Wallman型コンパクト化

Wallman型コンパクト化(ウォールマンがたコンパクトか)とは、位相空間のコンパクト化の一種である。

正規基底

位相空間 $X$ の閉集合の族 $\mathcal{F}$ が正規基底であるとは、次の条件をみたすことをいう:

• $\{X \setminus F| F \in \mathcal{F}\}$ は開基となる,
• $x \in X$ と $x \notin A$ なる閉集合 $A$ が与えられたとき、ある $F \in \mathcal{F}$ であって $A \cap F = \emptyset$ かつ $x \in F$ をみたすものが存在する,
• $\mathcal{F}$ は有限和・有限交叉に閉じている,
• $E, F \in \mathcal{F}$ について、$E \cap F = \emptyset$ ならば、ある $G, H \in \mathcal{F}$ が存在して、$G \cup H = X$ かつ $E \cap H = \emptyset$ かつ $F \cap G = \emptyset$ なるようなものを取れる.

例として、$T_{3.5}$-空間 (完全正則空間) $X$ についてゼロ集合全体のなす集合族は正規基底となる。また、正規空間において閉集合全体の集合族は正規基底となる。

Wallman型コンパクト化

$X$ を $T_{3.5}$-空間とし、$\mathcal{F}$ を正規基底とする。このとき、$\mathcal{F}$ 上のフィルターのなかで極大なもの全体のなす集合を $wX_\mathcal{F}$ と表記する。あるいは $\mathcal{F}$ が明らかな場合には $wX$ と表記する。また、$X$ の開集合 $U$ について、$\{\xi \in wX|\exists\ F \in \mathcal{F},\ F \subset U \in \xi\}$ なる集合を $O(U)$ と表記し、$\{O(U)|X - U \in \mathcal{F}\}$ の生成する位相を $wX$ に入れる。このとき、$wX$ は $X$ のコンパクト化となる。このような形で正規基底によって得られるコンパクト化をWallman型コンパクト化という。ここで、$x \in X$ に対して $\xi_x \in wX$ を次のように定める: $\xi_x = \{x \in F \in \mathcal{F}\}$. このとき $X \to wX$ なる構造射を構成することができる。

以下 $wX$ がコンパクト化となっていることを確認する。

$X - U \in \mathcal{F}$ について、$O(U) \cap X = U$ が成り立つ。実際、$x \notin U$ ならば $X - U \in \xi_x$ より、$x \notin O(U)$ が成り立つ。また、$x \in U$ ならば、$X - U$ と disjoint な $x \in F \in \mathcal{F}$ が存在するため、$x \in O(U)$ が成り立つ。より示された。よって特に $X$ は $wX$ の部分空間としてみなせ、さらに稠密であることも示される。

$F \in \mathcal{F}$ について、$F$ の $wX$ での閉包 $\overline{F}$ は $\{\xi \in wX | F \in \xi\}$ と一致する。実際、$X$ との交わりが $X - F$ 以下であるような開集合は $O(X - F)$ に含まれることに注意すると、$\overline{F} = wX - O(X - F)$ が成り立つ。$F \notin \xi$ ならば、$\xi$ の極大性より、ある $G \in \xi$ であって $G \subset X - F$ なるものが取れる。よって、$\xi \in \overline{F} \Leftrightarrow F \in \xi$ が成り立つ。このことから、$\overline{F}$ なる閉集合全体が閉基底となることがわかる。

このとき、$\mathcal{G} = \{G\}$ が有限交叉性を持つ $wX$ の閉集合族とする。このとき、$\{F \in \mathcal{F}|\exists\ G \in \mathcal{G},\ G \subset \overline{F}\}$ は有限交叉性を持つ。実際、$F \cap F' = \emptyset$ なる $F, F' \in \mathcal{F}$ について、$\xi \in wX$ を任意に取ったとき $F \notin \xi$ あるいは $F' \notin \xi$ が成り立つことから、$\xi$ の極大性より $\xi \in O(X - F) \cup O(X - F')$ が成り立つ。よって、$\overline{F} \cap \overline{F'} = \emptyset$ となることから従う。よって、$\{F \in \mathcal{F}|\exists\ G \in \mathcal{G},\ G \subset \overline{F}\}$ を含む $\mathcal{F}$ 上の極大フィルター $\xi$ が存在する。このとき、$G \subset \overline{F}$ なる任意の $F \in \mathcal{F}$ について、$F \in \xi$ すなわち $\xi \in \overline{F}$ であるため、$\xi \in G \in \mathcal{G}$ が示される。従って、$wX$ はコンパクト空間である。