Sierpinski空間

Sierpinski(シェルピンスキー)空間とは、二つの点のみを持つ位相空間であって、その位相が密着位相でも離散位相でもないものである。

定義

Sierpinski空間とは、二点集合 $\{0,1\}$ の上に位相 $\mathcal{O}=\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\}$ を入れた位相空間のことである。また、この位相空間と同相な位相空間のことを指してSierpinski空間とよぶことがある。

有限位相空間である。
$T_0$-空間であるが、$T_1$-空間でない。
位相空間 $X$ について開集合全体の集合 $\mathcal{O}_X$ を対応させ、連続写像 $f:X\to Y$ について $Y$ の開集合 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ を値に取る集合の射 $\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ を対応させる反変函手 $\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ を考える。この反変函手は表現可能函手であり、その表現対象はSierpinski空間である。