コンパクト開位相

コンパクト開位相（コンパクトかいいそう、compact-open topology）とは、二つの位相空間の間の連続写像全体の集合に入れることができる代表的な位相の一つであり、特に代数的トポロジーで重要な役割を果たす。

なお、本稿では、コンパクト性の定義にHausdorff性を含めない。

定義

位相空間 $X$, $Y$ に対して、$X$ から $Y$ への連続写像全体の集合を以下では $C(X, Y)$ で表す。また、$A\subset X$, $B\subset Y$ のとき、$C(X, Y)$ の部分集合 $O(A, B)$を

$$O(A, B)=\{f\in C(X, Y)\,|\,f(A)\subset B\}$$

で定義する。以上の定義のもと、$C(X, Y)$ 上のコンパクト開位相とは、$C(X, Y)$ の部分集合族

$$\{O(K, U)\,|\,K\in\mathcal{K}_X,\, U\in\mathcal{O}_Y \}$$

を準開基とするような $C(X, Y)$ 上の位相のことをいう。ここで、$\mathcal{K}_X$ は $X$ のコンパクト集合の全体、$\mathcal{O}_Y$ は $Y$ の開集合の全体を表す。

以上の定義を言い換えると次のようになる。$W\subset C(X, Y)$ がコンパクト開位相において開集合であるとは、任意の $f\in W$ に対して、正整数 $n$ と $X$ のコンパクト集合 $K_1,\ldots, K_n$ および $Y$ の開集合 $U_1,\ldots, U_n$ が存在して

$$f\in\bigcap_{i=1}^n O(K_i, U_i)\subset W$$

が成立することである。コンパクト開位相を入れた $C(X, Y)$ を写像空間と呼ぶことがある（写像空間という用語は、他の位相についても用いられる）。

性質

主な性質

一般に $X, Y, Z$ を集合とし、$X$ から $Y$ への写像全体の集合を $Y^X$ で表す。写像 $f\colon Z\times X\to Y$ に対して、写像 $\hat{f}\colon Z\to Y^X$ を $\hat{f}(z)(x)=f(z,x)$ で定義する。また、写像 $g\colon Z\to Y^X$ に対して、$\check{g}\colon Z\times X\to Y$ を $\check{g}(z,x)=g(z)(x)$ で定義する。すると、

$$Y^{Z\times X}\to (Y^X)^Z,\quad f\mapsto \hat{f}$$

および

$$(Y^X)^Z\to Y^{Z\times X},\quad g\mapsto \check{g}$$

は互いに逆の全単射である。この状況で、$X, Y, Z$ が位相空間であるとし、さらに $C(X, Y)$ にはコンパクト開位相を入れるものとしよう。このとき、部分集合

$$C(Z\times X, Y)\subset Y^{Z\times X},\qquad C(Z, C(X, Y))\subset (Y^X)^Z$$

を考えることが可能である。このとき、次が成り立つ。

任意の位相空間 $X, Y, Z$ に対して、$f\in C(Z\times X, Y)$ ならば $\hat{f}\in C(Z, C(X, Y))$ である。すなわち、$f\colon Z\times X\to Y$ が連続ならば $\hat{f}\colon Z\to C(X, Y)$ も $C(X, Y)$ のコンパクト開位相に関して連続である。

逆対応 $g\mapsto \check{g}$ についての同様の主張は、無条件では成立しないが、次が成り立つ。

$X$ が局所コンパクトHausdorff空間であるとき、$g\in C(Z, C(X, Y))$ ならば $\check{g}\in C(Z\times X, Y)$ である。

ここで、$Z$ として特に $C(X, Y)$ をとり、$g$ として恒等写像をとれば、$\check{g}$ は

$$\mathrm{ev}\colon C(X,Y)\times X\to Y,\quad (f, x)\mapsto f(x)$$

で与えられる写像 $\mathrm{ev}$ となる。この $\mathrm{ev}$ を評価写像という。

$X$ が局所コンパクトHausdorff空間であるとき、評価写像 $\mathrm{ev}\colon C(X, Y)\times X\to Y$ は連続である。

$X$ が局所コンパクトHausdorff空間であるとき、写像 $C(Z\times X, Y)\to C(Z, C(X, Y)),\, f\mapsto \hat{f}$ は $g\mapsto \check{g}$ を逆にもつ全単射となるが、この全単射の定義域と終域をともにコンパクト開位相について位相空間とみるとき、次が成り立つ。

$X$ が局所コンパクトHausdorff空間、$Z$ がHausdorff空間であるとき、写像 $C(Z\times X, Y)\to C(Z, C(X, Y)),\, f\mapsto \hat{f}$ はコンパクト開位相に関して同相写像となる。

ホモトピーとの関係

$X$, $Y$ が位相空間のとき、$X$ から $Y$ への連続写像のホモトピーとは、$I=[0,1]$ を単位閉区間とするとき連続写像 $h\colon I\times X\to Y$ のことである（通常は、$X\times I$ を定義域とするが、いままでと記法を揃えるために順番を変えた）。さきほど見たことより、$h$ は常に連続写像 $\hat{h}\colon I\to C(X, Y)$ を定める。これは、「ホモトピーは写像空間 $C(X, Y)$ 内の道である」ことを示している（$I$ を定義域とする連続写像を一般に道という）。

さらに、$X$ が局所コンパクトHausdorff空間である場合、逆に「$C(X, Y)$ 内の道はホモトピーである」といえる。すなわち、$C(X, Y)$ 内の道 $\alpha\colon I\to C(X, Y)$ が与えられたとき、$\check{\alpha}\colon I\times X\to Y$ は連続であり、したがってホモトピーを定める。以上の考察から次が言える。

$X$ が局所コンパクトHausdorff空間であるとき、ホモトピー $I\times X\to Y$ は $C(X, Y)$ 内の道 $I\to C(X, Y)$ と一対一に対応する。したがって、このとき、$C(X, Y)$ のコンパクト開位相に関する弧状連結成分は、$X$ から $Y$ への連続写像のホモトピー類に一致する。

なお、上記の主張は、$X$ がより一般にコンパクト生成空間であるときにも成立することが知られている。とくに、$X$ が距離空間やCW 複体であるときにも上記の主張は成り立つ。

写像の合成との関係

$X, Y, Z, W$ を位相空間とし、$f\colon Z\to X$ および $g\colon Y\to W$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

写像 $f^*\colon C(X,Y)\to C(Z,Y)$ および $g_*\colon C(X,Y)\to C(X,W)$ を $$f_*(h)=h\circ f, \quad g_*(h)=g\circ h$$ で定義するとき、$f^*$, $g_*$ はともに連続である。

$X, Y, Z$ を位相空間とするとき、写像の合成は写像

$$\circ\colon C(X, Y)\times C(Y, Z)\to C(X, Z)\quad (f, g)\mapsto g\circ f$$

を定義する。この写像 $\circ$ の連続性については、以下が成り立つ。

$Y$ が局所コンパクトHausdorff空間であるとき、$\circ\colon C(X, Y)\times C(Y, Z)\to C(X, Z)$ は連続である。

関数列の収束との関係

この項目では $Y$ を常に距離空間 $(Y, d)$ とする。このときは、$C(X, Y)$ のコンパクト開位相についての関数列の収束を比較的簡単に記述することが可能である。とくに、コンパクト開位相が距離化可能である場合は、関数列の収束によって位相そのものが特徴づけられる。

まず、$X$ がコンパクト空間である場合、$f, g\in C(X, Y)$ に対して

$$ \bar{d}(f, g)=\sup_{x\in X} d(f(x), g(x))$$

と定義すれば、$\bar{d}$ は集合 $C(X, Y)$ 上の距離となる。距離 $\bar{d}$ をsup-metricといい、$\bar{d}$ に関して $C(X, Y)$ の点列（つまり関数列）が収束することは、それが一様収束することと同値である。そこで、$\bar{d}$ の定める $C(X, Y)$ 上の位相を一様収束位相という。このとき、次が成り立つ。

$X$ がコンパクト空間のとき、$C(X, Y)$ 上のコンパクト開位相は、一様収束位相と一致する。とくに、$C(X, Y)$ 上のコンパクト開位相は距離化可能となる。

$C(X, Y)$ の点列の言葉を用いると、次のようになる。

$X$ がコンパクト空間のとき、$C(X, Y)$ の点列 $(f_n)_{n=1}^\infty$ がコンパクト開位相について $f\in C(X, Y)$ に収束することは、$(f_n)_{n=1}^\infty$ が $f$ に一様収束することと同値である。

次に $X$ が一般の位相空間の場合を考える。$X$ の各コンパクト集合 $K$ に対して $\bar{d}_K$ を $C(K, Y)$ 上のsup-metricとする。このとき、各 $f\in C(X, Y)$ とコンパクト集合 $K\subset X$ および $\varepsilon>0$ に対して $C(X, Y)$ の次のような部分集合を考える。

$$U(f; K, \varepsilon)=\{g\in C(X, Y)\,|\,\bar{d}_K(f|_K, g|_K)<\varepsilon\}$$

このとき、各 $f\in C(X,Y)$ の基本近傍系が $\{U(f; K,\varepsilon)\,|\,K\in\mathcal{K},\,\varepsilon>0\}$ であるとすることで、$C(X, Y)$ 上の位相が定まる。この位相をコンパクト一様収束位相という。このとき、次が成り立つ。

$C(X, Y)$ 上のコンパクト開位相は、コンパクト一様収束位相と一致する。

コンパクト一様収束位相は基本近傍系が具体的に与えられているため、次のようにして $C(X,Y)$ の点列の収束が記述できる。

$C(X, Y)$ の点列 $(f_n)_{n=1}^\infty$ がコンパクト開位相について $f\in C(X, Y)$ に収束することは、任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対して $(f_n|_K)_{n=1}^\infty$ が $f|_K$ に一様収束することと同値である。

コンパクト開位相は一般には距離化可能とはならないが、距離化可能となる十分条件の一つとして、次のものがある。

$X$ がコンパクト集合 $K_n\,(n=1,2,\ldots)$ の和集合として $X=\bigcup_{n=1}^\infty K_n$ と表され、任意のコンパクト集合 $K\subset X$ に対してある $n$ が存在して $K\subset K_n$ となると仮定する。このとき、$C(X, Y)$ はコンパクト開位相について距離化可能であり、具体的な距離 $\rho$ として

$$ \rho(f, g)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\min\left\{1, \sup_{x\in K_n} d(f(x), g(x))\right\}$$ が取れる。

上記の仮定を満たす位相空間 $X$ は半コンパクト (hemicompact) であると呼ばれる。第二可算な局所コンパクト Hausdorff空間は半コンパクトである。また、高々可算個の胞体からなるCW複体も半コンパクトである。

重要な例

$\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^m$ への線型写像全体の空間 $X=\mathrm{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ には $C(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ の部分空間としてコンパクト開位相の相対位相から位相 $\mathcal{O}_{\mathrm{co}}$ が定まる。一方、$X$ は $m\times n$ 行列の全体と同一視でき、それは $\mathbb{R}^{nm}$ と同一視できるから、$X$ には$\mathbb{R}^{nm}$ の Euclid 距離による位相 $\mathcal{O}_{\mathrm{Eucl}}$ も定まる。このとき、$X$ 上の位相 $\mathcal{O}_{\mathrm{co}}$ と $\mathcal{O}_{\mathrm{Eucl}}$ は一致する。