単連結空間
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単連結空間
単連結空間 (たんれんけつくうかん、simply connected space) とはある意味穴のない位相空間であり、ホモトピー論的に単純であると言える。また$n$-連結との関係で$1$-連結とも呼ばれる場合がある。
定義
(空でない)弧状連結な位相空間 $X$ が単連結であるとは基本群 $\pi_1(X,x)$ が自明になる事をいう。この時に注意されたいのは弧状連結であることから基点の取り方によらないことである。また基本群を使わずに次のように直接定義することもできる。空集合に対しては単連結でないと約束する。
- 任意の曲線 $\gamma\colon [0,1]\to X$ であって $\gamma(0)=\gamma(1)$ を満たすとき $\gamma$ は定値写像とホモトピック
- $[S^1,X]$ は一点集合
またLie群論などにおいては弧状連結を課さないことがある。弧状連結でない場合においては任意の基点における基本群が自明であるという定義をするが、Lie群においては弧状連結成分は互いに自身の作用で同相に移り合うことから基点の取り方によらず基本群の形が定まる。このページにおいては弧状連結性は常に課すこととする。
具体例
- $n\geq 2$ に対して $S^n$ は単連結。$n=3$に対しての逆の問題、つまり単連結な閉3次元多様体は $S^3$ と同相かという問題はPoincaré予想として知られている。
位相的性質
遺伝性
- 単連結性は部分空間に遺伝しない。
- 部分空間の単連結性は全空間の単連結性を誘導しない。
- 単連結な部分空間同士の和集合は単連結とは限らない
- 単連結な部分空間同士の共通部分は単連結とは限らない。
- 単連結空間の連続写像による像は単連結とは限らない。
- 単連結空間の連続写像による逆像は単連結とは限らない。
- 2つの単連結空間の直和は連結でないため単連結でない。
- 2つの単連結空間の直積は再び単連結である。
他の位相的性質との関連
局所単連結空間
任意の点 $x \in X$ に対して単連結な基本近傍系を持つとき、すなわち $x$ の任意の開近傍 $x\in U$ に対してそれより小さい単連結な開近傍 $x\in V \subset U$ が取れるとき $X$ は局所単連結(locally simply connected)であると言う。一般に単連結性と局所単連結性に包含はない。代表的な例を以下に挙げる
- 単位閉区間 $[0,1]$ (単連結かつ局所単連結)
- 円周 $S^1$ (単連結ではないが局所単連結)
- ハワイの耳飾りの錐 (単連結であるが局所単連結ではない)
- ハワイの耳飾り (単連結でも局所単連結でもない)
位相的性質(局所版)
遺伝性(局所版)
- 局所単連結性は部分空間に遺伝しない。
- 部分空間の局所単連結性は全空間の局所単連結性を誘導しない。
- 局所単連結な部分空間同士の和集合は局所単連結とは限らない。
- 局所単連結な部分空間同士の共通部分は局所単連結であるとは限らない。
- 局所単連結空間の連続写像による像は局所単連結であるとは限らない。
- 局所単連結空間の連続写像による逆像は局所単連結とは限らない。
- 2つの局所単連結空間の直和は再び局所単連結である。
- 2つの局所単連結空間の直積は再び局所単連結である。
他の位相的性質との関連(局所版)
- 局所可縮 $\Longrightarrow$ 局所単連結 $\Longrightarrow$ 局所弧状連結 $\Longrightarrow$ 局所連結
- 局所単連結 $\Longrightarrow$ 半局所単連結空間
