ガロア理論の基礎1：体論
この章では体論について述べる。
定義 1. (拡大体・中間体)
$L$を体、$K$を$L$の部分体とする。
このとき$L$を$K$の拡大体と呼び、$L/K$と書く。
$K\subset M/subset L$を体の拡大列とするとき、$M$を$L/K$の中間体という。
命題 1. (中間体の共通部分は中間体)
$L/K$を体の拡大、$M_1,M_2$を中間体とする。
$M_1\cap M_2$も中間体である。
Proof.
$M_1\cap M_2$が体であることから明らか。
□定義 1. (合成体)
$L/K$を体の拡大、$M_1,M_2$を中間体とする。
$M_1,M_2$を含む最小の体を合成体と呼び、$M_1\cdot M_2$と書く。
定義 1. (拡大次数)
$L/K$を体の拡大とする。
$L$を$K$上のベクトル空間とみなして、その次元を$L$の$K$上の拡大次数と呼び、$[L:K]$と書く。
$[L:K]$が有限ならばこれを有限次拡大といい、無限ならば無限次拡大という。
また、$d=[L:K]$が有限のとき、$L/K$は$d$次拡大であるともいう。
定義 1. (代数体)
$\mathbb{Q}$の有限次拡大を代数体という。
例 1. ($\mathbb{C}/\mathbb{R}$は2次拡大)
$\mathbb{R}$は$\mathbb{C}$の部分体なので$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$の拡大体である。
$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$上のベクトル空間として基底$\langle 1,i\rangle$が取れるので$[\mathbb{C}/\mathbb{R}]=2$。
また、$\mathbb{R}$は$\mathbb{Q}$の拡大体なので$\mathbb{C}$も$\mathbb{Q}$の拡大体で$\mathbb{C}$は代数体である。
定義 1. (代数的・超越的)
$L/K$を体の拡大とする。
$\alpha\in L$に対して、
\[ J_\alpha=\{f(X)\in K[X]|f(\alpha)=0\} \]
とおくと、$J_\alpha$は$K[X]$のイデアルとなる。
\[ J_\alpha\neq(0) \]
が成り立つならば、$\alpha$は$K$上代数的という。
\[ J_\alpha=(0) \]
が成り立つならば、$\alpha$は$K$上超越的という。
任意の$\alpha\in L$に対して$\alpha$が$K$上代数的ならば$L/K$を代数拡大という。
そうでない時には$L/K$を超越拡大という。
例 1. ($\mathbb{C}/\mathbb{Q}$は超越拡大)
$\mathbb{C}/\mathbb{Q}$という体の拡大について考える。
$i\in\mathbb{C}$に対して、
\[ J_i=\{f(x)\in\mathbb{Q}[X]|f(i)=0\} \]
なので、$J_i=(X^2+1)\neq(0)$となり、$i$は$\mathbb{Q}$上代数的である。
しかし、$e$や$\pi$は$\mathbb{Q}$上超越的であることが知られており、$\mathbb{C}/\mathbb{Q}$は超越拡大である。
定義 1. (元を添加して得られる体)
$L/K$を体の拡大、$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in L$とする。
\[ \{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}\cup F\subset M\subset L \]
を満たすような最小の部分体$M$を$F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$と書く。
$F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$を$K$上$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$で生成された体、あるいは$F$に$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$を添加して得られらた体と呼ぶ。
定義 1. (単拡大)
$L/K$を体の拡大とする。
ある$\alpha\in L$が存在して$L=K(\alpha)$が成り立つならば、$L/K$を単拡大という。
例 1. ($\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$は単拡大)
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$は単拡大である。
Proof.
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$を示す。
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\supset\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$は明らか。
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$を示す。
つまり、$\sqrt{2},\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$を示せばよい。
\[ \sqrt{3}=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right\}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
\[ \sqrt{2}=\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
よって、$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$が成り立つ。
つまり、$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$は単拡大。
□命題 1. ($\alpha$が$K$上代数的$\Leftrightarrow$$K[\alpha]=K(\alpha)$)
$L/K$を体の拡大、$\alpha\in L$とする。
$\alpha$が$K$上代数的$\Leftrightarrow$$K[\alpha]=K(\alpha)$。
Proof.
($\Rightarrow$)
$K[\alpha]\subset K(\alpha)$は明らかなので$K[\alpha]\supset K(\alpha)$を示す。
準同型$\phi:K[X]\ni f(x)\mapsto f(\alpha)\in K[\alpha]$を考える。
多項式環はPIDなのである$g(x)\in K[x]$が存在して$Ker\phi=(g(x))$と書ける。
準同型定理より
\[ K[x]/(g(x))\cong K[\alpha] \]
$K[\alpha]$は整域なので$g(x)$は既約。
よって、$K[x]/(g(x))$は体であり、同型な$K[\alpha]$は$K\cup\{\alpha\}$を含む体となる。
$K(\alpha)$は$K\cup\{\alpha\}$を含む最小の体なので$K[\alpha]\supset K(\alpha)$。
以上より、$K[\alpha]=K(\alpha)$。
($\Leftarrow$)
$\alpha=0$ならば代数的であることは明らかなので$\alpha\neq0$とする。
$\alpha^{-1}\in K[\alpha]$なのである$h(x)\in K[x]$が存在して$\alpha^{-1}=h(\alpha)$が成り立つ。
よって$\alpha h(\alpha)-1=0$なので$x h(x)-1\in J_\alpha$なので$J_\alpha\neq(0)$である。
つまり、$\alpha$は$K$上代数的。
□命題 1. (有限次拡大$\Rightarrow$代数拡大)
$L/K$を有限次拡大とする。
$L/K$は代数拡大である。
Proof.
$L/K$を$d$次拡大とする。
任意の$\alpha\in L$に対して$\alpha,\cdots,\alpha^d,\alpha^{d+1}$は1次従属である。
つまり、0ではない元を含む$a_0,\cdots,a_{d+1}\in K$に対して$a_0+a_1\alpha+\cdots a_{d+1}\alpha^{d+1}=0$が成り立つ。
つまり、$\alpha$は$K$上代数的である。
□命題 1. (超越拡大$\Rightarrow$無限次拡大)
$L/K$を超越拡大とする。
$L/K$は無限次拡大である。
Proof.
有限次拡大$\Rightarrow$代数拡大の対偶を考えれば明らか。
□命題 1. (拡大次数の連鎖律)
$L/M,M/K$を体の有限次拡大とする。
$L/K$も有限次拡大で
\[ [L:K]=[L:M][M:K] \]
が成り立つ。
Proof.
$[L:M]=l,[M:K]=k$とおく。
$\{a_1,\cdots,a_l\},\{b_1,\cdots,b_k\}$をそれぞれ$L/M,M/K$の基底とする。
$lk$個の元$a_ib_j\in L(i=1,\cdots,l,j=1,\cdots,k)$が$K$上一次独立であることを示す。
$c_{ij}\in K(i=1,\cdots,l,j=1,\cdots,k)$に対して、
\[ \sum c_{ij}a_ib_j=0 \]
と仮定すると、
\[ \sum_{i=1}^l(\sum_{j=1}^k c_{ij}b_j)a_i \]
が成り立つ。
$b_j$は$K$上のベクトル空間$M$の元なので$c_{ij}\in K$に対して$\sum_{j=1}^k c_{ij}b_j\in M$が成り立つ。
ここで、$a_1,\cdots,a_l$は$M$上一次独立なので$\sum_{j=1}^k c_{ij}b_j=0$。
さらに、$b_1,\cdots,b_n$は$K$上一次独立なので$c_{ij}=0(i=1,\cdots,l,j=1,\cdots,k)$。
よって、$a_ib_j(i=1,\cdots,l,j=1,\cdots,k)$は$K$上一次独立。
また、任意の$L$の元は$a_ib_j(i=1,\cdots,l,j=1,\cdots,k)$を用いて一意に表せるのでこれは$L/K$の基底となる。
以上より、
\[ [L:K]=[L:M][M:K] \]
□命題 1. ($L/M,M/K$が代数拡大$\Leftrightarrow$$L/K$が代数拡大)
$L/M,M/K$が代数拡大$\Leftrightarrow$$L/K$が代数拡大。
Proof.
($\Rightarrow$)
$\alpha\in L$を任意に取る。
$L/M$が代数拡大なので$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n=0$を満たす$a_0,\cdots,a_n\in M$が存在する。
$\alpha$が$K$上代数的であることを示す。
\[ [K(\alpha,a_0,\cdots,a_n):K]=[K(a_0):K][K(a_0,a_1):K(a_0)]\cdots[K(\alpha,a_0,\cdots,a_n):K(a_0,\cdots,a_n)] \]
であり、右辺は有限次拡大の拡大次数の積なので有限。
よって、左辺も有限で$K(\alpha,a_0,\cdots,a_n)/K$は代数拡大であり、$\alpha$は$K$上代数的である。
($\Leftarrow$)
任意に$\alpha\in M$を取ると$\alpha\in L$なのでこれは$K$上代数的である。
よって、$M/K$は代数拡大。
$L/M$が代数拡大であることは$K[x]\subset M[x]$より明らか。
□定義 1. (最小多項式)
$L/K$を体の拡大、$\alpha\in L$を$K$上代数的な元とする。
$K[x]$はPIDなので$p\in K[x]$が存在して、
\[ J_\alpha=(p) \]
と書ける。
このような$p$のうち、モニックであるものを$\alpha$の$K$上の最小多項式という。
$\deg p$を$\alpha$の$K$上の次数という。
例 1. ($\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式)
\[ \alpha^2=5+2\sqrt{6} \]
\[ \alpha^4=49+20\sqrt{6} \]
より、
\[ \alpha^4-10\alpha^2+1=0 \]
が得られる。
よって、$\alpha$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は
\[ p(x)=x^4-10x^2+1 \]
命題 1. (最小多項式は既約)
$L/K$を体の拡大、$\alpha\in L$を$K$上代数的な元とする。
$\alpha$の最小多項式$p\in K[x]$は$K$上既約である。
Proof.
背理法によって示す。
$p$を可約と仮定する。
このとき$p_1,p_2\in K[x]$が存在して、
\[ p=p_1p_2,\deg p_1\geq 1,\deg p_2\geq 1 \]
を満たす。
\[ 0=p(\alpha)=p_1(\alpha)p_2(\alpha) \]
より、$p_1(\alpha)=0$または$p_2(\alpha)=0$である。
$p_1(\alpha)=0$とすると、
\[ p_1\in J_\alpha=(p) \]
なので、$p_1=ap$となるような$a\in K[x]$が存在する。
しかしこれは$p$の次数の最小性に矛盾する。
$p_2(\alpha)=0$としたときも同様で、$p$は既約である。
□命題 1. (単拡大は添加された元のべきを基底に持つ)
$K$を体、$L=K(\alpha)$として単拡大$L/K$を定める。
$\alpha\in L$を$K$上代数的な$n$次の元とする。
$[L:K]=n$で$\langle 1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\rangle$は$L$の$K$上の基底を与える。
Proof.
$\alpha$は$K$上代数的なので、$L=K(\alpha)=K[\alpha]$。
$\alpha$の最小多項式を$p$とすると、$\deg p=n$である。
任意に$f\in K[x]$を取ると、ある$q,r\in K[x]$が存在して、
\[ f=qp+r,\ \deg r<n \]
が成り立つ。
$r=a_0+a_1x+\cdots a_{n-1}x^{n-1}(a_i\in K)$とすると、$f(\alpha)=r(\alpha)$なので、
\[ K[\alpha]\ni f(\alpha)=a_0+a_1\alpha+\cdots a_{n-1}\alpha^{n-1} \]
によって任意の$K[\alpha]$の元が表せる。
$1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$が線形独立であることを示す。
\[ a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha^{n-1}=0 \]
と仮定する。
このとき、ある$0\leq i\leq n-1$が存在して$a_i\neq0$であるとすると、
\[ \frac{a_0}{a_i}+\frac{a_1}{a_i}\alpha+\cdots+\frac{a_{i-1}}{a_i}\alpha^{i-1}+\alpha^i=0 \]
が成り立つが、これは$p$の次数の最小性に矛盾する。
よって、任意の$0\leq i\leq n-1$に対して$a_i=0$である。
以上より、$\langle 1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\rangle$は$L$の$K$上の基底となる。
従って、$[L:K]=n$も分かる。
□命題 1. ($K$上代数的な元の集合は体)
$L/K$を体の拡大とする。
\[ M=\{\alpha\in L|J_\alpha\neq(0)\} \]
と定義すると$M$は体となる。
Proof.
$\alpha,\beta\in M\backslash\{0\}$を任意に取る。
$K_1=K(\alpha),K_2=K_1(\beta)=K(\alpha,\beta)$とおく。
このとき、$K_1/K,K_2/K_1$は有限次拡大であり、すなわち代数拡大である。
よって、$K_2/K$も代数拡大である。
$\alpha\pm\beta,\alpha\beta,\frac{\alpha}{\beta}$は全て$K$上代数的なので、$\alpha\pm\beta,\alpha\beta,\frac{\alpha}{\beta}\in M$。
よって、$M$は体。
□例 1. (無限次代数拡大の例)
\[ \mathbb{C}^\prime=\{\alpha\in\mathbb{C}|J_\alpha\neq(0)\} \]
と定義する。
このとき、$\mathbb{C}^\prime/\mathbb{Q}$は代数拡大だが有限次拡大ではない。
定義 1. (分解体)
$K$を体、$f\in K[x]$とする。
$f(x)=0$の根をすべて含むような拡大体$L$のことを$f$の$K$上の分解体という。
\[ K\subset M\subsetneqq L \]
を満たす任意の体$M$が$f$の分解体とならないとき、$L$を$f$の最小分解体という。
命題 1. (最小分解体は必ず存在する)
$K$を体、$f\in K[x]$を$\deg f=n>0$とする。
$K$の拡大体$L$で、$f$は$L[x]$にて$n$個の1次式の積に分解されるものが存在する。
Proof.
$n$に関する帰納法で示す。
$n=1$のとき、$ax+b=0(a\neq0)\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}\in K$なので$K=L$とすれば良い。
$\deg f<n$のとき、$f$は$L[x]$にて$n$個の1次式の積に分解されると仮定する。
$\deg f=n$のとき、$f$が可約ならば次数を考えれば$f$は分解可能。
$f$は既約であるとする。
$K[x]$はPIDなので$f$は素元で、$(f)$は極大イデアルである。
よって$K[x]/(f)$は体。
包含写像$i:K\rightarrow K[x]$と標準的な準同型$\varphi:K[x]\rightarrow K[x]/(f)$の合成を考えると、単射準同型$K\rightarrow K[x]/(f)$が得られる。
$K$と$Im\varphi\circ i$を同一視する。
$\varphi(x)=\alpha$とすると、
\[ f(\alpha)=f(\varphi(x))=\varphi(f(x))=0 \]
つまり、$f(x)=(x-\alpha)g(x)$となるような$g\in K[x]$が存在する。
$L=K[x]/(f)$とおく。
$\deg g<n$なので、帰納法の仮定よりこれは$L[x]$で1次式の積に分解できる。
よって、$f$は$L[x]$で1次式の積に分解できる。
□命題 1. (最小分解体は多項式の根を添加した体)
$K$を体、$f\in K[x]$とする。
$f(x)=0$の根を$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$とすると、$f$の$K$上の最小分解体$L$は
$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$で与えられる。
例 1. ($x^2+1\in\mathbb{Q}$の最小分解体)
$x^2+1=0\Leftrightarrow x=\pm i$なので最小分解体は$\mathbb{Q}(i,-i)=\mathbb{Q}(i)$である。
命題 1. (体の同型は延長可能(既約))
$\sigma_0:K\rightarrow K^\prime$を体の同型、$p\in K[x]$の最小分解体を$L$、$\sigma_0(p)\in K^\prime[x]$の最小分解体を$L^\prime$とする。
$p(x)=0$の根$\alpha\in L$と$(\sigma_0(p))(x)=0$の根$\alpha^\prime\in L^\prime$を任意に取る。
$p$が$F$上既約ならば、$\sigma_0$の延長$\sigma_K:K(\alpha)\rightarrow K^\prime(\alpha^\prime)$で$\sigma_K(\alpha)=\alpha^\prime$となるものが存在する。
Proof.
$K(\alpha)=K[\alpha],K^\prime(\alpha^\prime)=K^\prime[\alpha^\prime]$が成り立つ。
準同型定理より
\[ K(\alpha)\cong K[x]/(p) \]
\[ K^\prime(\alpha^\prime)\cong K[x]/(\sigma_0(p)) \]
$K\subset K[x],K^\prime\subset K^\prime[x]$に包含写像を考えると、$\sigma_0$の延長として$\tilde{\sigma_K}:K[x]\ni f\mapsto \sigma_0(f)\in K^\prime[x]$が得られる。
これを$K[x]/(p),K^\prime[x]/(\sigma(p))$上で考えることで$\sigma_0$の延長$\sigma_K:K(\alpha)\rightarrow K^\prime(\alpha^\prime)$で$\sigma_K(\alpha)=\alpha^\prime$を満たすものが得られる。
□命題 1. (体の同型は延長可能)
$\sigma_0:K\rightarrow K^\prime$を体の同型、$f\in K[x]$の最小分解体を$L$、$\sigma_0(f)\in K^\prime[x]$の最小分解体を$L^\prime$とする。
$\sigma_0$の延長$\sigma:L\rightarrow L^\prime$が存在する。
Proof.
$\deg f=n$として、$n$に関する帰納法で示す。
□命題 1. (最小分解体は全て同型)
$K$を体と、$f\in K[x]$とする。
$f$の最小分解体は全て同型である。
Proof.
$id:F\rightarrow F$は体の同型なので、これを最小分解体上に延長すれば明らか。
□定義 1. (代数閉体)
$L$を体とする。
任意の$f\in L[x](\deg f\geq 0)$に対して、$\alpha\in L$が存在して$f(\alpha)=0$となるとき、$L$を代数閉体という。
例 1. ($\mathbb{C}$は代数閉体)
代数学の基本定理から、$\mathbb{C}$係数の多項式は必ず$\mathbb{C}$内に根を持つことを知られており、このことから$\mathbb{C}$は代数閉体である。
定義 1. (代数閉包)
$L/K$を体の拡大とする。
$L$が代数閉体のとき、$L$を$K$の代数閉包という。
代数閉包は同型を除いて一意に定まるので$K$の代数閉包を$\overline{K}$と書く。
命題 1. (代数的な元を集めた体は代数閉体)
$L/K$を体の拡大、$L$を代数閉体とする。
\[ M=\{\alpha\in L|J_\alpha\neq(0)\} \]
とおくと、$M$は$K$の代数閉包となる。
Proof.
$M$が体であることから$M/K$が代数拡大であることは明らかなので、$M$が代数閉体であることを示す。
$f\in M[x]$を任意に取り$L$上で考えると、$L$は代数閉体なので$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in L$が存在して
\[ f(x)=a(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) \]
と1次式の積に分解できる。
$K(\alpha_i)/K$は代数拡大なので、$\alpha_i$は$K$上代数的である。
よって、$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in M$となるので、$M$は代数閉体。
□命題 1. (任意の体に代数閉包が同型を除いて一意に存在する)
(1)任意の体$K$は代数閉包を持つ。
(2)体$L_1,L_2$を体$K_1,K_2$の代数閉包とすると、同型写像$K_1\rightarrow K_2$は同型写像$L_1\rightarrow L_2$に延長される。
Proof.
□
系 1. (代数閉包は同型を除いて一意)
$K$を体とする。
$L_1,L_2$を$K$の代数閉包とすると、$L_1\cong L_2$である。
定義 1. (重根・分離多項式)
$K$を体、$\alpha\in\overline{K}$、$f\in K[x]$とする。
$f(x)\in\overline{K}[x]$が$(x-\alpha)^2$で割り切れるとき、$\alpha$を$f$の重根という。
$f$が$\overline{K}$で重根を持たないとき、$f$を分離多項式という。
例 1. ($x^2+1\in\mathbb{R}[x]$は分離多項式)
$x^2+1\in\mathbb{R}[x]$は$x^2+1\in\overline{\mathbb{R}}[x]=\mathbb{C}[x]$において、
\[ x^2+1=(x+i)(x-i) \]
と書ける。
このとき、$x^2+1$は重根を持たないので、これは分離多項式である。
定義 1. (形式的な微分)
$K$を体とする。
$f\in K[x]$に対して、$f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$と書く。
このとき、
\[ f^\prime=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^n \]
と定義する。
命題 1. ($\alpha$が重根$\Leftrightarrow$$f^\prime(\alpha)=0$)
$K$を体、$f\in K[x]$、$\alpha\in\overline{K}$、$f(\alpha)=0$とする。
$\alpha$は$f$の重根$\Leftrightarrow$$f^\prime(\alpha)=0$
Proof.
($\Rightarrow$)
ある$g\in \overline{K}[x]$が存在して$f=(x-\alpha)^2g$と書ける。
\[ f^\prime=2(x-\alpha)g+(x-\alpha)g^\prime \]
が成り立つので、$f^\prime(\alpha)=0$である。
($\Leftarrow$)
$f=(x-\alpha)h(h\in\overline{K}[x])$と書ける。
\[ f^\prime=g+(x-\alpha)g^\prime \]
より、$f^\prime(\alpha)=g(\alpha)=0$なので、$\alpha$は重根。
□命題 1. (既約多項式が重根を持つ$\Leftrightarrow$$f^\prime=0$)
$K$を体、$f\in K[x]$を既約な多項式とする。
$f$は$\overline{K}$で重根を持つ$\Leftrightarrow$$f^\prime=0$
Proof.
($\Rightarrow$)
$\alpha\in\overline{K}$と$g\in\overline{K}[x]$を用いて$f=(x-\alpha)^2g$と書ける。
$\alpha$の$K$上の最小多項式を$p$とする。
$f(\alpha)=f^\prime(\alpha)=0$で、$p$は$\alpha$を根に持つ多項式で次数最小かつモニックなものなので、
$p|f,p|f^\prime$がともに成り立つ。
$f^\prime\neq0$であると仮定すると、
\[ \deg p\leq\deg f^\prime<\deg f \]
なので、$f=pq$と書くと、$\deg p>0,\deg q>0$となりこれは$f$の既約性に矛盾する。
($\Leftarrow$)
$f^\prime(\beta)=0$とすれば$f(\beta)=f^\prime(\beta)=0$なのでこれは重根。
□定義 1. (標数)
$K$を体とする。
環準同型$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow K$を$\varphi(1)=1$によって定める。
準同型定理より
\[ \mathbb{Z}/Ker(\varphi)\cong Im(\varphi) \]
$Im(\varphi)$は整域の部分環なので$\mathbb{Z}/Ker(\varphi)$も整域。
よって$Ker(\varphi)\subset\mathbb{Z}$がPID上の素イデアルとなる。
つまり$p$を素数または0として、$Ker(\varphi)=(p)$が成り立つ。
このとき、$p$を$K$の標数と呼び$chK$と書く。
命題 1. ($f^\prime=0$$\Leftrightarrow$$f(x)=g(x^{p^n})$)
$K$を体、$chK=p>0$、$f\in K[x]$を既約な多項式とする。
$f^\prime=0$$\Leftrightarrow$既約な分離多項式$g\in K[x]$と$n>0$が存在して$f(x)=g(x^{p^n})$。
Proof.
($\Rightarrow$)
$f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$とおく。
$f^\prime=0$なので、$0<i|p$とならないとき$a_i=0$である。
よって、
\[ f=a_0+a_px^p+\cdots+a_{kp}x^{kp}=a_0+a_p(x^p)+\cdots+a_{kp}(x^p)^k \]
と書けるので、$g_1=a_0+a_px+\cdots+a_{kp}x^k$とすると、$f(x)=g_1(x^{p})$となる。
このとき、$f$が既約なので$g_1$も既約である。
$g_1$が分離多項式ならば$g=g_1$とすれば良い。
$g_1$が非分離であるとき、$g_1^\prime=0$となるので、上記の議論を再び行って$g_1(x)=g_2(x^{p})$となるような$g_2$が得られる。
このとき、$f(x)=g_1(x^p)=g_2(x^{p^2})$となる。
$g_2$が分離多項式ならば$g=g_2$とすれば良く、非分離ならば再び同様の議論が行える。
これを繰り返すことによって、$f(x)=g_n(x^{p^n})$を満たす分離多項式$g_n$が得られる。
($\Leftarrow$)
\[ f^\prime(x)=\left(g(x^{p^n})\right)^\prime=g^\prime(x^{p^n})x^{p^n-1}p^n \]
$p^n=0$より$f^\prime=0$。
□定義 1. (分離的・分離拡大)
$K$を体とする。
$\alpha\in\overline{K}$の$K$上の最小多項式が分離多項式のとき、$\alpha$は$K$上分離的、そうでないときは非分離的であるという。
$L/K$が代数拡大で$L$の任意の元が$K$上分離的なとき、$L/K$を分離拡大という。
そうでないときは非分離拡大という。
定義 1. (完全体)
$K$を体とする。
$K$の任意の代数拡大が分離拡大のとき、$K$を完全体という。
例 1. ($\mathbb{Q}$は完全体)
$L/\mathbb{Q}$を代数拡大とする。
$\alpha\in L$に対して最小多項式$p$を考える。
$\deg p\geq 1$かつ$\deg p^\prime=\deg p-1$なので$p^\prime\neq 0$である。
よって、$\alpha$は分離的で$L/\mathbb{Q}$は分離拡大。
例 1. (標数0の体は完全体)
標数0の体は完全体である。
命題 1. ($chK=p$が完全体$\Leftrightarrow$$a=b^p$)
$K$を体、$chK=p>0$とする。
$K$が完全体$\Leftrightarrow$任意の$a\in K$に対して$a=b^p$を満たす$b\in K$が存在する。
Proof.
($\Leftarrow$)
背理法で示す。
ある$a\in\overline{K}$が$K$上分離的ではないと仮定する。
$a$の最小多項式を$f$とすると、$f$は既約で$f(x)=g(x^{p})$となるような$g\in K[x]$が存在する。
$g=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$とすると、
\[ f(x)=g(x^p)=a_0+a_1(x^1)^p+\cdots+a_n(x^n)^p \]
となる。
さらに、$a_k=b_k^p$を満たす$b_k$が存在するので、
\[ f(x)=(b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n)^p \]
これは$f$が既約であることに矛盾する。
よって、任意の$a\in\overline{K}$は$K$上分離的で$K$は完全体である。
($\Rightarrow$)
$K$が完全体なので、任意の$a\in K$に対して$x^p-a$の最小分解体$L$への拡大$L/K$は分離拡大。
このとき、$b\in L$で$b^p-a=0$を満たすものが存在する。
$b\in K$であることを示す。
$(x-b)^p$を二項展開することで$x^p-a=(x-b)^p$が分かる。
$L/K$が分離拡大なので$b$は$K$上分離的である。
$b$の最小多項式を$f$とすると、$f$は重根を持たず$x^p-a$を割り切る。
よって、$f=x-b\in K[x]$が確定するので、$b\in K$で、$a=b^p$と書ける。
□例 1. ($\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は完全体)
$p$を素数とする。
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は標数$p$の完全体である。
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$を$\mathbb{F}_p$と書く。
命題 1. (完全体の代数拡大は完全体)
$K$を完全体、$L/K$を代数拡大とする。
$L$は完全体である。
Proof.
$\alpha\in K$を任意に取る。
$\alpha$の$K,L$上の最小多項式をそれぞれ$f,g$とする。
このとき$f\in K[x]\subset L[x]$なので、$f\in L[x]$である。
$g|f$であり、$f$は分離多項式なので$g$も分離多項式。
よって、$L$は完全体である。
□命題 1. (有限体$\Rightarrow$完全体)
有限体は完全体である。
Proof.
$K$を有限体とすると、$chK=p>0$である。
このとき、$K/\mathbb{F}_p$は代数拡大なので、$K$は完全体。
□命題 1. (有限次分離拡大$\Rightarrow$単拡大)
有限次分離拡大は単拡大である。
Proof.
$L/K$を有限次分離拡大とする。
$|K|$が有限であるする。
このとき$L$も有限体で$L^\times$は巡回群である。
よって、$L^\times=\langle\alpha\rangle$とすると、$L=K(\alpha)$となるので$L/K$は単拡大。
$K$が有限でないとする。
このとき、$\alpha_1,\cdots.\alpha_n\in L$を用いて$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$と書ける。
$n\geq 2$のときに$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=K(\beta)$となる$\beta\in K$が存在することを帰納法で示す。
$L=K(\alpha_1,\alpha_2)$が単拡大であることを示す。
定義 1. ($Hom_K(A,B)$)
$L/K,L^\prime/K$を体の拡大とする。
$K$上に制限すると恒等写像となる$L$から$L^\prime$への準同型を集めた集合を
\[ Hom_K(L,L^\prime)=\{\sigma:L\rightarrow L^\prime|\sigma|_K=id\} \]
と定義する。
命題 1. ($|Hom_K(L,L^\prime)|$$\leq$$[L:K]$)
$L/K$を有限次拡大、$L^\prime/K$を体の拡大とする。
\[ |Hom_K(L,L^\prime)|\leq[L:K] \]
が成り立つ。
Proof.
$L/K$の拡大次数$n$に関する帰納法で示す。
$n=1$のとき、$|Hom_K(L,L^\prime)|=1$なのでこれは成り立つ。
$n$未満のときには成り立つと仮定する。
$Hom_K(L,L^\prime)=\{\sigma_1,\cdots.\sigma_s\}$とする。
$L/K$は有限次拡大なので$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in L$が存在して$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$と書ける。
$M=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1})$とおくと、$[M:K]<[L:K]$とできる。
\[ Hom_K(M,L^\prime)=\{\tau_1,\cdots,\tau_t\} \]
と定義すると、帰納法の仮定より$|Hom_K(M,L^\prime)|\leq[M:K]$。
$\sigma_i$を$M$上に制限するとある$\tau_j$と一致するので、
\[ Hom_K(L,L^\prime)_j=\{\sigma_ij\in Hom_K(L,L^\prime)|\sigma_i|_M=\tau_j\} \]
と定義する。
$\alpha_n$の$M$上の最小多項式を$f$とすると$f(\alpha_n)=0$。
よって、$f(\tau_j(\alpha_n))=0$なので、$Hom_K(L,L^\prime)_j$の元は$f$の根になる。
$|Hom_K(L,L^\prime)_j|\leq\deg f$が任意の$tau_j\in Hom_K(M,L^\prime)$に対して成り立つので、
\[ |Hom_K(L,L^\prime)|\leq\sum_{j=1}^{|Hom_K(M,L^\prime)|}\deg f=|Hom_K(M,L^\prime)|\deg f\leq[M:K][L:M]=[L:K] \]
よって、$|Hom_K(L,L^\prime)|\leq[L:K]$である。
□命題 1. ($L/K$が分離拡大$\Leftrightarrow$$|Hom_K(L,L^\prime)|=[L:K]$)
$L/K$を有限次拡大とする。
$L/K$が分離拡大$\Leftrightarrow$$|Hom_K(L,\overline{K})|=[L:K]$
Proof.
上記の証明において、$L^\prime=\overline{K}とする。
$|Hom_K(L,\overline{K})|=[L:K]\Leftrightarrow \alpha_n$が分離的なので、$L/K$が分離拡大$\Leftrightarrow$$|Hom_K(L,\overline{K})|=[L:K]$。
□命題 1. ($L/K$が分離拡大$\Leftrightarrow$$L/M,M/K$が分離拡大)
$L/M,M/K$を代数拡大とする。
$L/K$が分離拡大$\Leftrightarrow$$L/M,M/K$がともに分離拡大。
Proof.
□
命題 1. ($K$上分離的な元の集合を添加した拡大は分離拡大)
$L/K$を代数拡大、$S\subset L$を有限部分集合とする。
$S$の元が$K$上分離的とすると、$K(S)/K$は分離拡大である。
Proof.
任意の$\alpha\in S$に対して$K(\alpha)/K$が分離拡大であることを示す。
$\tau\in Hom_K(K(\alpha),\overline{K}$は$\alpha$の行き先によって決まるので$|Hom_K(K(\alpha),\overline{K}|=[K(\alpha):K]$である。
よって、$K(\alpha)/K$は分離拡大である。
$S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$とする。
上記の通り$K(\alpha_1)/K$は分離拡大である。
$\alpha_2$は$K$上分離的なので$K(\alpha_1)$上でも分離的。
よって、$K(\alpha_1,\alpha_2)/K(\alpha_1)$も分離拡大。
これを繰り返すことで、$K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)/K=K(S)/K$は分離拡大。
□定義 1. (分離閉包)
$L/K$を分離拡大とする。
\[ L_S\{\alpha\in L|\alpha はK上分離的\} \]
と定義する。
特に$\overline{K}_S$を$K$の分離閉包という。
定義 1. (分離次数)
$L/K$を代数拡大とする。
$[L:K]_S=[L_S:K]$と定義し、これを分離次数という。
命題 1. ($L_S/K$は分離拡大)
$L/K$を代数拡大とする。
$L_S$は体で、$L_S/K$は分離拡大である。
定義 1. (正規拡大)
$L/K$を代数拡大とする。
任意の$\alpha\in L$に対して、$\alpha$の最小多項式$p$が$L$上で一次式の積に分解できるとき、$L/K$を正規拡大という。
命題 1. ($L/K$が正規拡大$\Leftrightarrow$$\sigma(L)=L$)
$L/K$を有限次拡大とする。
$L/K$が正規拡大$\Leftrightarrow$任意の$\sigma\in Hom_K(L,\overline{K})$に対して$\sigma(L)=L$
Proof.
□
定義 1. (固定体)
$L$を体とすると、$L$の自己同型写像全体$Aut(L)$は群をなす。
部分群$G\subset Aut(L)$に対して、
\[ L^G=\{\alpha\in L|\sigma(\alpha)=\alpha( ^\forall\sigma\in G)\}\subset L \]
と定義すると、$L^G$は$L$の部分体となる。
$L^G$を$G$の固定体という。
命題 1. ($G\supset H\Rightarrow L^G\subset L^H$)
$L$を体、$G,H\subset Aut(L)$を部分群とする。
$G\supset H\Rightarrow L^G\subset L^H$
定義 1. ()
例 1. ()
命題 1. ()
Proof.
□
命題 1. ()
Proof.
□
命題 1. ()
Proof.
□
命題 1. ()
Proof.
□
命題 1. ()
Proof.
□
