群論の基礎1：群の定義
この章では群の定義について述べる。
定義 1.1 (群)
集合$G$と$G$上の二項演算$\cdot$の組$(G,\cdot)$で、以下の3つの条件を満たすものを群という。
(単位元の存在)単位元と呼ばれる特別な元$e\in G$が存在し、任意の$a\in G$に対して$a\cdot e=e\cdot a=a$が成り立つ。
(逆元の存在)任意の$a\in G$に対して、ある$b\in G$が存在し、$a\cdot b=b\cdot a=e$が成り立つ。 $b$を$a$の逆元と呼び, $a^{-1}$と書く。
(結合法則)任意の$a,b,c\in G$に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$が成り立つ。
$(G,\cdot)$が群のとき、集合$G$を群の台集合という。$a\cdot b$は$a$と$b$の積と呼ばれる。
注意 1.2 (表記に関する注意)
・群は組$(G,\cdot)$の事だが、演算$\cdot$が明らかな場合には$G$を群と呼ぶ。
・積の演算記号は省略されて$ab$と書かれる場合が多い。
・演算が$+$で表されることがあり、この場合には$a+b$を和と呼ぶ。
・単位元は$1$や$1_G$などと書かれることもある。
・群の定義に単位元を入れて3つ組$(G,\cdot,e)$を群と定義することもある。
定義 1.3 (可換・可換群(アーベル群))
群$G$の元$a,b\in G$に対して、$ab=ba$が成り立つとき、$a$と$b$は可換であるという。
任意の元が可換な群を可換群、あるいはアーベル群という。
定義 1.4 (群の位数・有限群・無限群)
$G$を群として、台集合$G$に含まれる元の個数$|G|$を群の位数という。
位数が有限な群を有限群と呼び、有限群ではない群を無限群という。
命題 1.5 (単位元の一意性)
群の単位元は一意に定まる。
Proof.
$G$を群として、$e_1,e_2\in G$を単位元とする。単位元の性質より \[ e_1=e_1e_2=e_2 \] よって、$e_1=e_2$より単位元は一意に定まる。
□命題 1.6 (逆元の一意性)
群の任意の元に対して、その逆元は一意に定まる。
Proof.
$G$を群として、$a\in G$を任意にとり、$b,c\in G$を$a$の逆元とする。逆元の性質と結合法則より \[ b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c \] よって、$b=c$より$a$の逆元は一意に定まる。
□命題 1.7 (演算に関する基本的な性質)
$G$を群、$a,b,c\in G$とする。以下が成り立つ。
(1)$ab=ac$ならば、$b=c$
(2)$ab=c$ならば、$b=a^{-1}c,\ a=cb^{-1}$
(3)$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
(4)$(a^{-1})^{-1}=a$
Proof.
(1)$ab=ac$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=c$が成り立つ。
(2)$ab=c$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=a^{-1}c$、右から$b^{-1}$を掛けると$a=cb^{-1}$が成り立つ。
(3)$e=aa^{-1}=bb^{-1}$より \[ (ab)^{-1}=(ab)^{-1}(aa^{-1})=(ab)^{-1}(a(bb^{-1})a^{-1})=(ab)^{-1}(ab)b^{-1}a^{-1}=b^{-1}a^{-1} \]
(4)$e=a^{-1}a=(a^{-1})^{-1}(a^{-1})$より \[ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=a \]
□
