錐
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錐
錐 (すい,cone) とは三角錐や円錐といった先の尖った図形を位相幾何の枠組みで定式化させた概念である。
定義
位相空間 $X$ に対して$X\times [0,1]$ の $X\times \{1\}$を一点に潰した空間を $X$ 上の錐と呼ぶ。潰した点を錐の頂点と呼ぶ。また $x\mapsto [(x,0)]$ によって $X$ は $X$ の錐の部分空間だとみなせる。
厳密な定義としては次の通りである：位相空間 $X\times [0,1]$ と集合 $X\times [0,1)\cup\{pt\}$ について、以下のように $f\colon X\times [0,1]\to X\times [0,1)\cup\{pt\}$ を定める。
- $(x,r)\in X\times [0,1)$ に対して $f( (x,r) )=(x,r)$
- $(x,1)\in X\times \{1\}$ に対して $f( (x,1) )=pt$
このとき $f$ は集合の全射であるため、$X\times [0,1)\cup \{pt\}$ には商位相が入る。この空間が $X$ 上の錐である。
ここに述べた空間と同相な空間について、しばしば $X$ 上の錐という。また $CX$ と表記することがある。
位相的性質
- ハウスドルフ空間の錐は再びハウスドルフである。
- コンパクト空間の錐は再びコンパクトである。
- 錐と一点とのジョインは同相である。
- 任意の空間の錐は可縮であり、さらに頂点を強変形レトラクトとして持つ。
- CW複体の錐は再びCW複体となる。[1]
関連項目
- ↑ 一般にCW複体の直積に直積位相を入れたものはそのままではCW複体にならないがより細かい自然な位相を入れることでCW複体になる。今回の場合は $[0,1]$ が有限なCW複体として実現できることからCW複体としての位相と直積位相は一致しそのまま自然なCW複体の構造を持ち元の空間は錐の部分複体となる。
