Gromov-Hausdorff距離
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\(\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}\)
Gromov-Hausdorff距離(グロモフ-ハウスドルフきょり、Gromov Hausdorff metric)とは、距離空間どうしの類似度を測る指標のひとつである。
定義
Hausdorff距離について復習する。
定義 1 (Hausdorff距離)
距離空間 $(X,d)$ のその部分集合 $A$, $B$ について、Hausdorff距離 $d_H(A,B)$ を $\mathrm{max}(\sup_{a \in A}(d(a,B)),\sup_{b \in B}(d(b,A)))$ として定義する。
注意 2 (拡張擬距離)
Hausdorff距離は $\mathcal{P}(M)\setminus \{\emptyset\}$ 上の拡張擬距離となっている。これは異なる元 $A, B$ についても $d(A,B)=0$ となることを許し、また距離として無限大の値も許すということを意味する。
以上の準備のもと、Gromov-Hausdorff距離は以下のように定義される。
定義 3 (Gromov-Hausdorff距離)
距離空間 $(X,d_X)$ と $(Y,d_Y)$ について、Gromov-Hausdorff距離 $d_{GH}(X,Y)$ とは、以下で定義される(無限大を許す)実数のことをいう:
- 距離空間 $M$ への等長写像 $f\colon X\to M$, $g\colon Y \to M$ 全体をわたる、$d_H(f(X),g(Y))$ の下限。
