Bowman-Bradley型定理

$\newcommand{\pp}{\boldsymbol{p}}$ $\newcommand{\ba}{\boldsymbol{a}}$ $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\newcommand{\bf}{\boldsymbol{f}}$ $\newcommand{\sh}{\mathbin{\text{ш}}}$ $\newcommand{\ue}{\uparrow}$ $\newcommand{\hidari}{\leftarrow}$ $\newcommand{\shita}{\downarrow}$ $\newcommand{\fH}{\mathfrak{H}}$ $\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}$ $\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\z}{\mathfrak{Z}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\hA}{\widehat{\AA}}$ $\newcommand{\hS}{\widehat{\SS}}$ $\newcommand{\hF}{\widehat{\FF}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}$ $\newcommand{\bl}{\boldsymbol{l}}$ $\newcommand{\bh}{\boldsymbol{h}}$ $\newcommand{\bep}{\boldsymbol{\epsilon}}$ $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$ $\newcommand{\dep}{\mathrm{dep}}$ $\newcommand{\wt}{\mathrm{wt}}$ $\newcommand{\MT}{\mathrm{MT}}$ $\newcommand{\ish}{\widetilde{\sh}}$ $\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$

多重ゼータ値に関連する文脈において、Bowman-Bradley型定理 (Bowman-Bradley type theorem) とは、引数にBBBL型と呼ばれる形の特別なインデックスをもった多重ゼータ値やそれらの和について成り立つ一連の定理の総称である。この名称がつけられる厳密な基準はないが、BBBL型インデックスに関連すると思われる定理もここで述べる。

BBBL型インデックス

非負整数 $k,n_{0},\ldots,n_{2k}$ を用いて \[\bk=(\{2\}^{n_{0}},1,\{2\}^{n_{1}},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k-2}},1,\{2\}^{n_{2k-1}},3,\{2\}^{n_{2k}})\] のように書けるインデックスのことをBBBL型 (Borwein-Bradley-Broadhurst-Lisonek type) と呼ぶ。言い換えれば $\{1,3\}^{k}$ の隙間に有限個の $2$ をまぶしたインデックスのことである (深さ単位のシャッフルの記号 (次節参照) を使えば $\{1,3\}^{k}\widetilde{\sh}\{2\}^{n_{0}+\cdots+n_{2k}}$ を展開して現れるインデックスのこと、ともいえる)。この名称は1においてこの形のインデックスに関する予想が提起されたことによるものであり、初出は2であると思われる。

多重ゼータ値/多重ゼータスター値におけるBowman-Bradley型定理

定理 1 (Bowman-Bradley1)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ に対し \begin{align} \sum_{\substack{n_0,\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta(\{2\}^{n_{0}},1,\{2\}^{n_{1}},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_{1}-2}},1,\{2\}^{n_{2k_{1}-1}},3,\{2\}^{n_{2k_{1}}})=\binom{2k_{1}+k_{2}}{k_{2}}\frac{\pi^{4k_{1}+2k_{2}}}{(2k_1+1)(4k_1+2k_2+1)!} \end{align} が成り立つ。

• Bowman-Bradley型定理という名称はこの定理に由来する。

定理 2 (Yamamoto1)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ に対し \begin{align} &\sum_{\substack{n_0,\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{\star}(\{2\}^{n_{0}},1,\{2\}^{n_{1}},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_{1}-2}},1,\{2\}^{n_{2k_{1}-1}},3,\{2\}^{n_{2k_{1}}})\\ &=\sum_{\substack{2i+k+u=2k_1\\ j+l+v=k_2}}(-1)^{k_2+u}(2^{2k+2l}-2)(2^{2u+2v}-2)\binom{k+l}{k}\binom{u+v}{u}\binom{2i+j}{j}\frac{B_{2k+2l}B_{2u+2v}\pi^{4k_1+2k_2}}{(2i+1)(4i+2j+1)!(2k+2l)!(2u+2v)!} \end{align} が成り立つ。

• この定理は Bowman-Bradley の定理 (定理 1) のスター類似であるが、右辺が $\pi^{4k_1+2k_2}$ の有理数倍になることはKondo-Saito-Tanaka3によって先立って示されており、Yamamotoの結果はそれの精密化であると思うことができる。なお、さらにそれ以前から $k_2=1,2$ のケースがそれぞれMuneta4とImatomi-Tanaka-Tasaka-Wakabayashi5によって得られていた。

有限/対称多重ゼータ値のBowman-Bradley型定理

記号については有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値を参照。

定理 3 (Saito-Wakabayashi1)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ と正整数 $a,b,c$ ($a,b$ は奇数、$c$ は偶数) に対し \begin{align} &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta_{\cA}(\{c\}^{n_{0}},a,\{c\}^{n_{1}},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-2}},a,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})\\ &=\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{\star}_{\cA}(\{c\}^{n_{0}},a,\{c\}^{n_{1}},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-2}},a,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})=0 \end{align} が成り立つ。

定理 4 (Charlton1)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ と正整数 $a,b,c$ ($a,b$ は奇数、$c$ は偶数) に対し \begin{align} &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta_{\cS}(\{c\}^{n_{0}},a,\{c\}^{n_{1}},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-2}},a,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})\\ &=\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{\star}_{\cS}(\{c\}^{n_{0}},a,\{c\}^{n_{1}},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-2}},a,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})=0 \end{align} が成り立つ。

以後、これらの定理の証明を述べる。有限/対称多重ゼータ値の双方に成り立っている既存の関係式のみを用いて (6に沿った) 証明を行うため、この二つの定理は同時に証明されることになる。そのため $\cF$ を $\cA$ もしくは $\cS$ を意味する記号と約束しておく。対称サイドの別証明ならびにより精密な結果については7を参照。

インデックスの成分単位のシャッフルを $\ish$ で表す: つまり $w,w'\in\fH^{1}$ と正整数 $k,l$ に対し \begin{align} w\ish 1=1\ish w=w,\qquad wz_{k}\ish w'z_{l}=(w\ish w'z_{l})z_{k}+(wz_{k}\ish w')z_{l} \end{align} として $\fH^{1}$ 上に $\bbQ$ 双線型な積 $\ish$ を入れ、wordとインデックスの対応によってこれをインデックス (の線型結合) 間の積だと思うことにする。

非負整数の組 $(k_{1},k_{2})\neq (0,0)$ に対し正の奇数 $a_1,\ldots,a_{k_1},b_1,\ldots,b_{k_1}$ と正の偶数 $c_1,\ldots,c_{k_2}$ からなる列 $(a_1,\ldots,a_{k_1};b_1,\ldots,b_{k_1};c_1,\ldots,c_{k_2})$ 全体の集合を $L_{k_1,k_2}$ と書き, $\ba\in L_{k_1,k_2}$ に対し \[I_{\ba}=\sum_{\sigma,\tau\in S_{k_1}}(a_{\sigma(1)},b_{\tau(1)},\ldots,a_{\sigma(k_1)},b_{\sigma(k_1)})\ish (c_1)\ish\cdots\ish(c_{k_2})\] とおく。ここで $S_{k_{1}}$ は $k_{1}$ 次の対称群である。また、「任意の $\ba\in L_{k_1,k_2}$ に対し $\zeta_{\cF}(I_{\ba})=\zeta^{\star}_{\cF}(I_{\ba})=0$ が成り立つ」という命題を $P_{k_1,k_2}$ と書く。

補題 5 (Saito-Wakabayashi1 Lemma 2.2)

正整数 $k_1$ に対し、$P_{k_1,0}$ が正しいならば任意の非負整数 $k_2$ に対し $P_{k_1,k_2}$ は正しい。

証明

$k_2$ の帰納法で示す。始点は仮定より問題ない。調和積の定義より \[\ba=(a_1,\ldots,a_{k_1};b_1,\ldots,b_{k_1};c_1,\ldots,c_{k_2})\in L_{k_1,k_2}\] に対し \begin{align} &(a_1,b_1,\ldots,a_{k_1},b_{k_2})\ast((c_1)\ish\cdots\ish (c_{k_2}))\\ &=\sum_{X\subseteq\{1,\ldots,2k_1\}}\sum_{\substack{f\colon X\to\{1,\ldots,k_2\}\\\text{単射}}} (a_1+d_1,b_1+d_{k_1+1},\ldots,a_{k_1}+d_{k_1},b_{k_1}+d_{2k_1})\ish (e_1)\ish\cdots\ish(e_{k_2}) \end{align} である。ここで \[d_i=\begin{cases}c_{f(i)} & (i\in X)\\ 0 & (i\notin X)\end{cases},\qquad e_j=\begin{cases} c_j & (j\notin f(X)) \\ 1 & (j\in f(X))\end{cases}\] とおいた。両辺で $a_i$, $b_i$ を $a_{\sigma(i)}$, $b_{\sigma(i)}$ に置き換え、$(\sigma,\tau)\in S^{2}_{k_1}$ 全体で和を取ることで \begin{align} &I_{(a_1,\ldots,a_{k_1};b_1,\ldots,b_{k_1};\emp)}\ast((c_1)\ish\cdots\ish (c_{k_2}))\\ &=\sum_{X\subseteq\{1,\ldots,2k_1\}}\sum_{\substack{f\colon X\to\{1,\ldots,k_2\}\\\text{単射}}} I_{(a_1+d_1,\ldots,a_{k_1}+d_{k_1};b_1+d_{k_1+1},\ldots,b_{k_1}+d_{2k_1};e_1,\ldots,e_{k_2})}\\ &=I_{\ba}+\sum_{\emp\neq X\subseteq\{1,\ldots,2k_1\}}\sum_{\substack{f\colon X\to\{1,\ldots,k_2\}\\\text{単射}}} I_{(a_1+d_1,\ldots,a_{k_1}+d_{k_1};b_1+d_{k_1+1},\ldots,b_{k_1}+d_{2k_1};e_1,\ldots,e_{k_2})} \end{align} となる。最後の和にある $((a_1+d_1,\ldots,a_{k_1}+d_{k_1};b_1+d_{k_1+1},\ldots,b_{k_1}+d_{2k_1};e_1,\ldots,e_{k_2}))$ はいずれも $L_{k_1,k'_2}$ ($k'_2<k_2$) の元であるため、帰納法の仮定により $\zeta_{\cF}$ および $\zeta^{\star}_{\cF}$ での像が $0$ になる。一方で左辺は調和関係式 (有限、対称) と対称和公式 (有限、対称) より $0$ になるため補題を得る。

□

補題 6 (Saito-Wakabayashi1 Lemma 2.3)

正整数 $k_1$ に対し、$0<k'_1<k_1$ の範囲で $P_{k'_1,0}$ が正しいならば任意の $\ba\in L_{k_1,0}$ に対し $\zeta_{\cF}(I_{\ba})+\zeta^{\star}_{\cF}(I_{\ba})=0$ が成り立つ。

証明

正整数 $k_1$ に対し $I_{k_1,0}$ の元 $\ba=(a_1,\ldots,a_{k_1};b_1,\ldots,b_{k_1};\emp)$ を任意にとる。$i\in\{0,\ldots,k_1\}$ に対し \begin{align} P_i(\ba)&=\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_{k_1}}\zeta_{\cF}(a_{\sigma(1)},b_{\tau(1)},\ldots,a_{\sigma(i)},b_{\tau(i)})\zeta^{\star}_{\cF}(b_{\tau(k_1)},a_{\sigma(k_1)},\ldots,b_{\tau(i+1)},a_{\sigma(i+1)}),\\ Q_i(\ba)&=\delta_{i,0}\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_{k_1}}\zeta_{\cF}(a_{\sigma(1)},b_{\tau(1)},\ldots,a_{\sigma(i-1)},b_{\tau(i-1)},a_{\sigma(i)})\zeta^{\star}_{\cF}(b_{\tau(k_1)},a_{\sigma(k_1)},\ldots,b_{\tau(i+1)},a_{\sigma(i+1)},b_{\tau(i)}) \end{align} とおく。このとき対蹠関係式 (有限、対称) を符号に応じて分けることで \[\sum_{i=0}^{k_1}P_i(I_{\ba})-\sum_{i=1}^{k_1}Q_i(I_{\ba})=0\] となる。定義より明らかに $P_0(\ba)=\zeta_{\cF}(I_{\ba})$ であり、反転公式 (有限、対称) により $P_{k_1}(\ba)=\zeta^{\star}_{\cF}(I_{\ba})$ である ($\wt(I_{\ba})$ が偶数であることに注意) ことから、示すべきことは $P_i=0$ ($i\in\{1,\ldots,k_1-1\}$) と $Q_i=0$ ($i\in\{1,\ldots,k_1\}$) となる。 前者は \begin{align} P_i &=\sum_{\substack{A\sqcup A^{\star}=B\sqcup B^{\star}=\{1,\ldots,k_1\}\\ |A|=|B|=i}}\Biggl(\sum_{\substack{\sigma'\colon\{1,\ldots,i\}\to A\\ \tau'\colon\{1,\ldots,i\}\to B\\\text{全単射}}}\zeta_{\cF}(a_{\sigma'(1)},b_{\tau'(1)},\ldots,a_{\sigma'(i)},b_{\tau'(i)})\Biggr)\\ &\quad\cdot\Biggl(\sum_{\substack{\sigma'\colon\{i+1,\ldots,k_1\}\to A^{\star}\\ \tau'\colon\{i+1,\ldots,k_1\}\to B^{\star}\\\text{全単射}}}\zeta^{\star}_{\cF}(a_{\sigma'(i+1)},b_{\tau'(i+1)},\ldots,a_{\sigma'(k_1)},b_{\tau'(k_1)})\Biggr) \end{align} と計算できるが、補題の仮定によりこれは $0$ になる。後者も同様に分解し、反転公式を用いることで $a,b$ が奇数であることより $0$ になることがわかる。

□

補題 7 (Saito-Wakabayashi1 Lemma 2.4)

正整数 $k_1$ に対し $0<k'_1<k_1$ と $k_2\ge 0$ の範囲で $P_{k'_1,k_2}$ が正しいならば任意の $\ba\in L_{k_1,0}$ に対し $\zeta_{\cF}(I_{\ba})=\zeta^{\star}_{\cF}(I_{\ba})$ が成り立つ。

証明

正整数 $k_1$ と $\ba=(a_1,\ldots,a_{k_1};b_1,\ldots,b_{k_1};\emp)\in I_{k_1,0}$ をとる。定義より \[I_{\ba}^{\star}=\sum_{\sigma,\tau\in S_{k_1}}\sum_{\circ:,\text{ or }+}(a_{\sigma(1)}\circ b_{\tau(1)}\circ\cdots\circ a_{\sigma(k_1)}\circ b_{\tau(k_1)})\] であるが、右辺の和において $\circ$ が $+$ になることで隣り合う成分がどのように足し合わされるかを考える: 現れるインデックスの成分は \begin{gather} a_{\sigma(i)}+b_{\tau(i)}+\cdots+b_{\sigma(i+j-1)}+a_{\sigma(i+j)},\\ b_{\tau(i)}+a_{\sigma(i+1)}+\cdots+a_{\sigma(i+j)}+b_{\sigma(i+j)},\\ a_{\sigma(i)}+b_{\tau(i)}+\cdots+a_{\sigma(i+j)}+b_{\sigma(i+j)} \end{gather} のいずれかの形になる。一つ目は $a_u$ たちの方が一つ多く。二つめは $b_u$ たちの方が一つ多く。三つ目は現れる $a_u$ たちと $b_u$ たちの数が等しい。これを集合のことばに翻訳する: $M\ge 0$ に対し、集合 \[A_1,\ldots,A_M,B_1,\ldots,B_M,C_1,\ldots,C_{2M+1}\] であって、次の条件を満たすものを考える}。

• $\{A_1,\ldots,A_M,B_1,\ldots,B_M,C_1,\ldots,C_{2M+1}\}$ のいずれの要素も共通部分を持たない。
• 任意の $1\le i\le M$ に対し $A_i$, $B_i$ は空でない。
• $\displaystyle\left(\bigsqcup_{i=1}^{M}(A_i\sqcup B_i)\right)\sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^{2M+1}(C_i)\right)=\{(0,1),\ldots,(0,k_1),(1,1),\ldots,(1,k_1)\}$
• 任意の $1\le i\le M$ に対し $|\{j\mid (0,j)\in A_i\}|=|\{j\mid (1,j)\in A_i\}|+1$ が成り立つ。
• 任意の $1\le i\le M$ に対し $|\{j\mid (0,j)\in B_i\}|+1=|\{j\mid (1,j)\in B_i\}|$ が成り立つ。
• 任意の $1\le i\le 2M+1$ に対し $|\{j\mid (0,j)\in C_i\}|=|\{j\mid (1,j)\in C_i\}|$ が成り立つ。

このような性質を満たす集合全体の和を取るとき単に $\sum_{A_i,B_i,C_i}$ と書くことにし、$\circ\in\{A,B,C\}$ に対し \[\bl^{\sigma,\tau}_{\circ_i}=\begin{cases}\left(\sum_{(\ep,j)\in\circ_i} (\delta_{\ep,0}a_{\sigma(j)}+\delta_{\ep,1}b_{\tau(j)})\right) & (\circ_i\neq\emp)\\ \emp & (\circ_i=\emp)\end{cases}\] とおく。このとき \begin{align} &\sum_{\circ:,\text{ or }+}(a_{\sigma(1)}\circ b_{\tau(1)}\circ\cdots\circ a_{\sigma(k_1)}\circ b_{\tau(k_1)})\\ &=\sum_{M=0}^{k_1}\sum_{\substack{A_1,\ldots,A_M\\ B_1,\ldots,B_M\\ C_1,\ldots,C_{2M+1}}} (\bl^{\sigma,\tau}_{C_1},\bl^{\sigma,\tau}_{A_1},\bl^{\sigma,\tau}_{C_2},\bl^{\sigma,\tau}_{B_1},\ldots,\bl^{\sigma,\tau}_{C_{2M-1}},\bl^{\sigma,\tau}_{A_M},\bl^{\sigma,\tau}_{C_{2M}},\bl^{\sigma,\tau}_{B_M},\bl^{\sigma,\tau}_{C_{2M+1}}) \end{align} が成り立つ。ゆえに \begin{align} &\sum_{\sigma,\tau\in S_{k_1}}\sum_{\circ:,\text{ or }+}(a_{\sigma(1)}\circ b_{\tau(1)}\circ\cdots\circ a_{\sigma(k_1)}\circ b_{\tau(k_1)})\\ &=\sum_{M=0}^{k_1}\sum_{\substack{A_1,\ldots,A_M\\ B_1,\ldots,B_M\\ C_1,\ldots,C_{2M+1}}}\left(\prod_{i=1}^M Q(A_i)Q(B_i)\right)\\ &\qquad\cdot\sum_{\substack{\sigma,\tau\in S_M\\ \rho\in S_{2M+1}}}(\bl^{\id,\id}_{C_{\rho(1)}},\bl^{\id,\id}_{A_{\sigma(1)}},\bl^{\id,\id}_{C_{\rho(2)}},\bl^{\id,\id}_{B_{\tau(1)}},\ldots,\bl^{\id,\id}_{C_{\rho(2M-1)}},\bl^{\id,\id}_{A_{\sigma(M)}},\bl^{\id,\id}_{C_{\rho(2M)}},\bl^{\id,\id}_{B_{\tau(M)}},\bl^{\id,\id}_{C_{\rho(2M+1)}})\\ &=\sum_{M=0}^{k_1}\sum_{\substack{A_1,\ldots,A_M\\ B_1,\ldots,B_M\\ C_1,\ldots,C_{2M+1}}}\left(\prod_{i=1}^M Q(A_i)Q(B_i)\right)\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_M}(\bl^{\id,\id}_{A_{\sigma(1)}},\bl^{\id,\id}_{B_{\tau(1)}},\ldots,\bl^{\id,\id}_{A_{\sigma(M)}},\bl^{\id,\id}_{B_{\tau(M)}})\ish\bl^{\id,\id}_{C_1}\ish\cdots\ish\bl^{\id,\id}_{C_{2M+1}} \end{align} である。ここで \[Q(X)=|\{j\mid (0,j)\in X\}|!\cdot |\{j\mid (1,j)\in X\}|!\] とおいた。さて右辺の和において $M=k_1$ のとき和の中身は $I_{\ba}$ に他ならず、$0\le M\le k_1-1$ のときは和の中身が $I_{M,j}$ ($0\le j\le 2M+1$) の元であるから、両辺に写像 $\zeta_{\cF}$ を適用することで補題の仮定より結論を得る。

□

定理 8 (Saito-Wakabayashi1 Theorem 1.6)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ に対し $P_{k_1,k_2}$ が正しい。

証明

対称和公式 (有限、対称) より任意の $k_2\ge 1$ に対し $P_{0,k_2}$ は正しい。正整数 $k_1$ の帰納法を用いて任意の $k_2\ge 0$ に対し $P_{k_1,k_2}$ が成り立つことを示す。始点 $P_{1,0}$ は深さ $1$ の明示公式 (有限、対称) より正しく、ゆえに補題 により $P_{1,k_2}$ ($k_2\ge 0$) は正しい。正整数 $k_1$ を固定し、任意の $1\le k'_1<k_1$ と $k_2\ge 0$ に対し $P_{k'_1,k_2}$ が正しいとすると補題 6 と補題 7 によって $P_{k_1,0}$ が成り立つ。したがって補題 5 により $P_{k_1,k_2}$ がいえた。

□

定理 3、定理 4の証明

定理 8 において $\ba=(\{a\}^{k_{1}};\{b\}^{k_{1}};\{c\}^{k_{2}})$ とすればわかる。

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なお、$\cA_{2}$ および $\cS_{2}$ におけるBowman-Bradley型定理も知られている:

定理 9 (Murahara-Onozuka-Seki1 Theorem 1.3)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ に対し \begin{align} &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta_{\cA_2}(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1-2}},1,\{2\}^{n_{2k_1-1}},3,\{2\}^{2k_1})\\ &\qquad =(-1)^{k_2}\left((-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}-4\binom{2k_1+k_2}{2k_1}\right)\z_{\cA_2}(4k_1+2k_2+1)\pp,\\ &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{\star}_{\cA_2}(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1-2}},1,\{2\}^{n_{2k_1-1}},3,\{2\}^{2k_1})\\ &\qquad =(-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}\z_{\cA_2}(4k_1+2k_2+1)\pp \end{align} が成り立つ。

定理 10 (Ono-Sakurada-Seki1 Theorem 4.1)

非負整数の組 $(k_1,k_2)\neq (0,0)$ に対し \begin{align} &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta_{\cS_2}(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1-2}},1,\{2\}^{n_{2k_1-1}},3,\{2\}^{2k_1})\\ &\qquad =(-1)^{k_2}\left((-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}-4\binom{2k_1+k_2}{2k_1}\right)\z_{\cS_2}(4k_1+2k_2+1)t,\\ &\sum_{\substack{n_{0},\ldots,n_{2k_1}\ge 0\\ n_{0}+\cdots+n_{2k_1}=k_2}}\zeta^{\star}_{\cS_2}(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1-2}},1,\{2\}^{n_{2k_1-1}},3,\{2\}^{2k_1})\\ &\qquad =(-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}\z_{\cS_2}(4k_1+2k_2+1)t \end{align} が成り立つ。

脚注

参考文献

• 1 J. M. Borwein, D. M. Bradley, D. J. Broadhurst and P. Lisonek. (1998) "Combinatorial aspects of multiple zeta values". Electron. J. Combin. 5 : R38.
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• 3 H. Kondo, S. Saito and T. Tanaka. (2012) "The Bowman-Bradley theorem for multiple zeta-star values". J. Number Theory 132 : 1984-2002.
• 4 S. Muneta. (2008) "On some explicit evaluation of multiple zeta-star values". J. Number Theory 128 : 2538-2548.

• 5 "On some iof multiple zeta-star values". preprint <[arXiv:0912.1951 arXiv:0912.1951]> Accessed: {{{accessed}}}
• 6 S. Saito and N. Wakabayashi. (2016) "Bowman-Bradley type theorem for finite multiple zeta values". Tohoku Math. J. 68 : 241-251.
• 7 S. Charlton. (2018) "Bowman-Bradley type identities for symmetrised MZV's". MZV Days at HIM .