部分群

部分群(subgroup)とは、なんらかの群の部分集合であって、同じ演算により群となるもののことをいう。群論のみならず、部分代数の概念は代数学において基本的な概念のひとつである。

定義

群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の部分群となるとは、$G$ の演算 $*$ について、演算 $*$ について $H$ が閉じており(すなわち $H$ の元 $h$, $h'$ について $hh' \in H$ となる)かつ $G$ の単位元を $H$ が持ち、かつ $*$ についての逆元が $H$ に存在する(すなわち $H$ の元 $H$ について $h^{-1} \in H$ となる)ことをいう。このとき、$G$ の演算 $*$ の $H$ への制限により、$H$ は群となる。

例

• 加法を演算とする整数群 $\mathbb{Z}$ は同じく加法を演算とする実数群 $\mathbb{R}$ の部分群である。
• 特殊線型群 $SL(n)$ は 一般線型群 $GL(n)$ の部分群である。
• 交代群 $A_n$ は対称群 $S_n$ の部分群である。

注意

群の単射 $i\colon X \to Y$ が存在したときに、「$i$ に沿って $X$ を $Y$ の部分群であるとみなす」ような議論がまれになされることがあるが、厳密には単射は包含写像ではないことに注意する必要がある。もっとも基本的な例としては、以下のようなものがある。

• 整数群 $\mathbb{Z}_1$ とおなじ整数群 $\mathbb{Z}_2$ を用意する(添え字は視認を用意にするためのダミー的な役割で使用している)。このときおなじ整数群を用意したため、$\mathbb{Z}_1=\mathbb{Z}_2$ である。ここで $2$ 倍写像 $[2]\colon \mathbb{Z}_1 \to \mathbb{Z}_2$ は単射であるが、「本当に」$[2]$ に沿って $\mathbb{Z}_1$ を $\mathbb{Z}_2$ の「部分群である」と思うことはできない。

通常はこのような言及は議論の煩雑性を下げるために行われるが、しかしながらデリケートな状況においては注意を行う必要がある。

また、この種の注意については群以外についてもなされるべきものであることを補足しておく。