開被覆

開被覆とは、位相空間の開集合による被覆である。開被覆の概念は位相空間論においては非常に基本的である。

位相空間 $X$ の開集合からなる族 $\mathcal{U}=\{U_i\,|\,i\in I\}$ が開被覆であるとは、$\mathcal{U}$ の要素すべての和集合が $X$ に一致することをいう。すなわち、$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ が成り立つことをいう。

位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}$ が有限であるとは、$\mathcal{U}$ が有限集合であることをいう。

位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が点有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、$x\in U$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が局所有限であるとは、任意の点 $x\in X$ について、ある $x$ の近傍 $V$ が存在し、$V\cap U\neq \emptyset$ となる $U\in \mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

位相空間 $X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ が星状有限であるとは、任意の $U\in \mathcal{U}$ について、$ U\cap V\neq \emptyset$ となる $V\in\mathcal{U}$ が高々有限個であることをいう。

補足

開被覆について「有限 $\Rightarrow$ 星状有限 $\Rightarrow$ 局所有限 $\Rightarrow$ 点有限」が成り立つ。

これに対応して、位相空間について「コンパクト $\Rightarrow$ 強パラコンパクト $\Rightarrow$ パラコンパクト $\Rightarrow$ メタコンパクト」が成り立つ。