ベクトル解析2：微分形式

この章では、多様体上の微分形式の外微分、外積、引き戻しなどについて述べる。

ベクトル解析

• ベクトル解析1：Euclid空間内の多様体上の関数の微分
• ベクトル解析2：微分形式
• ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量
• ベクトル解析4：Euclid空間内の多様体上の測度と積分
• ベクトル解析5：多様体の向き
• ベクトル解析6：Stokesの定理

9. 微分形式

定義9.1（微分形式）

$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$E\subset M$、$r\in \mathbb{N}$ とする。任意の $p\in E$ に対し $T_p^*(M)$ の $r$ 階反対称テンソル $\omega_p\in \bigwedge^rT_p^*(M)$ （速習「線形空間論」の定義9.1）が与えられているとする。このとき、 $$ \omega\colon=(\omega_p)_{p\in E}: E\ni p\mapsto \omega_p\in \bigwedge^rT_p^*(M) $$ を $E$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式と言う（ $E=M$ の場合、単に $M$ の $r$ 階微分形式と言う。 また便宜上 $E$ 上の実数値関数 $f\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ を $E$ 上で定義された $M$ の $0$ 階微分形式と言う)。 $T_p^*(M)$ は $n$ 次元であるから $r> n$ の場合は $\bigwedge^rT_p^*(M)=\{0\}$ である。$r\leq n$とする。$U\cap E\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と任意の $1\leq i_1<\ldots<i_r\leq n$ に対し、 $$ f_{i_1,\ldots,i_r}(p)\colon=\omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\quad(\forall p\in U\cap E)\quad\quad(*) $$ とおくと、 $$ \omega_p=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_r\leq n}f_{i_1,\ldots,i_r}(p)dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U\cap E)\quad\quad(**) $$ と表せる。

定義9.2（微分形式の連続性）

$E\subset M$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ が連続であるとは $U\cap E\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と任意の $i_1,\ldots,i_r\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、 $$ U\cap E\ni p\mapsto \omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\in \mathbb{R} $$ が連続であることを言う。

定義9.3（微分形式の外微分可能性、$C^k$ 級性）

$M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとは $p_0$ の周りの $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、 $$ U\ni p\mapsto \omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\in \mathbb{R}\quad(i_1,\ldots,i_r\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(*) $$ がそれぞれ $p_0$ において微分可能であることを言う。また $\omega$ が $C^k$ 級であるとは $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し $(*)$ が $C^k$ 級であることを言う。

注意9.4

命題3.6の $(3)$ より $C^1$ 級微分形式は各点で外微分可能である。

定義9.5（外微分）

Euclid空間内の $n$ 次元多様体 $M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとする。このとき $\omega$ の $p_0$ における外微分 $d\omega_{p_0}\in \bigwedge^{r+1}T_p^*(M)$ を次のように定義する。$r>n$ の場合は自明に定義する（つまり $d\omega_{p_0}=0$ とする）。$r\leq n$ の場合、$p_0$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、 $$ \omega_p=\sum_{i_1<\cdots<i_r}f_{i_1,\ldots,i_r}(p)dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U) $$ であるとき、 $$ d\omega_{p_0}\colon=\sum_{i_1<\ldots<i_r}df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dx_{i_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p_0} $$ と定義する。この定義がwell-definedであることは次の命題9.6による。

命題9.6

Euclid空間内の $n$ 次元多様体 $M$ の $r$ ($<n$) 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとし、$p_0$ の周りの $2$ 通りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$、$(U,y_1,\ldots,y_n)$ に対し、 $$ \omega_p=\sum_{i_1<\ldots<i_r}f_{i_1,\ldots,i_r,p}dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U),\quad\quad(*) $$ $$ \omega_p=\sum_{j_1<\ldots<j_r}g_{i_1,\ldots,i_r,p}dy_{j_1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p}\quad(\forall p\in U)\quad\quad(**) $$ と表されているとする。このとき、 $$ \sum_{i_1<\ldots<i_r}df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dx_{i_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p_0}=\sum_{j_1<\ldots<j_r}dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}\quad\quad(***) $$ が成り立つ。

Proof.

任意の $i_1<\ldots<i_r$ と $j_1<\ldots<j_r$ に対し、 $$ \Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p):={\rm det}\left(\frac{\partial x_{i_k}}{\partial y_{j_l}}(p)\right)_{k,l}\quad(\forall p\in U) $$ とおく。外積の反対称性（速習「線形空間論」の命題9.6）より $(***)$ を示すには、 $$ \sum_{j_1<\ldots<j_r}dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}=\sum_{\substack{j_1<\ldots<j_r,\\i_1<\ldots<i_r}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}\quad\quad(****) $$ が成り立つことを示せばよい。任意の $j_1<\ldots<j_r$ に対し $(*), (**)$ と外積の反対称性より、 $$ g_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)=\sum_{i_1<\ldots<i_r}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)f_{i_1,\ldots,i_r}(p_0) $$ であるから、 $$ dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}=\sum_{i_1<\ldots<i_r}f_{i_1,\ldots,i_r}(p_0)(d\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r})_{p_0}+\sum_{i_1<\ldots<i_r}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)df_{i_1,\ldots,i_r,p_0} $$ である。よって $(****)$ を示すには、任意の $i_1<\ldots<i_r$ を取り、 $$ \sum_{j_1<\ldots<j_r}d\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}\wedge dy_{j_1}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r}=0\quad\quad(*****) $$ が成り立つことを示せばよい。任意の $j_1<\ldots<j_{r+1}$ に対し $(*****)$ の左辺の $dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_{r+1}}$ の係数関数は、 $$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}\\ &=\sum_{k=1}^{l+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial}{\partial y_{j_k}} {\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\ \frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\cdots &\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{k}}}&\cdots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}} \end{pmatrix}\quad( \widehat{\cdot}\text{ は } k \text{ 列を抜かす} )\\ &=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{k-1}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}\partial y_{j_l}}&\cdots&\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{k}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}} \end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\ &=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{k-1}(-1)^{k-1-l}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}\partial y_{j_l}}&\cdots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\cdots&\widehat{\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}} \end{pmatrix}\quad( \widehat{\cdot}\text{ は }l\text{ 列を抜かす} )\\ &=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{l}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\cdots&\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}\partial y_{j_k}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots&\widehat{\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_l}\partial y_{j_k}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}} \end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\ &=\sum_{l=1}^{l+1}(-1)^{l}\frac{\partial}{\partial y_{j_l}} {\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\ \frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}} \end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\ &=\sum_{l=1}^{r+1}(-1)^{l}\frac{\partial }{\partial y_{j_l}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_l},\ldots,j_{r+1}} =-\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}} \end{aligned} $$ である。ただし $3$ 行目から $4$ 行目で行列式の反対称性を用い、$4$ 行目から $5$ 行目で、 $$ \frac{\partial^2x_i}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}} =\frac{\partial^2x_i}{\partial y_{j_l}\partial y_{j_k}}\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,n+1\}) $$ であることを用いた。よって、 $$ \sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}=0 $$ であるので $(*****)$ が成り立つ。

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定義9.6（微分形式の外積）

$M$ をEuclid空間内の多様体、$\omega,\theta$ をそれぞれ $E\subset M$ 上で定義された $r$階、$s$ 階微分形式とする。$E$ 上で定義された $M$ の $r+s$ 階微分形式 $\omega\wedge \theta$を、 $$ \omega\wedge \theta:=(\omega_p\wedge \theta_p)_{p\in E} $$ として定義する（速習「線形空間論」の定義9.3を参照）。

微分形式は局所座標により定義9.1の $(**)$ のように表されることから、$\omega$, $\theta$ が連続（resp. ある点 $p$ で外微分可能、$C^k$級）ならば $\omega\wedge \theta$も連続（resp. ある点 $p$ で外微分可能、$C^k$級）である。

命題9.7（外微分の基本性質）

$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。

• $(1)$　$\omega,\theta$ を $M$ の $r$ 階、$s$ 階微分形式とし、$p\in M$ においてそれぞれ外微分可能であるとする。このとき$\omega\wedge \theta$ も $p$ で外微分可能であり、

$$ d(\omega\wedge \theta)_{p}=d\omega_{p}\wedge \theta_{p}+(-1)^r\omega_{p}\wedge d\theta_{p} $$ が成り立つ。

• $(2)$　$f\colon M\rightarrow\mathbb{R}$を $C^2$ 級関数とすると $d^2f=ddf=0$ である。
• $(3)$　$\omega$ を $M$ の $r$ 階 $C^2$ 級微分形式とすると $d^2\omega=dd\omega=0$ である。

Proof.

• $(1)$　$p$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $p$ において微分可能な $f,g\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $\omega$, $\theta$ は $U$ 上で、

$$ \omega=fdx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r},\quad \theta=gdx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s} $$ と表されると仮定して示せば十分である。 $$ \omega\wedge \theta=fgdx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s} $$ であり $d(fg)_{p}=g(p)df_p+f(p)dg_p$ であるから命題9.6と外積の反対称性より、 $$ \begin{aligned} d(\omega\wedge \theta)_{p}&=d(fg)_p\wedge dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p}\wedge dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s,p}\\ &=(df_p\wedge dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p})\wedge (g(p)dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s,p})\\ &+(-1)^r(f(p)dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p})\wedge (dg_p\wedge dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s})\\ &=d\omega_{p}\wedge \theta_{p}+(-1)^r\omega_{p}\wedge d\theta_{p} \end{aligned} $$ である。

• $(2)$　任意の $p\in M$ と $p$ の周りの $M$ の任意の局所座標 $(x_1,\ldots,x_n)$ に対し、

$$ df_p=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)dx_{j,p} $$ であるから、 $$ \begin{aligned} d^2f_p=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)dx_{i,p}\wedge dx_{j,p} \end{aligned} $$ である。ここで、 $$ \frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(p),\quad dx_{i,p}\wedge dx_{j,p}=-dx_{j,p}\wedge dx_{i,p} $$ であるから $d^2f_p=0$ である。

• $(3)$　$M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $C^2$ 級関数 $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $\omega$ は $U$ 上で、

$$ \omega=fdx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r} $$ と表されるとして示せば十分である。このとき、 $$ d\omega=df\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r} $$ であるから $(1),(2)$ より、 $$ d^2\omega=d^2f\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r}+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}df\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots \wedge d^2dx_{j_k}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r}=0 $$ である。

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定義9.8（微分形式の引き戻し）

$M, H$ をEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数、$E\subset H$、$f^{-1}(E)\neq\emptyset$ とする。このとき $E$ 上で定義された $H$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ に対し $f^{-1}(E)$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式 $f^*\omega$ を、 $$ (f^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r)\colon=\omega_{f(p)}(df_pv_1,\ldots,df_pv_r)\quad(\forall v_1,\ldots,v_r\in T_p(M)) $$ と定義する。 $f^*\omega$ を $\omega$ の $f$ による引き戻しと言う。

注意9.9（引き戻しと外積）

$\omega,\theta$ を $E\subset H$ で定義された $H$ の $r$階、$s$ 階微分形式とすると、 $$ f^*(\omega\wedge \theta)=f^*\omega\wedge f^*\theta $$ である。実際、反対称テンソルの外積の定義（速習「線形空間論」の定義9.3）より任意の $p\in f^{-1}(E)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &f^*(\omega\wedge \theta)_p(v_1,\ldots,v_{r+s}) =(\omega_{f(p)}\wedge \theta_{f(p)})(df_pv_1,\ldots,df_pv_{r+s})\\ &=\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in S_{r+s}}{\rm sgn}(\sigma)(\omega_{f(p)}\otimes\theta_{f(p)})(df_pv_{\sigma(1)},\ldots,df_pv_{\sigma(r+s)})\\ &=\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in S_{r+s}}{\rm sgn}(\sigma)((f^*\omega)_p\otimes (f^*\theta)_p)(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(r+s)})\\ &=(f^*\omega\wedge f^*\theta)_p(v_1,\ldots,v_{r+s}) \end{aligned} $$ である。

注意9.10（引き戻しと滑らかさ）

$U\cap f^{-1}(E\cap V)\neq\emptyset$ なる $H$ の任意の局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_r)$ と $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ を取る。全微分に関するチェインルール（命題5.2）より任意の $p\in U\cap f^{-1}(E\cap V)$ と任意の $v_1,\ldots,v_{r+s}\in T_p(M)$ に対し、 $$ \begin{aligned} &(f^*\omega)_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right) =\omega_{f(p)}\left(df_p\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,df_p\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\\ &=\omega_{f(p)}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}(p),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{i_r}}(p)\right)\\ &=\sum_{j_1,\ldots,j_r=1}^{k}\frac{\partial(y_{j_1}\circ f)}{\partial x_{i_1}}(p)\ldots\frac{\partial(y_{j_r}\circ f)}{\partial x_{i_r}}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j_1}}f(p),\ldots,\frac{\partial}{\partial y_{j_r}}f(p)\right) \end{aligned} $$ である。これより $\omega$ が連続ならば $f^*\omega$ は連続、$\omega$ が $f(p)$ において外微分可能ならば $f^*\omega$ は $p$ において外微分可能、$\omega$ が $C^k$ 級で $f$ が $C^{k+1}$ 級ならば $f^*\omega$ は $C^k$ 級である。

注意9.11（引き戻しと合成）

$M,H,L$ をそれぞれEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$, $g\colon H\rightarrow L$ をそれぞれ $C^1$ 級関数とし、$E\subset L$, $f^{-1}(g^{-1}(E))\neq\emptyset$ とする。このとき $E$ 上で定義された $L$ の $r$ 階微分形式 $\omega$ に対し、 $$ (g\circ f)^*\omega=f^*g^*\omega $$ が成り立つ。実際、任意の $p\in (g\circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(g^{-1}(E))$ と任意の $v_1,\ldots,v_r\in T_p(M)$ に対し、全微分に関するチェインルール（命題5.2）より、 $$ \begin{aligned} &( (g\circ f)^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r)=\omega_{g(f(p) )}(d(g\circ f)_pv_1,\ldots, d(g\circ f)_pv_r)\\ &=\omega_{g(f(p) )}(dg_{f(p)}df_pv_1,\ldots,dg_{f(p)}df_pv_r) =(g^*\omega)_{f(p)}(df_pv_1,\ldots,df_pv_r)\\ &=(f^*g^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r) \end{aligned} $$ である。

命題9.12（引き戻しと外微分の可換性）

$M, H$ をEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$ を $C^2$ 級関数、$\omega$ を $H$ の $C^1$ 級微分形式とする。このとき、 $$ df^*\omega=f^*d\omega $$ が成り立つ。

Proof.

$H$ の任意の局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_n)$ を取る。$V$ 上で $df^*\omega=f^*d\omega$ が成り立つことを示せばよい。$C^1$ 級関数 $h\colon V\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $V$ 上で $\omega$ は、 $$ \omega=hdy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_r} $$ と表されるとして示せば十分である。 $$ d\omega=dh\wedge dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_r} $$ であるから注意9.9、注意9.11より、 $$ f^*d\omega=f^*dh\wedge f^*dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge f^*dy_{j_r} =d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f) $$ である。一方、注意9.9、注意9.11より、 $$ \begin{aligned} f^*\omega=(h\circ f)(f^*dy_{j_1})\wedge \ldots\wedge (f^*dy_{j_r})=(h\circ f)d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f) \end{aligned} $$ であるから、命題9.7の $(1), (3)$ より、 $$ \begin{aligned} df^*\omega&=d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)\\ &+(h\circ f)\sum_{k=1}^{r}d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d^2(y_{j_k}\circ f)\wedge\ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)\\ &=d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f) \end{aligned} $$ である。よって $f^*d\omega=df^*\omega$ が成り立つ。

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