連結空間
連結空間
連結空間 (れんけつくうかん、connected space) その名の通り"つながっている"位相空間を数学的に定式化したものである。連結性は非常に基本的な性質であるが直感とは少し乖離があるため慣れが必要である。
定義
非連結である事を定義その否定として連結を定義することが多い。このページでもその定義を採用する。
位相空間 $X$ が非連結[1](disconnected)であるとは、ある空でない二つの交わらない開かつ閉集合の和として表される事を言う。つまり空でない開集合でありさらに閉集合でもある $A,B\subset X$ が存在して $A\cap B=\varnothing$ $A\cup B=X$ を満たす事をいう。これはさらに同値な言い換えとして空集合でも全体でもない開かつ閉集合が存在する事としても良い。定義から空集合は非連結であることに注意されたい。[2]
例えば $[0,1)\cup [2,3]$ に $\mathbb{R}$ からの相対位相を入れた空間を $X$ とすると非連結となる。なぜなら $[0,1),[2,3]\subset X$ は $X$ の空でない交わらない開集合かつ閉集合であり $X$ はそれらの和集合として表せるからである。
位相空間 $X$ が連結(connected)であるとは、非連結でないことをいう。これは言い換えれば $X$ の開かつ閉集合は $X$ 自身か空集合のみであるという事である。
例えば $\mathbb{R}$ は連結である。なぜなら $\mathbb{R}$ の開かつ閉集合は $\mathbb{R}$ 自身と空集合のみであるからである。
連結成分
位相空間 $X$ に対して連結な部分空間で(包含に関して)極大である部分空間を連結成分(connected component,単にcomponentとも)と呼ぶ。これは $X$ 上の関係 $x\sim y$ を「 二点$x,y$ を含むX上の連結部分集合が存在する」と定義することで同値関係をなし、この同値関係による同値類として連結成分を定義することもできる。これにより $X$ は連結成分によって閉部分集合 [3] たちで分割される。 $X$ の連結成分全体の濃度は位相不変量となる。特に連結成分が $1$ であることと連結であることは同値である。
直感との乖離
連結であるということは必ずしも直感に合った"つながっている"と言う事を表さない。むしろ非連結であることの否定として定義していることがある意味示唆的であり、連結であると言うことは位相的に二つの部分に分離できないというようにも解釈できる。
例えば原点を除いたくし空間は直感的にはつながっていないように思えるが実際には連結である。このつながっていないような直感を反映しているのは弧状連結という条件である。実際に原点を除いたくし空間は弧状連結ではない。
位相的性質
遺伝性
- 連結性は部分空間に遺伝しない。
- 部分空間の連結性は全空間の連結性を誘導しない。
- 連結な部分空間同士の和集合は一般に連結でないが、共通部分が空でなければ連結である。
- 連結な部分空間同士の共通部分は連結とは限らない。
- 連結空間の連続写像による像は連結である。
- 連結空間の連続写像による逆像は連結とは限らない。
- 2つの連結空間の直和は必ず連結でない。
- 2つの連結空間の直積は再び連結である。
他の位相的性質との関連
局所連結空間
任意の点 $x \in X$ に対して連結な基本近傍系を持つとき、すなわち $x$ の任意の開近傍 $x\in U$ に対してそれより小さい連結な開近傍 $x\in V \subset U$ が取れるとき $X$ は局所連結(locally connected)であると言う。一般に連結性と局所連結性に包含はない。代表的な例を以下に挙げる
- 単位閉区間 $[0,1]$ (連結かつ局所連結)
- $\{0\}\cup[1,2]$ (連結ではないが局所連結)
- くし空間 (連結であるが局所連結ではない)
- $\{\frac{1}{n}\in \mathbb{R}\mid n\in \mathbb{N}\}\cup\{0\}$ (連結でも局所連結でもない)
位相的性質(局所版)
遺伝性(局所版)
- 局所連結性は部分空間に遺伝しない。
- 部分空間の局所連結性は全空間の局所連結性を誘導しない。
- 局所連結な部分空間同士の和集合は局所連結とは限らない。
- 局所連結な部分空間同士の共通部分は局所連結であるとは限らない。
- 局所連結空間の連続写像による像は局所連結であるとは限らない。
- 局所連結空間の連続写像による逆像は局所連結とは限らない。
- 2つの局所連結空間の直和は再び局所連結である。
- 2つの局所連結空間の直積は再び局所連結である。
