ガロア理論の基礎4：方程式論
この章では円分体と作図問題について述べる。
定義 4. (交換子・交換子群)
$G$を群とする。
$x,y\in G$に対して
\[ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1} \]
として、これを$x,y$の交換子という。
交換子全体
\[ \{[x,y]|x,y\in G\} \]
で生成される群を$G$の交換子群と呼び$D(G)$と書く。
命題 4. ($G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$)
$G$を群とする。
$G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$
Proof.
任意の$x,y\in G$に対して
\[ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}=e \]
□命題 4. ($D(G)$は正規部分群)
$G$を群とする。
\[ D(G)\lhd G \]
Proof.
任意の$x,y,z\in G$に対して
\[ z[x,y]z^{-1}=zxyx^{-1}y^{-1}z^{-1}=[zxz^{-1},zyz^{-1}] \]
より明らか。
□命題 4. ($G/D(G)$は可換群)
$G$を群とする。
$G/D(G)$は可換群である。
Proof.
$xD(G),yD(G)\in G/D(G)$に対して
\[ xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G)y^{-1}D(G)x^{-1}x(G)xD(G)xD(G)=[x,y]D(G)xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G) \]
よって$G/D(G)$は可換群。
□命題 4. ($G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$)
$G$を群、$N$を正規部分群とする。
$G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$
Proof.
($\Rightarrow$)
任意の$x,y\in G$に対して
\[ H=xHyHx^{-1}Hy^{-1}H=[x,y]H \]
なので、$[x,y]\in N$より$N\supset D(G)$
($\Leftarrow$)
$N\supset D(G)$なので自然な全射準同型
\[ G/D(G)\ni xD(G)\mapsto xN\in G/N \]
が存在する。
$G/D(G)$は可換なので$G/N$も可換。
□定義 4. (交換子群列)
$G$を群とする。
$D_0(G)=G,D_1(G)=D(G),D_2(G)=D(D_1(G)),\cdots$とする。
\[ G=D_0(G)\supset D_1(G)\supset D_2(G)\supset\cdots \]
という群の列を考えることができる。
この列を交換子群列という。
命題 4. (交換子群列の性質)
$G$を群とする。
$G$の交換子群列には以下が成り立つ。
(1)$D_i(G)\rhd D_{i+1}(G)$
(2)$D_i(G)/D_{i+1}(G)$は可換群
定義 4. (可解群)
$G$を群とする。
ある$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるとき、$G$を可解群という。
可解群ではない群を非可解群という。
命題 4. (可換群は可解群)
可換群は可解である。
Proof.
$G$が可換群$\Rightarrow$$D(G)=\{e\}$より明らか。
□命題 4. (可解群の部分群は可解群)
可解群の任意の部分群は可解である。
Proof.
$G$を可解群、部分群$H$を任意に取る。
$H$の交換子群列を考えると、$i=0,1,2,\cdots$に対して
\[ D_i(G)\supset D_i(H) \]
が成り立つ。
$G$は可解群なのである$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるから、$D_n(H)=\{e\}$となる。
よって$H$は可解群。
□命題 4. ($G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群)
$G$を群、$N$を正規部分群とする。
$G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群
Proof.
($\Rightarrow$)
$N$が可解群であることは上記命題から明らか。
$G/N$が可解群であることを示す。
$i=0,1,2,\cdots$に対して
\[ D_i(G/N)=D_i(G)N/N \]
が成り立つ。
よって、$G$が可解群であることから$G/N$も可解群。
($\Leftarrow$)
$N,G/N$が可解群なのである$m,n\in\mathbb{N}$が存在して
$D_n(N)=\{e\},D_m(G/N)=\{N\}$とできる。
\[ D_m(G/N)=D_m(G)N/N=\{N\} \]
なので、$D_m(G)\subset N$。
\[ D_{m+n}(G)=D_n(D_m(G))\subset D_n(N)=\{e\} \]
より$G$は可解群。
□命題 4. ($n\geq3$$\Rightarrow$$D(S_n)=A_n$)
$n\geq 3$とする。
\[ D(S_n)=A_n \]
Proof.
□
命題 4. ($S_n$の可解性)
$n$次対称群$S_n$は$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。
Proof.
$n\geq 5$とする。
$D(A_n)=A_n$を示す。
\[ D(A_n)=\langle\{[\sigma,\tau]|\sigma,\tau\in A_n\}\rangle \]
\[ [\sigma,\tau]=\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}\in A_n \]
よって$D(A_n)\subset A_n$。
$1\leq i\leq j\leq k\leq n$を任意に取る。
$n\geq 5$なので$i,j,k$以外に互いに異なる$1\leq l,m,\leq n$が存在する。
\[ (ijk)=(ijm)(ikl)(ijm)^{-1}(ikl)^{-1}=[(ijm),(ikl)] \]
が成り立つ。
$A_n$は3文字の置換全体から生成されるので、$[(ijm),(ikl)]\in A_n$となり、$D(A_n)\supset A_n$。
以上より、$D(A_n)= A_n$。
ところで$D(S_n)=A_n$なので、$D(S_n)=D(D(S_n))=D(D(D(S_n)))=\cdots\neq\{e\}$より$S_n(n\geq4)$は非可解群。
$n=1,2$のときは$S_n$が可解群であることは明らか。
$n=3$とする。
$|A_3|=3$で素数なので$A_3$は可換。
\[ D(D(S_3))=D(A_3)=\{e\} \]
よって$S_3$は可解群。
$n=4$とする。
クラインの四元群$V$は$A_4$の正規部分群かつ可換群である。
よって、$V$は可解で、
\[ $|A_4/V|$=\frac{|A_4|}{|V|}=3 \]
なので$A_4/V$も可解。
つまり、$A_4$は可解群である。
$D(S_4)=A_4$なので、$S_4$も可解群であると分かる。
以上より、$S_n$は$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。
□定義 4. (べき根で解ける)
$K$を標数0の体とする。
$f\in K[x]$に対して$f$の最小分解体を$L_f$と書くと$L_f/K$はガロア拡大となる。
べき根を添加していく体の列
\[ K=L_0\subset L_1\subset\cdots\subset L_r \]
\[ L_i=L_{i-1}(\sqrt[n_i]{\alpha_i}),\ alpha_i\in L_{i-1},\ n_i\in\mathbb{N} \]
が存在して、$L_f\subset L_r$がなりたつとき、$f(x)=0$はべき根で解けるという。
命題 4. (べき根で解ける$\Leftrightarrow$ガロア群が可解)
$K$を標数0の体、$f\in K[x]$とする。
$f(x)=0$はべき根で解ける$\Leftrightarrow$$Gal(L_f/K)$
Proof.
□
命題 4. (3次方程式はべき根で解ける)
$K$を標数0の体とする。
$f\in K[x]$を
\[ f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3 \]
とする。
$f(x)=0$はべき根で解ける。
Proof.
$x=z-\frac{1}{3}a$とおくと、3次方程式は適当な$p,q$を用いて
\[ z^3+pz+q=0 \]
と書き換えられる。
□命題 4. (4次方程式はべき根で解ける)
$K$を標数0の体とする。
$K$係数の4次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$はべき根で解ける。
Proof.
□
定理 4. ($geq 5$$\Rightarrow$$n$次方程式はべき根で解けない)
Proof.
□
定義 4. ()
例 4. ()
命題 4. ()
Proof.
□
命題 4. ()
Proof.
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命題 4. ()
Proof.
□
