ガロア理論の基礎2：ガロアの基本定理
この章ではガロア拡大とガロアの基本定理について述べる。 このテキストではガロア拡大は基本的に有限次拡大として扱う。
定義 2. (ガロア拡大)
$L/K$を代数拡大とする。
$L/K$が分離拡大かつ正規拡大のとき、$L/K$をガロア拡大という。
定義 2. (ガロア群・アーベル拡大・巡回拡大)
$L/K$をガロア拡大とする。
$L$の自己同型を集めた集合を
\[ Gal(L/K)=\{\sigma:L\rightarrow L|\sigma|_K=id\} \]
で定義し、$Gal(L/K)$をガロア群という。
$Gal(L/K)$がアーベル群のとき、$L/K$をアーベル拡大という。
$Gal(L/K)$が巡回群のとき、$L/K$を巡回拡大という。
例 2. ($\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$はガロア拡大)
$\sqrt{2}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は$x^2-2$なので$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$はガロア拡大である。
$\sigma:\mathbb{Q}\ni a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}\mathbb{Q}$と定義すると、$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})=\{id,\sigma\}$である。
\[ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong\langle\sigma\rangle\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \]
なのでこれは巡回拡大かつアーベル拡大である。
命題 2. ($Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L)$)
$L/K$をガロア拡大とする。
\[ Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L) \]
Proof.
$L/K$は正規拡大なので$Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L)$である。
$Gal(L/K)=Hom_K(L,L)$を示す。
$Gal(L/K)\subset Hom_K(L,L)$は明らかなので$Gal(L/K)\supset Hom_K(L,L)$を示す。
$\sigma\in Hom_K(L,L)$を任意に取ると$\sigma(L)\subset L$かつ単射。
$\sigma$が全射であることを示す。
$\alpha\in L$を任意に取る。
$\alpha$の最小多項式$p$は$L/K$が分離拡大であることから重根を持たない。
$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。
\[ \{\sigma(\alpha_1),\cdots,\sigma(\alpha_n)\}=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\} \]
なので、ある$\alpha_i$が存在して$\alpha=\sigma(\alpha_i)$となるので$\sigma$は全射。
以上より、
\[ Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L) \]
□命題 2. ($|Gal(L/K)|=[L:K]$)
$L/K$をガロア拡大とする。
\[ |Gal(L/K)|=[L:K] \]
Proof.
$L/K$は分離拡大なので明らか。
□命題 2. ($L/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$L$はある分離多項式の最小分解体)
$L/K$を有限次拡大とする。
$L/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$L$はある分離多項式の最小分解体
Proof.
($\Rightarrow$)
$L/K$は有限次分離拡大なので単拡大である。
よって、$\alpha\in L$が存在して$L=K(\alpha)$である。
$\alpha$の最小多項式を$p$とすると、$L/K$が正規拡大なので$L$上で$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$と書ける。
$K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$を示す。
$L/K$が正規拡大であることから、$\alpha_i\in L=K(\alpha)$。
$K(\alpha)\subset K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$は明らかなので$K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。
つまり、$L$は$p$の最小分解体。
($\Leftarrow$)
$L$を分離多項式$f$の最小分解体とする。
$f=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とすると、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。
$\alpha_i$の最小多項式を$p$とすると、$p|f$なので、$p$は分離多項式。
よって、$L/K$は分離拡大。
また、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$なので$L/K$は正規拡大。
以上より、$L/K$はガロア拡大。
□命題 2. ($L^{Gal(L/K)}=K$)
$L/K$をガロア拡大とする。
\[ L^{Gal(L/K)}=K \]
Proof.
$L^{Gal(L/K)}\supset K$を示す。
$\alpha\in K$を任意に取る。
任意の$\sigma\in Gal(L/K)$は$\sigma|_K=id$を満たすので$\sigma(\alpha)=\alpha$で、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$である。
$L^{Gal(L/K)}\subset K$を示す。
$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$を任意に取る。
$\alpha$の最小多項式を$p$として$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。
$\sigma_i(\alpha)=\alpha_i$を満たす$\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in Gal(L/K)$が存在する。
また、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$なので、$\sigma_i(\alpha)=\alpha$である。
よって、$\alpha=\alpha_1=\cdots=\alpha_n$であり、$p=(x-\alpha)^n$。
$L/K$が分離拡大なので$p=x-\alpha$で、$\alpha\in K$。
以上より、
\[ L^{Gal(L/K)}=K \]
□命題 2. ($Gal(L/L^H)\cong H$)
$L/K$をガロア拡大、$H\subset Gal(L/K)$を部分群とする。
$L/L^H$はガロア拡大で、
\[ Gal(L/L^H)\cong H \]
が成り立つ。
Proof.
□
系 2. ($|H|=[L:L^H]$)
$L/K$をガロア拡大、$H\subset Gal(L/K)$を部分群とする。
\[ |H|=[L:L^H] \]
特に
\[ |Gal(L/K)|=[L:K] \]
定理 2. (ガロアの基本定理)
$L/K$をガロア拡大とする。
\[ \mathbb{M}=\{L/Kの中間体\} \]
\[ \mathbb{H}=\{Gal(L/K)の部分群\} \]
と定義する。
\[ \mathbb{M}\ni M\mapsto Gal(L/M)\in\mathbb{H} \]
\[ \mathbb{H}\ni H\mapsto L^H\in\mathbb{M} \]
は互いに逆写像で、$|\mathbb{M}|=|\mathbb{H}|$。
Proof.
$M=L^{Gal(L/M)}$を示す。
任意に$\alpha\in M$を取ると、任意の$\sigma\in Gal(L/M)$に対して$\sigma(\alpha)=\alpha$。
よって、$\alpha\in L^{Gal(L/M)}$なので$M\subset L^{Gal(L/M)}$。
\[ [L:L^{Gal(L/M)}]=|Gal(L/M)|=[L:M] \]
なので、$M=L^{Gal(L/M)}$が成り立つ。
$H=Gal(L/L^H)$を示す。
任意に$\sigma\in H$を取ると、任意の$\beta\in L^H$に対して$\sigma(\beta)=\beta$。
よって、$\sigma\in Gal(L/L^H)$。
\[ |Gal(L/L^H)|=[L:L^H]=|H| \]
なので、$H=Gal(L/L^H)$が成り立つ。
□系 2. (基本定理の系(合成体・共通部分の対応))
$L/K$をガロア拡大とする。
$M_1,M_2\in\mathbb{M}$が$H_1,H_2\in\mathbb{H}$とそれぞれ対応するとき、以下が成り立つ。
(1)
\[ M_1\subset M_2\Leftrightarrow H_1\supset H_2 \]
(2)
\[ M_1\cdot M_2\leftrightarrow H_1\cap H_2 \]
(3)
\[ M_1\cap M_2\leftrightarrow \langle H_1,H_2\rangle \]
Proof.
(1)
$H_2$は$M_2$の元を不変とするので$M_1\subset M_2$より特に$M_1$の元を不変にする。
よって、$H_1\supset H_2$。
逆も同様。
(2)
$M_1\cdot M_2$に対応する部分群を$H$とする。
$M_1\cdot M_2\supset M_1,M_2$であり、$M_1\cdot M_2$は$M_1,M_2$を含む部分体で最小のものである。
よって、(1)より、$H\subset H_1\cap H_2$で、$H$は$H_1\cap H_2$を含む部分群で最大のもの。
つまり、$H=H_1\cap H_2$。
(3)
$M_1\cap M_2$に対応する部分群を$H^\prime$とする。
$M_1\cap M_2\subset M_1,M_2$であり、$M_1\cap M_2$は$M_1,M_2$に含まれる部分体で最大のものである。
よって、(1)より、$H^\prime\supset H_1,H_2$で、$H$は$H_1,H_2$を含む部分群で最小のもの。
つまり、$H=\langle H_1,H_2\rangle$。
□系 2. (基本定理の系(ガロア拡大$\Leftrightarrow$ガロア群が正規部分群))
$L/K$をガロア拡大、$\sigma\in Gal(L/K)$とする。
$M\in\mathbb{M},H\in\mathbb{H}$が対応するとき、以下が成り立つ。
(1)
\[ \sigma(M)\leftrightarrow\sigma H\sigma^{-1} \]
(2)
$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$
またこのとき、
\[ Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) \]
Proof.
(1)
$$ \begin{aligned} \sigma(M)&\leftrightarrow Gal(L/\sigma(M))\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau|_{\sigma(M)}=id\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau\sigma(\alpha)=\sigma^{-1}(\alpha)( ^\forall\alpha\in M)\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\sigma^{-1}\tau\sigma\in H\}\\ &=\sigma H\sigma^{-1} \end{aligned} $$
(2)
$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$を示す。
$M/K$は分離拡大なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$M/K$が正規拡大$\Leftrightarrow$任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma(M)=M$。
よって(1)より任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma^{-1}H\sigma=H$が成り立つ。
これは$H\lhd Gal(L/K)$と同値な条件なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$。
$Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K)$を示す。
\[ \varphi:Gal(L/K)\ni\sigma\mapsto\sigma|_M\in Gal(M/K) \]
と定義するとこれは全射準同型となる。
$Ker(\varphi)=H$なので、準同型定理より
\[ Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) \]
□例 2. (基本定理の例$(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})$)
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$の中間体を全て求める。
Proof.
\[ |Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=4 \]
なので、ガロア群は位数4の群。
\[ \sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}, \]
\[ \tau(\sqrt{2})=\sqrt{2},\tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}, \]
と定義する。
\[ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\sigma\tau\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \]
が成り立つ。
$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})$の部分群$\langle\sigma\rangle,\langle\tau\rangle,\langle\sigma\tau\rangle$にそれぞれ対応するのは、
\[ \langle\sigma\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q},\ \langle\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q},\ \langle\sigma\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{6})/\mathbb{Q} \]
□例 2. (基本定理の例($f=x^3-2$))
$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする。
$\mathbb{Q}$上の既約多項式$f=x^3-2$とすると$f=0$の根は$\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2$。
$f$の$\mathbb{Q}$上の最小分解体は$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$。
$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})\cong S_3$を示す。
Proof.
\[ [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}(\omega)][\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=6 \]
なので、ガロア群の位数は6。
\[ \sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma(\omega)=\omega^2 \]
\[ \tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\tau(\omega)=\omega \]
と定義する。
\[ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\tau^2,\tau\sigma,\tau^2\sigma\}=\langle\sigma,\tau\rangle \]
\begin{equation}
\sigma\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\tau\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
という対応を与える準同型を考えると、
\[ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})\cong S_3 \]
□定理 2. (ガロアの推進定理)
$L/K$を体の拡大、$M,N$を中間体、$L=M\cdot N,K=M\cap N$とする。以下が成り立つ。
(1)
$M/K$が有限次ガロア拡大$\Rightarrow$$L/N$が有限次ガロア拡大
このとき、
\[ Gal(M/K)\cong Gal(L/N) \]
(2)
$M/K,N/K$が有限次ガロア拡大$\Rightarrow$$L/K$が有限次ガロア拡大
このとき、
\[ Gal(L/K)\cong Gal(M/K)\times Gal(N/K) \]
Proof.
□
定義 2. ()
例 2. ()
命題 2. ()
Proof.
□
命題 2. ()
Proof.
□
命題 2. ()
Proof.
□
命題 2. ()
Proof.
□
命題 2. ()
Proof.
□
