トーク:レンズ空間

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  • レンズ空間#レンズ空間にて「ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。」とありますが、これはどのようなことを意味していますでしょうか？ --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 00:32 (JST)

>ここで指しているのは「多様体は基本群、ホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群だけでは完全に分類することができない」というものの簡単な例になっているということです。例えば $\rm{L}(5;1),\rm{L}(5;2)$は上記の不変量が全て同じであるにもかかわらず同相どころかホモトピー同値ですらないです。—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)

  • レンズ空間#定義にて、高次元レンズ空間の定義のなかで $2n-1$-次元球面を群作用によって割っていますが、ここで $n = 1$ のケースは想定されていますか？ --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 00:35 (JST)

> $n=1$ についても定義自体は破綻しませんが、ここで想定しているのは　$n>2$　です。あとで加筆しておきます。—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)

    • $n = 1$ の場合、$S^1$ は単連結でないため $S^{2n-1}$ の単連結性に言及している箇所においては $n \geq 2$ の仮定が必要だと考えます。 --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:58 (JST)

>ここでの不連続の意味は真正不連続、固有不連続等の文脈で現れる不連続であり、ここでの意味としては軌道が集積点を持たないことを指しています(有限群作用なのでそれはそうなのですが。)。作用そのものは可微分同相写像として作用しています。したがって作用の連続性の文脈においてはこの作用は連続です。(この曖昧な部分は群作用のページ作る際にまとめようと思っています。)おかしな語の並びに見えますが連続な不連続作用という状態です。—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)


>これは解析的な微分同相写像としての作用であることから従います。具体的には得られる被覆写像によって商空間にチャートが定義するという方法によって微分構造を定めます。作り方から座標変換は元の $S^{2n-1}$ の解析的構造を引き継いでいます。(曖昧さについては訂正させていただきます。)—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)


  • レンズ空間#主な不変量の値にて、$2n-1$-次元のレンズ空間について $(2n-1)-j$ 次のホモロジー群と $j$ 次のホモロジー群の同型は何故導かれるのでしょうか？ --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 00:49 (JST)

>これは私の勘違いでした、訂正しました。--ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 09:39 (JST)


  • ところでレンズ空間にはCW複体構造は入るのでしょうか(入る場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値がCW複体間で同値であることより、ホモトピー同値に関する言及などをもうすこし緩い見た目に記述できると思いました(実質的にはなにも変わらないですが))？ --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 00:59 (JST)

>CW複体構造は入ります。この記事には明記していませんが作用で保たれる $S^{2n-1}$ のCW複体構造を構成しそこから誘導されるCW複体構造がレンズ空間に定まります。したがってある連続写像ホモトピー群の同型がえられることとその連続写像がホモトピー同値写像であることが同値となります。弱ホモトピー同値写像同型が連続写像によって誘導されない限りはこの定理は使えません。緩い見た目が何を指しているかは少しわかりませんでした。—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)


>これは分類空間の定義に定義域の部分の可縮性が求められていることによるものです。有次元球面が可縮でないこととは対照的に無限次元球面が可縮となるという事実を強調するためこのような書き方となりました。—ぱなむー (トーク) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)


記法に関する事項

  • レンズ空間#定義にて、rmコマンドの影響で $p$ の文字のフォントが変質している部分があります(意図的なものではないと思い指摘させていただきます)。 --Q-rad (トーク) 2021年5月4日 (火) 00:39 (JST)

>ご指摘ありがとうございます。訂正しました。--ぱなむー (トーク) 2021年5月6日 (木) 20:16 (JST)

文献情報について

>ご指摘ありがとうございます。追加しました。--ぱなむー (トーク) 2021年5月6日 (木) 20:16 (JST)

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