多項式多重ゼータ値
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多項式多重ゼータ値 (polynomial multiple zeta values) とは、多重ゼータ値と対称多重ゼータ値を同時に含む一般化として、Hirose-Murahara-Saito [HMS1] によって提案された対象である。
定義
定義 1 (多項式多重ゼータ値)
インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し \[\zeta^{\bullet}_{x,y}(\bk;T)=\sum_{i=0}^r\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};T)\zeta^{\bullet}(\bk^{[i]};T)x^{\wt(\bk_{[i]})}y^{\wt(\bk^{[i]})}\] とおく。ここで $\zeta^{\bullet}(\bk;T)$ は正規化多項式である。
- [HMS1] では用いているインデックスの流儀が異なっているため、ここでの $\zeta^{\bullet}_{x,y}(k_1,\ldots,k_r;T)$ は論文における $\zeta^{\bullet}_{x,y}(k_r,\ldots,k_1;T)$ に一致する。
- [HMS2] では調和正規化多項式のスター版 $\zeta^{\star,\ast}(\bk;T)$ を用いて \[\zeta^{\star,\ast}_{x,y}(\bk;T)=\sum_{i=0}^r\zeta^{\star,\ast}(\bk_{[i]};T)\zeta^{\star,\ast}(\bk^{[i]};T)x^{\wt(\bk_{[i]})}y^{\wt(\bk^{[i]})}\] という対象も定義している。原論文では $\bullet=\sh$ の場合を考慮していないためこれに対し $\zeta^{\star}_{x,y}(\bk)$ という記号を用いているが、本記事では (スターのない場合は) シャッフル版も扱うため、誤解の恐れが無いよう $\zeta^{\star,\ast}_{x,y}(\bk)$ と書くことにする。
- 定義より明らかに $\zeta^{\bullet}_{1,0}(\bk;T)=\zeta^{\bullet}(\bk;T)$ と $\zeta^{\bullet}_{1,-1}(\bk;T)=\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)$ ($T$ に依存しない) が成り立つ。
References
[HMS1] M. Hirose, H. Murahara and S. Saito, Polynomial generalization of the regularization theorem for multiple zeta values, Publ. RIMS Kyoto Univ. 56 (2020), 207-215; arXiv:1808.06745.
[HMS2] M. Hirose, H. Murahara and S. Saito, Generating functions for sums of polynomial multiple zeta values, arXiv:2011.04220.
