Moore–Penrose逆行列

Moore–Penrose逆行列

Moore–Penrose逆行列(ムーアペンローズぎゃくぎょうれつ、Moore–Penrose inverse) とは、逆行列の概念を拡張したもののひとつである。Moore–Penrose逆行列は正規でない正方行列のみならず正方でない複素行列にも一意に定義される。

準備

体 $K$ 上の $m\times n$行列全体のなす集合を $K^{m\times n}$で表すことにする。

定義

$A \in \mathbb{C}^{m\times n}$ に対し、以下の条件を満たす $A^+ \in \mathbb{C}^{n\times m}$ を $A$ のMoore–Penrose逆行列と呼ぶ。

• (1)$AA^+A=A$
• (2)$A^+AA^+=A^+$
• (3)$(AA^+)^*=AA^+$ （$AA^+$ はHermiteである。）
• (4)$(A^+A)^*=A^+A$ （$A^+A$ はHermiteである。）

存在性

任意の複素行列 $A$ はMoore–Penrose逆行列を持つ。

補題

対角成分を除く成分がすべて0である行列はMoore–Penrose逆行列を持つ。

Proof.

$X=(x_{ij}\delta_{ij})_{ij} \in \mathbb{C}^{m\times n}$ とする（ただし、 $\delta_{ij}$ はKroneckerのデルタ）。ここで $$x'=\begin{cases}x^{-1}&(x\neq0)\\ 0&(x=0)\end{cases}$$ と定め、 $X^+=(x'_{ij}\delta_{ij})_{ji} \in \mathbb{C}^{n\times m}$ とすればこれは定義の(1)-(4)を満たす。

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本証明

$A=U\Sigma V^*$ を $A$ の特異値分解とする。 $U,V$ はユニタリ行列であり、補題より $\Sigma$ はMoore–Penrose逆行列を持つ。したがって、 $\Sigma^+$ を $\Sigma$ のMoore–Penrose逆行列とし、 $A^+=V\Sigma^+ U^*$ とすれば、 $$\begin{aligned} AA^+A&=U\Sigma V^*V\Sigma^+ U^*U\Sigma V^*\\ &=U\Sigma \Sigma^+ \Sigma V^*\\ &=U\Sigma V^* = A \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A^+AA^+&=V\Sigma^+ U^*U\Sigma V^*V\Sigma^+ U^*\\ &=V\Sigma^+ \Sigma \Sigma^+ U^*\\ &=V\Sigma^+ U^* = A^+ \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (AA^+)^*&=(U\Sigma V^*V\Sigma^+ U^*)^* \\ &=(U\Sigma \Sigma^+ U^*)^* \\ &=U(\Sigma \Sigma^+)^* U^* \\ &=U\Sigma \Sigma^+ U^* \\ &=U\Sigma V^*V\Sigma^+ U^* =AA^+ \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (A^+A)^*&=(V\Sigma U^*U\Sigma^+ V^*)^* \\ &=(V\Sigma^+ \Sigma V^*)^* \\ &=V(\Sigma^+ \Sigma)^* V^* \\ &=V\Sigma^+ \Sigma V^* \\ &=V\Sigma^+ U^*U\Sigma V^*=A^+A \end{aligned}$$ となるので、 $A^+$ は $A$ の Moore–Penrose逆行列である。

一意性

$X,Y$ を $A \in \mathbb{C}^{m\times n}$ のMoore–Penrose逆行列とすると、 $$\begin{aligned} X&=XAX \\ &= (XA)^*X \\ &= (XAYA)^*X \\ &= (YA)^*(XA)^*X \\ &= YAXAX \\ &= YAX \\ &= YAYAX \\ &= Y(AY)^*(AX)^* \\ &= Y(AXAY)^* \\ &= Y(AY)^* \\ &= YAY =Y \end{aligned}$$ となるので、 $A$ のMoore–Penrose逆行列は一意に定まる。

関連項目

• 線形代数学

参考

• [1]