群論の基礎3：正規部分群
この章では正規部分群の定義と、基本的な性質について述べる。
定義 3.1 (左剰余類・右剰余類)
$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。
$x^{-1}y\in H$のとき$x\sim y$と定義すると、これは同値関係になる。
このとき、$x\in G$の同値類を左剰余類と呼び、
\[ xH=\{y\in G | x^{-1}y\in H\} \]
と書く。
左剰余類全体の集合、つまりは同値関係による商集合を$G/H$と書く。
また、$yx^{-1}\in H$によって同値関係$x\sim y$を定義すると、同様にして右剰余類$Hx$が定まる。
右剰余類全体の集合を$H\backslash G$と書く。
命題 3.2 (右剰余類と左剰余類の数は等しい)
$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。
\[ |G/H|=|H\backslash G| \]
が成り立つ。
Proof.
$G/H$から$H\backslash G$への写像を$f:G/H\ni gH\mapsto Hg^{-1} \in H\backslash G$と定義する。
$f$がwell-definedな写像で、さらに全単射であることを示す。
(well-defined)
$g\in G,h\in H$を任意にとる。
\[
f(ghH)=H(gh)^{-1}=Hh^{-1}g^{-1}=Hg^{-1}
\]
よって、$f$はwell-defined。
(全単射)
$f$と同様にして、well-defineな写像$f^\prime:G\backslash H\ni Hg^{-1}\mapsto gH \in H/G$が定義できる。
\[ f\circ f^\prime=f^\prime\circ f=id \]
より、これらは互いに逆写像となるので$f$は全単射。
以上より、
\[ |G/H|=|H\backslash G| \]
□定義 3.3 (指数)
$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。
上記の命題より$G/H$と$H\backslash G$の元の個数は一致するので、これを$(G:H)$と表記する。
$(G:H)$を$H$の$G$における指数という。
命題 3.4 (左(右)剰余類と部分群の元の個数は一致する)
$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。
任意の$x\in G$に対して、
\[ |gH|=|Hg|=|H| \]
が成り立つ。
Proof.
$H$から$gH$への写像を$f:H\ni h\mapsto gh\in gH$と定義する。
$f$が全単射であることを示す。
(全射性)
任意の$gh\in gH$に対して、$f(h)=gh$なので$f$は全射。
(単射性)
任意の$h_1,h_2\in H$に対して、$gh_1=gh_2$ならば、左から$g^{-1}$を掛けると$h_1=h_2$が得られる。
よって、$f$は単射。
以上より、$f$は全単射なので$|gH|=|H|$である。
同様にして、$|Hg|=|H|$なので、
\[ |gH|=|Hg|=|H| \]
□定理 3.5 (ラグランジュの定理)
$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。
\[ |G|=(G:H)|H| \]
が成り立つ。
Proof.
$G/H$の完全代表系$\{g_i\}$に対して、$G=\bigsqcup g_iH$と書ける。
任意の$i$で$|g_iH|=|H|$なので、
\[ |G|=\sum |g_iH|=(G:H)|H| \]
□命題 3.6 (部分群と元の位数は約数)
$G$を有限群、$H\subset G$を部分群とする。以下が成り立つ。
(1)$|H|$は$|G|$の約数
(2)任意の$g\in G$の位数は$|G|$の約数
Proof.
(1)
$|G|,(G:H),|H|$は整数なので、ラグランジュの定理より$|H|$は$|G|$の約数である。
(2)
$g$で生成される巡回群$\langle g\rangle$は$G$の部分群で、(1)より位数は$G$の約数である。
巡回群$\langle g\rangle$の位数と元$g$の位数は一致するので、元$g$の位数も$G$の約数である。
□命題 3.7 (有限群の指数の連鎖律)
$G$を有限群、$H\subset G$を$G$の部分群、$K\subset H$を$H$の部分群とする。
\[ (G:K)=(G:H)(H:K) \]
が成り立つ。
Proof.
ラグランジュの定理より
\[ (G:H)(H:K)=\frac{|G|}{|H|}\frac{|H|}{|K|}=\frac{|G|}{|K|}=(G:K) \]
□命題 3.8 (素数位数の群は巡回群)
位数が素数の群は巡回群である。
Proof.
$G$を位数が素数$p$の群とする。
$G$の元$g\neq e$の位数は、$p$の約数かつ1ではないので、$p$である。
$G\supset \langle g\rangle$かつ$|G|=|\langle g\rangle|$なので、$G=\langle g\rangle$が成り立つ。
□定義 3.9 (正規部分群)
$G$を群、$N\subset G$を部分群とする。
任意の$g\in G$に対して、$gN=Ng$が成り立つとき、$N$を正規部分群という。
部分群$N$が$G$の正規部分群であることを$N\triangleleft G$または$G\triangleright N$と書く。
命題 3.10 (正規部分群と同値な条件)
$G$を群、$N$を部分群とする。以下は同値。
(1)$N\triangleleft G$
(2)任意の$g\in G,n\in N$に対して、$gng^{-1}\in N$
Proof.
(1)$\Rightarrow$(2)
任意に$g\in G,n\in N$を取る。
$gn\in gN=Ng$より、ある$n^\prime\in N$が存在して$gn=n^\prime g$。
右から$g^{-1}$をかけると$gng^{-1}=n^\prime\in N$。
(2)$\Rightarrow$(1)
$gn\in gN$を任意に取ると、$gn=gng^{-1}g$と書ける。
仮定より$gng^{-1}\in N$なので、$gn\in Ng$
よって、$gN\subset Ng$が成り立つ。
同様にして、$Ng\subset gN$なので、$gN=Ng$が成り立ち、$N\triangleleft G$である。
□定義 3.11 (単純群)
$G\neq\{e\}$を群とする。
$G$が$G,\{e\}$以外に正規部分群を持たないとき、$G$を単純群という。
命題 3.12 (正規部分群の共通部分は正規部分群)
$G$を群、$N_1,N_2$を正規部分群とする。
$N_1\cap N_2$も正規部分群である。
Proof.
$g\in G,n\in N_1\cap N_2$を任意に取る。
$N_1,N_2$は正規部分群であるから$gng^{-1}\in N_1$かつ$gng^{-1}\in N_2$。
つまり$gng^{-1}\in N_1\cap N_2$なので、$N_1\cap N_2$は正規部分群。
□命題 3.13 (指数が2の部分群は正規部分群)
$G$を群、$N$を部分群とする。
指数$(G:N)=2$ならば、$N\triangleleft G$。
Proof.
任意に$g\in G$を取る。
$g\in N$ならば$gN=N$かつ$Ng=N$なので$gN=Ng$。
$g\not\in N$とする。
$(G:N)=2$なので、$G=N\bigsqcup gN=N\bigsqcup Ng$と非交和で書ける。
よって$gN=Ng$が任意の$g\in G$に対して成り立つ。
以上より、$N\triangleleft G$。
□命題 3.14 (可換群の部分群は正規部分群)
可換群の任意の部分群は正規部分群である。
Proof.
$G$を可換群として、任意に部分群$N\subset G$を取る。
任意に$n\in N,g\in G$を取ると$G$は可換群なので$gng^{-1}=n\in N$が成り立つ。
よって、可換群の任意の部分群は正規部分群。
□命題 3.15 (交代群は対称群の正規部分群)
交代群$A_n$は対称群$S_n$の正規部分群である。
Proof.
$(S_n:A_n)=2$より明らか。
□定義 3.16 (剰余群(商群))
$G$を群、$N$を$Gの$正規部分群とする。
$xN,yN\in G/N$に対して、$(xN)(yN)=(xyN)$によって演算を定義すると、$G/N$は群となる。
この群を$G$の$N$に関する剰余群(商群)という。
剰余群$G/N$の単位元は$eN=N$、$xN$の逆元は$x^{-1}N$で与えられる。
注意 3.17 (剰余群の演算)
$G/N$の元は剰余類なので演算が代表元の取り方に依らずに定まることを示さなければ演算が定まって群になると言うことはできない。
演算が代表元の取り方に依らないことを示す。
命題 3.18 (演算がwell-definedであること)
$G$を群、$N$を$Gの$正規部分群とする
剰余群$G/N$に定められた演算$(xN)(yN)=xyN$はwell-definedである。
Proof.
$x^\prime N=xN,y^\prime N=yN$であるとする。
このとき、$x^\prime=xn_1,y^\prime=yn_2$となるような$n_1,n_2\in N$が存在する。
$N\triangleleft G$より、$yn_1y^{-1}\in N$なので、
\[ (x^\prime N)(y^\prime N)=x^\prime y^\prime N=xn_1yn_2N=x(yy^{-1})n_1yn_2N=xy(y^{-1}n_1y)n_2N=xyN \]
よって、演算はwell-definedである。
□命題 3.19 (正規部分群の指数と位数の関係)
$G$を有限群、$N$を正規部分群とする。
指数$(G:N)$と$g\in G$の位数が互いに素ならば、$g\in N$である。
Proof.
$g$の位数を$n$とすると、$g^n=e$なので、$(gN)^n=g^nN=N$。
よって、$G/N$における$gN$の位数は$n$の約数。
ところで、$|G/N|=(G:N)$なので、$gN$の位数は$(G:N)$の約数でもある。
$n$と$(G:N)$は互いに素なので、$gN$の$G/N$における位数は1。つまり$gN=N$。
よって、$g\in N$。
□
