Schur多項式

Schur多項式

Schur多項式とは,2次元ヤング図$\lambda$ごとに定まる$N$変数多項式 $s_{\lambda}(x_1,...,x_N)$のことである. 2次元Young図についてはYoung図形を参照. Schur多項式には,同値な定義がいくつも知られている. 本稿では3通りの定義方法を述べる.

対称多項式を用いた定義

以下で用いる対称多項式については対称多項式を参照. 例えば, 完全対称多項式を用いると, Schur多項式は次のように定義できる: $N$個の変数$x_1,...,x_N$ をまとめて$\boldsymbol{x}_N$と表す. 2次元Young図 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_\ell)$ に対して, Schur多項式 $s_\lambda (\boldsymbol{x}_N)\in \mathbb{Z}[\boldsymbol{x}_N]$ を次で定義する: $$ s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):= \displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

右辺は, $i,j$成分が $h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$であるような行列の行列式である.

例えば,$\lambda=(2,1),N=3$の場合,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=\displaystyle\det\left(\begin{array}{ll} h_2(\boldsymbol{x}_3) & h_3(\boldsymbol{x}_3) \\ h_0(\boldsymbol{x}_3) & h_1(\boldsymbol{x}_3) \end{array}\right)$$

これは, 基本対称多項式と完全対称多項式の関係を用いると,

$$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=h_2(\boldsymbol{x}_3)e_1(\boldsymbol{x}_3)-h_3(\boldsymbol{x}_3)=h_1(\boldsymbol{x}_3)e_2(\boldsymbol{x}_3)-h_0(\boldsymbol{x}_3)e_3(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_3+x_1)+x_3^2(x_1+x_2)+x_1x_2x_3$$

また, 基本対称多項式を用いても定義することができる: $$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j} \left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

$\lambda^{\mathrm{T}}$は2次元Young図の転置である. もちろんこの2つは等しい:

$$\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j} \left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

この等式は, 2次元Young図の半標準盤を用いたSchur多項式の表示を媒介することで示すことができる.

半標準盤を用いた定義

2次元Young図の半標準盤とは, 2次元Young図のなかに,次のように右には広義増加,下には狭義増加する正の整数を書き込んだものをいう: 例えば$\lambda=(2,1)$ ならば,次の3つはいずれも半標準盤の例になっている: $$\mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & \end{array}\quad , \quad \begin{array}{ll} 2& 2 \\ 5 & \end{array}\quad, \quad \begin{array}{ll} 10^3 & 10^7 \\ 10^9 & \end{array}\quad, \quad etc. $$ さらに, 各半標準盤$\mathrm{T}^\lambda$ごとに, $N$変数多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を次のように定める: $$\lambda=(2,1), \mathrm{T}^\lambda =\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 5 & \end{array}, \boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}:=\begin{cases}x_2^2x_5, N\geq5\\ 0, N<5\end{cases}$$

Schur多項式$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$ は, 半標準盤 $\mathrm{T}^\lambda$ごとに定まる多項式$\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$を足し上げる形で定義することができる:

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right):=\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}$$

例えば, $\lambda=(2,1), N=3$であれば,半標準盤は $$\begin{array}{ll} 1 &1 \\ 2 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 3 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 3 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 3 & \end{array},\quad \begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & \end{array},\quad $$ の8つ.従ってこのときのSchur多項式は $$s_{\lambda=(2,1)}(\boldsymbol{x}_3)=x_1^2(x_2+x_3)+2x_1x_2x_3+x_2^2(x_1+x_3)+(x_1+x_2)x_3^2$$

となって,確かに対称多項式を用いて計算したものと一致している.

Jacobi-Trudi恒等式

任意の2次元Young図 $\lambda$ と, 任意の正の整数 $N$ に対して, $N$ 変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ 上で次が成立する:

$$\sum_{\mathrm{T}^\lambda}\boldsymbol{x}_N^{\mathrm{T}^\lambda}=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell} h_{\lambda_{i}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq \ell^{\mathrm{T}}} e_{\lambda_{i}^{\mathrm{T}}-i+j}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)$$

これは,右辺を格子上の経路の足し上げとして表す手法により証明することができる.

Giambelli表示

任意の半整数 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}+1/2$ に対し, 多項式 $s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right)\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_N]$ を次で定義する: $$ s_{(\alpha \mid \beta)}\left(\boldsymbol{x}_N\right):=\sum_{k=1}^{\beta+1 / 2}(-1)^{k-1} h_{\alpha-1 / 2+k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) e_{\beta+1 / 2-k}\left(\boldsymbol{x}_N\right) $$

この多項式を用いると,Schur多項式は次のように表すことができる:

$$ s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{N}\right)=\displaystyle\det_{1 \leq i, j \leq d} s_\left(\alpha_i \mid \beta_j\right)\left(\boldsymbol{x}_N\right) $$ Schur多項式には量子力学(場の量子論)的な表示もあるが,それはこの表示から導くことができる.

$\lambda=(2,1),N=3$のとき, $\alpha=3/2, \beta=3/2$だから,

$$s_{\lambda}\left(\boldsymbol{x}_{3}\right)=s_\left(3/2 \mid 3/2\right)\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=\sum_{k=1}^{2}(-1)^{k-1} h_{1+k}\left(\boldsymbol{x}_3\right) e_{2-k}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

$$=h_{2}\left(\boldsymbol{x}_3\right)e_{1}\left(\boldsymbol{x}_3\right)-h_{3}\left(\boldsymbol{x}_3\right)$$

となって, これもまた上で計算したものと等しい結果になる.