Noether環

$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\L}{\mathbb{L}}$ $\newcommand{\A}{\mathbb{A}}$ $\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$ $\newcommand{\relmid}[1]{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}$

すべてのイデアルが有限生成である環をNoether環 (Noetherian ring)という。

Hilbertの基底定理

Noether環に関する最も基本的かつ重要な定理は、Hilbertの基底定理である。

定理 1 (Hilbertの基底定理)

$R$ がNoether環ならば、$R$ 上の多項式環 $R[X]$ もNoether環。

このことから、帰納的に、$R$ がNoether環ならば、任意の整数 $n\geq 1$ に対して、 $R$ 上の $n$ 変数多項式環 $R[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ もNoether環であることがわかる。

Proof.

$I$ を $R[X]$ のイデアルとする。$J$ を $$F(X)=a_d+a_{d-1} X+\cdots +a_0 X^d \in I$$ の最高次の項の係数としてあらわれる $a_0\in R$ 全体の集合とすると、 $J$ は $R$ 上のイデアルとなる。実際、$a_0\in J$ のとき、 $$F(X)=a_r+a_{r-1} X+\cdots +a_0 X^r$$ となる多項式 $F(X)\in I$ をとると、$kF(X)\in I$ だから、$ka_0\in J$ となる。また、さらに $b_0\in J$ のとき $$G(X)=b_s+b_{s-1}+\cdots +b_0 X^s$$ となる多項式 $G(X)\in I$ をとると、$r\geq s$ のとき、$F(X)+X^{r-s}G(X)\in I$ となり、 $s\geq r$ のとき $X^{s-r}F(X)+G(X)\in I$ となることから、$a_0+b_0\in J$ となる。 $R$ は Noether環だから、$J$ は有限生成である。つまり $J$ はある $a^{(1)}, a^{(2)}, \ldots, a^{(t)}\in R$ によって生成される。 $J$ の定義から、$i=1, 2, \ldots, t$ について $a^{(i)}$ を最高次の係数とする多項式 $F_i\in I$ が存在する。

同様に、整数 $m\geq 0$ について、$J_m$ を、 $J$ のうち、$m$ 次以下の $I$ の多項式の最高次の項の係数全体の集合とすると、 $J_m$ もイデアルとなる。 上と同様にして、$J_m$ はある $a^{(m, j)}\ (1\leq j\leq t_m)$ により生成され、 $a^{(m, j)}$ を最高次の係数にもつ多項式 $F_{m, j}\in I\ (1\leq j\leq t_m)$ が存在する。

$N$ を $F_1, F_2, \ldots, F_t$ の次数の最大値とする。 $I_0$ を $F_i$ および $F_{m, j}\ (m<N, 1\leq j\leq t_m)$ から生成されるイデアルとすると、 $I_0$ は有限生成で、$I_0\subset I$ となる。

$I\subset I_0$ ならば、$I=I_0$ は有限生成となるので、$I\subset I_0$ を示す。 $I_0$ に属さない多項式が存在すると仮定して矛盾を導く。そのような多項式で次数が最小のものをひとつとり、 それを $G$ とする。 $G$ の最高次の係数を $a$ とおく。$a\in J$ となるので $$a=\sum_{i=1}^t k_i a^{(i)}$$ となる $k_1, k_2, \ldots, k_t\in R$ がとれる。

$G$ の次数が $N$ 以上のとき、$i=1, 2, \ldots, t$ について $k_i$ を最高次の係数にもち、 次数が $N-\deg F_i$ となる多項式 $H_i$ をとると、 $G$ の最高次の係数は $\sum_{i=1}^t H_i F_i$ の最高次の係数と一致する。つまり $$G_0=G-\sum_{i=1}^t H_i F_i\in I$$ とおくと $G_0$ の次数は $G$ の次数より小さい。よって、$G$ の定義から $G_0\in I_0$ となるから、 $$G=G_0+\sum_{i=1}^t H_i F_i\in I_0$$ となって、矛盾する。

$G$ の次数が $m<N$ となるとすると、$a\in J_m$ となるので、先程と同様にして $$a=\sum_{i=1}^{t_m} k_i a^{(m, i)}$$ となる $k_i\in R (1\leq i\leq t_m)$ がとれる。 $i=1, 2, \ldots, t_m$ について $k_i$ を最高次の係数にもち、次数が $m-\deg F_{m, i}$ となる多項式 $H_i$ をとると、 $G$ の最高次の係数は $\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}$ の最高次の係数と一致する。つまり $$G_0=G-\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}\in I$$ とおくと $G_0$ の次数は $G$ の次数より小さい。よって、$G$ の定義から $G_0\in I_0$ となるから、 $$G=G_0+\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}\in I_0$$ となって、やはり矛盾する。

これらのことから、$I\subset I_0$ でなければならず、したがって $I=I_0$ は有限生成であることが示された。

□

Noether環の定義として、先述の定義に代わって下記の (i)(ii) のいずれかを用いても同様に定義される。

定理 2

つぎの $2$ つの条件は、いずれも $R$ がNoether環であることと同値である。

(i) $R$ のイデアルの無限上昇列

$$I_1\subset I_2\subset \cdots$$ をとると、$m, n$ が十分大きいとき、必ず $I_m=I_n$ となる（$R$ のイデアルの、真の無限上昇列は存在しないということもできる）。

(ii) $S\neq\emptyset$ が $R$ のイデアルからなる集合とすると、$S$ は必ず包含関係に関する極大元をもつ。つまり、$I\in S$ だが、$I\subset J\in S$ のとき $I=J$ となる $R$ のイデアル $I$ が存在する。

このことはNoether加群に一般化されるので、証明はNoether加群に関する一般的な定理の証明を参照。

一般化

前述の通り、Noether環の概念はNoether加群に一般化される。

参考文献

Hilbertの基底定理の証明は

• William Fulton, Algebraic Curves, 3rd version, 2008, online version

の1.4節, p. 7 を参考とした。