ジョイン
ジョイン
ジョイン (結、join) とは二つの位相空間を繋ぐ位相空間であり、これにより錐やホモロジーで重要な概念である懸垂(懸垂同型を参照されたい)などが定義される(直接定義することも可能だが。)。単体的複体やPL幾何とも相性が良い。
定義
位相空間 $X,Y$ に対して $X\times Y\times [0,1] \sqcup X \sqcup Y$ を $(x,y,0)\sim x, (x,y,1)\sim y$ により生成される同値関係で割った位相空間を $X$ と $Y$ のジョインと呼び$XY$で表す。なお $Y$ が空集合の時は $X\varnothing,\varnothing X$ は $X$ と定める。$X,Y$ は $x \mapsto [(x,y,0)]=[x],y\mapsto [ (x,y,1)]=[y]$ によって自然と $XY$ の部分空間とみなせる。
性質
- 同相の違いを除いてジョインは可換である
- 局所コンパクトHausdorff空間においては同相を除いてジョインは結合的である。
- 2つのコンパクト空間のジョインは再びコンパクトである。
- どちらかが可縮空間であればジョインは可縮である。
- 球面に対して $S^{n}S^{m}$ は $S^{n+m+1}$ と同相 (ただし $n,m\geq 0$)
- コンパクト空間 $X,Y$ と一点空間 $c$ に対して $c(XY)$ は $(cX)\times(cY)$ と同相
このジョインを用いて $cX$ は $X$ 上の錐、$S^{0}X$ は $X$ の懸垂、$S^{n-1}X$ は $X$ の $n$ 重懸垂と呼ぶ。 錐と懸垂はしばしば $CX$、$SX$とも書かれる。 CW複体 $X,Y$ のジョイン $XY$ にはCW複体の構造が自然に定まるが、このとき商位相よりもCW複体の位相の方が一般に細かい位相を定める。このCW複体の位相と構造により $X$ と $Y$ は $XY$ の部分複体になる。
ユークリッド空間におけるジョイン
部分集合 $Z \subset \mathbb{R}^N$ に対し、ある二つの交わらない閉集合 $X,Y\subset \mathbb{R}^N$ が存在し、$Z=\{tx+(1-t)y\mid (x,y,t)\in X\times Y\times [0,1] \}$と書け、さらに任意の $z\in \{tx+(1-t)y\mid (x,y,t)\in X\times Y\times (0,1) \}\subset Z$ に対して一意的な $(x,y,t)\in X\times Y\times [0,1]$ によって $z=tx+(1-t)y$ とかける時 $Z$ は$X\ast Y$ と書きこれも同様に $X$ と $Y$ のジョインと呼ばれる。$XY$ と $X\ast Y$ は互いにコンパクトである時自然に同相写像によって同一視される。またこれを用いて、二つの閉集合 $X,Y\subset \mathbb{R}^N$ に対してある部分集合 $Z\subset \mathbb{R}^N$ が存在して $Z=X\ast Y$ となる時 $X$ と $Y$ は結可能 (joinable)であるという。以下に簡単な例をあげる。
- $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ と $\{0\}\subset\mathbb{R}^{n+1}$ は結可能で結は単位閉球面 $B^{n+1}$ となる。
- $\{(t,1-t,0,0)\mid t\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^4$ と $\{(0,0,t,1-t)\mid t\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^4$ は結可能で結は$3$ 次元単体 と PL同相となる。
- $\{0,1\}\subset\mathbb{R}^1$ と $\{2\}\subset\mathbb{R}^1$ は結可能でない。
参考文献
- Algeblaic Topology - Allen Hatcher
- 位相幾何学 - 加藤十吉
