ベクトル解析6：Stokesの定理

この章では、微分形式によるStokesの定理について述べる。またStokesの定理の系として、Gaussの発散定理や古典的なStokesの定理について述べる。

ベクトル解析

• ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分
• ベクトル解析2：微分形式
• ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量
• ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分
• ベクトル解析5：多様体の向き
• ベクトル解析6：Stokesの定理

23. Stokesの定理

定義23.1（向き付けられた $n$ 次元多様体上の $n$ 階微分形式の積分）

$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体とし、$E\subset M$ をBorel集合、$\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ を $E$ 上で定義された $M$ の $n$ 階微分形式とする。このとき $M$ の体積要素 $\Omega_M$（定義19.8）に対し、 $$ \omega_p=f(p)\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in E) $$ なる関数 $f\colon E\rightarrow \mathbb{R}$が定まる。$f$ が $M$ のRiemann測度 $\mu_M\colon \mathcal{B}_M\rightarrow [0,\infty]$（定義16.6）に関して可積分であるとき $\omega$ の積分を、 $$ \int_{E}\omega\colon=\int_{E}f(p)d\mu_M(p) $$ として定義する。

注意23.2

$E\subset \mathbb{R}^N$ をBorel集合、$f\colon E\rightarrow \mathbb{R}$ をBorel関数とする。$E$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $N$ 階微分形式 $\star f\colon=(\star f(p))_{p\in E}$ は $\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ に対し、 $$ \star f=fdx_1\wedge \ldots\wedge dx_N $$ と表される。標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ は $\mathbb{R}^N$ の正の向きの局所座標であるから $dx_1\wedge \ldots\wedge dx_N$ は $\mathbb{R}^N$ の体積要素である。よって $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ がLebesgue測度（$\mathbb{R}^N$ のRiemann測度はLebesgue測度である）に関して可積分であるとき、 $$ \int_{E}\star f=\int_{E}f(x)dx $$ である。

定理23.3（Stokesの定理）

$M$ をEuclid空間内の向き付けられた $n$ 次元多様体、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合（定義21.3）とし、$\overline{D}\subset M$ はコンパクトであるとする。このとき $M$ の $n-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\omega$ に対し、 $$ \int_{D}d\omega=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega\quad\quad(*) $$ が成り立つ。ただし $\iota_{\partial D}^*\omega$ は $C^\infty$ 級関数 $\iota_{\partial D}\colon \partial D\ni p\mapsto p\in M$ による $\omega$ の引き戻し（定義9.8）であり、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（定義21.6）が入っているものとする。

Proof.

補題21.4より正の向きの直方体局所座標からなる $M$ のアトラス $\mathcal{A}$ で、$U\cap\partial D\neq\emptyset$ なる任意の $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$ に対し、 $$ \varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad \varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times(0,\infty))\quad\quad(**) $$ を満たすものが取れる。$\overline{D}$ はコンパクトであるから有限個の $(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_m,\varphi_m)\in \mathcal{A}$で、 $$ \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{m}U_i $$ なるものが取れ、$1$ の有限分割（系15.6）より $h_1,\ldots,h_m\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、 $$ \text{supp}(h_i)\subset U_i\quad(i=1,\ldots,m),\quad \sum_{i=1}^{m}h_i(p)=1\quad(\forall p\in \overline{D}) $$ を満たすものが取れる。このとき、 $$ \int_{D}d\omega=\int_{D}d\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right) =\sum_{i=1}^{m}\int_{D}d(h_i\omega), $$ $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right)=\sum_{i=1}^{m}\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega) $$ であるから $(*)$ を示すには任意の $i\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、 $$ \int_{D}d(h_i\omega)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega) $$ が成り立つことを示せばよい。よって最初から $\omega$ はある $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}$ に対し、 $$ \text{supp}(\omega)=\overline{\{p\in M:\omega_p\neq0\}}\subset U $$ を満たし、$\text{supp}(\omega)$ はコンパクトであると仮定して $(*)$ を示せば十分である。 $$ \omega_p=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_k(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge \widehat{dx_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***) $$ （$\widehat{dx_{k,p}}$ は $dx_{k,p}$ を飛ばすことを意味する）として $f_1,\ldots,f_n\in C^1_{c,\mathbb{R}}(U)$ を定義する。このとき外微分の定義（定義9.5）と体積要素の定義（定義19.8）より、 $$ d\omega_p=\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p})=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}\right)\Omega_{M,p} $$ である。$\varphi(U)\subset \mathbb{R}^n$ は開直方体であり $\varphi(\text{supp}(\omega))$ は $\varphi(U)$ のコンパクト集合であるから、 $$ \varphi(\text{supp}(f_k))\subset\varphi(\text{supp}(\omega))\subset \prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)\subset \prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]\subset \varphi(U)\quad(k=1,\ldots,n)\quad\quad(****) $$ なる閉直方体 $\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$ が取れる。 $\varphi(U)$ は連結ゆえ $U$ も連結であるから、 $$ U\subset D,\quad U\subset M\backslash \overline{D},\quad U\cap \partial D\neq\emptyset $$ のうちのいずれかが成り立つ。

• $(1)$　$U\subset D$ の場合。 $\text{supp}(\omega)\subset U$であることと $(***)$、および微分形式の積分の定義（定義23.1）より、

$$ \int_{D}d\omega=\int_{U}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) $$ であり、Riemann測度の定義（定義16.6）と $(****)$ より各 $k\in\{1,\ldots,n\}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) =\int_{\varphi(U)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x)dx\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n \end{aligned} $$ である。$(****)$ より、 $$ \begin{aligned} &(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,a_k,\ldots,x_n)=0,\\ &(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,b_k,\ldots,x_n)=0 \end{aligned} $$ であるからFubiniの定理（測度と積分3：測度論の基本定理(1)の定理14.5）と微積分学の基本定理より、 $$ \int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0 $$ である。よって、 $$ \int_{D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0 $$ である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U\subset D$ より、 $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D) $$ である。よって、 $$ \int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$ である。

• $(2)$　$U\subset M\backslash \overline{D}$ の場合。$\text{supp}(\omega)\subset U$ より $\text{supp}(\omega)\cap D=\emptyset$, $\text{supp}(\omega)\cap \partial D=\emptyset$ であるから、

$$ \omega_p=0\quad(\forall p\in D),\quad (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D) $$ である。よって、 $$ \int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$ である。

• $(3)$　$U\cap\partial D\neq\emptyset$ の場合。このとき $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ は $(**)$ を満たす。$\text{supp}(\omega)\subset U$ であることと微分形式の積分の定義（定義23.1）より、

$$ \int_{D}d\omega=\int_{U\cap D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) $$ であり、Riemann測度の定義（定義16.6）と $(**)$, $(****)$ より各 $k\in \{1,\ldots,n \}$ に対し、 $$ \begin{aligned} &\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) =\int_{\varphi(U\cap D)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n \end{aligned} $$ である。Fubiniの定理、微積分学の基本定理より上式の右辺は $k=1\ldots,n-1$ の場合は $0$ であり、$k=n$ の場合、 $$-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_\ldots dx_{n-1} $$ である。よって、 $$ \begin{aligned} \int_{D}d\omega&=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} \end{aligned} $$ である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U$ より、 $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$ であり、$(**)$ より $\iota_{\partial D}^*dx_n=0$ であるから $(***)$ より、 $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=(-1)^{n-1}f_n(p)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p})\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$ である。ここで $(U\cap\partial D, (-1)^nx_1,x_2,\ldots,x_{n-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから $\partial D$ の体積要素は、 $$ \Omega_{\partial D,p}=(-1)^n\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$ である。よって、 $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=-f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$ であるから、微分形式の積分の定義（定義23.1）より、 $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega =-\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p) $$ である。Riemann測度の定義（定義16.6）と $(**)$, $(****)$ より、 $$ \begin{aligned} &\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p)\\ &=\int_{\varphi(U\cap\partial D)}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} \end{aligned} $$ であるから、 $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} $$ である。よって、 $$ \int_{D}d\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$ である。

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24. Gaussの発散定理、古典的なStokesの定理

補題24.1

$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向き付けられた超曲面、$\nu\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を正の向きの単位法線ベクトル場（定義20.2）、 $\Omega_M$ を $M$ の体積要素（定義19.8）とし、$M$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式を $j(u)=(j(u(p)))_{p\in M}$（定義13.2）とし、それにHodgeの $\star$ 作用素を各点ごとに作用させて得られる $\mathbb{R}^N$ の $N-1$ 階微分形式を $\star j(u)=(\star j(u(p)))_{p\in M}$ とする。そして $C^\infty$ 級関数 $\iota_M\colon M\ni p\mapsto p\in \mathbb{R}^N$ によっ て $\star j(u)$ を引き戻すことによって得られる $M$ の $N-1$ 階微分形式 $\iota_M^*\star j(u)$ を考える。このとき、 $$ (\iota_M^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in M) $$ が成り立つ。

Proof.

$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、 $$ j(u)=\sum_{k=1}^{N}u_kdt_{k}, $$ $$ \star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(dt_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_k}\wedge\ldots\wedge dt_N) $$ である（$\widehat{dt_k}$ は $dt_k$ を飛ばすことを意味する）。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し外積の反対称性より、 $$ \begin{aligned} &(\iota_M^*\star j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(p)(dt_{1,p}\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dt_{N,p}\\ &={\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U) \end{aligned} $$ である。ここで体積要素の定義と正の向きの単位法線ベクトル場の定義より、 $$ \Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U), $$ $$ \nu(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U) $$ であり、ベクトル積の性質（命題11.2）より、 $$ \begin{aligned} u(p)\cdot\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p,u(p)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U) \end{aligned} $$ であるから、 $$ (\iota_M^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in U) $$ である。よって $(*)$ が成り立つ。

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定理24.2（Gaussの発散定理）

$D\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合、$\nu\colon\partial D\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（定義22.1）、$\mu_{\partial D}\colon\mathcal{B}_{\partial D}\rightarrow [0,\infty)$を面積測度（定義16.8）とする。このとき $\overline{D}$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合 $M$ 上で定義された $C^1$ 級ベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ に対し、 $$ \int_{D}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial D}(u(p)\cdot\nu(p))d\mu_{\partial D}(p) $$ が成り立つ。

Proof.

発散の定義（定義13.3）より、 $$ {\rm div}(u)=\star d\star j(u) $$ であるから、 $$ \star {\rm div}(u)=d\star j(u) $$ である。よって注意23.2より、 $$ \int_{D}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{D}\star {\rm div}(u)=\int_{D}d\star j(u) $$ である。また補題24.1より、 $$ (\iota_{\partial D}^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in \partial D) $$ である。そして向き付けられた $N$ 次元多様体 $M$ の $N-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\star j(u)$ と、$M$ の滑らかな境界を持つ開集合 $D$ に対しStokesの定理（定理23.3）を適用すると、 $$ \int_{D}d\star j(u)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u) $$ となる。ゆえに、 $$ \int_{D}{\rm div}(u)(x)=\int_{D}d\star j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u) =\int_{\partial D}(u(p)\cdot\nu(p))d\mu_{\partial D}(p) $$ である。

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定義24.3（向き付けられた $1$ 次元多様体上の正の向きの単位接ベクトル場）

$M$ をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の向き付けられた $1$ 次元多様体とする。このときベクトル場 $\ell\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ で任意の正の向きの局所座標 $(U,x)$ に対し、 $$ \ell(p)=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p\quad(\forall p\in U) $$ を満たすものが一意的に定まる。 $\ell$ は $C^\infty$ 級であり、 $$ \ell(p)\in T_p(M),\quad \lvert \ell(p)\rvert=1\quad(\forall p\in M) $$ を満たす。この $\ell\colon M\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $M$ の正の向きの単位接ベクトル場と言う。

定義24.4（右手系）

$\mathbb{R}^3$ の正規直交基底 $(u_1,u_2,u_3)$ が右手系をなすとは、 $$ {\rm det}(u_1,u_2,u_3)=1 $$ が成り立つことを言う。ただし左辺は行列の縦ベクトル表記である。

注意24.5（向き付けられた曲面の滑らかな境界の正の向きの単位接ベクトル場の直観的意味）

$M$ を $\mathbb{R}^3$ 内の向き付けられた曲面、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合とし、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（定義21.6）が入っているものとする。$M$ の正の向きの単位法線ベクトル場 $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$（定義20.2）と $\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル場 $\ell\colon\partial D\rightarrow\mathbb{R}^3$（定義24.3）を考える。任意の $p\in \partial D$ に対し $p$ の周りの $M$ の正の向きの直方体局所座標 $(U,\varphi;x_1,x_2)$ で、 $$ \varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}\times(0,\infty)),\quad \varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}\times \{0\})\quad\quad(*) $$ なるものを取ると、 $$ \nu(p)=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,x_2)}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right)\in (T_p(M))^{\perp} $$ であり、定義21.6より $(U\cap\partial D, x_1)$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから、 $$ \ell(p)=\left\lvert \frac{\partial}{\partial x_1}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x_1}p $$ である。ベクトル積の性質（命題11.2）より、 $$ {\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\frac{\partial}{\partial x_2}p,\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right)= \left\lvert\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\frac{\partial}{\partial x_2}p\right\rvert^2>0 $$ であるから、 $$ {\rm det}\left(\ell(p),\frac{\partial}{\partial x_2}p,\nu(p)\right)>0\quad\quad(**) $$ である。ここで $(*)$ より $\frac{\partial}{\partial x_2}p\in T_p(M)$ は $p\in\partial D$ から $D$ の内側を向いているから、 $$ \frac{\partial}{\partial x_2}p-\left(\frac{\partial}{\partial x_2}p\cdot\ell(p)\right)\ell(p)\in T_p(M) $$ を正規化したもの $\ell(p)^{\perp}\in T_p(M)$ は $p\in \partial D$ から $D$の内側を向き $\ell(p)$ と直交する単位ベクトルである。そして $(**)$ より、 $$ {\rm det}(\ell(p),\ell(p)^{\perp},\nu(p))=1 $$ である。よって $p\in\partial D$ における $\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル $\ell(p)\in T_p(M)$ と $p$ から $D$ の内側を向き $\ell(p)$ と直交する単位ベクトル $\ell(p)^{\perp}\in T_p(M)$ と $p$ における $M$ の正の向きの単位法線ベクトル $\nu(p)$ に対し $(\ell(p),\ell(p)^{\perp},\nu(p))$ は右手系をなす。

補題24.6

$M$をEuclid空間 $\mathbb{R}^N$ の向き付けられた $1$ 次元多様体とし、$\ell\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を正の向きの単位接ベクトル場（定義24.3）、$\Omega_M$ を $M$ の体積要素とし、$M$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u\colon M\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式を $j(u)=(j(u(p)))_{p\in M}$（定義13.2）とする。そして $C^\infty$ 級関数 $\iota_M\colon M\ni p\mapsto p\in \mathbb{R}^N$ によって $j(u)$ を引き戻すことによって得られる $M$ の $1$ 階微分形式 $\iota_M^*j(u)$ を考える。このとき、 $$ (\iota_M^*j(u))_p=(u(p)\cdot\ell(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in M) $$ が成り立つ。

Proof.

$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、 $$ j(u(p))=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)dt_{k,p}\quad(\forall p\in M) $$ である。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x)$ に対し体積要素の定義（定義19.8）より、 $$ \Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x)}(p)}dx_{p}=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert dx_p\quad(\forall p\in U) $$ であり、正の向きの単位接ベクトル場の定義より、 $$ \ell(p)=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p\quad(\forall p\in U) $$ であるから、任意の $p\in U$ に対し、 $$ (\iota_M^*j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)\frac{\partial t_k}{\partial x}(p)dx_p =\left(u(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x}p\right)dx_p =(u(p)\cdot\ell(p))\Omega_{M,p} $$ である。

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定理24.7（古典的なStokesの定理）

$M$ を $\mathbb{R}^3$ 内の向き付けられた曲面、$D\subset M$ を滑らかな境界を持つ開集合で $\overline{D}\subset M$ がコンパクトであるものとし、$\partial D$ には $M$ の向きに整合する向き（定義21.6）が入っているものとする。$M$ の正の向きの単位法線ベクトル場を $\nu\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$（定義20.2）、$\partial D$ の正の向きの単位接ベクトル場を $\ell\colon \partial D\rightarrow\mathbb{R}^3$（定義24.3）とする。また $u\colon M\rightarrow\mathbb{R}^3$ を $M$ を含む $\mathbb{R}^3$ の開集合上の $C^1$ 級ベクトル場 を $M$ 上に制限したものとする。このとき、 $$ \int_{D}({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))d\mu_D(p)=\int_{\partial D}(u(p)\cdot \ell(p))d\mu_{\partial D}(p)\quad\quad(*) $$ が成り立つ。ただし $\mu_D\colon\mathcal{B}_{D}\rightarrow [0,\infty)$ は $D$ の面積測度（定義16.8）、$\mu_{\partial D}\colon\mathcal{B}_{\partial D}\rightarrow [0,\infty)$ は $\partial D$ の線測度（定義16.9）である。

Proof.

回転の定義（定義13.5）より、 $$ j({\rm rot}(u))=\star dj(u) $$ であるから、 $$ \star j({\rm rot}(u))=(-1)^{1\cdot (3-1)}dj(u)=dj(u) $$ である。よって補題24.1より、 $$ ({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))\Omega_{M,p}=(\iota_{M}^*\star j({\rm rot}(u)))_p =(\iota_M^*dj(u))_p=(d\iota_M^*j(u))_p\quad(\forall p\in M) $$ である。ここで $3$ 番目の等号で引き戻しと外微分の可換性（命題9.12）を用いた。よってStokesの定理（定理23.3）より、 $$ \int_{D}({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))d\mu_D(p) =\int_{ D}d\iota_M^*j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\iota_M^*j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)\quad\quad(**) $$ である。ここで $3$ 番目の等号は $\iota_{\partial D}^*\iota_M^*=(\iota_M\circ\iota_{\partial D})^*=\iota_{\partial D}^*$（注意9.11）による。そして補題24.6より、 $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)=\int_{\partial D}(u(p)\cdot \ell(p))d\mu_{\partial D}(p) $$ であるから $(**)$ と合わせて $(*)$ を得る。

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25. 曲方体上の微分形式に関するStokesの定理

定義25.1（Euclid空間内の $n$ 次の曲方体、曲方体の $C^k$ 級性、曲方体の跡）

Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体 $(n=1,2,\ldots,N)$ とは $\mathbb{R}^n$ のある閉直方体 $I$（$n$ 個の有界閉区間の直積）上で定義された連続関数 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ であって、$I$ を含むある 開直方体（$n$個の開区間の直積）上で定義された $C^1$ 級関数に拡張できるもののことを言う。特に $1$ 次の曲方体を曲線と言う。曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ が $I$ を含む開直方体上で定義された $C^k$ 級関数に拡張できるとき $c$ は $C^k$ 級であると言う。曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し $c^*=c(I)$ を $c$ の跡と言う。

定義25.2（$n$ 次の曲方体上で定義された$n$階連続微分形式の積分）

$c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ を $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$\omega=(\omega_p)_{p\in c^*}$ を $c^*\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式（定義9.1）とする。曲方体の定義より $c$ は $I$ を含む開直方体上の $C^1$ 級関数に拡張できるから $c$ による引き戻し（定義9.8）により $I$ 上で定義された $\mathbb{R}^n$ の $n$ 階連続微分形式 $c^*\omega=((c^*\omega)_x)_{x\in I}$ が定義できる。そしてこれに対し各点ごとにHodgeの $\star$ 作用素（定義10.4）を作用させることで連続関数 $$ \star c^*\omega\colon I\ni x\mapsto \star(c^*\omega)_x\in\mathbb{R} $$ が得られる。そこで $\omega$ の $c$ 上での積分を、 $$ \int_{c}\omega\colon=\int_{I}\star(c^*\omega)_xdx_1\ldots dx_n $$ として定義する。

命題25.3

$c_k\colon I_k\rightarrow\mathbb{R}^N$ $(k=1,2)$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$c_1^*=c_2^*$ が成り立ち、$C^1$ 級同相写像 $\Phi\colon I_1^{\circ}\rightarrow I_2^{\circ}$ で $c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ を満たすものが存在するとする。そして $\omega$ を $c_1^*=c_2^*$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式とする。このとき、

• $(1)$　${\rm det}\Phi'(x)>0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ ならば、

$$ \int_{c_1}\omega=\int_{c_2}\omega $$ が成り立つ。

• $(2)$　${\rm det}\Phi'(x)<0$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ ならば、

$$ \int_{c_1}\omega=-\int_{c_2}\omega $$ が成り立つ。

Proof.

$$ f\colon=\star c_1^*\omega\colon I_1\rightarrow\mathbb{R},\quad g\colon=\star c_2^*\omega\colon I_2\rightarrow\mathbb{R} $$ とおき $\mathbb{R}^n$ の標準座標を $(x_1,\ldots,x_n)$ とおくと、 $$ c_1^*\omega=fdx_1\wedge\ldots \wedge dx_n,\quad c_2^*\omega=gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n $$ である。$c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ であることと引き戻しの基本性質（注意9.9、注意9.11）と外積の反対称性より $I_1^{\circ}$ 上で、 $$ \begin{aligned} &fdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n=c_1^*\omega=(c_2\circ\Phi)^*\omega=\Phi^*c_2^*\omega=\Phi^*(gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)\\ &=(g\circ\Phi)d\Phi_1\wedge\ldots\wedge d\Phi_n=(g\circ\Phi)({\rm det}\Phi')dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n \end{aligned} $$ である。よって、 $$ f(x)=g(\Phi(x)){\rm det}\Phi'(x)\quad(\forall x\in I_1^{\circ}) $$ である。ここで変数変換公式（測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質の補題40.3）より、 $$ \int_{c_2}\omega=\int_{I_2^{\circ}}g(x)dx=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x))\lvert {\rm det}\Phi'(x)\rvert dx $$ であるから、$(1)$ が成り立つとき、 $$ \int_{c_2}\omega=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx =\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=\int_{c_1}\omega $$ であり、$(2)$ が成り立つとき、 $$ \int_{c_2}\omega=-\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx =-\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=-\int_{c_1}\omega $$ である。

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定義25.4（互いに同値な曲方体、互いに逆な曲方体）

$c_k\colon I_k\rightarrow \mathbb{R}^N$ $(k=1,2)$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とし、$c_1^*=c_2^*$ が成り立ち、$C^1$ 級同相写像 $\Phi\colon I_1^{\circ}\rightarrow I_2^{\circ}$ で $c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ を満たすものが存在するとする。命題25.3の$(1)$ が成り立つとき $c_1,c_2$ は互いに同値であると言い、命題25.3の $(2)$ が成り立つとき $c_1,c_2$ は互いに逆であると言う。そしてこのような $\Phi$ をパラメータ変換と言う。~ 曲方体 $c$ と逆である曲方体を $-c$ と表す。

定義25.5（曲方体の和とその上の連続微分形式の積分）

$c_1,\ldots,c_m$ をそれぞれ $\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次の曲方体とする。このとき曲方体の形式的な和 $$ c\colon=c_1+\ldots+c_m $$ に対し、その跡を、 $$ c^*\colon=c_1^*\cup\ldots\cup c_n^* $$ と定義し、$c^*$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $n$ 階連続微分形式 $\omega$ に対し $c$ 上での $\omega$ の積分を、 $$ \int_{c}\omega\colon=\sum_{k=1}^{m}\int_{c_k}\omega $$ と定義する。

定義25.6（曲方体の境界）

$\mathbb{R}^N$ 内の $n$ 次 $(n\geq2)$ の曲方体 $c\colon I=\prod_{k=1}^{n}[a_{k,0},a_{k,1}]\rightarrow\mathbb{R}^N$ を考える。任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $I$ から $k$ 番目の区間 $[a_{k,0},a_{k,1}]$ を飛ばして得られる $\mathbb{R}^{n-1}$ の閉直方体を、 $$ I^{(k)}\colon=[a_{1,0},a_{1,1}]\times\ldots\times\widehat{[a_{k,0},a_{k,1}]}\times\ldots\times [a_{n,0},a_{n,1}] $$ とおき、任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し、 $$ \iota^{(k,\alpha)}:I^{(k)}\ni (t_1,\ldots,t_{k-1},t_{k+1},\ldots,t_n)\mapsto (t_1,\ldots,t_{k-1},a_{k,\alpha},t_{k+1},\ldots,t_n)\in I\quad\quad(*) $$ とおく。そして任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し $\mathbb{R}^N$ 内の $n-1$ 次の曲方体 $c^{(k,\alpha)}$ を、 $$ c^{(k,\alpha)}\colon c\circ\iota^{(k,\alpha)}\colon I^{(k)}\rightarrow \mathbb{R}^N $$ と定義する。このとき $\mathbb{R}^N$ 内の $n-1$ 次の曲方体の和 $$ \partial c\colon=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}c^{(k,\alpha)} $$ を $c$ の境界と言う。 $$ (\partial c)^*=\bigcup_{k=1}^{n}\bigcup_{\alpha=0,1}(c^{(k,\alpha)})^*\subset c^* $$ である。

定理25.7（曲方体上の微分形式の積分に関するStokesの定理）

$\mathbb{R}^N$ 内の $n$次 $(n\geq2)$ の $C^2$ 級曲方体 $c\colon I=\prod_{k=1}^{n}[a_{k,0},a_{k,1}]\rightarrow\mathbb{R}^N$ と、跡 $c^*=c(I)$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合上の $n-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\omega$ に対し、 $$ \int_{\partial c}\omega=\int_{c}d\omega $$ が成り立つ。

Proof.

引き戻しと外微分の可換性（命題9.12）より、 $$ \int_{c}d\omega=\int_{I}\star c^*d\omega=\int_{I}\star dc^*\omega\quad\quad(*) $$ であり、定義25.6における記号により、 $$ \int_{\partial c}\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{c^{(k,\alpha)}}\omega,\quad\quad(**) $$ $$ \int_{c^{(k,\alpha)}}\omega=\int_{I^{(k)}}\star (c\circ\iota^{(k,\alpha)})^*\omega =\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\quad(\forall k\in\{1,\ldots,n\},\forall\alpha\in\{0,1\})\quad\quad(***) $$ である。$\mathbb{R}^n$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_n)$ に対し、$I$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合上の $n-1$ 階微分形式 $c^*\omega$ を、 $$ c^*\omega=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_kdx_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dx_k}\wedge \ldots\wedge dx_n\quad\quad(****) $$ と表す（ただし $\widehat{dx_k}$ は $dx_k$ を飛ばすことを意味する）。このとき、 $$ dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_kdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n $$ であるからFubiniの定理と微積分学の基本定理より、 $$ \begin{aligned} &\int_{I}\star dc^*\omega=\int_{I}\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_k(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n\quad\quad(*****) \end{aligned} $$ である。また $(****)$と定義25.6の $(*)$ より、任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し、 $$ \int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega=(-1)^{k-1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n $$ であるから、 $$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n \end{aligned} $$ である。よって $(*****)$ より、 $$ \int_{I}\star dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega $$ であるから $(*),(**),(***)$ より、 $$ \int_{c}d\omega=\int_{\partial c}\omega $$ が成り立つ。

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26. 曲方体上のGaussの発散定理と古典的なStokesの定理

定義26.1（$\mathbb{R}^N$ のベクトル場の曲線に沿った線積分）

曲線 $c\colon [\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c([\alpha,\beta])\subset\mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u=(u_1,\ldots,u_N)\colon c^*\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。$u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in c^*}$（定義13.2）の $c$ 上での積分 $$ \int_{c}j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\star c^*j(u) $$ を $u$ の $c$ に沿った線積分と言う。$(x_1,\ldots,x_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準座標とすると、 $$ j(u)=\sum_{k=1}^{N}u_kdx_k $$ であるから、 $$ (c^*j(u))_t=\sum_{k=1}^{N}(u_k(c(t)))(dc_k)_t =\sum_{k=1}^{N}u_k(c(t))\frac{dc_k}{dt}(t)dt =\left(u(t)\cdot c'(t)\right)dt $$ である。よって $u$ の $c$ に沿った線積分は、 $$ \int_{c}j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\star c^*j(u)=\int_{[\alpha,\beta]}\left(u(t)\cdot c'(t)\right)dt $$ である。

定義26.2（$\mathbb{R}^N$ のベクトル場の $N-1$ 次曲方体上での面積分）

$\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された $\mathbb{R}^N$ のベクトル場 $u=(u_1,\ldots,u_N)\colon c^*\rightarrow \mathbb{R}^N$ を考える。そして $u$ に対応する $\mathbb{R}^N$ の $1$ 階微分形式 $j(u)=(j(u(p)))_{p\in c^*}$（定義13.2）に各点ごとにHodgeの $\star$ 作用素を作用させて得られる $\mathbb{R}^N$ の $N-1$ 階微分形式 $\star j(u)=(\star j(u(p)))_{p\in c^*}$ を考える。このとき $\star j(u)$ の $c$ 上での積分 $$ \int_{c}\star j(u)=\int_{I}\star c^*\star j(u) $$ を $u$ の $c$ 上での面積分と言う。$(x_1,\ldots,x_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準座標とすると、 $$ \star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_kdx_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dx_k}\wedge \ldots\wedge dx_N $$ であるから、 $$ \begin{aligned} (c^*\star j(u))_t&=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(c(t))dc_{1,t}\wedge\ldots\wedge \widehat{dc_{k,t}}\wedge \ldots\wedge dc_{N,t}\\ &={\rm det}\left(u(c(t)),\frac{\partial c}{\partial t_1}(t),\ldots,\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{N-1}\\ &=(-1)^{N-1}\left(u(t)\cdot \left(\frac{\partial c}{\partial t_1}(t)\times \ldots\times\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)\right)dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{N-1} \end{aligned} $$ である。ただし $(t_1,\ldots,t_{N-1})$ は $\mathbb{R}^{N-1}$ の標準座標であり、右辺はベクトル積（定義11.1）である。よって $u$ の $c$ 上での面積分は、 $$ \int_{c}\star j(u)=\int_{I}\star c^*\star j(u) =\int_{I}(-1)^{N-1}\left(u(t)\cdot \left(\frac{\partial c}{\partial t_1}(t)\times \ldots\times\frac{\partial c}{\partial t_{N-1}}(t)\right)\right)dt_1\ldots dt_{N-1} $$ と表される。

定義26.3（$\mathbb{R}^N$ の $N$ 次の曲方体上での体積分）

$\mathbb{R}^N$ 内の $N$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^N$ と $c$ の跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ 上で定義された連続関数 $u\colon c^*\rightarrow\mathbb{R}$ を考える。$\mathbb{R}^N$ の $N$ 階連続微分形式 $\star u=(\star u(p))_{p\in c^*}$ の $c$ 上での積分 $$ \int_{c}\star u=\int_{I}\star c^*\star u $$ を $u$ の $c$ 上での体積分と言う。$\mathbb{R}^N$ の標準座標を $(x_1,\ldots,x_N)$ とすると、 $$ \begin{aligned} c^*\star u&=c^*(udx_1\wedge\ldots\wedge dx_N) =(u\circ c)dc_1\wedge\ldots\wedge dc_N\\ &=(u\circ c)({\rm det}(c'))dx_1\wedge\ldots\wedge dx_N \end{aligned} $$ であるから $u$ の $c$ 上での体積分は、 $$ \int_{c}\star u=\int_{I}\star c^*\star u=\int_{I}u(c(x)){\rm det}(c')(x)dx $$ である。

命題26.4（曲方体上のGaussの発散定理）

$\mathbb{R}^N$ の $N$ 次の曲方体 $c\colon I\rightarrow\mathbb{R}^N$ と、跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^N$ を含む $\mathbb{R}^N$ の開集合上で定義された $\mathbb{R}^N$ の $C^1$ 級ベクトル場 $u$ に対し、 $$ \int_{c}\star {\rm div}(u)=\int_{\partial c}\star j(u) $$ が成り立つ。左辺は ${\rm div}(u)$ の $c$ 上での体積分（定義26.3）、右辺は $u$ の $\partial c$ 上での面積分（定義26.2）である。

Proof.

発散の定義（定義13.3）より $\star{\rm div}(u)=d\star j(u)$ である。よってStokesの定理（定理25.7）より、 $$ \int_{c}\star {\rm div}(u)=\int_{c}d\star j(u)=\int_{\partial c}\star j(u) $$ である。

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命題26.5（曲方体上の古典的なStokesの定理）

$\mathbb{R}^3$ の $2$ 次の $c\colon I\rightarrow \mathbb{R}^3$と、跡 $c^*=c(I)\subset \mathbb{R}^3$ を含む $\mathbb{R}^3$ の開集合上で定義された $\mathbb{R}^3$ の $C^1$ 級ベクトル場 $u$ に対し、 $$ \int_{c}\star j({\rm rot}(u))=\int_{\partial c}j(u) $$ が成り立つ。左辺は ${\rm rot}(u)$ の $c$ 上での面積分（定義26.2）であり、右辺は $u$ の $\partial c$ 上での線積分（定義26.1）である。

Proof.

回転の定義（定義13.5）より $j({\rm rot}(u))=\star dj(u)$ であるから $\star j({\rm rot}(u))=dj(u)$ である。よってStokesの定理（定理25.7）より、 $$ \int_{c}\star j({\rm rot}(u))=\int_{c}dj(u)=\int_{\partial c}j(u) $$ である。

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