対称多項式

完全対称多項式

$N$変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N] $の元として定まる, 次の多項式 $h_n(x_1,...,x_N)$を $n$次完全対称多項式という: $$ \begin{gathered} h_{n}\left(x_1,...,x_N\right):=\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle\sum_{1 \leq i_{1} \leq \ldots \leq i_{n} \leq N} x_{i_{1}} \cdots x_{i_{n}}, & n \geq 1 \\ 1, & n=0 \\ 0, & n \leq-1 \end{array}.\right. \end{gathered}$$

例えば

$$ h_1(x_1,...,x_N)=x_1 +x_2+ ...+x_N$$

$$h_2(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 +x_1 x_2 +x_2^2+x_2 x_3 + x_3^2 + x_3 x_1$$

完全対称多項式の母関数

$N$変数多項式環 を係数にもつ, 不定元を $t$とした形式的冪級数 $H(x_1,...,x_N,t)$を次で定める:

$$ H(x_1,...,x_N,t):=\prod_{i=1}^N \frac{1}{1-x_i t}$$

これを $t$の冪に直すと, 各係数には完全対称多項式が並ぶ:

$$ H(x_1,...,x_N,t)=\sum_{n=0}^\infty h_n(x_1,...,x_N)t^n$$

基本対称多項式

$N$変数多項式環 $\mathbb{Z}[x_1,...,x_N] $の元として定まる, 次の多項式 $e_n(x_1,...,x_N)$を $n$次基本対称多項式という: $$ \begin{gathered} e_{n}\left(x_1,...,x_N\right):=\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle\sum_{1 < i_{1}<\ldots<i_{n} < N} x_{i_{1}} \cdots x_{i_{n}}, & n \geq 1 \\ 1, & n=0 \\ 0, & n \leq-1 \end{array}\right. \end{gathered} $$

基本対称多項式の母関数

$N$変数多項式環 を係数にもつ, 不定元を $t$とした形式的冪級数 $E(x_1,...,x_N,t)$を次で定める:

$$ E(x_1,...,x_N,t):=\prod_{i=1}^N(1+x_i t)$$

これを $t$で展開すると, 各係数には基本対称多項式が並ぶ:

$$ E(x_1,...,x_N,t)=\sum_{n=N}^\infty e_n(x_1,...,x_N)t^n$$

基本対称多項式と完全対称多項式の関係

上で定義した２つの母関数$E(t),H(t)$に対して次が成り立つ: $$E(t)H(t)=1.$$

ここから,任意の正の整数$n$について,

$$\sum_{k=0}^n h_{k}(\boldsymbol{x}_N)e_{n-k}(\boldsymbol{x}_N)=0$$

が成り立つ.