{r})\zeta^{t}(\bk)-t\sum_{\bk=(k_{1},\ldots,k_{r-1})\in I_{0}(k,r-1)}(D(\bk)-(1-\delta_{1,r})D(k_{2},\ldots,k_{r-1})+\delta_{1,r}k)\zeta^{t}(\bk)+(t-t^2)\sum_{\bk=(k_{1},\ldots,k_{r-2})\in I_{0}(k,r-2)}\sum_{i=1}^{r-2}\binom{k_{i}-1}{2}\zeta^{t}(\bk)\\ &\qquad=\left(\sum_{i=1}^{r-2}\left(k\binom{k-1}{i}-(k-r+1)\binom{k-1}{i-1}\right)t^{i}(1-t)^{r-1-i}+k(1-t)^{r-1}+\binom{k-1}{r-1}t^{r-1}\right)\zeta(k) \end{align} が成り立つ。ここで \[D(k_{1},\ldots,k_{r})=2^{k_{r}-1}+(2^{k_{r}-1}-1)\sum_{i=0}^{r-2}2^{\delta_{i,0}+\wt(\bk^{[i]})-k_{r}-r+i+1}\] とおいた。
定理 16 (Li1)
正整数 $k,r,a$ ($a\ge 2$, $k\ge r$) に対し \[\sum_{\substack{\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})\in I(k,r)}}\zeta^{t}(ak_{1},\ldots,ak_{r})=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\min\{r,i\}}(-1)^{i+j}\binom{k-j}{k-r}\binom{i}{j}t^{r-j}\zeta(\{a\}^{i})\zeta^{\star}(\{a\}^{k-i})\] が成り立つ。
$\fH$ 上の自己同型 $\phi$ を $y\mapsto y+x$ と $x\mapsto x$ で定め、$\phi^{t}=-S^{-t}\circ\phi\circ S^{t}$ と定める。また、$w\stackrel{t}{\circledast}w'=S^{-t}(S^{t}(w)\circledast S^{t}(W'))$ とすることで積 $\stackrel{t}{\circledast}$ を定める。ここで $\circledast$ とは $1$ を単位元に持ち、$z_{\bk,k}\circledast z_{\bl,l}\mapsto (z_{\bk}\ast z_{\bl})z_{k+l}$ で定まる $\fH^{1}$ 上の積である。
定理 17 ($t$-Kawashima関係式; Tanaka-Wakabayashi1)
任意の $w,w'\in\fH^{1}_{t}\setminus\bbQ[t]$ と正整数 $h$ に対し \[\sum_{\substack{m,n\ge 1\\ m+n=h}}Z^{t}(\phi^{t}(w)\stackrel{t}{\circledast}y(y-xt)^{m-1})Z^{t}(\phi^{t}(w')\stackrel{t}{\circledast}y(y-xt)^{n-1})=-Z^{t}(\phi^{t}(w\tast w')\stackrel{t}{\circledast}y^h)\] が成り立つ。
定理 18 (Li1)
正整数 $k,r$ に対し \[\zeta^{t}(\{2k\}^r)=\sum_{i=0}^r\zeta(\{2k\}^{i})\zeta^{\star}(\{2k\}^{r-i})(1-t)^it^{r-i}\] が成り立つ。
次の定理はOhno-Zagier の定理の補間である。
定理 19 (Li-Qin1)
冪級数の等式 \[\sum_{k,r,s\ge 0}\left(\sum_{\bk\in I_{0}(k,r,s)}\zeta^{t}(\bk)\right)\delta^{k-r-s}\ep^{r-s}\varphi^{2s-2}=\frac{1}{(1-\ep)(1-\beta)}{}_{3}F_{2}\left(\begin{array}{c}1-\gamma_{1}-\beta,~1-\gamma_{2}-\beta,~1\\ 2-\ep,~2-\beta\end{array};1\right)\] が成り立つ。ここで $\alpha,\beta,\gamma_{1},\gamma_{2}$ は \[\alpha+\beta=\delta+\ep t,\qquad\alpha\beta=(\delta\ep-\varphi^{2})t,\qquad\gamma_{1}+\gamma_{2}=-\delta+(1-t)\ep,\qquad\gamma_{1}\gamma_{2}=(t-1)(\delta\ep-\varphi^{2})\] から決まる値である。
有限/対称多重ゼータ値の補間
有限多重ゼータ値、対称多重ゼータ値の補間もSeki3やMurahara-Ono4によって研究されている。以後 $\cF\in\{\cA,\cS\}$ とし、$Z_{\cF}$ を $z_{\bk}\mapsto\zeta_{\cF}(\bk)$ から定まる $\bbQ[t]$ 線形写像 $\fH^{1}[t]\to\cA$ (もしくは $\fH^{1}[t]\to\cZ/\zeta(2)\cZ$) とする。このとき \[\zeta^{t}_{\cF}(\bk)=Z_{\cF}(S^{t}(z_{\bk}))=\sum_{\bl\preceq\bk}\zeta_{\cF}(\bk)t^{\dep(\bk)-\dep(\bl)}\] とおき、$\zeta^{t}_{\cA}(\bk)$ を補間有限多重ゼータ値、$\zeta^{t}_{\cS}(\bk)$ を補間対称多重ゼータ値という。この定義はそれぞれ次のように言い換えられる: インデックス $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ と正整数 $N$ に対し \[\zeta^{t}_{<N}(\bk)=\sum_{0<n_{1}\le\cdots\le n_{r}<N}\frac{t^{r-\#\{n_{1},\ldots,n_{r}\}}}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}\] とおき、 \[\zeta^{t}_{\cA}(\bk)=(\zeta^{t}_{<p}(\bk)~\mathrm{mod}~p)_{p}\in\cA\] を補間有限多重ゼータ値という。また、インデックス $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し \[\zeta^{t,\bullet}_{\cS}(\bk)=\sum_{i=0}^{\dep(\bk)}(-1)^{\wt(\bk^{[i]})}Z^{\bullet}(S^{t}(z_{\bk_{[i]}}))Z^{\bullet}(S^{t}(z_{\overleftarrow{\bk^{[i]}}}))\] とおくとこれは $(\cZ/\zeta(2)\cZ)[t]$ において $\bullet$ によらないので、この商代数における像を $\zeta^{t}_{\cS}(\bk)$ と書き補間対称多重ゼータ値という。
以後は $\zeta^{t}_{\cF}$ を $\bbQ[t]$ 線形に拡張して用いる。
定理 20 ($t$-調和関係式)
インデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta^{t}_{\cF}(\bk\tast\bl)=\zeta^{t}_{\cF}(\bk)\zeta^{t}_{\cF}(\bl)\] が成り立つ。
定理 21 ($t$-シャッフル関係式; Murahara-Ono1)
インデックス $\bk,\bl$ に対し \[\zeta^{t}_{\cF}(\bk\tsh\bl)=(-1)^{\wt(\bl)}\left(\zeta^{t}_{\cF}(\bk,\overleftarrow{\bl})-\zeta^{t}_{\cF}(\bk\uplus\overleftarrow{\bl})t\right)\] が成り立つ。ここで $\uplus$ とは左側の最後の成分と右側の最初の成分を足してできるインデックス (例えば $(1,2)\uplus(3,4)=(1,5,4)$) であり、$\bk=\emp$ のときは右辺第二項を $0$ であるものとする。
定理 22 ($t$-Hoffman双対性; Murahara-Ono1)
任意の $w\in\fH^{1}_{t}$ に対し $Z^{t}_{\cF}(w)=-Z^{t}_{\cF}(\phi^{t}(w))$ が成り立つ。ここで $\phi^{t}=-S^{-t}\circ\phi\circ S^{t}$ であり、$\phi$ とは $y\mapsto -y,~x\mapsto y+x$ から定まる $\fH$ 上の自己同型 (を $\bbQ[t]$ 線形に延長したもの) である。
定理 23 ($t$-和公式; Seki1)
正整数 $k,r$ ($k>r$) に対し \[\sum_{\bk\in I_0(k,r)}\zeta^t_{\cF}(\bk)=\sum_{j=0}^{r-1}\left(\binom{k-1}{j}+(-1)^r\binom{k-1}{r-1-j}\right)t^{j}(1-t)^{r-1-j}\fz_{\cF}(k)\] が成り立つ。
- 和公式の記事にも述べてあるように、左辺の和の範囲を $I_{i}(k,r)$ ($i=1,\ldots,r$) へ拡張できるかは未解決問題である (後述するシャッフル関係式より従う反転公式によって $i=1$ のケースは $i=r$ に帰着され、上と本質的に同じである)。
定理 24 ($t$-導分関係式; Murahara-Ono1)
任意の $w\in y\fH_{t}x$ に対し $Z^{t}_{\cF}(R_{x}^{-1}(\partial^{t}_{h}(w)))=0$ が成り立つ。ここで $R_{x}^{-1}\colon\fH^{t}x\to\fH^{t}$ は右端の $x$ を取り除く $\bbQ[t]$ 線形写像である。
定理 25 ($t$-Ohno型関係式; Hirose-Murahara-Ono1)
空でない許容インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と非負整数 $h$ に対し \begin{align} &\sum_{\bl=(l_{1},\ldots,l_{s})\preceq\bk}(t^2-t)^{r-s}\sum_{\substack{\be=(e_{1},\ldots,e_{s})\in\bbZ_{\ge 0}^{s}\\\wt(\be)=h}}\left(\prod_{i=1}^{s}\sum_{j=0}^{e_{i}}\binom{e_{i}-j}{I_{i}-1}\binom{l_{i}+\delta_{l_{i},1}+e_{i}-I_{i}-1}{j}t^{j}(1-t)^{e-I_{i}-j+1}\right)\zeta^{t}_{\cF}((\bl\oplus\be)_{\downarrow})\\&=\sum_{\substack{\be\in\bbZ_{\ge 0}^{\dep(\bk^{\dagger})}\\ \wt(\be)=h}}\zeta^{t}_{\cF}(((\bk_{\downarrow})^{\vee}\oplus\be)^{\vee}) \end{align} が成り立つ。ここで $I_{i}$ は $\bk$ を縮約して $\bl$ を作る際、足し合わせて $l_{i}$ となった $\bk$ の隣り合う成分の個数である。
系 26 ($t$-Hoffman関係式; Murahara-Ono1)
空でない許容インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し \begin{align} \sum_{i=1}^{r} (1+(k_{i}-2+\delta_{1,i})t)\zeta^{t}_{\cF}((\bk_{[i]})_{\uparrow},(\bk^{[i]})_{\downarrow})=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_{i}-2}\zeta^{t}_{\cF}(\bk_{[i-1]},j+1,k_{i}-j,(\bk^{[i]})_{\downarrow})+(t-t^{2})\sum_{i=1}^{r-1}\zeta^{t}_{\cF}(\bk_{[i-1]},k_{i}+k_{i+1}+1,(\bk^{[i+1]})_{\downarrow}) \end{align} が成り立つ。
定理 27 ($t$-巡回和公式; Murahara-Ono1)
重さ $k$ のインデックス $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ が $1$ でない成分を持つとき \[\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_{i}-2}\zeta^{t}_{\cF}(j+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_{i}-j)=(1-t)\sum_{i=1}^{r} (\zeta^{t}_{\cF}(\bk^{[i]},\bk_{[i-1]},k_{i}+1)+\zeta^{t}_{\cF}(k_{i}+1,\bk^{[i]},\bk_{[i-1]}))\] が成り立つ。
定理 28 ($t$-重み付き和公式; Murahara-Ono1)
正整数 $1\le r\le k$ ($r$ は奇数) に対し \[\sum_{(\bk,l)\in I(k,r)}2^{l-1}\zeta^{t}_{\cF}(\bk,l)=0\] が成り立つ。
定理 29 ($t$-Bowman-Bradley型定理; Murahara-Ono1)
非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ と正整数 $a,b,c$ ($a,b$ は奇数、$c$ は偶数) に対し \[\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{t}_{\cF}(\{c\}^{n_{0}},a,\{c\}^{n_{1}},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-2}},a,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})=0\] が成り立つ。
脚注
参考文献
- 1 S. Yamamoto. (2013) "Interpolation of multiple zeta and zeta-star values". J. Algebra 385 : 102-114.
- 2 "Algebraic relations of interpolated multiple zeta values". preprint (2019) <[arXiv:1904.09887 arXiv:1904.09887]> Accessed: {{{accessed}}}
