実数
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実数(じっすう、 real number)とは、 完備順序体の元のことを指す。
実数の定義・基本的性質
この節では実数の定義および基本的な性質を述べる。
定義 1 (実数)
実数全体とは順序体 $(\mathreal, +, \times, \leq)$ で、次の性質を満たすものである。
一意性
実数は同型を除いて一意に定まる。
同値な定義
この節では実数全体の同値な定義について述べる．
定理 2
順序体 $(\mathreal, +, \times, \leq)$ において、次の1、2は同値。
- $(\mathreal, +, \times, \leq)$ は実数
- 任意の空でない $X \subset \mathbb{R}$ について、$X$ が下に有界であるならば、$X$ の 最小上界 $\inf{X}$ が存在する。
