Kleinの四元群
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Kleinの四元群
Kleinの四元群(クラインのしげんぐん、Klein four-group)とは有限群の一種で、同型の違いを除いて唯一の巡回的でない位数4の群のことである。この群は次のような解釈を持つ。
Kleinの四元群は巡回群でない群の中で最小の位数を持つ。また、二面体群でありながらアーベル群であるなど、例外的な性質が重要になることも多い。
定義
直積群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型な群をKleinの四元群という。
表記
単に $C_2 \times C_2$ と書かれるほか、$K_4$、$V_4$、$V$ などとも書かれる。また、二面体群や基本アーベル群として $D_4$ や $E_4$ と書かれることもある。
群に関するデータ
| データ | 解答 |
|---|---|
| 群の表示 | $G=\langle a,b\vert a^2=b^2=e, ab=ba\rangle$ |
| 要素 | $e,a,b,ab$ |
| 位数 | 4 |
| 元の最大位数 | 2 |
| アーベル群 | はい |
| 巡回群 | いいえ |
| 単純群 | いいえ |
| 可解群 | はい |
| 冪零群 | はい |
| 部分群 | $\{e\},\{e,a\},\{e,b\},\{e,ab\},G$ |
| 正規部分群 | $\{e\},\{e,a\},\{e,b\},\{e,ab\},G$ |
| 特性部分群 | $\{e\},G$ |
| 中心 | $G$ |
| 中心の構造 | $C_2 \times C_2$ |
| 導来部分群 | $\{e\}$ |
| 導来部分群の構造 | $C_1$ |
| Frattini部分群 | $\{e\}$ |
| Frattini部分群の構造 | $C_1$ |
| 自己同型群 | $\mathop{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{Set}}\{a,b,ab\}$ |
| 自己同型群の構造 | $D_6$ |
