第二可算空間
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第二可算空間
第二可算空間とは、位相空間の種類のひとつである。
定義
まず基底の定義について述べる。
位相空間 $X$ の基底とは、開集合よりなる集合 $B$ であって、以下の性質を満たすものである。
- 任意の点 $x$ と開集合 $x\in U$ について、$B$ の要素 $V$ であって $x\in V \subset U$ が成り立つものが存在する。
このとき位相空間 $X$ が第二可算であるとは、$X$ の基底 $B$ であって、高々可算な開集合の族であるようなものが存在することをいう。すなわち、$X$ が第二可算であることは、$X$ の weight が $\aleph_0$ であることと同値である。
性質
- 第二可算空間は第一可算である。
多様体論における第二可算空間
多様体論においては、多様体に第二可算性を課したものについて考えることが多い。もしくはパラコンパクト性が課されることもある。位相空間論的な議論によって、連結な位相多様体においては第二可算性とパラコンパクト性が同値であることが示される。このときパラコンパクト性を課すひとつの目的としては、1の分割を得ることがある。1の分割は、多様体論における強力な道具のひとつであるため、第二可算な多様体については比較的その研究が進んでいる。
