連続写像

連続写像とは、空間から空間への写像であって、「近い点どうしを近くに移す」ようなもののことである。ここで、空間とは主に位相空間のことを指す。

定義

位相空間 $X$, $Y$ について、連続写像 $f:X\to Y$ とは、写像 $f:X\to Y$であって、任意の $Y$ の開集合 $V$ について、$f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合となるもののことである。

距離空間 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ について、写像 $f\colon X\to Y$ が連続写像であることは、以下の条件を充たすことと同値である。

任意の点 $x \in X$ と $\epsilon \gt 0$ について、ある $\delta$ が存在し、$d_x(x,x')\lt \delta$ なる点 $x'$ について、$d_Y(f(x),f(x'))\lt \epsilon$ が成り立つようにできる