微分幾何学

微分幾何学

微分幾何学（びぶんきかがく、differential geometry）とは、可微分多様体の様々な幾何学的な性質を調べる分野である。 ただし、微分幾何の技術を駆使することで位相幾何的な結論も多く得られているため、考察対象となる幾何学的性質は位相幾何のそれと明確に区別することはできない。 主に用いられる手法はテンソル解析や接続の幾何である。 ここでは微分幾何学の主要なテーマについて概説する。

リーマン幾何学

リーマン幾何学とは、リーマン計量と呼ばれる内積が定義された可微分多様体(リーマン多様体)の性質を研究する分野である。

シンプレクティック幾何学

シンプレクティック幾何学とは、シンプレクティック形式と呼ばれる2-形式を備えた偶数次元の可微分多様体（シンプレクティック多様体）の性質を研究する分野である。

複素幾何学

複素幾何学とは、複素構造を持った偶数次元の可微分多様体（複素多様体）の性質を研究する分野である。

微分位相幾何学

微分位相幾何学とは、微分幾何の手法を使い位相幾何の問題へアプローチする分野である。

接続の微分幾何

接続の微分幾何とは、可微分多様体の接続（共変微分）の性質を総合的に論じる分野である。 多様体$M$上の任意のベクトルバンドル$E$は、ある主Gバンドル$P$の同伴バンドルとして得られ、さらに$E$の任意の接続は$P$のあるエーレスマン接続から誘導される。 そのため接続の性質は主Gバンドルのエーレスマン接続の研究に集約される。 またゲージ理論の幾何学でもエーレスマン接続はゲージ場として研究対象である。

ゲージ理論の幾何学

ゲージ理論の幾何学とは、物理学のゲージ理論を主Gバンドルの幾何学として捉えて研究する分野である。 ゲージ群がGのゲージ場は主Gバンドルのエーレスマン接続として理解される。